第八講第八講整數(shù)裂項(xiàng)與通項(xiàng)歸納知識(shí)站牌級(jí)寒假級(jí)春季塊綜合選講二級(jí)春季與估算

計(jì)算模塊綜合選講一六年級(jí)暑期裂項(xiàng)與通項(xiàng)歸納級(jí)暑期掌握整數(shù)裂項(xiàng)技巧；靈活運(yùn)用通項(xiàng)歸納的技巧進(jìn)行巧算漫畫(huà)釋義第11級(jí)上超常體系教師版 課堂引入在第一講我們學(xué)過(guò)分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)也就是大家看到下面的題目 13 35 57

99101

但是如果來(lái)了一個(gè)怪獸，它非常喜歡吃分?jǐn)?shù)，尤其喜歡吃分?jǐn)?shù)的分子，結(jié)果這個(gè)怪獸就把上題的分子吃掉了，只剩下1335577999101了，此時(shí)還可以用我們的法寶（裂項(xiàng)）計(jì)算嗎？也許是因?yàn)楣肢F只吃到了分?jǐn)?shù)的皮毛，分?jǐn)?shù)沒(méi)有受到很大的傷害，因此法寶還可以繼續(xù)使用，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的整數(shù)裂項(xiàng).教學(xué)目標(biāo)1.掌握整數(shù)裂項(xiàng)的技巧，并能理解整數(shù)裂項(xiàng)與分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的聯(lián)系和區(qū)別2.靈活運(yùn)用通項(xiàng)歸納的技巧進(jìn)行巧算經(jīng)典精講、裂項(xiàng)1223nn1nn1n例如：1×2+2×3+3×4+…+9×1012123012；23234123；34345234；910910118910；那么（1××3-01×2+×3×-1×23+…+×10118×9×10

-=330二、通項(xiàng)歸納一些計(jì)算題目中如果題目中給出數(shù)，題目又很長(zhǎng)通常就可以采取把這個(gè)規(guī)律用字母總結(jié)成公式的形式，然后對(duì)公式進(jìn)行計(jì)算，找到非常簡(jiǎn)單的運(yùn)算技巧，最后把簡(jiǎn)單運(yùn)算技巧運(yùn)用到每一項(xiàng)最終達(dá)到簡(jiǎn)算的目的，這就是通項(xiàng)歸納的技巧．2第11級(jí)上超常體系教師版第八講例題思路模塊一：裂項(xiàng)模塊二：通項(xiàng)歸納6模塊三：綜合運(yùn)用8例1計(jì)算：⑴12231920________．【分析】⑴本題項(xiàng)數(shù)較少，可以直接將每一項(xiàng)乘積都計(jì)算出來(lái)再計(jì)算它們的和，但是對(duì)于項(xiàng)數(shù)較多況顯然不能這樣進(jìn)行計(jì)算．對(duì)于項(xiàng)數(shù)較多的情況，可以進(jìn)行如下變形：

11

所以原式：=192021012=2660⑵原式59

例2計(jì)算：⑴35573335________．（學(xué)案對(duì)應(yīng)：超常2）

1

（2）原式

第11級(jí)上超常體系教師版 例3⑶123423453456n(n1)(n2)(n3)⑸135735795791119212325（學(xué)案對(duì)應(yīng)：帶號(hào)2）【分析】⑴nn1n

2

3n1nn1n

2， 91011120123 9101112

2(n3)

3(n4)

2(n3)，9101112130123491011121330888

5nn

⑷原式19212325135728665 例4 【分析】觀察下面的規(guī)律：1!31!(12)1!2!，2!42!(13)2!3!1．4第11級(jí)上超常體系教師版第八講..不需要使用“0”.后來(lái)，羅馬帝國(guó)有一位學(xué)者從印度記數(shù)法里發(fā)現(xiàn)了“0”這個(gè)符號(hào).有了“0”，進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算方便極了，他非常高興，還把印度人使用“0”的方法向大家做了介紹.過(guò)了一段時(shí)間，這件事“0”要把它給引進(jìn)來(lái)，誰(shuí)就是褻瀆上帝！于是，教皇就下令，把這位學(xué)者抓了起來(lái)，并對(duì)他施加了酷刑，使他兩手殘廢，再也不能握筆寫字.就這樣，“0”被那個(gè)愚昧、殘忍的教皇明令禁止“0”，并做出了很多貢獻(xiàn).后來(lái)“0”終于在歐洲被廣泛使用，而羅馬數(shù)字卻逐漸被淘汰了.例5 121223122334

，則 1223nn1nn

9101131 212

910101131 2121011第11級(jí)上超常體系教師版 例6計(jì)算：

22 42 62 321521721

20122

【分析】通項(xiàng)歸納：2n121

2n2n2

n1原式=1231006 234 例7計(jì)算：

1222 223212

2012220132 2013220142 an

n2(n1)2n(n1)

n2

1

)()()()

2014 )(

201321314

1314

n2(n1)2 2n22n1 n2n

2n2n

2n(n1)

212

220122013

220132014

20132(1

0134026例8計(jì)算：

1234569910023459899

【分析】設(shè)原式=B

1

A2B

252995000ABA3333005000ABA3333005000

3832836第11級(jí)上超常體系教師版第八講.她把10個(gè)蘿卜分成4份．從左到右分別是1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè).小黑鬧著要吃那份最多的.個(gè)、2個(gè)、1個(gè)，那就給你最多的.”家能幫幫小黑嗎？答案：把第四堆的第三個(gè)蘿卜移到第一堆和第二堆之間.附加題1. 計(jì)算：1234234517181920【分析】原式4883762. 計(jì)算：357579313335【分析】原式313335371357

11 13 111 111 111 123 234 345

… 192021

___【分析】利用裂和的方法可以將每一項(xiàng)展開(kāi)原式 111 111 111 111 111 111 123 123 234 234 345 345

…

19 192021 192021 11 11 11 11 11 11 23 12 34 23 45 34

… 2021 1920231234234534…20211920第11級(jí)上超常體系教師版 =（1×2+2×3+…+19×20）+（2×3+3×4+…+20×21）通過(guò)整數(shù)裂項(xiàng)方法得到結(jié)果． 192021(202122123)5738 47 5251525150

5251504965【分析】首先把每項(xiàng)分?jǐn)?shù)約分． 47 5251525150

計(jì)算中可以應(yīng)用下面的公式：12342345

根據(jù)上面的公式，分子的和為148495051525

，與分母約分，結(jié)果為15 1222 122232 12223242 1323 132333 13233343

12221323

【分析】先找通項(xiàng)公式：

122232132333

n2(n1)2

(3n(n1) n

，所以，原式21 11 11 31 22 33

26

213

1 6. 【分析】通項(xiàng)公式ann(101n)101nn2，101(1100)1002100101201=171700

3

2

【分析

2 7 2313 3 3 2218第11級(jí)上超常體系教師版第八講

15 2413 231

14 31 2513 15 15 241……………3

2n212n11

，所以2013條分?jǐn)?shù)線的話，答案應(yīng)該為

2201522014

11

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、整數(shù)裂項(xiàng)122334(n1)n

(n1)n(n1)

10111112121399100(9910010191011)二、通項(xiàng)歸納解題步驟2..將歸納出的公式用到每一項(xiàng)，進(jìn)行計(jì)算家庭作業(yè)1. 請(qǐng)計(jì)算：1223344950=_________

1

2. 請(qǐng)計(jì)算：24462426________．

3. 計(jì)算：2464686810222426【分析】原式第11級(jí)上超常體系教師版 222426280246480484. 【分析】觀察下面的規(guī)律：1!11!(21)2!1!2!22!(31)3!2!

121223122334

，則 1223nn1nn

9910010131 212

9910010010131 2121001014700

221321

9921

【分析】通項(xiàng)公式：

an

原式22 33

9898 9999 33 44 5364

9898 9999999710098 989899 32435 979998100 99 1100 7. 計(jì)算：1222321819219202【分析】方法一：ann(n1)2n(n1)[(n2)1]n(n1)(n2)n(n1)原式12312234231819201819192021192010第11級(jí)上超常體系教師版第八講 19202122192021 41230方法二：分拆(21)2232，(31)3232再用公式原式(2322)(3332)(203202)(12333203)(12232202) 20221220214141230 8. 計(jì)算：12343456567817181920（提示：1323n3

n2n

12

【分析】一般的整數(shù)裂項(xiàng)各項(xiàng)之間都是連續(xù)的，本題中各項(xiàng)之間是斷開(kāi)的，為此可以將中間缺少的項(xiàng)補(bǔ)上，再進(jìn)行計(jì)算．1718192021488376，4(123345567...171819)42(221)4(421)6(621)4(234363183)4(24618) 4892102420964440 超常班學(xué)案【超常班學(xué)案1】計(jì)算：⑴34455619202021【分析】⑴56=（567-456）；……2021=（202122-192021）；13（345-234+456-34

第11級(jí)上超常體系教師版11=1 202122-234 ）3072

3433981001011022343398【超常班學(xué)案2】請(qǐng)計(jì)算：

，則（1）25588116265________；（2）3771111156367________．【分析】（1）原式1062656825830450

21

【超常班學(xué)案3】計(jì)算：

121231234 23 234

123502350【分析】通項(xiàng)公式為：

1223

1

324354 5150 142536 4952

350 152 【超常班學(xué)案4】計(jì)算：

1222 223212

100101【分析】方法一：通過(guò)代數(shù)式進(jìn)行通項(xiàng)歸納或者找規(guī)律，可知：

n2(n1)2n2n22n1

2

12

2

2100101

( )( 1212

( 1001011001012 1 3 1 2