9.3.3

系統(tǒng)傳遞函數(shù)與狀態(tài)空間描述將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間描述將狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)（1）傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間描述n1

n1

0

1

n1

nsn

a

sn1

a s

aY

(s)

b

snU

(s)

b

sn1

b s

bs

nb

s

n

b

s

n

110n

1

a1

s

an

1

s

an

bn

1

s

bnU

(s)Y

(s)nb

s

n110bs

b

sbn1

n1sn

asn1

a

sa1

n1

nU(s)Y(s)E(s)Y

(s)

(b

sn

b

sn1

b s

b

)E(s)10U

(s)

(snn1

n

a

sn11

a s

a

)E(s)n1

nu

xn

a1

xn

a2

xn1

an1

x2

an

x1

b2

xn1

bn1

x2y

b0

xn

b1

xn

bn

x1選取狀態(tài)變量xnx

e(t)2

x1

e(t)

e(n1)

(t)b

sn

b

sn1

bn1sbn0

11sn

a

sn1

a

sa1

n1

nU(s)Y(s)E(s)n1n2a

x

1

n

n1

n

x1

0

x1

0

x

0

x

0

2

2

u10

x

00

a

a

a

a2

xn101n

x

x

x

2

x1

n1

1n0

x1

x

1n1b

b

)

a

a

)

2

b

u

(b

n

n

若有b0

0

，則輸出方程的前兩項(xiàng)為零。0y

b

(au

xn

a1

xn

an1

x2

an

x1

b2

xn1

bn1

x2

bn

x1y

b0

xn

b1

xn此法也可用來求取微分方程中含有輸入信號(hào)的導(dǎo)數(shù)時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，注意與前面介紹的方法不同的是B和C不同。例9‐7

設(shè)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試求該統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。解a1

9,

a2

8,

a3

0,

b0

0,

b1

1,

b2

4,

b3

1狀態(tài)方程為

9x3

x3

11

x

0u2

0

x1

010

802

x

0

x1

0輸出方程為y

1

4

1

31

x

x2

x

s3

9

s

2

8s

4s

1s2U

(s)Y

(

s

)

傳遞函數(shù)的串聯(lián)實(shí)現(xiàn)傳遞函數(shù)為兩多項(xiàng)式相除形式，分子多項(xiàng)式（Numerator）為分母多項(xiàng)式（Denominator）如果為G(s)的m個(gè)零點(diǎn)，為G（s）的n個(gè)極點(diǎn)，那么G(s)可以表示為：所以系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)可以由共n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，如圖（a）所示。對(duì)第一個(gè)環(huán)節(jié)，由于：令各個(gè)積分器的輸出為系其結(jié)構(gòu)圖可以是如圖（b）中虛框表示。統(tǒng)狀態(tài)變量，則得系統(tǒng)狀態(tài)方程為：(a)(b)

(m=n-1)傳遞函數(shù)的并聯(lián)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程。當(dāng)Den(s)=0有n個(gè)不等的特征根（G(s)可以分解為n個(gè)分式之和，即：），稱作系統(tǒng)對(duì)應(yīng)極點(diǎn)pi的留數(shù)。其中其中，上式可以用的并聯(lián)方式實(shí)現(xiàn)。(a)(b)并聯(lián)實(shí)現(xiàn)(無重根)從圖（b）可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程：輸出方程為：寫成矢量形式為：請注意，這里的系統(tǒng)矩陣A為一標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)角型。當(dāng)上述G(s)的分母Den(s)=0有重根時(shí)，不失一般性，假設(shè)：即為q重根，其它為單根。這時(shí)G(S)可以分解為：其中：i

=1,2,…,qj=q+1,q+2,…,n并聯(lián)實(shí)現(xiàn)（有重根）取圖中每個(gè)積分器輸出為狀態(tài)變量，則有：注意這里的A為一約當(dāng)。例求下列傳遞函數(shù)的并聯(lián)實(shí)現(xiàn)解：分母各項(xiàng)多項(xiàng)式分解可得系統(tǒng)并聯(lián)實(shí)現(xiàn)的動(dòng)態(tài)方程為：系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程和系統(tǒng)傳遞函數(shù)（陣）都是控制系統(tǒng)兩種經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)模型。動(dòng)態(tài)方程不但體現(xiàn)了系統(tǒng)輸入輸出的關(guān)系，而且還清楚地表達(dá)了系統(tǒng)狀態(tài)變量的關(guān)系。傳遞函數(shù)只體現(xiàn)了系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系。從傳遞函數(shù)到動(dòng)態(tài)方程是個(gè)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的問題，這是一個(gè)比較復(fù)雜的并且是非唯一的過程。但從動(dòng)態(tài)方程到傳遞函數(shù)（陣）卻是一個(gè)唯一的、比較簡單的過程。(2)

將狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)單輸入/單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)設(shè)一單輸入/單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為

x

A

x

Bu

y

C

x

DuA

R

n

nx

,

x

R

n

1B

Rn1

C

R1nD為標(biāo)量設(shè)初始條件為零，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換可得sX

(s)

AX

(s)

BU

(s)Y

(s)

CX

(s)

Du(s)X

(s)

(sI

A)

1

BU

(s)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)

Y

(s)

C(sI

A)1

B

DU

(s)11

3x

2

x

例9-8

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為x1

0 1

x1

0u

2

y

10

x1

x

2

求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解狀態(tài)空間描述的[A

,B,C]分別為C

[1

0]11

,

B

01

3A

0ss

3sI

A

s

s

3

1s(s

3)

1111

31

s

1

0

s0

0

(sI

A)1

1

3s

11s(s

3)

11

1U

(s)G(s)

Y

(s)

C(sI

A)1

Bs21

s(s

3)

1s

s(s

3)

1s(s

3)

1

00s(s

3)

1s

31系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為多輸入/多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)矩陣u1,

u2,,

ury1,

y2

,,

ymx1,

x2

,,

xn

系統(tǒng)的輸入信號(hào)系統(tǒng)的輸出信號(hào)系統(tǒng)的狀態(tài)變量C

Rmn

,A

Rnn

,

B

Rnr

,D

Rmrx,

x

Rn1

,U

Rr

1

,Y

Rm

1

,與單輸入/單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)方程形式相同，僅是矩陣B,

C,D的維數(shù)不同。G(s)

Y

(s)

C(sI

A)1

B

DU

(s)G

Rmr

－－－傳遞函數(shù)矩陣將狀態(tài)方程進(jìn)行拉氏變換，得

x

Ax

Bu

y

Cx

Du動(dòng)態(tài)方程例9‐9

已知系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為

2

2

2

1x

2

0x1

y

0

y1

10 1u

0u1

2x

x1

1x

0

2

x1

0

1試求系統(tǒng)的傳遞矩陣。

21

0解：

A

00

10B

10

10C

1D

0s(s

2)

1

s

2

01

s

1

10

s

2s(sI

A)1

1

1

s

2

s(s

2)

011

0

s0

1

s

2

010

s1s(s

2)

111G

(s)

C

(sI

A)

B

011系統(tǒng)矩陣A的特征方程和特征值由系統(tǒng)矩陣A構(gòu)成的方程|

I

A

|

0稱系統(tǒng)的特征方程,特征方程的根也稱為特征值.展開

|

I

A

|

0n

a

n1

a

n21

2有na

0即可得到n個(gè)特征值.0

01A

0

0

16

11

6如

3

62

11

6

(

1)(

2)(

3)

03個(gè)特征值為－1、－2和－31

0

111

6

I

A

|

06則9.3.4

由狀態(tài)變量圖求狀態(tài)空間描述狀態(tài)變量圖

描述系統(tǒng)狀態(tài)變量之間關(guān)系的圖，由積分環(huán)節(jié)、比例環(huán)節(jié)和相加符號(hào)組成。狀態(tài)變量圖的特點(diǎn)：每一個(gè)積分環(huán)節(jié)的輸出都代表系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)變量s2Y

(s)

3s

2例9-10