課時(shí)24機(jī)械能守恒定律

課前導(dǎo)航

圖24－1所示是錦江樂(lè)園的過(guò)山車(chē)．滑車(chē)從高處慢悠悠地啟動(dòng)，而后在沒(méi)有任何動(dòng)力的情況下自行下滑，開(kāi)始時(shí)車(chē)子速度很?。?chē)沿著軌道下降，車(chē)子速度越來(lái)越大，使人感到似乎隨時(shí)有沖出軌道的危險(xiǎn)，當(dāng)滑車(chē)到達(dá)最低位置時(shí)速度達(dá)到最大，然后滑車(chē)沿軌道逐漸回升……

圖24－1

請(qǐng)你思考：滑車(chē)在下滑過(guò)程中既然沒(méi)有受到什么動(dòng)力，為什么每次總能如此準(zhǔn)確地完成這一連串有驚無(wú)險(xiǎn)的“動(dòng)作”？

基礎(chǔ)梳理基本要求1．知道機(jī)械能的各種形式，能夠分析動(dòng)能與勢(shì)能(包括彈性勢(shì)能)之間的相互轉(zhuǎn)化問(wèn)題．2．能夠根據(jù)動(dòng)能定理和重力做功與重力勢(shì)能變化間的關(guān)系，推導(dǎo)出機(jī)械能守恒定律．3．會(huì)判斷機(jī)械能是否守恒，能運(yùn)用機(jī)械能守恒定律解決有關(guān)問(wèn)題．發(fā)展要求能從能量轉(zhuǎn)化的角度理解機(jī)械能守恒的條件,領(lǐng)會(huì)運(yùn)用守恒定律解決問(wèn)題的優(yōu)越性．

知識(shí)精析

一、機(jī)械能我們把物體的動(dòng)能、重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能統(tǒng)稱(chēng)為機(jī)械能．

二、機(jī)械能守恒定律

1．物體只受重力做功，只發(fā)生動(dòng)能和重力勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化．如自由落體運(yùn)動(dòng)、拋體運(yùn)動(dòng)等，機(jī)械能守恒．

2．只有彈簧彈力作為內(nèi)力做功，只發(fā)生動(dòng)能和彈性勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化．如在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)的物體碰到一個(gè)彈簧，和彈簧相互作用的過(guò)程中，對(duì)物體和彈簧組成的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，機(jī)械能守恒．

3．物體組成的系統(tǒng)只有重力和彈簧彈力作為內(nèi)力做功，只發(fā)生動(dòng)能、彈性勢(shì)能、重力勢(shì)能間的相互轉(zhuǎn)化．如自由下落的物體落到豎直的彈簧上，在與彈簧相互作用的過(guò)程中，對(duì)物體和彈簧組成的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，機(jī)械能守恒．

4．機(jī)械能守恒定律：在只有重力或彈簧彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)(包括地球)，動(dòng)能與勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變．

5．公式：Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1，或ΔEk＝－ΔEp，或ΔEA增＝ΔEB減．

三、對(duì)機(jī)械能守恒定律的理解

1．研究對(duì)象：物體與地球構(gòu)成的系統(tǒng)，習(xí)慣上說(shuō)成物體的機(jī)械能．

2．機(jī)械能守恒的條件:系統(tǒng)內(nèi)只有重力或彈簧彈力做功.注意守恒的條件是“系統(tǒng)內(nèi)重力、彈簧彈力(彈性力)”而不是“彈力”，例如圖24－2中細(xì)繩的繃緊過(guò)程、小車(chē)碰撞，其內(nèi)力都是彈力，但機(jī)械能都不守恒．

圖24－2

3．“守恒”是指機(jī)械能一直保持不變，而不只是指我們選的兩個(gè)狀態(tài)的機(jī)械能相等．

4．機(jī)械能是否守恒的判斷方法

(1)用做功來(lái)判斷①系統(tǒng)只受重力或彈力(此力現(xiàn)階段僅為彈簧的彈力)的作用時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒．②系統(tǒng)除受重力或彈簧彈力外還受其他力的作用，但其他力一直對(duì)系統(tǒng)不做功時(shí)，此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒．③系統(tǒng)除受重力或彈簧彈力外還受其他力(此力包括內(nèi)力)的作用,但其他力做功的代數(shù)和為零時(shí),系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.

(2)用能量轉(zhuǎn)化來(lái)判斷對(duì)于系統(tǒng)中的物體，若只存在動(dòng)能、重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能間的相互轉(zhuǎn)化，而無(wú)機(jī)械能與其他形式的能間的轉(zhuǎn)化，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒．

5．利用動(dòng)能定理推導(dǎo)機(jī)械能守恒定律如圖24－3所示，質(zhì)量為m的物體由空中自由落下，物體距地面高為h1時(shí)的速度為v1，距地面高為h2時(shí)的速度為v2，由動(dòng)能定理得：

圖24－3

mg(h1－h(huán)2)＝mv22－mv12整理得：

mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22即Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2．(式中取地面為參考平面)說(shuō)明：①在物體下落的整個(gè)過(guò)程機(jī)械能都是守恒的，但列式時(shí)只取兩個(gè)包含已知量和未知量的狀態(tài)進(jìn)行研究；②表達(dá)式中是取地面為參考平面，但機(jī)械能守恒定律的成立與參考平面的選擇無(wú)關(guān)；③不管物體的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線(xiàn)還是曲線(xiàn)，凡是拋體運(yùn)動(dòng)(或自由落體運(yùn)動(dòng))，其機(jī)械能總是守恒的．

方法探究

一、對(duì)機(jī)械能守恒條件的理解和應(yīng)用

例1

下列關(guān)于機(jī)械能是否守恒的判斷中，正確的是(

)

A．做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體的機(jī)械能一定守恒

B．做勻變速運(yùn)動(dòng)的物體，其機(jī)械能可能守恒

C．外力對(duì)物體做功為零時(shí)，物體的機(jī)械能一定守恒

D．只有重力對(duì)物體做功時(shí)，物體的機(jī)械能一定守恒

解析

機(jī)械能守恒的條件是除重力或彈力外，沒(méi)有其他力對(duì)物體做功，或其他力對(duì)物體做功的代數(shù)和等于零，故D選項(xiàng)正確．當(dāng)物體做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，除重力對(duì)物體做功外，可能還有其他外力做功．如降落傘在空中勻速下降時(shí)，既有重力做功，又有阻力做功,降落傘的機(jī)械能不守恒,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤．物體做勻變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，可能只有重力對(duì)物體做功，如自由落體運(yùn)動(dòng)，此時(shí)物體的機(jī)械能守恒，故B選項(xiàng)正確．因?yàn)槲矬w所受的外力指的是包括重力在內(nèi)的所有外力，當(dāng)外力對(duì)物體做功為零時(shí)，可能是處于有阻力的狀態(tài)，如勻速下降的降落傘，所以機(jī)械能不一定守恒，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤．

答案

BD

點(diǎn)評(píng)

從力的角度看，做勻速運(yùn)動(dòng)的物體所受的合外力為零，必定有其他力與重力平衡；從功能關(guān)系看，根據(jù)動(dòng)能定理可知，勻速運(yùn)動(dòng)的物體的動(dòng)能不變，合力做功為零，若重力做正功，其他力一定做負(fù)功；反之重力做負(fù)功，其他力一定做正功，則機(jī)械能不守恒．若重力不做功，除重力外的其他力的合力也不做功，則機(jī)械能守恒，故做勻速運(yùn)動(dòng)的物體，其機(jī)械能可能守恒．

例2

a、b、c三球由同一高度以相同的速率被拋出，a球豎直上拋，b球水平拋出，c球豎直下拋．設(shè)三球落地的速率分別為va、vb、vc，則(

)

A．va＞vb＞vc

B．va＝vb＞vc

C．va＞vb＝vc D．va＝vb＝vc

解析小球被拋出后，只有重力對(duì)它做功，所以小球從被拋出到落地過(guò)程中的機(jī)械能守恒．設(shè)拋出的速率為v0，拋出處距地面的高度為h，取地面為零勢(shì)能面，由mv02

＋mgh＝mv2得：落地速率v＝可見(jiàn)，它僅與拋出時(shí)的速率及離地面的高度有關(guān)，與拋出時(shí)速度的方向無(wú)關(guān)．

答案

D

點(diǎn)評(píng)

由本題可知，從一定高度h以一定大小的初速度v0被拋出的物體，落地時(shí)的速度大小v恒為,與拋出時(shí)的方式——豎直上拋、豎直下拋、平拋、斜上拋、斜下拋等均無(wú)關(guān)，不同的拋出方式只影響物體在空中的具體路徑、運(yùn)動(dòng)時(shí)間以及落地時(shí)速度的方向．

二、易形變物體的勢(shì)能與動(dòng)能的轉(zhuǎn)化問(wèn)題

例3

如圖24－4甲所示，一長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻鐵鏈對(duì)稱(chēng)地掛在一輕質(zhì)小滑輪上，由于某一微小的擾動(dòng)使得鏈條向一側(cè)滑動(dòng)，則鐵鏈完全離開(kāi)滑輪時(shí)的速度大小為(

)

圖24－4甲

A． B．

C． D．

解析

鐵鏈向一側(cè)滑動(dòng)的過(guò)程受重力和滑輪彈力的作用，彈力始終與對(duì)應(yīng)各節(jié)鏈條的運(yùn)動(dòng)方向垂直，故只有重力做功．設(shè)鐵鏈剛好完全離開(kāi)滑輪時(shí)的速度為v，由機(jī)械能守恒定律有：

圖24－4乙

mv2＋ΔEp＝0其中鐵鏈重力勢(shì)能的變化量相當(dāng)于滑離時(shí)下半部分的重力勢(shì)能減去滑動(dòng)前左半部分的重力勢(shì)能，即：

ΔEp＝解得：v＝．

答案

C

點(diǎn)評(píng)

只有重力做功時(shí)易形變物體的機(jī)械能守恒．在求解高度變化引起的速度變化時(shí)常用如下方法計(jì)算其重力勢(shì)能的變化量：始末兩狀態(tài)有部分區(qū)域在相同高度，則重力勢(shì)能的變化量等于其他區(qū)域的重力勢(shì)能之差．

三、機(jī)械能守恒定律與動(dòng)能定理在解題中的聯(lián)系與區(qū)別

1．單個(gè)可當(dāng)做質(zhì)點(diǎn)的物體機(jī)械能守恒時(shí)，既可運(yùn)用機(jī)械能守恒定律解題，也可運(yùn)用動(dòng)能定理解題，這兩種方法等效．

2．發(fā)生形變的物體和幾個(gè)物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒時(shí)，一般運(yùn)用機(jī)械能守恒定律解題，不方便運(yùn)用動(dòng)能定理解題．

例4

如圖24－5所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，由一段斜的直軌道和與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R．一質(zhì)量為m的小物塊從斜軌道上某處由靜止開(kāi)始下滑，然后沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)．要求物塊能通過(guò)圓形軌道最高點(diǎn)，且在該最高點(diǎn)與軌道間的壓力不能超過(guò)5mg(g為重力加速度)．求物塊初始位置相對(duì)圓形軌道底部的高度h的取值范圍．[2007年高考·全國(guó)理綜卷Ⅱ]

圖24－5

答案

R≤h≤5R

點(diǎn)評(píng)

對(duì)于單個(gè)物體,重力勢(shì)能的減少量即等于重力做的功,故在這里動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒定律的表達(dá)式是等效的.

例5

如圖24－6所示，半徑為R、圓心為O的大圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，兩個(gè)輕質(zhì)小圓環(huán)套在大圓環(huán)上．一根輕質(zhì)長(zhǎng)繩穿過(guò)兩個(gè)小圓環(huán)，它的兩端都系上質(zhì)量為m的重物，忽略小圓環(huán)的大?。?/p>

圖24－6

將兩個(gè)小圓環(huán)固定在大圓環(huán)豎直對(duì)稱(chēng)軸的兩側(cè)θ＝30°的位置上(如圖24－6所示)．在兩個(gè)小圓環(huán)間繩子的中點(diǎn)C處，掛上一個(gè)質(zhì)量M＝m的重物，使兩個(gè)小圓環(huán)間的繩子水平，然后無(wú)初速地釋放重物M．設(shè)繩子與大小圓環(huán)間的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距離．

解析

重物M向下先做加速運(yùn)動(dòng)，后做減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)重物M速度為零時(shí)，下降的距離最大．設(shè)下降的最大距離為h，由機(jī)械能守恒定律得：

Mgh＝2mg(－Rsinθ)解得：h＝R．(另解h＝0舍去)

答案

R

點(diǎn)評(píng)

題中由三個(gè)物體組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，事實(shí)上若分別考慮每一個(gè)物體，由于細(xì)繩的張力在不斷變化，不方便用動(dòng)能定理求解．

互動(dòng)平臺(tái)

育才老師和細(xì)心同學(xué)關(guān)于“正確理解機(jī)械能守恒定律”的對(duì)話(huà)

細(xì)心：老師，機(jī)械能守恒定律的條件是只有重力或系統(tǒng)內(nèi)彈性力做功，可不可以說(shuō)成是包含以下幾種情況．①物體只受重力作用，只有重力做功，只發(fā)生動(dòng)能和重力勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化．②只有彈簧彈力做功，只發(fā)生動(dòng)能和彈性勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化．③物體既受重力作用，又受彈簧彈力作用，但只有重力和彈簧彈力做功，只發(fā)生動(dòng)能、彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能間的相互轉(zhuǎn)化．育才：你分析得很好！情況①所述的常見(jiàn)的例子有：自由落體運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)等．情況②所述的常見(jiàn)的例子有：沿光滑水平面運(yùn)動(dòng)的物體碰到一個(gè)彈簧，在和彈簧相互作用的過(guò)程中，對(duì)物體和彈簧組成的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，機(jī)械能守恒．情況③所述的常見(jiàn)的例子有：自由下落的物體落到豎直的彈簧上，在和彈簧相互作用的過(guò)程中，物體和彈簧組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒．除了你歸納的三種情況外，還有一種：物體除受重力(或彈力)外，還受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代數(shù)和為零．比如：物體在沿斜面向上的拉力F的作用下沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，若拉力的大小與摩擦力的大小相等，在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物體的機(jī)械能守恒．

互動(dòng)訓(xùn)練

1．圖示為游樂(lè)場(chǎng)中的一種滑梯．小朋友從軌道頂端由靜止開(kāi)始下滑，沿水平軌道滑動(dòng)了一段距離后停下來(lái)，則[2009年高考·廣東理科基礎(chǔ)]

A．下滑過(guò)程中支持力對(duì)小朋友做功

B．下滑過(guò)程中小朋友的重力勢(shì)能增加

C．整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小朋友的機(jī)械能守恒

D．在水平面滑動(dòng)過(guò)程中摩擦力對(duì)小朋友做負(fù)功

解析

在滑動(dòng)的過(guò)程中，人受到三個(gè)力的作用：重力、支持力、摩擦力．重力做正功，勢(shì)能降低，B錯(cuò)；支持力不做功，整個(gè)過(guò)程存在摩擦力且做負(fù)功，所以機(jī)械能不守恒，A、C皆錯(cuò)；故D正確．

答案

D

2．在如圖所示的物理過(guò)程示意圖中，甲圖為一端固定有小球的輕桿，從右偏上30°角釋放后繞光滑支點(diǎn)擺動(dòng)；乙圖為末端固定有小球的輕質(zhì)直角架，釋放后繞通過(guò)直角頂點(diǎn)的固定軸O無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)；丙圖為置于光滑水平面上的A、B兩小車(chē)，B靜止，A獲得一向右的初速度后向右運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻連接兩車(chē)的細(xì)繩繃緊，然后帶動(dòng)B車(chē)運(yùn)動(dòng)；丁圖為置于光滑水平面上的帶有豎直支架的小車(chē)，把用細(xì)繩懸掛的小球從圖示位置釋放，小球開(kāi)始擺動(dòng)．則關(guān)于這幾個(gè)物理過(guò)程(空氣阻力忽略不計(jì))，下列判斷中正確的是(

)

A．甲圖中小球機(jī)械能守恒

B．乙圖中小球A的機(jī)械能守恒

C．丙圖中兩車(chē)組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒

D．丁圖中小球的機(jī)械能守恒

解析

甲圖過(guò)程中輕桿對(duì)小球不做功，小球的機(jī)械能守恒；乙圖過(guò)程中輕桿對(duì)A的彈力不沿桿的方向，會(huì)對(duì)小球做功，所以每個(gè)小球的機(jī)械能不守恒，但把兩個(gè)小球作為一系統(tǒng)時(shí)機(jī)械能守恒；丙圖中繩子繃緊的過(guò)程雖然只有彈力作為內(nèi)力做功，但彈力突變有內(nèi)能轉(zhuǎn)化，機(jī)械能不守恒；丁圖過(guò)程中細(xì)繩也會(huì)拉動(dòng)小車(chē)運(yùn)動(dòng)，取地面為參考系，小球的軌跡不是圓弧，細(xì)繩會(huì)對(duì)小球做功，小球的機(jī)械能不守恒，把小球和小車(chē)當(dāng)做一個(gè)系統(tǒng)，機(jī)械能才守恒．

答案

A

3．如圖甲所示，斜面體置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物體由靜止沿斜面下滑，在物體下滑的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是(

)

甲

A．物體的機(jī)械能守恒

B．斜面體的機(jī)械能不變

C．斜面體對(duì)物體的作用力垂直接觸面，不對(duì)物體做功

D．物體和斜面體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒

分析

斜面體置于光滑的地面上，在其上放一物體，這樣的情境比較常見(jiàn)．但要根據(jù)機(jī)械能守恒的條件進(jìn)行判斷，可把物體和斜