中考數(shù)學(xué)專題培優(yōu)訓(xùn)練幾何模型1、角平分線模型基本思路：利用角平分線的性質(zhì)。（1）三角形內(nèi)角、外角平分線OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，則∠O＝90°＋eq\f(1,2)∠A。BD、CD為△ABC的外角平分線，則∠D＝90°－eq\f(1,2)∠A。BD平分∠ABC，CD為△ABC的外角平分線，則∠D＝eq\f(1,2)∠A。AD1AD1為△ABC內(nèi)角平分線，AD2為△ABC外角平分線，則有eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD1,CD1)＝eq\f(BD2,CD2)（可用面積法或相似證明）。此外，∠D1AD2＝90°。

（2）三角形內(nèi)心對任意三角形，有S△ABC＝eq\f(1,2)（AB＋BC＋AC）·r。對等邊三角形，有eq\f(OD,AO)＝eq\f(OE,BO)＝eq\f(OF,CO)＝eq\f(1,2)。對直角三角形，有r＝eq\f(1,2)（AB＋BC－AC）。2、線段和、差最值模型基本思路：①兩點之間線段最短；②點到直線距離垂線段最短；③利用了三角形三邊的關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，三點共線時取等號。（1）點A、B為定點，在直線上找一點P，使得AP＋BP的值最小。（2）點A、B為定點，在直線上找一點P，使得|AP－BP|的值最大。（3）點A、B為定點，在直線上找一點P，使得AP＋BP的值最小。（4）點A、B為定點，在直線上找一點P，使得|AP－BP|的值最大。點A、B為定點，在兩條相互平行的直線上分別找點P、點Q，使得AP＋PQ＋BQ的值最小。（5）點A、B為定點，在兩條相互平行的直線上分別找點P、點Q，使得AP＋PQ＋BQ的值最小。點A、B為定點，在直線上找兩點（兩點之間距離為定值），使得AP＋PQ＋BQ的值最小。作線段AA'∥PQ，且AA'＝PQ點A、B為定點，在直線上找兩點（兩點之間距離為定值），使得AP＋PQ＋BQ的值最小。作線段AA'∥PQ，且AA'＝PQ點A為∠POQ內(nèi)定點，在OP上找一點M，在OQ上找一點N，使AM＋MN＋AN的值最小。（7）點A為∠POQ內(nèi)定點，在OP上找一點M，在OQ上找一點N，使AM＋MN＋AN的值最小。點A、B為∠POQ內(nèi)定點，在OP上找一點M，在OQ上找一點N，使AB＋AM＋MN＋BN的值最小。（8）點A、B為∠POQ內(nèi)定點，在OP上找一點M，在OQ上找一點N，使AB＋AM＋MN＋BN的值最小。點A、B分別為OP和OQ上的定點，在OQ上找一點M，在OP上找一點N，使AM＋MN＋MB的值最小。（9）點A、B分別為OP和OQ上的定點，在OQ上找一點M，在OP上找一點N，使AM＋MN＋MB的值最小。（10）費馬點：①若△ABC內(nèi)角都小于120°，則能在△ABC內(nèi)找一點P，使PA＋PB＋PC的值最小。②若△ABC有一個內(nèi)角不小于120°，則△ABC內(nèi)使PA＋PB＋PC的值最小的點P就在鈍角所在頂點。將△APC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°至△AP'將△APC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°至△AP'C，則PA＋PB＋PC＝PP'＋PB＋P'C≤BC'。如上圖方法，作出BC'如上圖方法，作出BC'和B'C，BC'和B'C的交點即為所求。此時，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°。（11）圓所有的弦中，直徑最長。（12）點P為圓外一定點，點Q為圓上一動點，則PB≤PQ≤PA。3、旋轉(zhuǎn)模型基本思路：利用旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)。（1）等腰三角形旋轉(zhuǎn)（兩個頂角相等的等腰三角形頂角重合，其中一個三角形繞頂點旋轉(zhuǎn)。）無論什么三角形，均有△ABD≌△ACE。若△ABC、△CDE若△ABC、△CDE是等邊三角形，B、C、D三點共線則有：△BCG≌△ACH，∠AFB＝∠ACB＝60°，△CGH為等邊三角形，A、B、C、F四點共圓，C、D、E、F四點共圓，C、G、F、H四點共圓，CF平分∠BFE，AF＋CF＝BF，CF＋EF＝DF，F(xiàn)為△ACE的費馬點。（2）正方形旋轉(zhuǎn)△BCG≌△DCEMN△BCG≌△DCEMN∥eq\f(1,2)AF△BCG∽△MCN∽△ACF4、半角模型基本思路：旋轉(zhuǎn)后找全等或相似，利用好含特殊角（30°、45°、60°）的直角三角形邊之間的關(guān)系。（1）等腰直角三角形半角模型MN2＝BM2＋CN2（2）頂角為120°等腰三角形半角模型BM2＋NC2－MN2＝BM×NC（余弦定理）一般來說，BM、MN、NC沒有特定的關(guān)系，當(dāng)BM:MN:NC＝2:eq\r(,3):1時，∠BDM＝90°。（3）等邊三角形與頂角為120°等腰三角形半角模型BE＋CF＝EF（4）正方形半角模型本質(zhì)上和等腰直角三角形半角模型差不多，但因為處于正方形中，所以又有不同?！癒”字形模型GH2＝BG2＋DH2（同等腰直角三角形半角模型）BE＋DF＝EFBE＝NE，DF＝NF，AE平分∠BEF，AF平分∠AFE

（5）矩形半角模型方法一：補成正方形半角模型，結(jié)合相似解答。方法二：補成“K”字形模型，利用直角三角形全等，結(jié)合相似解答。5、“K”字形模型（一線三等角）基本思路：利用三個相等的角尋找全等或相似。（1）全等△ABC≌△DCE

（2）相似△ABC∽△DCE→AC·CD＝AB·DE若點C為AD中點，則有△ABC∽△DCE∽△CBE，BC平分∠ABE，CE平分∠BED。若點C為AD中點，則有△ABC∽△DCE∽△CBE，BC平分∠ABE，CE平分∠BED。（相似可證，也可延長BA，EC利用全等中垂線證明）此外還可以聯(lián)想到射影定理相關(guān)結(jié)論。6、燕尾模型基本思路：將面積與邊聯(lián)系起來。在△ABC中，AD、在△ABC中，AD、BE、CF相交于同一點O，則有：S△AOB∶S△AOC=BD∶CDS△AOB∶S△COB=AE∶CES△BOC∶S△AOC=BF∶AF（面積法可證，相似也可證明）

7、四點共圓模型基本思路：利用圓的性質(zhì)轉(zhuǎn)換相等的角。（1）定長對定角型（蝴蝶型（反“8”型）相似）以定長為弦，定角為圓周角作圓（三點共圓，由于定角的頂點為動點，由三點共圓引出四點共圓、多點共圓）銳角相交弦定理：AE·DE＝BE·CE（△ACE∽△BDE可證）鈍角直角若AB⊥CD，則AE·B若AB⊥CD，則AE·BE＝CE·DE＝CE2，這里也可以聯(lián)系到射影定理，AC2＝AE·AB，BC2＝BE·BA（相似可證）當(dāng)定角分別為一些特殊角時，如30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°時，可以求出定圓半徑與定長的數(shù)量關(guān)系。不難發(fā)現(xiàn)30°和150°、45°和135°、60°和120°，數(shù)量關(guān)系是一樣的。r＝ABr＝eq\f(eq\r(,2),2)ABr＝eq\f(eq\r(,3),3)ABr＝eq\f(1,2)AB（2）對角互補型四點共圓?對角互補托勒密定理：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC△ABC∽△AED→eq\f(AC,CD)＝eq\f(BC,ED)，AC·ED＝AD·BC①△ABE∽△ACD→eq\f(AB,AC)＝eq\f(BE,CD)，AC·BE＝AB·CD②①＋②即可證。若AB∥CD，則△ABE∽△DCE（“A”型相似）若AD∥BC，則△ADE∽△CBE（“8”型相似）AE·DE＝BE·CE（反“A”型相似，△ABE∽△CDE）若BC為切線，則BC2＝AC·CD（母子型相似，△ABC∽△BDC）（3）特殊型鄰邊相等AB＝AC，I為△BCD內(nèi)心，則有AI＝AB＝AC。鄰邊相等且夾角為60°（等邊三角形）AC·BD＝ABAC·BD＝AB·CD＋AD·BC中AB＝AC＝BC即可得BD＝CD＋AD（此處與前面的旋轉(zhuǎn)模型相通）共斜邊的等腰直角三角形和普通直角三角形AC·BD＝ABAC·BD＝AB·CD＋AD