.8/8八個有趣模型——搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球類型一、墻角模型〔三條線兩個垂直,不找球心的位置即可求出球半徑方法：找三條兩兩垂直的線段,直接用公式,即,求出例1〔1已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為,體積為,則這個球的表面積是〔CA．B．C．D．〔2若三棱錐的三個側面兩垂直,且側棱長均為,則其外接球的表面積是解：〔1,,,,選C；〔2,〔3在正三棱錐中,分別是棱的中點,且,若側棱,則正三棱錐外接球的表面積是。解：引理：正三棱錐的對棱互垂直。證明如下：如圖〔3-1,取的中點,連接,交于,連接,則是底面正三角形的中心,平面,,,,,平面,,同理：,,即正三棱錐的對棱互垂直,本題圖如圖〔3-2,,,,,平面,,,,,平面,,故三棱錐的三棱條側棱兩兩互相垂直,,即,正三棱錐外接球的表面積是〔4在四面體中,,則該四面體的外接球的表面積為〔D〔5如果三棱錐的三個側面兩兩垂直,它們的面積分別為、、,那么它的外接球的表面積是〔6已知某幾何體的三視圖如圖所示,三視圖是腰長為的等腰直角三角形和邊長為的正方形,則該幾何體外接球的體積為解析：〔4在中,,,的外接球直徑為,,,選D〔5三條側棱兩兩生直,設三條側棱長分別為〔,則,,,,,,,〔6,,,類型二、垂面模型〔一條直線垂直于一個平面1．題設：如圖5,平面解題步驟：第一步：將畫在小圓面上,為小圓直徑的一個端點,作小圓的直徑,連接,則必過球心；第二步：為的外心,所以平面,算出小圓的半徑〔三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理,得,；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②2．題設：如圖6,7,8,的射影是的外心三棱錐的三條側棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上,頂點點也是圓錐的頂點解題步驟：第一步：確定球心的位置,取的外心,則三點共線；第二步：先算出小圓的半徑,再算出棱錐的高〔也是圓錐的高；第三步：勾股定理：,解出方法二：小圓直徑參與構造大圓。例2一個幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體外接球的表面積為<>CA．B．C． D．以上都不對 解：選C,,,,,類型三、切瓜模型〔兩個平面互相垂直1．題設：如圖9-1,平面平面,且〔即為小圓的直徑第一步：易知球心必是的外心,即的外接圓是大圓,先求出小圓的直徑；第二步：在中,可根據(jù)正弦定理,求出2．如圖9-2,平面平面,且〔即為小圓的直徑3．如圖9-3,平面平面,且〔即為小圓的直徑,且的射影是的外心三棱錐的三條側棱相等三棱的底面在圓錐的底上,頂點點也是圓錐的頂點解題步驟：第一步：確定球心的位置,取的外心,則三點共線；第二步：先算出小圓的半徑,再算出棱錐的高〔也是圓錐的高；第三步：勾股定理：,解出4．如圖9-3,平面平面,且〔即為小圓的直徑,且,則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②例3〔1正四棱錐的頂點都在同一球面上,若該棱錐的高為1,底面邊長為,則該球的表面積為。〔2正四棱錐的底面邊長和各側棱長都為,各頂點都在同一個球面上,則此球的體積為解：〔1由正弦定理或找球心都可得,,〔2方法一：找球心的位置,易知,,,故球心在正方形的中心處,,方法二：大圓是軸截面所的外接圓,即大圓是的外接圓,此處特殊,的斜邊是球半徑,,,〔3在三棱錐中,,側棱與底面所成的角為,則該三棱錐外接球的體積為〔A．B.C.4D.解：選D,圓錐在以的圓上,〔4已知三棱錐的所有頂點都在球的求面上,是邊長為的正三角形,為球的直徑,且,則此棱錐的體積為〔AA．B． C．D．解：,,類型四、漢堡模型〔直棱柱的外接球、圓柱的外接球題設：如圖10-1,圖10-2,圖10-3,直三棱柱內(nèi)接于球〔同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形第一步：確定球心的位置,是的外心,則平面；第二步：算出小圓的半徑,〔也是圓柱的高；第三步：勾股定理：,解出例4〔1一個正六棱柱的底面上正六邊形,其側棱垂直于底面,已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上,且該六棱柱的體積為,底面周長為,則這個球的體積為解：設正六邊形邊長為,正六棱柱的高為,底面外接圓的關徑為,則,底面積為,,,,,球的體積為〔2直三棱柱的各頂點都在同一球面上,若,,則此球的表面積等于。解：,,,,〔3已知所在的平面與矩形所在的平面互相垂直,,則多面體的外接球的表面積為。解析：折疊型,法一：的外接圓半徑為,,；法二：,,,,〔4在直三棱柱中,則直三棱柱的外接球的表面積為。解析：,,,,,類型五、折疊模型題設：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折疊<如圖11>第一步：先畫出如圖所示的圖形,將畫在小圓上,找出和的外心和；第二步：過和分別作平面和平面的垂線,兩垂線的交點即為球心,連接；第三步：解,算出,在中,勾股定理：例5三棱錐中,平面平面,△和△均為邊長為的正三角形,則三棱錐外接球的半徑為.解析：,,,,；法二：,,,,類型六、對棱相等模型〔補形為長方體題設：三棱錐〔即四面體中,已知三組對棱分別相等,求外接球半徑〔,,第一步：畫出一個長方體,標出三組互為異面直線的對棱；第二步：設出長方體的長寬高分別為,,,,列方程組,,補充：第三步：根據(jù)墻角模型,,,,求出,例如,正四面體的外接球半徑可用此法。例6〔1棱長為的正四面體的四個頂點都在同一個球面上,若過該球球心的一個截面如圖,則圖中三角形<正四面體的截面>的面積是.〔2一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為的球面上,其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上,則該正三棱錐的體積是〔A．B．C．D．解：〔1截面為,面積是；〔2高,底面外接圓的半徑為,直徑為,設底面邊長為,則,,,三棱錐的體積為〔3在三棱錐中,則三棱錐外接球的表面積為。解析：如圖12,設補形為長方體,三個長度為三對面的對角線長,設長寬高分別為,則,,,,,,〔4如圖所示三棱錐,其中則該三棱錐外接球的表面積為.解析：同上,設補形為長方體,三個長度為三對面的對角線長,設長寬高分別為,,,,[55；對稱幾何體；放到長方體中]〔5正四面體的各條棱長都為,則該正面體外接球的體積為解析：這是特殊情況,但也是對棱相等的模式,放入長方體中,,,,類型七、兩直角三角形拼接在一起<斜邊相同,也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐>模型題設：,求三棱錐外接球半徑〔分析：取公共的斜邊的中點,連接,則,為三棱錐外接球球心,然后在中求出半徑,當看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成的二面角大小無關,只要不是平角球半徑都為定值。例7〔1在矩形中,,,沿將矩形折成一個直二面角,則四面體的外接球的體積為〔A．B．C．D．解：〔1,,,選C〔2在矩形中,,,沿將矩形折疊,連接,所得三棱錐的外接球的表面積為．解析：〔2的中點是球心,,；類型八、錐體的內(nèi)切球問題1．題設：如圖14,三棱錐上正三棱錐,求其外接球的半徑。第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖,分別是兩個三角形的外心；第二步：求,,是側面的高；第三步：由相似于,建立等式：,解出2．題設：如圖15,四棱錐上正四棱錐,求其外接球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖,三點共線；第二步：求,,是側面的高；第三步：由相似于,建立等式：,解出3．題設：三棱錐是任意三棱錐,求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法,即內(nèi)切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；第二步：設內(nèi)切球的半徑為,建立等式：第三步：解出習題：1．若三棱錐的三條側棱兩兩垂直,且,,則該三棱錐的外接球半徑為〔A.B.C. D.解：[A],[三棱錐有一側棱垂直于底面,且底面是直角三角形][共兩種]三棱錐中,側棱平面,底面是邊長為的正三角形,,則該三棱錐的外接球體積等于.解析：,,,,外接球體積[外心法〔加中垂線找球心；正弦定理求球小圓半徑]3．正三棱錐中,底面是邊長為的正三角形,