第五章機(jī)械能一、功和功率1.功功是力的空間積累效應(yīng)。它和位移相對應(yīng)〔也和時間相對應(yīng)〕。計算功的方法有兩種：⑴按照定義求功。即：W=Fscosθ。在高中階段，這種方法只適用于恒力做功。當(dāng)時F做正功，當(dāng)時F不做功，當(dāng)時F做負(fù)功。這種方法也可以說成是：功等于恒力和沿該恒力方向上的位移的乘積。⑵用動能定理W=ΔEk或功能關(guān)系求功。當(dāng)F為變力時，高中階段往往考慮用這種方法求功。這里求得的功是該過程中外力對物體做的總功〔或者說是合外力做的功〕。這種方法的依據(jù)是：做功的過程就是能量轉(zhuǎn)化的過程，功是能的轉(zhuǎn)化的量度。如果知道某一過程中能量轉(zhuǎn)化的數(shù)值，那么也就知道了該過程中對應(yīng)的功的數(shù)值。θLmF例1.如下圖，質(zhì)量為m的小球用長L的細(xì)線懸掛而靜止在豎直位置。在以下三種情況下，分別用水平拉力F將小球拉到細(xì)線與豎直方向成θ角的位置。在此過程中，拉力F做的功各是多少？⑴用F緩慢地拉；⑵F為恒力；⑶θLmFA.B.C.D.解：⑴假設(shè)用F緩慢地拉，那么顯然F為變力，只能用動能定理求解。F做的功等于該過程克服重力做的功。選D⑵假設(shè)F為恒力，那么可以直接按定義求功。選B⑶假設(shè)F為恒力，而且拉到該位置時小球的速度剛好為零，那么按定義直接求功和按動能定理求功都是正確的。選B、Dθ2在第三種情況下，由=，可以得到，可見在擺角為時小球的速度最大。實際上，因為F與mg的合力也是恒力，而繩的拉力始終不做功，所以其效果相當(dāng)于一個擺，我們可以把這樣的裝置叫做“歪擺〞。θ22.一對作用力和反作用力做功的特點⑴一對作用力和反作用力在同一段時間內(nèi)做的總功可能為正、可能為負(fù)、也可能為零。⑵一對互為作用反作用的摩擦力做的總功可能為零〔靜摩擦力〕、可能為負(fù)〔滑動摩擦力〕，但不可能為正。3.功率功率是描述做功快慢的物理量。⑴功率的定義式：，所求出的功率是時間t內(nèi)的平均功率。⑵功率的計算式：P=Fvcosθ，其中θ是力與速度間的夾角。該公式有兩種用法：①求某一時刻的瞬時功率。這時F是該時刻的作用力大小，v取瞬時值，對應(yīng)的P為F在該時刻的瞬時功率；②當(dāng)v為某段位移〔時間〕內(nèi)的平均速度時，那么要求這段位移〔時間〕內(nèi)F必須為恒力，對應(yīng)的P為F在該段時間內(nèi)的平均功率。⑶重力的功率可表示為PG=mgvy，即重力的瞬時功率等于重力和物體在該時刻的豎直分速度之積。vafF⑷汽車的兩種加速問題。當(dāng)汽車從靜止開始沿水平面加速運動時，有兩種不同的加速過程，但分析時采用的根本公式都是P=Fv和vafF①恒定功率的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定，隨著v的增大，F(xiàn)必將減小，a也必將減小，汽車做加速度不斷減小的加速運動，直到F=f，a=0，這時v到達(dá)最大值?？梢姾愣üβ实募铀僖欢ú皇莿蚣铀佟＿@種加速過程發(fā)動機(jī)做的功只能用W=Pt計算，不能用W=Fs計算〔因為F為變力〕。②恒定牽引力的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定，汽車做勻加速運動，而隨著v的增大，P也將不斷增大，直到P到達(dá)額定功率Pm，功率不能再增大了。這時勻加速運動結(jié)束，其最大速度為，此后汽車要想繼續(xù)加速就只能做恒定功率的變加速運動了?？梢姾愣恳Φ募铀贂r功率一定不恒定。這種加速過程發(fā)動機(jī)做的功只能用W=Fs計算，不能用W=Pt計算〔因為P為變功率〕。要注意兩種加速運動過程的最大速度的區(qū)別。例2.質(zhì)量為2t的農(nóng)用汽車，發(fā)動機(jī)額定功率為30kW，汽車在水平路面行駛時能到達(dá)的最大時速為54km/h。假設(shè)汽車以額定功率從靜止開始加速，當(dāng)其速度到達(dá)v=36km/h時的瞬時加速度是多大？解：汽車在水平路面行駛到達(dá)最大速度時牽引力F等于阻力f，即Pm=fvm，而速度為v時的牽引力F=Pm/v，再利用F-f=ma，可以求得這時的a=0.50m/s2二、動能定理1.動能定理的表述合外力做的功等于物體動能的變化?！策@里的合外力指物體受到的所有外力的合力，包括重力〕。表達(dá)式為W=ΔEK動能定理也可以表述為：外力對物體做的總功等于物體動能的變化。實際應(yīng)用時，后一種表述比擬好操作。不必求合力，特別是在全過程的各個階段受力有變化的情況下，只要把各個力在各個階段所做的功都按照代數(shù)和加起來，就可以得到總功。和動量定理一樣，動能定理也建立起過程量〔功〕和狀態(tài)量〔動能〕間的聯(lián)系。這樣，無論求合外力做的功還是求物體動能的變化，就都有了兩個可供選擇的途徑。和動量定理不同的是：功和動能都是標(biāo)量，動能定理表達(dá)式是一個標(biāo)量式，不能在某一個方向上應(yīng)用動能定理。2.應(yīng)用動能定理解題的步驟⑴確定研究對象和研究過程。和動量定理不同，動能定理的研究對象只能是單個物體，如果是系統(tǒng)，那么系統(tǒng)內(nèi)的物體間不能有相對運動。〔原因是：系統(tǒng)內(nèi)所有內(nèi)力的總沖量一定是零，而系統(tǒng)內(nèi)所有內(nèi)力做的總功不一定是零〕。⑶寫出該過程中合外力做的功，或分別寫出各個力做的功〔注意功的正負(fù)〕。如果研究過程中物體受力情況有變化，要分別寫出該力在各個階段做的功。⑷寫出物體的初、末動能。⑸按照動能定理列式求解。例3.如下圖，斜面傾角為α，長為L，AB段光滑，BC段粗糙，且BC=2AB。質(zhì)量為m的木塊從斜面頂端無初速下滑，到達(dá)C端時速度剛好減小到零。求物體和斜面BC段間的動摩擦因數(shù)μ。αCBA解：以木塊為對象，在下滑全過程中用動能定理：重力做的功為mgLsinααCBAmgLsinα=0，從本例題可以看出，由于用動能定理列方程時不牽扯過程中不同階段的加速度，所以比用牛頓定律和運動學(xué)方程解題簡潔得多。vv/fGGf例4.vv/fGGf和，可得H=v02/2g，再以小球為對象，在有空氣阻力的情況下對上升和下落的全過程用動能定理。全過程重力做的功為零，所以有：，解得從此題可以看出：根據(jù)題意靈活地選取研究過程可以使問題變得簡單。有時取全過程簡單；有時那么取某一階段簡單。原那么是盡量使做功的力減少，各個力的功計算方便；或使初、末動能等于零。Lhs例5.質(zhì)量為M的木塊放在水平臺面上，臺面比水平地面高出h=0.20m，木塊離臺的右端L=1.7m。質(zhì)量為m=0.10M的子彈以v0=180m/s的速度水平射向木塊，并以v=90m/s的速度水平射出，木塊落到水平地面時的落地點到臺面右端的水平距離為s=1.6m，求木塊與臺面間的動摩擦因數(shù)為Lhs解：此題的物理過程可以分為三個階段，在其中兩個階段中有機(jī)械能損失：子彈射穿木塊階段和木塊在臺面上滑行階段。所以此題必須分三個階段列方程：子彈射穿木塊階段，對系統(tǒng)用動量守恒，設(shè)木塊末速度為v1，mv0=mv+Mv1……①木塊在臺面上滑行階段對木塊用動能定理，設(shè)木塊離開臺面時的速度為v2，有：……②木塊離開臺面后的平拋階段，……③由①、②、③可得μ=0.50從此題應(yīng)引起注意的是：但凡有機(jī)械能損失的過程，都應(yīng)該分段處理。從此題還應(yīng)引起注意的是：不要對系統(tǒng)用動能定理。在子彈穿過木塊階段，子彈和木塊間的一對摩擦力做的總功為負(fù)功。如果對系統(tǒng)在全過程用動能定理，就會把這個負(fù)功漏掉。ABCDGGNN例6.如下圖，小球以大小為v0的初速度由A端向右運動，到B端時的速度減小為vB；假設(shè)以同樣大小的初速度由B端向左運動，到A端時的速度減小為vAABCDGGNNvA>vBvA=vBvA<vB三、機(jī)械能守恒定律1.機(jī)械能守恒定律的兩種表述⑴在只有重力做功的情形下，物體的動能和重力勢能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總量保持不變。⑵如果沒有摩擦和介質(zhì)阻力，物體只發(fā)生動能和重力勢能的相互轉(zhuǎn)化時，機(jī)械能的總量保持不變。對機(jī)械能守恒定律的理解：①機(jī)械能守恒定律的研究對象一定是系統(tǒng)，至少包括地球在內(nèi)。通常我們說“小球的機(jī)械能守恒〞其實一定也就包括地球在內(nèi)，因為重力勢能就是小球和地球所共有的。另外小球的動能中所用的v，也是相對于地面的速度。②當(dāng)研究對象〔除地球以外〕只有一個物體時，往往根據(jù)是否“只有重力做功〞來判定機(jī)械能是否守恒；當(dāng)研究對象〔除地球以外〕由多個物體組成時，往往根據(jù)是否“沒有摩擦和介質(zhì)阻力〞來判定機(jī)械能是否守恒。③“只有重力做功〞不等于“只受重力作用〞。在該過程中，物體可以受其它力的作用，只要這些力不做功，或所做功的代數(shù)和為零，就可以認(rèn)為是“只有重力做功〞。2.機(jī)械能守恒定律的各種表達(dá)形式⑴，即；⑵；；用⑴時，需要規(guī)定重力勢能的參考平面。用⑵時那么不必規(guī)定重力勢能的參考平面，因為重力勢能的改變量與參考平面的選取沒有關(guān)系。尤其是用ΔE增=ΔE減，只要把增加的機(jī)械能和減少的機(jī)械能都寫出來，方程自然就列出來了。3.解題步驟⑴確定研究對象和研究過程。⑵判斷機(jī)械能是否守恒。⑶選定一種表達(dá)式，列式求解。4.應(yīng)用舉例例7.如圖物塊和斜面都是光滑的，物塊從靜止沿斜面下滑過程中，物塊機(jī)械能是否守恒？系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒？Ns解：以物塊和斜面系統(tǒng)為研究對象，很明顯物塊下滑過程中系統(tǒng)不受摩擦和介質(zhì)阻力，故系統(tǒng)機(jī)械能守恒。又由水平方向系統(tǒng)動量守恒可以得知：斜面將向左運動，即斜面的機(jī)械能將增大，故物塊的機(jī)械能一定將減少。Ns有些同學(xué)一看此題說的是光滑斜面，容易錯認(rèn)為物塊本身機(jī)械能就守恒。這里要提醒兩條：⑴由于斜面本身要向左滑動，所以斜面對物塊的彈力N和物塊的實際位移s的方向已經(jīng)不再垂直，彈力要對物塊做負(fù)功，對物塊來說已經(jīng)不再滿足“只有重力做功〞的條件。⑵由于水平方向系統(tǒng)動量守恒，斜面一定會向右運動，其動能也只能是由物塊的機(jī)械能轉(zhuǎn)移而來，所以物塊的機(jī)械能必然減少。ABO例8.如下圖，質(zhì)量分別為2m和3m的兩個小球固定在一根直角尺的兩端A、B，直角尺的頂點O處有光滑的固定轉(zhuǎn)動軸。AO、BO的長分別為2L和L。開始時直角尺的AO局部處于水平位置而B在O的正下方。讓該系統(tǒng)由靜止開始自由轉(zhuǎn)動，求：⑴當(dāng)A到達(dá)最低點時，A小球的速度大小v；⑵B球能上升的最大高度h；⑶開始轉(zhuǎn)動后B球可能到達(dá)的最大速度vABO解：以直角尺和兩小球組成的系統(tǒng)為對象，由于轉(zhuǎn)動過程不受摩擦和介質(zhì)阻力，所以該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。⑴過程中A的重力勢能減少，A、B的動能和B的重力勢能增加，A的即時速度總是B的2倍。，解得⑵B球不可能到達(dá)O的正上方，它到達(dá)最大高度時速度一定為零，設(shè)該位置比OA豎直位置向左偏了α角。2mg2Lcosα=3mgL(1+sinα)，此式可化簡為4cosα-3sinα=3，利用三角公式可解得sin(53°-α)=sin37°，α=16°⑶B球速度最大時就是系統(tǒng)動能最大時，而系統(tǒng)動能增大等于系統(tǒng)重力做的功WG。設(shè)OA從開始轉(zhuǎn)過θ角時B球速度最大，=2mg2Lsinθ-3mgL(1-cosθ)ABOv1v1/2OABαBOθαθABOv1v1/2OABαBOθαθA⑴⑵⑶此題如果用EP+EK=EP/+EK/這種表達(dá)形式，就需要規(guī)定重力勢能的參考平面，顯然比擬煩瑣。用ΔE增=ΔE減就要簡潔得多。K例9.如下圖，粗細(xì)均勻的U形管內(nèi)裝有總長為4L的水。開始時閥門K閉合，左右支管內(nèi)水面高度差為L。翻開閥門K后，左右水面剛好相平時左管液面的速度是多大？〔管的內(nèi)部橫截面很小，摩擦阻力忽略不計〕K解：由于不考慮摩擦阻力，故整個水柱的機(jī)械能守恒。從初始狀態(tài)到左右支管水面相平為止，相當(dāng)于有長L/2的水柱由左管移到右管。系統(tǒng)的重力勢能減少，動能增加。該過程中，整個水柱勢能的減少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力勢能的減少。不妨設(shè)水柱總質(zhì)量為8m，那么，得。此題在應(yīng)用機(jī)械能守恒定律時仍然是用Δ=Δ建立方程，在計算系統(tǒng)重力勢能變化時用了等效方法。需要注意的是：研究對象仍然是整個水柱，到兩個支管水面相平時，整個水柱中的每一小局部的速率都是相同的。四、功能關(guān)系做功的過程是能量轉(zhuǎn)化的過程，功是能的轉(zhuǎn)化的量度。能量守恒和轉(zhuǎn)化定律是自然界最根本的定律之一。而在不同形式的能量發(fā)生相互轉(zhuǎn)化的過程中，功扮演著重要的角色。本章的主要定理、定律都是由這個根本原理出發(fā)而得到的。需要強(qiáng)調(diào)的是：功是一種過程量，它和一段位移〔一段時間〕相對應(yīng)；而能是一種狀態(tài)量，它個一個時刻相對應(yīng)。兩者的單位是相同的〔都是J〕，但不能說功就是能，也不能說“功變成了能〞。復(fù)習(xí)本章時的一個重要課題是要研究功和能的關(guān)系，尤其是功和機(jī)械能的關(guān)系。突出：“功是能量轉(zhuǎn)化的量度〞這一根本概念。⑴物體動能的增量由外力做的總功來量度：W外=ΔEk，這就是動能定理。⑵物體重力勢能的增量由重力做的功來量度：WG=-ΔEP，這就是勢能定理。⑶物體機(jī)械能的增量由重力以外的其他力做的功來量度：W其=ΔE機(jī)，〔W其表示除重力以外的其它力做的功〕，這就是機(jī)械能定理。⑷當(dāng)W其=0時，說明只有重力做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。⑸一對互為作用力反作用力的摩擦力做的總功，用來量度該過程系統(tǒng)由于摩擦而減小的機(jī)械能，也就是系統(tǒng)增加的內(nèi)能。fd=Q〔d為這兩個物體間相對移動的路程〕。FGva例10.質(zhì)量為m的物體在豎直向上的恒力FFGvaA.物體的重力勢能增加了mgHB.物體的動能減少了FHC.物體的機(jī)械能增加了FHD.物體重力勢能的增加小于動能的減少解：由以上三個定理不難得出正確答案是A、CABCD例11.如下圖，一根輕彈簧下端固定，豎立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球從靜止開始下落，在B位置接觸彈簧的上端，在CABCD五、綜合練習(xí)abc例12.如下圖，a、b、c三個相同的小球，a從光滑斜面頂端由靜止開始自由下滑，同時b、c從同一高度分別開始自由下落和平拋。以下說法正確的有abcA.它們同時到達(dá)同一水平面B.重力對它們的沖量相同C.它們的末動能相同D.它們動量變化的大小相同這道題看似簡單，實際上考察了平均速度、功、沖量等很多知識。另外，在比擬中：a、b的初、末動能相同，平均速度大小相同，但重力作用時間不同；b、c飛行時間相同〔都等于自由落體時間〕，但初動能不同。此題如果去掉b球可能更難做一些。例13.質(zhì)量為m的汽車在平直公路上以速度v勻速行駛，發(fā)動機(jī)實際功率為P。假設(shè)司機(jī)突然減小油門使實際功率減為并保持下去，汽車所受阻力不變，那么減小油門瞬間汽車加速度大小是多少？以后汽車將怎樣運動？解：由公式F-f=ma和P=Fv，原來牽引力F等于阻力f，減小油門瞬間v未變，由P=Fv，F(xiàn)將減半，合力變?yōu)?，方向和速度方向相反，加速度大小為；以后汽車做恒定功率的減速運動，F(xiàn)又逐漸增大，當(dāng)增大到F=f時，a=0，速度減到最小為v/2，再以后一直做勻速運動。這道題是恒定功率減速的問題，和恒定功率加速的思路是完全相同的。AB例14.質(zhì)量為M的小車A左端固定一根輕彈簧，車靜止在光滑水平面上，一質(zhì)量為m的小物塊B從右端以速度v0沖上小車并壓縮彈簧，然后又被彈回，回到車右端時剛好與車保持相對靜止。求這過程彈簧的最大彈性勢能EP和全過程系統(tǒng)摩擦生熱Q各多少？簡述BAB解：全過程系統(tǒng)動量守恒，小物塊在車左端和回到車右端兩個時刻，系統(tǒng)的速度是相同的，都滿足：mv0=(m+M)v；第二階段初、末系統(tǒng)動能相同，說明小物塊從車左端返回車右端過程中彈性勢能的減小恰好等于系統(tǒng)內(nèi)能的增加，即彈簧的最大彈性勢能EP恰好等于返回過程的摩擦生熱，而往、返兩個過程中摩擦生熱是相同的，所以EP是全過程摩擦生熱Q的一半。又因為全過程系統(tǒng)的動能損失應(yīng)該等于系統(tǒng)因摩擦而增加的內(nèi)能，所以ΔEK=Q=2EP而，∴ABFf至于B相對于車向右返回過程中小車的速度變化，那么應(yīng)該用牛頓運動定律來分析：剛開始向右返回時刻，彈簧對B的彈力一定大于滑動摩擦力，根據(jù)牛頓第三定律，小車受的彈力F也一定大于摩擦力f，小車向左加速運動；彈力逐漸減小而摩擦力大小不變，所以到某一時刻彈力和摩擦力大小相等，這時小車速度最大；以后彈力將小于摩擦力，小車受的合外力向右，開始做減速運動；BABFf例15.海岸炮將炮彈水平射出。炮身質(zhì)量〔不含炮彈〕為M，每顆炮彈質(zhì)量為m。當(dāng)炮身固定時，炮彈水平射程為s，那么當(dāng)炮身不固定時，發(fā)射同樣的炮彈，水平射程將是多少？解：兩次發(fā)射轉(zhuǎn)化為動能的化學(xué)能E是相同的。第一次化學(xué)能全部轉(zhuǎn)化為炮彈的動能；第二次化學(xué)能轉(zhuǎn)化為炮彈和炮身的動能，而炮彈和炮身水平動量守恒，由動能和動量的關(guān)系式知，在動量大小相同的情況下，物體的動能和質(zhì)量成反比，炮彈的動能，由于平拋的射高相等，兩次射程的比等于拋出時初速度之比，這是典型的把動量和能量結(jié)合起來應(yīng)用的應(yīng)用題。要熟練掌握一個物體的動能和它的動量大小的關(guān)系；要善于從能量守恒的觀點〔此題是系統(tǒng)機(jī)械能增量相同〕來分析問題。ABCv2v例16.質(zhì)量為m的長木板A靜止在光滑水平面上，另兩個質(zhì)量也是m的鐵塊B、C同時從A的左右兩端滑上A的上外表，初速度大小分別為v和2v，B、C與A間的動摩擦因數(shù)均為μ。⑴試分析B、C滑上長木板A后，A的運動狀態(tài)如何變化？⑵為使BABCv2v解：B、C都相對于A滑動時，A所受合力為零，保持靜止。這段時間為。B剛好相對于A靜止時，C的速度為v，A開向左做勻加速運動，由動量守恒可求出A、B、C最終的共同速度，這段加速經(jīng)歷的時間為，最終A將以做勻速運動。全過程系統(tǒng)動能的損失都將轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能，而摩擦生熱，由能量守恒定律列式：。這就是A木板應(yīng)該具有的最小長度。Mmv此題還可以求系統(tǒng)機(jī)械能損失〔摩擦生熱〕和B、C與A摩擦生熱之比：第一階段B對A的位移就是對地的位移：sB=v2/2μg，C的平均速度是其3倍因此C對A的位移是其3倍：sC=3v2/2μg；第二階段A、B共同向左運動的加速度是μg/2，對地位移是s=v2/9μg，C平均速度是其4倍，對地位移是s/=4v2/9μg，相對于A位移是v2/3μg，故B、C與A間的相對位移大小依次是dB=v2/2μg和dC=11v2/6μg，于是系統(tǒng)