課時(shí)8生活中的圓周運(yùn)動(dòng)

課前導(dǎo)航

飛車走壁

也許不少同學(xué)都看過雜技“飛車走壁”吧．在傾斜度很大的墻壁上，甚至在鐵絲網(wǎng)圍成的豎直側(cè)壁上，摩托車在高速行駛，卻不會(huì)掉下來，而坐在車上的演員顯得那樣悠然自得，如圖8－1所示．你在驚訝之余，也許會(huì)佩服演員高超的技藝和過人的膽量，但你是否想過其中的奧秘呢？

圖8－1

請你思考：假設(shè)你駕駛摩托車在鐵絲網(wǎng)圍成的豎直的圓形墻上表演“飛車走壁”，要使表演成功且精彩，你認(rèn)為應(yīng)注意哪些問題？

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)精析

一、圓周運(yùn)動(dòng)的分析方法

1．選取研究對象，確定軌道平面、圓心位置和軌道半徑．基本要求

1．能定性分析火車軌道轉(zhuǎn)彎處外軌比內(nèi)軌高的原因．2．能定量分析汽車過拱橋最高點(diǎn)和凹形橋最低點(diǎn)的壓力問題．3．知道航天器中失重現(xiàn)象及其本質(zhì)．4．知道離心運(yùn)動(dòng)及其產(chǎn)生的條件，了解離心運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用和防止．發(fā)展要求

1．會(huì)用牛頓第二定律分析圓周運(yùn)動(dòng)．2．進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)力與物體慣性及物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的關(guān)系．

2．分析受力情況，明確向心力來源．

3．沿向心加速度方向建立方程．

二、生活中的實(shí)例

1．汽車過拱橋汽車通過橋的最高(低)點(diǎn)時(shí)，汽車所受的重力和橋?qū)ζ嚨闹С至υ谝粭l直線上，它們的合力為提供汽車做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．

(1)凸形橋：汽車通過橋的最高點(diǎn)時(shí)，汽車對橋的壓力小于汽車所受的重力，壓力大小滿足F1＝．當(dāng)汽車的速度v＝時(shí)，汽車對橋面恰好沒有壓力．

(2)凹形橋：汽車通過橋的最低點(diǎn)時(shí)，汽車對橋的壓力大于汽車所受的重力，壓力大小滿足F2＝．

2．火車轉(zhuǎn)彎外軌略高于內(nèi)軌，速度適當(dāng)時(shí)，火車所受到的重力和軌道對其的支持力的合力恰好等于向心力，即mgtanθ＝m．

(1)當(dāng)火車的速度等于時(shí)，內(nèi)外軌對輪緣無側(cè)壓力．

(2)當(dāng)火車的速度大于時(shí)，外軌對輪緣有向內(nèi)的側(cè)壓力．

(3)當(dāng)火車的速度小于時(shí)，內(nèi)軌對輪緣有向外的側(cè)壓力．

3．豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)及其臨界情況分析

(1)小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)過最高點(diǎn)的情況．如圖8－2甲和乙所示，輕繩對小球只能產(chǎn)生沿繩收縮方向的拉力，圓軌道也只能產(chǎn)生向內(nèi)的支持力．

甲乙圖8－2①臨界條件：在最高點(diǎn)繩子或軌道對小球恰好沒有彈力的作用時(shí)，重力提供向心力，即mg＝可得:小球恰能通過最高點(diǎn)的臨界速度v臨界＝．②不能過最高點(diǎn)的條件是v

＜v臨界(實(shí)際上小球尚未到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)就脫離了軌道)．

(2)小球過最高點(diǎn)時(shí)，輕質(zhì)桿或管狀軌道對小球產(chǎn)生彈力的情況．如圖8－3甲和乙所示，桿與繩不同，桿對球既能產(chǎn)生拉力，也能產(chǎn)生支持力，管狀軌道的口徑略大于小球的直徑．

甲乙圖8－3①當(dāng)v＝0時(shí)，F(xiàn)N＝mg，F(xiàn)N為桿(或管狀軌道)對小球的支持力，方向豎直向上，背離圓心．②當(dāng)0＜v

＜時(shí)，F(xiàn)N隨v的增大而減小，且mg＞FN＞0，F(xiàn)N為桿(或管狀軌道)對小球的支持力，方向豎直向上，背離圓心．③當(dāng)v＝時(shí)，F(xiàn)N＝0．④當(dāng)v＞，F(xiàn)N隨v的增大而增大，且FN＞0，這時(shí)，桿對小球產(chǎn)生豎直向下、指向圓心的拉力(或管狀軌道對小球產(chǎn)生豎直向下、指向圓心的壓力)．

三、航天器的失重問題

1．當(dāng)宇宙飛船在離地面不是很高的空中繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)對于整個(gè)飛船，有：Mg＝M＝Mω2R．對于飛船中的人與物，有：

mg－FN＝m＝mω2R．可得

2．結(jié)論：在繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的宇宙飛船中，所有物體都處于完全失重狀態(tài)．

四、離心運(yùn)動(dòng)

1．離心運(yùn)動(dòng)是物體具有慣性的一種表現(xiàn)．

2．離心現(xiàn)象：(1)外界提供物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力突然消失，物體就沿圓周的切線方向遠(yuǎn)離圓心運(yùn)動(dòng)．

(2)外界提供沿半徑方向的合力小于做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力時(shí)，物體雖不會(huì)沿切線運(yùn)動(dòng)，也會(huì)逐漸遠(yuǎn)離圓心

方法探究

一、汽車過拱形橋問題

例1

如圖8－4甲所示，汽車以一定的速率經(jīng)過一個(gè)拱形橋面的頂點(diǎn)時(shí)，關(guān)于汽車的受力情況及汽車對橋面的壓力，以下說法正確的是(

)

圖8－4甲

A．在豎直方向上汽車受到三個(gè)力：重力、橋面的支持力和向心力

B．在豎直方向上汽車只受到兩個(gè)力：重力和橋面的支持力

C．汽車對橋面的壓力小于汽車的重力

D．汽車對橋面的壓力大于汽車的重力

解析

汽車在過拱形橋的最高點(diǎn)時(shí)，在豎直方向上受到重力G和橋面的支持力FN，如圖8－4乙所示，兩者的合力提供汽車做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，B選項(xiàng)正確，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由于合力方向豎直向下(向心力方向指向圓心)，所以重力G大于橋面的支持力FN．汽車對橋面的壓力FN′與橋面對汽車的支持力FN是作用力與反作用力，大小相等，所以汽車對橋面的壓力FN′也小于汽車的重力G，故C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．

圖8－4乙

答案

BC

點(diǎn)評

向心力是按效果命名的力，是物體受到的重力、彈力或摩擦力等沿半徑指向圓心方向的合力，并不是除這些力之外的又一個(gè)新的性質(zhì)的力．

變式訓(xùn)練1

一輛質(zhì)量m＝2.0t的小轎車駛過半徑R＝90m的一段圓弧形橋面，取g＝10m/s2．問：

(1)若橋面為凹形，汽車以20m/s的速度通過橋面最低點(diǎn)時(shí)，對橋面的壓力是多少？

(2)若橋面為凸形，汽車以10m/s的速度通過橋面最高點(diǎn)時(shí)，對橋面的壓力是多少？

(3)汽車以多大的速度通過凸形橋面頂點(diǎn)時(shí)，對橋面剛好沒有壓力？

解析

(1)汽車通過凹形橋面的最低點(diǎn)時(shí)，在水平方向上受到牽引力F和阻力f的作用，在豎直方向上受到橋面向上的支持力FN1和向下的重力G＝mg的作用，如圖甲所示．圓弧形軌道的圓心在汽車的正上方，支持力FN1與重力G＝mg的合力為FN1－mg，這個(gè)合力就是汽車通過橋面的最低點(diǎn)時(shí)的向心力，即F向＝FN1－mg．由向心力公式有：

甲

FN1－mg＝m解得橋面對汽車的支持力大小為：

FN1＝m＋mg＝(2000×＋2000×10)N＝2.89×104N根據(jù)牛頓第三定律知，汽車行駛在橋面最低點(diǎn)時(shí)對橋面的壓力大小是2.89×104N．

(2)汽車通過凸形橋面最高點(diǎn)時(shí)，在水平方向上受到牽引力F和阻力f的作用，在豎直方向上受到豎直向下的重力G＝mg和橋面向上的支持力FN2的作用，如圖乙所示．圓弧形軌道的圓心在汽車的正下方，重力G＝mg與支持力FN2的合力為mg－FN2，這個(gè)合力就是汽車通過橋面頂點(diǎn)時(shí)的向心力，即：F向＝mg－FN2．乙

由向心力公式有：

mg－FN2＝m橋面的支持力大小為：

FN2＝mg－m＝(2000×10－2000×)N＝1.78×104N根據(jù)牛頓第三定律知，汽車行駛在橋面最高點(diǎn)時(shí)對橋面的壓力大小是1.78×104N．

(3)設(shè)汽車的速度為vm時(shí)，汽車通過凸形橋面頂點(diǎn)時(shí)對橋面的壓力為零．根據(jù)牛頓第三定律，這時(shí)橋面對汽車的支持力也為零，汽車在豎直方向上只受到重力G的作用，重力G＝mg就是汽車駛過橋頂點(diǎn)時(shí)的

向心力，即F向＝mg，由向心力公式有：

mg＝m

解得：vm＝m/s＝30m/s．

所以汽車以30m/s的速度通過凸形橋面的頂點(diǎn)時(shí)，對橋面剛好沒有壓力．

答案

(1)2.89×104N

(2)1.78×104N

(3)30m/s

點(diǎn)評

車在不同位置所受合外力的方向不同，導(dǎo)致壓力大小不同，車在凹形橋面的底部時(shí)對橋面的壓力最大，在凹形橋面的最大壓力有限制的條件下，在最低點(diǎn)有最大速度；車在拱形橋頂點(diǎn)時(shí)對橋面的壓力最小，對應(yīng)著有最大的行駛速度．

二、彎道問題

例2

已知我國鐵路的軌距L＝1435mm．某段鐵路的設(shè)計(jì)速度為30m/s，若該段鐵軌的彎道半徑R＝1000m．問：(取g＝10m/s2)

(1)該段彎道的外軌比內(nèi)軌應(yīng)高多少毫米？

(2)為什么火車的車輪內(nèi)側(cè)都有一輪緣？

解析

(1)在彎道上設(shè)計(jì)建造鐵軌時(shí)，需要使內(nèi)外軌的端面成一適當(dāng)?shù)膬A角θ，使得火車以設(shè)計(jì)的速度通過時(shí)恰好由重力和支持力的合力提供向心力，如圖所示．

即F向＝mgtanθ＝m解得：tanθ＝＝0.09又由圖可得內(nèi)外軌的高度差為：

h＝L·sinθ≈L·tanθ＝129mm．

(2)由(1)可知，當(dāng)火車以v0＝的速度通過該彎道時(shí)，火車只受重力和垂直鐵軌上端面的支持力作用．當(dāng)火車通過彎道的速度v>v0時(shí)，重力與垂直鐵軌上端面的彈力的合力不足以提供火車所需的向心力，火車有離心運(yùn)動(dòng)的趨勢，故需要外軌對外輪的內(nèi)緣產(chǎn)生向內(nèi)的彈力，使得火車受的向心力F向＝m．當(dāng)火車通過彎道的速度v<v0時(shí)，重力與垂直鐵軌上端面的彈力的合力大于火車所需的向心力，火車有偏離軌道向內(nèi)運(yùn)動(dòng)的趨勢，故需要內(nèi)軌對內(nèi)輪的內(nèi)緣產(chǎn)生向外的彈力，使得火車受的向心力F向＝m．

答案

見解析

點(diǎn)評

火車的彎道問題與火車的質(zhì)量無關(guān)

變式訓(xùn)練2

如圖8－5甲所示，一轎車要通過一半徑為r的彎道，已知彎道路面的傾斜角為θ．若要使轎車通過該彎道時(shí)車胎不受到側(cè)向摩擦力的作用，則通過的速度應(yīng)為多少？

圖8－5甲

錯(cuò)解

設(shè)轎車以v0勻速通過彎道時(shí)，車胎不受到側(cè)向摩擦力的作用，此時(shí)轎車在垂直運(yùn)動(dòng)方向的受力情況如圖8－5乙所示，把重力mg沿斜面和垂直斜面方向分解，沿斜面向下的分力提供向心力，故有：

圖8－5乙

mgsinθ＝解得：v0＝．

剖析

這類題中，有部分同學(xué)把向心力當(dāng)做沿斜面向下方向的力．事實(shí)上，物體做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心應(yīng)該在圓周的同一平面上，即題中汽車做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心應(yīng)在圓弧形彎道的同一水平面上，故向心力應(yīng)水平向右．

正解

設(shè)轎車以v0勻速通過彎道時(shí)，車胎不受到側(cè)向摩擦力的作用．此時(shí)轎車在垂直運(yùn)動(dòng)方向的受力情況如圖8－5丙所示．FN與mg的合力F應(yīng)水平向右,合力提供向心力，有：

F＝mgtanθ＝m解得：v0＝．

答案

[方法與結(jié)論]

1．鐵路的彎道、公路的彎道都向內(nèi)側(cè)傾斜，若彎道半徑為r，車輛通過彎道時(shí)的速度為v0，則彎道的傾角θ＝arctan．圖8－5丙

2．飛機(jī)、鳥在空中盤旋時(shí)的受力情況與火車以速度v0過彎道時(shí)的受力情況相似，如圖8－6甲所示，故機(jī)翼、翅膀的傾角θ＝arctan．

甲乙圖8－6

3．騎自行車在水平路面上轉(zhuǎn)彎時(shí)，向心力由靜摩擦力提供，但車身的傾斜角仍為θ＝arctan,如圖8－6乙所示.

三、離心運(yùn)動(dòng)及其應(yīng)用

例3

試列舉你所知的幾種離心運(yùn)動(dòng)，并分析其產(chǎn)生的原因和現(xiàn)象．

解析列舉如下：

答案

見解析

互動(dòng)平臺(tái)

育才老師與細(xì)心同學(xué)關(guān)于“飛車走壁”的對話細(xì)心：老師，“飛車走壁”的表演中可將車的運(yùn)動(dòng)看做圓周運(yùn)動(dòng)，其所需的向心力由豎直壁的彈力來提供．育才：對??！那假設(shè)你是表演者，要表演成功應(yīng)注意些什么呢？細(xì)心：車做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力由壁的彈力來提供，有FN＝m，而在豎直方向上重力與摩擦力平衡，有f＝mg，又因摩擦力f＝μFN，所以由以上三式可得v＝，因此要表演成功，車速應(yīng)滿足v≥，否則車就會(huì)滑下來．育才：很好！理論上你已經(jīng)能夠表演“飛車走壁”了．

互動(dòng)訓(xùn)練

1．下列現(xiàn)象中，能反映坐在行駛的公共汽車內(nèi)的乘客發(fā)生與離心運(yùn)動(dòng)有關(guān)的是(

)

A．乘客突然向前傾倒

B．乘客突然向后傾倒

C．乘客上下振動(dòng)

D．乘客因汽車向左轉(zhuǎn)彎而向右傾倒

解析

當(dāng)物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，才會(huì)發(fā)生離心運(yùn)動(dòng)，故D選項(xiàng)