第8章能能量方方法8-1外力功與與桿件的的變形能能一、外力力功與彈彈性應(yīng)變變能1.外力功W——在彈性體體受力變變形過程程中，外外力在沿沿其作用方向的的位移上上做的功功。2.彈性應(yīng)變變能（Dlasticstrainenergy）或彈性性變形能能（Dlasticdeformationenergy）U——彈性體伴伴隨彈性性變形積積蓄了能能量，從從而具有有對外界界作功的的潛在能能力，通通常把這種形形式的能能量稱為為彈性應(yīng)應(yīng)變能。。三、能量量方法利用上述述功和能能的概念念來求解解變形固固體的位位移、變變形和內(nèi)內(nèi)力等的的方法，，統(tǒng)稱為為能量法法。能量量法的應(yīng)應(yīng)用很廣廣泛，它它不僅適適用于線線性彈件件問題，，而且還還適用于于非線性性彈性體體。它也也是用有有限元法法求解固固體力學(xué)學(xué)問題的的重要基基礎(chǔ)。二、功能能原理（（Principleforworkandenergy）在彈性體體受力變變形過程程中，不不考慮動動力效應(yīng)應(yīng)，能量量損耗，，則外力力所作的的功，就就全部轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換為彈彈性體內(nèi)內(nèi)部積蓄蓄的應(yīng)變變能，其其表達(dá)式式如下：：U=W四、桿件的應(yīng)應(yīng)變能1.比能2.應(yīng)變能(1)微應(yīng)變能能du=udV(2)應(yīng)變能（一）、、拉壓桿桿的應(yīng)變變能應(yīng)變能是是一種體體積分布布能量。。全桿的應(yīng)應(yīng)變能，，等于所所有桿段段應(yīng)變能能之和或或者等于于所有微微段應(yīng)變變能之和和。(3)等截面且且軸力為為常數(shù)的的桿段的的應(yīng)變能能(4)分段等截截面且各各段軸力力為常數(shù)的桿的的應(yīng)變能能例求u，U。注：應(yīng)變能(比能)的計(jì)算一一般不能能用疊加加原理。。(二)、剪切變變形應(yīng)變變能和比比能如圖示的的純剪切切單元體體，其應(yīng)應(yīng)變能和和比能是是：單元體微微元功等等于微變變形能微比能剪切比能能剪切應(yīng)變變能(三)、圓軸扭扭轉(zhuǎn)應(yīng)變變能例：求求圖示扭扭轉(zhuǎn)圓軸軸的應(yīng)變變能。解：軸的的兩段扭扭矩均為為常量，，易于求求出該扭扭轉(zhuǎn)圓軸軸的應(yīng)變變能如下下：(四)、平面彎彎曲時的的應(yīng)變能能推導(dǎo)廣義義胡克定定律時已已指出：：正應(yīng)力力不會引引起剪應(yīng)應(yīng)變；剪剪應(yīng)力也也不會引引起線應(yīng)應(yīng)變?？煽芍?，正正應(yīng)力不不會在剪剪應(yīng)變上上做功；；剪應(yīng)力力不會在在線應(yīng)變變上做功功。故，梁內(nèi)任意意一點(diǎn)的的比能等于正應(yīng)力對對應(yīng)的比比能與剪應(yīng)力對對應(yīng)的比比能之和。梁的應(yīng)變變能k——與截面形形狀有關(guān)關(guān)的剪應(yīng)應(yīng)力不均均勻分布布修正系系數(shù)。如如截面為為矩形k=1.2，圓形k=10/9，薄壁圓環(huán)環(huán)形k=2，共字型k=A/AW。梁的應(yīng)變變能實(shí)踐和記記算表明明：對于于高跨比比較小的的梁，剪剪應(yīng)力影影響項(xiàng)較較小，一一般可以以略去。。梁彎曲曲變形時時的應(yīng)變變能可用用下式計(jì)計(jì)算。(五)、組合變變形時的的應(yīng)變能能根據(jù)實(shí)際際情況，，求出橫橫截面上上任一點(diǎn)點(diǎn)的正應(yīng)應(yīng)力及剪剪應(yīng)力。。比能：應(yīng)變能：：組合變形形時的應(yīng)應(yīng)變能最后一項(xiàng)項(xiàng)是關(guān)于于z的對稱積積分，結(jié)結(jié)果為零零。組合變形形時的應(yīng)應(yīng)變能當(dāng)不考慮慮彎曲剪剪切影響響時，有有可見，當(dāng)軸y為對稱軸軸,即組合變變形中的的彎曲變變形為對對稱彎曲曲時，組合變形形時的應(yīng)應(yīng)變能等等于與截截面上各各獨(dú)立內(nèi)內(nèi)力對應(yīng)應(yīng)的基本本變形應(yīng)應(yīng)變能的的總和。。注：(1)桿件應(yīng)變變能的取取值與加載次序序無關(guān)；(2)應(yīng)變能都都是內(nèi)力力(荷載)的二次函函數(shù)，因因此，一般不能能用力的獨(dú)獨(dú)立作用用原理進(jìn)進(jìn)行疊加加計(jì)算。(3)在荷載產(chǎn)產(chǎn)生的內(nèi)內(nèi)力或位位移屬于于不同類類型時，，可以疊疊加。例：試用下述述三種方方式，計(jì)計(jì)算圖示示簡支梁梁的應(yīng)變變能。(1)同時由零零開始逐逐漸加載載至P、M；(2)先加載至P，再加載至至M；(3)先加載至M，再加載至至P。應(yīng)變能只只與荷載載的最終終值有關(guān)關(guān)，而與與加載的的中間過過程或加加載的先先后次序序無關(guān)。。利用功能能原理計(jì)計(jì)算位移移U=W由功能原原理當(dāng)結(jié)構(gòu)上上只作用用一個作作功的廣廣義荷載載P時，利用用功能原原理，可可方便地地求得與與P對應(yīng)的廣廣義位移移d。d=2U/P例：8—2、卡氏定定理若彈性體體上作用用有n個已知的的廣義力力P1、P2、P3、…、Pn，在其共同同作用下下，每個個廣義力力作用點(diǎn)點(diǎn)沿各自自廣義力力方向上上的廣義義位移分分別為D1、D2、D3、…、Dn。則彈性體由由廣義力力表示的的變形能能U對某個廣廣義力Pi的偏導(dǎo)數(shù)數(shù)，等于于與Pi相應(yīng)的廣廣義位移移Di。證明彈性體的的應(yīng)變能能只與荷荷載的最最終值有有關(guān)，而而與加載載的中間間過程或或加載的的先后次次序無關(guān)關(guān)。于是是，總變變形能為為略去高階階微量，，得卡氏定理理的應(yīng)用用由得1.拉壓桿件件系統(tǒng)的的位移計(jì)計(jì)算對于拉壓壓桿件系系統(tǒng)，能能夠?qū)懗龀鋈缦鹿剑?.圓軸扭扭轉(zhuǎn)時時的位位移計(jì)計(jì)算3.平面彎彎曲梁梁的位位移計(jì)計(jì)算4.組合變變形時時的位位移計(jì)計(jì)算卡氏定定理的的應(yīng)用用說明（1）力和和位移移均有有廣義義性；；（2）注意意所求求位移移有無無相應(yīng)應(yīng)的廣廣義力力，有有則直直接對對它求求偏導(dǎo)，無無則需需要虛虛設(shè)一一個相相應(yīng)的的廣義義力；；（3）要注注意所所求位位移相相應(yīng)的的廣義義力，，是否否與所所求位位移不不對應(yīng)的其其它荷荷載，，具有有相同同的名名稱。。如果果是，，需要要先將將與所求求位移移相應(yīng)應(yīng)的廣廣義力力換個個名稱稱，以以避免免求偏偏導(dǎo)發(fā)發(fā)生概念念上的的錯誤誤；(4）在運(yùn)運(yùn)算時時，一一般不不要將將體系系的應(yīng)應(yīng)變能能求出出來后后再求求偏導(dǎo)數(shù)，，應(yīng)當(dāng)當(dāng)先求求偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)再再進(jìn)行行積分分運(yùn)算算（簡簡稱““先求求導(dǎo)后積分分”））；（5）區(qū)分分不同同的荷荷載類類型，，分別別應(yīng)用用有關(guān)關(guān)公式式，還還需要要弄清楚楚，寫寫內(nèi)力力方程程需要要將桿桿件（（或簡簡單結(jié)結(jié)構(gòu)））分為為幾段，，來進(jìn)進(jìn)行正正確的的描述述（應(yīng)應(yīng)變能能的計(jì)計(jì)算同同樣需需要分分為幾段段來計(jì)計(jì)算））。(6)廣義力力與廣廣義位位移間間的相相應(yīng)關(guān)關(guān)系：：一個力力相應(yīng)的的位移移為該該力作作用點(diǎn)點(diǎn)沿力力矢正正向的的線位位移；；一個力力偶相應(yīng)的的位移移為作作用有有該力力偶的的平面面沿力力偶轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)向的的角位位移；；一對力力相應(yīng)的的位移移為該該對力力兩作作用點(diǎn)點(diǎn)沿力力矢正正向的的相對對線位位移；；一對力力偶相應(yīng)的的位移移為作作用有有該對對力偶偶的兩兩平面面間沿沿力偶偶轉(zhuǎn)向向的相相對角角位移移。分別如如圖a、b、c、d所示。。例：8-4功的互互等定定理和和位移移互等等定理理一、功功的互互等定定理——貝蒂—瑞利互互等定定理由意大大利的的E.Betti于1872年和英英國的的Rayleigh于1873年分別別獨(dú)立立提出出。同一根根梁，，分別別處于于圖a和圖b的荷載載作用用狀態(tài)態(tài)，圖圖中所所示的的位移移有廣廣義力力引起起自己己作用用點(diǎn)的的位移移，也也有一一個另另一力力作用用點(diǎn)的的位移移。功的互互等定定理功的互互等定定理：：如果將將上述述兩種種荷載載同時時作用用在該該梁上上，如如圖示示，兩兩種荷荷載不不同的的施加加次序序，都都將得得出相相同的的應(yīng)變變能，，于是是有：：功的互互等定定理如在某某線彈彈性體體上作作用兩兩組廣廣義力力，則則第一一組力力在第第二組組力引引起的的廣義義位移移上所所做的的功等等于第第二組組力在在第一一組力力引起起的廣廣義位位移上上所做做的功功?；蚧騣狀態(tài)的的力在在k狀態(tài)的的位移移上所所做的的功等等于k狀態(tài)的的力在在i狀態(tài)的的位移移上所所做的的功。。Wik=Wki或Pi.Dik=Pk.Dki二、位位移互等定定理——麥克斯斯韋位位移互互等定定理由英國國J.C.Maxwell于1864年提出。由功的互等定定理知：如果廣義力力數(shù)值上相相等，Pi=Pk則Dik=Dki如在某線彈彈性體上作作用兩個數(shù)數(shù)值相等的的廣義力Pi和Pk，則Pi單獨(dú)作用下下引起Pk作用點(diǎn)沿Pk方向的廣義義位移在數(shù)數(shù)值上等于于Pk單獨(dú)作用下下引起Pi作用點(diǎn)沿Pi方向的廣義義位移。8-5余能與余能能原理一、余能概概念考察圖示非非線性彈性性材料的軸軸向拉桿，，荷載伸長長關(guān)系曲線線和應(yīng)力應(yīng)應(yīng)變關(guān)系曲曲線。顯然然，荷載與與位移、應(yīng)應(yīng)力與應(yīng)變變之間不再再服從線性性彈性關(guān)系系。由于與具有相同的量綱。且余能概念注意：桿件的余能能或余比能能沒有明確確的物理意意義，但有有明確的幾幾何意義，，就是曲線線上方的面面積。即在和數(shù)PD下，W*為W的余數(shù)。因因此習(xí)慣上上稱W*為余功。類似地有稱為余(應(yīng)變)能稱為余比能余能概念應(yīng)變能通常表示為廣義位移的函數(shù)。余能通常表示為廣義力的函數(shù)。特殊情形：：線彈性材料料，P-D和s-e曲線為一斜斜直線，是是矩形PD和se的對角線，，故：即線彈性體的的余能（或或一點(diǎn)處的的余比能））與應(yīng)變能能（或一點(diǎn)點(diǎn)處的比能能）相等。三、卡氏第第二定理1.克羅蒂-恩蓋塞定理理——適用于線彈彈性體與非非線彈性體體由意大利工工程師F.Crotti于1878年、德國工工程師F.Engesser于1889年分別提出出。若彈性體上上作用有n個已知的廣廣義力P1、P2、P3、…、Pn，在其共同作作用下，每每個廣義力力作用點(diǎn)沿沿各自廣義義力方向上上的廣義位位移分別為為D1、D2、D3、…、Dn。則彈性體由廣廣義力表示示的余能U*對某個廣義義力Pi的偏導(dǎo)數(shù)，，等于與Pi相應(yīng)的廣義義位移Di。證明仿前。。2、卡氏第一一定理由意大利工工程師A.Castiliano于1873年提出。若彈性體上上作用有n個已知的廣廣義力P1、P2、P3、…、Pn，在其其共共同同作作用用下下，，每每個個廣廣義義力力作作用用點(diǎn)點(diǎn)沿沿各各自自廣廣義義力力方方向向上上的的廣廣義義位位移移分分別別為為D1、D2、D3、…、Dn。則彈性性體體由由廣廣義義位位移移表表示示的的應(yīng)應(yīng)變變能能U對某某個個廣廣義義位位移移