主講人：時間:人教版精品課件內(nèi)容完整主講人：時間:人教版精品課件內(nèi)容完整第21章一元二次方程七樓A座辦公家園第21章一元二次方程七樓A座辦公家園引入的例子：某中學(xué)在操場中間要建造面積為20平方米矩形的花壇，且矩形的長比寬長1米，問矩形的長與寬分別是多少米？x+1米x米

則矩形的長為（x+1）米，分析：設(shè)矩形的寬這x米,由題意得：問：這個方程以前我們是否學(xué)習(xí)過？若沒有學(xué)過？它有什么特征？七樓A座辦公家園引入的例子：某中學(xué)在操場中間要建造面積為20平方米矩形的花

x

x2x2+x－20=0觀察這個方程，問：此方程有幾個未知數(shù)？

2+－20=0一個未知數(shù)：x問：這個方程中的未知數(shù)的最高次數(shù)是幾次？

x+x－20=0最高次數(shù)：2引入一元二次方程的概念：

只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程叫做一元二次方程。說明：⑴未知數(shù)個數(shù)1個。⑵未知數(shù)的最高次數(shù)是2次。七樓A座辦公家園xx2x2+x－20=0一個未知數(shù)

一元二次方程定義只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程二次項系數(shù)二次項一次項一次項系數(shù)常數(shù)項一般形式

ax2+bx+c=0當(dāng)b≠0,c≠0時，當(dāng)b=0或c=0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)叫一般的～方程ax2+c=0(a≠0)或ax2+bx=0都叫特殊的～.(～是一元二次方程)(a≠0)七樓A座辦公家園一元二次方程定義只含有一個未知數(shù)，且未知下面給出一些常見的一元二次方程七樓A座辦公家園下面給出一些常見的一元二次方程七樓A座辦公家園（不是整式方程）（不是整式方程）（不是一元方程）下面給出一些常見的方程,不是一元二次方程(一元二次方程是整式方程)七樓A座辦公家園（不是整式方程）（不是整式方程）（不是一元方程）下面給出一些

一元二次方程的一般形式

ax2+bx+c=0

(a≠0)完全的一元二次方程

ax2+bx+c=0

(a≠0,b≠0,c≠0)

特殊的一元二次方程ax2+c=0

(a≠0,c≠0)ax2+bx=0

(a≠0,b≠0)ax2=0(a≠0)七樓A座辦公家園一元二次方程的一般形式完全的一元二次方程特例１、方程是否為一元二次方程？如果不是，說明理由；如果是，指出它的二次項、一次項系數(shù)及常數(shù)項.解：去括號，得3x2-3x=2x+4+8.

移項，得3x2-3x-2x-4-8=0.

合并同類項，得3x2-5x-12=0.

∴原方程是一元二次方程；二次項系數(shù)是３，一次項系數(shù)是-5，常數(shù)項是–12.七樓A座辦公家園例１、方程是否為一元二次方程？如果不是，當(dāng)ac<0時，

形如（a≠0，c≠0）的一元二次方程的解法：當(dāng)ac＞0時，此方程無實數(shù)解.按照流程我們了解了一元二次方程的定義,下面來看看一元二次方程的解法一元二次方程的第一種解法:直接開方法七樓A座辦公家園當(dāng)ac<0時，形如例2：解方程3x2-27=0解：移項，得3x2=27兩邊同除以3，得x2=9由平方根定義，得x=±3即原方程的根為x=3或x=-3七樓A座辦公家園例2：解方程3x2-27=0解：移項，得3x2練習(xí)1：解下列方程（1）5x2-4=0

（2）-7x2+7=0練習(xí)2：解下列方程（1）（1-x）2=9

可以變成（x-1）2=9

（2）4（1+2x）2-49=0七樓A座辦公家園練習(xí)1：解下列方程練習(xí)2：解下列方程七樓A座辦公家園解：直接開平方法七樓A座辦公家園解：直接開平方法七樓A座辦公家園一元二次方程的第二種解法:配方法配方法的一般步驟：1）把方程化成二次項系數(shù)是1的形式2）移項整理使方程左邊僅有二次項和一次項，右邊僅有常數(shù)項。3）配方：方程的兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方。4）再把方程左邊化成完全平方式5）最后用直接開平方法求方程的解。七樓A座辦公家園一元二次方程的第二種解法:配方法配方法的一般步驟：1）把方程例4：解方程解：兩邊同除以2，得：移項，得：配方，得：即即2-122-3-3-3-1解方程：解：移項，得：配方，得：即即22一般式：11-5七樓A座辦公家園例4：解方程解：兩邊同除以2，得：移項，得：配方，得：即

用配方法解一元二次方程2x2+4x+1=0以下內(nèi)容請不要當(dāng)公式來背,可以多推導(dǎo)幾次熟悉一下.-黃老師用配方法解一元二次方程的步驟：1.把原方程化成x2+px+q=0的形式。2.移項整理得x2+px=-q3.在方程x2+px=-q的兩邊同加上一次項系數(shù)p的一半的平方。x2+px+()2=-q+()24.用直接開平方法解方程

(x+)2=-q

七樓A座辦公家園用配方法解一元二次方程2x2+4x+1用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)解:把方程兩邊都除以a,得x2+x+=0解得x=-±∴當(dāng)b2-4ac≥0時,x+=±∵4a2＞0即(x+)2=配方，得x2+x+()2=-+()2移項，得x2+x=-即x=用求根公式解一元二次方程的第三種方法叫做公式法。請默寫求根公式七樓A座辦公家園用配方法解一般形式的一元二次方程例5.用公式法解方程2x2+5x-3=0解:a=2b=5c=-3∴b2-4ac=52-4×2×(-3)=491、把方程化成一般形式。并寫出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值?！鄕===即x1=-3x2=用公式法解一元二次方程的一般步驟：求根公式:X=4、寫出方程的解：x1=?,x2=?3、代入求根公式:X=(a≠0,b2-4ac≥0)(a≠0,

b2-4ac≥0)七樓A座辦公家園例5.用公式法解方程2x2+5x-3=01、把方程化成一般形（口答）填空：用公式法解方程

3x2+5x-2=0解：a=

，b=

，c=

.b2-4ac=

=

.x=

=

=

.即x1=,x2=.35-252-4×3×(-2)49-2求根公式:

X=用公式法解下列方程：1、x2+2x=52、6t2-5=13t（x1=-1+，x2=-1-）（t1=，t2=-）

(a≠0,

b2-4ac≥0)七樓A座辦公家園（口答）填空：用公式法解方程解：a=，b=，c=例6用公式法解方程：

x2–x-=0解：方程兩邊同乘以3

得2x2-3x-2=0a=2，b=-3，c=-2.∴b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=25.求根公式:

X=∴x=即x1=2,x2=-例7用公式法解方程：x2+3=2x

解：移項，得x2-2x+3=0a=1，b=-2，c=3b2-4ac=(-2

)2-4×1×3=0∴x=x1=x2=練習(xí):用公式法解方程1、x2-x-1=02、2x2-2x+1=0====七樓A座辦公家園例6用公式法解方程：解：方程兩邊同乘以3求根公式:一元二次方程解法有幾種？我們已經(jīng)介紹了解一元二次方程的三種通法.還有第四種,也就是最快捷最常用的方法:因式分解法.但這種不是解一元二次方程的通法.那么我們應(yīng)該對各解法比較,靈活選擇.

一元二次方程

一元二次方程七樓A座辦公家園一元二次方程解法有幾種？一元二當(dāng)b=0，a、c異號時，方程宜用

法解

當(dāng)c=0時，方程宜用

法解當(dāng)b≠0,c≠0時，首先考慮用

法解；其次若二次項系數(shù)為1，一次項的系數(shù)為偶數(shù)，宜用

解；最后考慮用

解。因式分解因式分解配方法公式法直接開方解法舉例七樓A座辦公家園當(dāng)b=0，a、c異號時，當(dāng)c=0時，方程宜用例8選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探猓簝蛇呴_平方，得：解：兩邊同加上1，得解：把方程左邊分解因式，得化簡，得七樓A座辦公家園例8選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探猓簝蛇呴_平方，得：解：兩邊同例9解方程解：化簡得解：化簡得較復(fù)雜的方程，先整理化簡，再尋找合適的解法七樓A座辦公家園例9解方程解：化簡得解：化簡得較復(fù)雜的方程，先整理化簡，再練習(xí)1

用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠唐邩茿座辦公家園練習(xí)1用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠唐邩茿座辦公家園練習(xí)2

用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探猓浩邩茿座辦公家園練習(xí)2用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探猓浩邩茿座辦公家園想一想：你能想出方程的最簡便的解法嗎？七樓A座辦公家園想一想：你能想出方程七樓A座辦公家園直接開平方法b=0,a、c異號0因式分解法c=00公式法知識梳理有實根七樓A座辦公家園直接開平方法0因式分解法0公式法知識有實根七樓A座辦公家園鞏固練習(xí)45七樓A座辦公家園鞏固練習(xí)45七樓A座辦公家園復(fù)習(xí)引入判別式一元二次方程的一般形式是什么？配方，得：（x+)2=一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0)⊿=b2-4ac＞0=>⊿=b2-4ac=0=>⊿=b2-4ac＜0=>有兩個不相等的實數(shù)根有兩個相等的實數(shù)根沒有實數(shù)根＜＜＜其中叫做一元二次方程根的判別式七樓A座辦公家園復(fù)習(xí)引入判別式配方，得：（x+)2=一元二次方例10若關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是（）Am﹥0Bm≥0Cm﹥0且m≠1Dm≥0且m≠1解：由題意，得

m-1≠0①⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0②解之得，m﹥0且m≠1，故應(yīng)選DD七樓A座辦公家園例10解：由題意，得D七樓A座辦公家園

練習(xí)1選擇題1不解方程，判斷方程0.2x2-5=1.5x的根的情況是（）A)有兩個不相等的實數(shù)根B)有兩個相等的實數(shù)根C)沒有實數(shù)根D)無法確定2.若關(guān)于的一元二次方程（k-1）x2+2kx+k+3=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A)k≤1.5B)k﹤1.5C)k≤1.5且k≠1D)k≥1.5

AC練一練七樓A座辦公家園

例11求證：不論m取何值，關(guān)于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有兩個不相等的實數(shù)根證明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3）

=m2+14m+49-36m+108=m2-22m+157

=（m-11）2+36∵不論m取何值，均有（m-11）2≥0∴（m-11）2+36＞0，即⊿＞0∴不論m取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根七樓A座辦公家園例11證明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3）=（m練習(xí)2

一、填空題1、關(guān)于x的方程x２+2kx+k-１＝0的根的情況是_______________

二、求證:不論a為任何實數(shù),2x2+3(a-1)+a2-4a-7=0必有兩個不相等的實數(shù)根.有兩個不相等的實數(shù)根七樓A座辦公家園練習(xí)2有兩個不相等的實數(shù)根七樓A座辦公家園例12已知關(guān)于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，求k的最小整數(shù)值。解：將原方程整理，得（2k-1）x2-8x+6=0根據(jù)題意，得?

=（-8）2-4（2k-1）×6<02k-1≠0

解這個不等式組，得k>∴k的最小整數(shù)值是2{七樓A座辦公家園例12解：將原方程整理，得{七樓A座辦公家園練習(xí)3若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-m+1=0沒有實數(shù)根，求證關(guān)于y的方程y2+my+12m=1一定有兩個不相等的實數(shù)根。提示：將y2+my+12m=1化為一般形式y(tǒng)2+my+12m-1=0七樓A座辦公家園練習(xí)3提示：將y2+my+12m=1化為一般形式達標(biāo)練習(xí)一、選擇題：

1、已知關(guān)于X的一元二次方程kx2-2x+1=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）Ａ）k<１Ｂ）k≤１Ｃ）k<１且k≠0

Ｄ）k≤１且k≠0

2、若關(guān)于y的方程ay２-4y+１＝0有實數(shù)根，則a的最大整數(shù)值為（）A）0B）4C）0或4D）3七樓A座辦公家園達標(biāo)練習(xí)一、選擇題：七樓A座辦公家園二、填空

1、已知關(guān)于y的一元二次方程有兩個實數(shù)根,那么m的取值范圍是

2、若且關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等實數(shù)根.則k的取值范圍且且七樓A座辦公家園二、填空且且七樓A座辦公家園三、解答題已知關(guān)于x的方程x2-（2m+2）x+m2+5=0有兩個相等的實數(shù)根，化簡|1-m|+解：∵方程x2-（2m+2）x+m2+5=0有兩個相等的實數(shù)根∴?

=[-(2m+2)]2-4(m2+5)=8m-16=0∴m=2原式=1+0=1

七樓A座辦公家園三、解答題解：∵方程x2-（2m+2）x+m2+5=0有兩個一元二次方程第二部分內(nèi)容

一、一元二次方程根的判別式二、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系三、二次三項式的因式分解四.一元二次方程應(yīng)用題七樓A座辦公家園一元二次方程第二部分內(nèi)容七樓A座辦公家園

一元二次方程根的判別式

兩不相等實根兩相等實根無實根一元二次方程一元二次方程根的判式是:判別式的情況根的情況定理與逆定理兩個不相等實根

兩個相等實根

無實根(無解)一、七樓A座辦公家園一元二次方程根的判別式兩不相等實根兩相等實根無實根一元二例1：不解方程，判別下列方程的根的情況（1）（3）（2）解：（1）

=

判別式的應(yīng)用:所以，原方程有兩個不相等的實根。說明：解這類題目時，一般要先把方程化為一般形式，求出△，然后對△進行計算，使△的符號明朗化，進而說明△的符號情況，得出結(jié)論。1、不解方程，判別方程的根的情況

七樓A座辦公家園例1：不解方程，判別下列方程的根的情況（1）（3）（2）解：例2：當(dāng)k取什么值時，已知關(guān)于x的方程：（1）方程有兩個不相等的實根；（2）方程有兩個相等的實根；（3）方程無實根；解：△=(1).當(dāng)△>0

，方程有兩個不相等的實根,8k+9>0,即

(2).當(dāng)△=0

，方程有兩個相等的實根,8k+9=0,即

(3).當(dāng)△

<0

，方程有沒有實數(shù)根,8k+9<0,即

2、根據(jù)方程的根的情況確定方程的待定系數(shù)的取值范圍

說明：解此類題目時，也是先把方程化為一般形式，再算出△，再由題目給出的根的情況確定△的情況。從而求出待定系數(shù)的取值范圍K＜七樓A座辦公家園例2：當(dāng)k取什么值時，已知關(guān)于x的方程：解：△=(1).當(dāng)△例3、已知m為非負整數(shù)，且關(guān)于x的方程：有兩個實數(shù)根，求m的值。解：∵方程有兩個實數(shù)根∴解得：∵m為非負數(shù)∴m=0或m=1說明：當(dāng)二次項系數(shù)也含有待定的字母時，要注意二次項系數(shù)不能為0，還要注意題目中待定字母的取值范圍.七樓A座辦公家園例3、已知m為非負整數(shù)，且關(guān)于x的方程：解：∵方程有兩個實例4、求證：關(guān)于x的方程：有兩個不相等的實根。證明：所以，無論m取任何實數(shù),方程有兩個不相等的實數(shù)根。無論m取任何實數(shù)都有：即：△>03、證明方程根的情況說明：此類題目要先把方程化成一般形式，再計算出△，如果不能直接判斷△情況，就利用配方法把△配成含用完全平方的形式，根據(jù)完全平方的非負性，判斷△的情況，從而證明出方程根的情況七樓A座辦公家園例4、求證：關(guān)于x的方程：證明：所以，練習(xí)：1、不解方程，判別下列方程的根的情況（1）（3）（2）2、已知關(guān)于x的方程：有兩個不相等的實數(shù)根，k為實數(shù)，求k的取值范圍。3、設(shè)關(guān)于x的方程：，證明，不論m為何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根。七樓A座辦公家園練習(xí)：1、不解方程，判別下列方程的根的情況（1）（3）（2）二、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以兩個數(shù)x1、x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是

七樓A座辦公家園二、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以兩個數(shù)x1、x2為根的一元二設(shè)x1、x2是下列一元二次方程的兩個根，填寫下表

x1·

x2

x1+x2一元二次方程56七樓A座辦公家園設(shè)x1、x2是下列一元二次方程的兩個根，填寫下表解：設(shè)方程的另一個根為x1，那么七樓A座辦公家園解：設(shè)方程的另一個根為x1，那么七樓A座辦公家園例2、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程

兩個根的；（1）平方和；（2）倒數(shù)和解：設(shè)方程的兩個根是x1x2，那么七樓A座辦公家園例2、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程解：設(shè)方程的兩個根是例3

已知方程x2-5x-2=0，作一個新方程，使它的根分別是已知方程各根平方的倒數(shù)解：設(shè)x1、x2為方程x2-5x-2=0的兩根，則

x1+x2=5x1x2=-2設(shè)所求方程兩根為y1、y2則：七樓A座辦公家園例3已知方程x2-5x-2=0，作一個新方程，解：例6.已知方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有兩個實數(shù)根，且這兩個根的平方和比兩根的積大21，求m的值．解：設(shè)x1、x2為方程的兩根∵方程有兩個實數(shù)根，解得m≤0．依題意，得

∵m≤0，

∴m＝－1．(x12+x22)-x1x2=21七樓A座辦公家園(x12+x22)-x1x2=21七樓A座辦公家園例7.試確定m的值，使關(guān)于x的方程8x2－(2m2＋m－6)x＋2m－1＝0的兩根互為相反數(shù)．解：設(shè)此方程的兩個根為x1、x2,要使方程的兩個根互為相反數(shù),必需滿足條件:Δx1＋x2＝0,x1x2≤0．0,得2m2＋m－6＝0∴當(dāng)m＝－2時，原方程的兩根互為相反數(shù)．七樓A座辦公家園0,七樓A座辦公家園1、下列方程中，兩根的和與兩根的積各是多少？2、已知方程的一個根是1，求它的另一個根和m的值。3、設(shè)x1、x2是方程

利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：

七樓A座辦公家園1、下列方程中，兩根的和與兩根的積各是多少？2、三、二次三項式的因式分解中的因式

千萬不能忽略。2.在分解二次三項式的因式時，可先用求根公式求出方程的兩個根x1,x2然后,寫成a七樓A座辦公家園三、二次三項式的因式分解中的因式千萬不能忽略。2.在分例題講解例1把分解因式此步的目的是去掉括號內(nèi)的分母七樓A座辦公家園例題講解例1把分解因式此步的目的是去掉括號內(nèi)的分母七樓A例2本題是關(guān)于x的二次三項式，所以應(yīng)把y看作常數(shù)七樓A座辦公家園例2本題是關(guān)于x的二次三項式，所以應(yīng)把y看作常數(shù)七樓A座辦公

在長方形鋼片上沖去一個長方形，制成一個四周寬相等的長方形框。已知長方形鋼片的長為30cm，寬為20cm,要使制成的長方形框的面積為400cm2，求這個長方形框的框邊寬。

XX30cm20cm解:設(shè)長方形框的邊寬為xcm,依題意,得30×20–(30–2x)(20–2x)=400整理得x2–25+100=0得x1=20,x2=5當(dāng)=20時,20-2x=-20(舍去);當(dāng)x=5時,20-2x=10答:這個長方形框的框邊寬為5cm四.應(yīng)用題七樓A座辦公家園在長方形鋼片上沖去一個長方形，制成一個四周1月的數(shù)量為A，3月的數(shù)量為B，經(jīng)過兩個月，求增長率x。某季度數(shù)量為B，頭一個月數(shù)量為A，求后兩個月的增長率x.1月的數(shù)量A，經(jīng)過兩個月后數(shù)量增加m%，求增長率.

比較A1月A(1+x)2月A(1+x)23月AA(1+m%)增加m%==A+A(1+x)+A(1+x)2=B七樓A座辦公家園1月的數(shù)量為A，3月的數(shù)量為B，經(jīng)過兩個月，求增長率x。某季感謝聆聽感謝聆聽主講人：時間:人教版精品課件內(nèi)容完整主講人：時間:人教版精品課件內(nèi)容完整第21章一元二次方程七樓A座辦公家園第21章一元二次方程七樓A座辦公家園引入的例子：某中學(xué)在操場中間要建造面積為20平方米矩形的花壇，且矩形的長比寬長1米，問矩形的長與寬分別是多少米？x+1米x米

則矩形的長為（x+1）米，分析：設(shè)矩形的寬這x米,由題意得：問：這個方程以前我們是否學(xué)習(xí)過？若沒有學(xué)過？它有什么特征？七樓A座辦公家園引入的例子：某中學(xué)在操場中間要建造面積為20平方米矩形的花

x

x2x2+x－20=0觀察這個方程，問：此方程有幾個未知數(shù)？

2+－20=0一個未知數(shù)：x問：這個方程中的未知數(shù)的最高次數(shù)是幾次？

x+x－20=0最高次數(shù)：2引入一元二次方程的概念：

只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程叫做一元二次方程。說明：⑴未知數(shù)個數(shù)1個。⑵未知數(shù)的最高次數(shù)是2次。七樓A座辦公家園xx2x2+x－20=0一個未知數(shù)

一元二次方程定義只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程二次項系數(shù)二次項一次項一次項系數(shù)常數(shù)項一般形式

ax2+bx+c=0當(dāng)b≠0,c≠0時，當(dāng)b=0或c=0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)叫一般的～方程ax2+c=0(a≠0)或ax2+bx=0都叫特殊的～.(～是一元二次方程)(a≠0)七樓A座辦公家園一元二次方程定義只含有一個未知數(shù)，且未知下面給出一些常見的一元二次方程七樓A座辦公家園下面給出一些常見的一元二次方程七樓A座辦公家園（不是整式方程）（不是整式方程）（不是一元方程）下面給出一些常見的方程,不是一元二次方程(一元二次方程是整式方程)七樓A座辦公家園（不是整式方程）（不是整式方程）（不是一元方程）下面給出一些

一元二次方程的一般形式

ax2+bx+c=0

(a≠0)完全的一元二次方程

ax2+bx+c=0

(a≠0,b≠0,c≠0)

特殊的一元二次方程ax2+c=0

(a≠0,c≠0)ax2+bx=0

(a≠0,b≠0)ax2=0(a≠0)七樓A座辦公家園一元二次方程的一般形式完全的一元二次方程特例１、方程是否為一元二次方程？如果不是，說明理由；如果是，指出它的二次項、一次項系數(shù)及常數(shù)項.解：去括號，得3x2-3x=2x+4+8.

移項，得3x2-3x-2x-4-8=0.

合并同類項，得3x2-5x-12=0.

∴原方程是一元二次方程；二次項系數(shù)是３，一次項系數(shù)是-5，常數(shù)項是–12.七樓A座辦公家園例１、方程是否為一元二次方程？如果不是，當(dāng)ac<0時，

形如（a≠0，c≠0）的一元二次方程的解法：當(dāng)ac＞0時，此方程無實數(shù)解.按照流程我們了解了一元二次方程的定義,下面來看看一元二次方程的解法一元二次方程的第一種解法:直接開方法七樓A座辦公家園當(dāng)ac<0時，形如例2：解方程3x2-27=0解：移項，得3x2=27兩邊同除以3，得x2=9由平方根定義，得x=±3即原方程的根為x=3或x=-3七樓A座辦公家園例2：解方程3x2-27=0解：移項，得3x2練習(xí)1：解下列方程（1）5x2-4=0

（2）-7x2+7=0練習(xí)2：解下列方程（1）（1-x）2=9

可以變成（x-1）2=9

（2）4（1+2x）2-49=0七樓A座辦公家園練習(xí)1：解下列方程練習(xí)2：解下列方程七樓A座辦公家園解：直接開平方法七樓A座辦公家園解：直接開平方法七樓A座辦公家園一元二次方程的第二種解法:配方法配方法的一般步驟：1）把方程化成二次項系數(shù)是1的形式2）移項整理使方程左邊僅有二次項和一次項，右邊僅有常數(shù)項。3）配方：方程的兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方。4）再把方程左邊化成完全平方式5）最后用直接開平方法求方程的解。七樓A座辦公家園一元二次方程的第二種解法:配方法配方法的一般步驟：1）把方程例4：解方程解：兩邊同除以2，得：移項，得：配方，得：即即2-122-3-3-3-1解方程：解：移項，得：配方，得：即即22一般式：11-5七樓A座辦公家園例4：解方程解：兩邊同除以2，得：移項，得：配方，得：即

用配方法解一元二次方程2x2+4x+1=0以下內(nèi)容請不要當(dāng)公式來背,可以多推導(dǎo)幾次熟悉一下.-黃老師用配方法解一元二次方程的步驟：1.把原方程化成x2+px+q=0的形式。2.移項整理得x2+px=-q3.在方程x2+px=-q的兩邊同加上一次項系數(shù)p的一半的平方。x2+px+()2=-q+()24.用直接開平方法解方程

(x+)2=-q

七樓A座辦公家園用配方法解一元二次方程2x2+4x+1用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)解:把方程兩邊都除以a,得x2+x+=0解得x=-±∴當(dāng)b2-4ac≥0時,x+=±∵4a2＞0即(x+)2=配方，得x2+x+()2=-+()2移項，得x2+x=-即x=用求根公式解一元二次方程的第三種方法叫做公式法。請默寫求根公式七樓A座辦公家園用配方法解一般形式的一元二次方程例5.用公式法解方程2x2+5x-3=0解:a=2b=5c=-3∴b2-4ac=52-4×2×(-3)=491、把方程化成一般形式。并寫出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。∴x===即x1=-3x2=用公式法解一元二次方程的一般步驟：求根公式:X=4、寫出方程的解：x1=?,x2=?3、代入求根公式:X=(a≠0,b2-4ac≥0)(a≠0,

b2-4ac≥0)七樓A座辦公家園例5.用公式法解方程2x2+5x-3=01、把方程化成一般形（口答）填空：用公式法解方程

3x2+5x-2=0解：a=

，b=

，c=

.b2-4ac=

=

.x=

=

=

.即x1=,x2=.35-252-4×3×(-2)49-2求根公式:

X=用公式法解下列方程：1、x2+2x=52、6t2-5=13t（x1=-1+，x2=-1-）（t1=，t2=-）

(a≠0,

b2-4ac≥0)七樓A座辦公家園（口答）填空：用公式法解方程解：a=，b=，c=例6用公式法解方程：

x2–x-=0解：方程兩邊同乘以3

得2x2-3x-2=0a=2，b=-3，c=-2.∴b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=25.求根公式:

X=∴x=即x1=2,x2=-例7用公式法解方程：x2+3=2x

解：移項，得x2-2x+3=0a=1，b=-2，c=3b2-4ac=(-2

)2-4×1×3=0∴x=x1=x2=練習(xí):用公式法解方程1、x2-x-1=02、2x2-2x+1=0====七樓A座辦公家園例6用公式法解方程：解：方程兩邊同乘以3求根公式:一元二次方程解法有幾種？我們已經(jīng)介紹了解一元二次方程的三種通法.還有第四種,也就是最快捷最常用的方法:因式分解法.但這種不是解一元二次方程的通法.那么我們應(yīng)該對各解法比較,靈活選擇.

一元二次方程

一元二次方程七樓A座辦公家園一元二次方程解法有幾種？一元二當(dāng)b=0，a、c異號時，方程宜用

法解

當(dāng)c=0時，方程宜用

法解當(dāng)b≠0,c≠0時，首先考慮用

法解；其次若二次項系數(shù)為1，一次項的系數(shù)為偶數(shù)，宜用

解；最后考慮用

解。因式分解因式分解配方法公式法直接開方解法舉例七樓A座辦公家園當(dāng)b=0，a、c異號時，當(dāng)c=0時，方程宜用例8選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探猓簝蛇呴_平方，得：解：兩邊同加上1，得解：把方程左邊分解因式，得化簡，得七樓A座辦公家園例8選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探猓簝蛇呴_平方，得：解：兩邊同例9解方程解：化簡得解：化簡得較復(fù)雜的方程，先整理化簡，再尋找合適的解法七樓A座辦公家園例9解方程解：化簡得解：化簡得較復(fù)雜的方程，先整理化簡，再練習(xí)1

用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠唐邩茿座辦公家園練習(xí)1用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠唐邩茿座辦公家園練習(xí)2

用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探猓浩邩茿座辦公家園練習(xí)2用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探猓浩邩茿座辦公家園想一想：你能想出方程的最簡便的解法嗎？七樓A座辦公家園想一想：你能想出方程七樓A座辦公家園直接開平方法b=0,a、c異號0因式分解法c=00公式法知識梳理有實根七樓A座辦公家園直接開平方法0因式分解法0公式法知識有實根七樓A座辦公家園鞏固練習(xí)45七樓A座辦公家園鞏固練習(xí)45七樓A座辦公家園復(fù)習(xí)引入判別式一元二次方程的一般形式是什么？配方，得：（x+)2=一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0)⊿=b2-4ac＞0=>⊿=b2-4ac=0=>⊿=b2-4ac＜0=>有兩個不相等的實數(shù)根有兩個相等的實數(shù)根沒有實數(shù)根＜＜＜其中叫做一元二次方程根的判別式七樓A座辦公家園復(fù)習(xí)引入判別式配方，得：（x+)2=一元二次方例10若關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是（）Am﹥0Bm≥0Cm﹥0且m≠1Dm≥0且m≠1解：由題意，得

m-1≠0①⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0②解之得，m﹥0且m≠1，故應(yīng)選DD七樓A座辦公家園例10解：由題意，得D七樓A座辦公家園

練習(xí)1選擇題1不解方程，判斷方程0.2x2-5=1.5x的根的情況是（）A)有兩個不相等的實數(shù)根B)有兩個相等的實數(shù)根C)沒有實數(shù)根D)無法確定2.若關(guān)于的一元二次方程（k-1）x2+2kx+k+3=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A)k≤1.5B)k﹤1.5C)k≤1.5且k≠1D)k≥1.5

AC練一練七樓A座辦公家園

例11求證：不論m取何值，關(guān)于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有兩個不相等的實數(shù)根證明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3）

=m2+14m+49-36m+108=m2-22m+157

=（m-11）2+36∵不論m取何值，均有（m-11）2≥0∴（m-11）2+36＞0，即⊿＞0∴不論m取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根七樓A座辦公家園例11證明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3）=（m練習(xí)2

一、填空題1、關(guān)于x的方程x２+2kx+k-１＝0的根的情況是_______________

二、求證:不論a為任何實數(shù),2x2+3(a-1)+a2-4a-7=0必有兩個不相等的實數(shù)根.有兩個不相等的實數(shù)根七樓A座辦公家園練習(xí)2有兩個不相等的實數(shù)根七樓A座辦公家園例12已知關(guān)于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，求k的最小整數(shù)值。解：將原方程整理，得（2k-1）x2-8x+6=0根據(jù)題意，得?

=（-8）2-4（2k-1）×6<02k-1≠0

解這個不等式組，得k>∴k的最小整數(shù)值是2{七樓A座辦公家園例12解：將原方程整理，得{七樓A座辦公家園練習(xí)3若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-m+1=0沒有實數(shù)根，求證關(guān)于y的方程y2+my+12m=1一定有兩個不相等的實數(shù)根。提示：將y2+my+12m=1化為一般形式y(tǒng)2+my+12m-1=0七樓A座辦公家園練習(xí)3提示：將y2+my+12m=1化為一般形式達標(biāo)練習(xí)一、選擇題：

1、已知關(guān)于X的一元二次方程kx2-2x+1=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）Ａ）k<１Ｂ）k≤１Ｃ）k<１且k≠0

Ｄ）k≤１且k≠0

2、若關(guān)于y的方程ay２-4y+１＝0有實數(shù)根，則a的最大整數(shù)值為（）A）0B）4C）0或4D）3七樓A座辦公家園達標(biāo)練習(xí)一、選擇題：七樓A座辦公家園二、填空

1、已知關(guān)于y的一元二次方程有兩個實數(shù)根,那么m的取值范圍是

2、若且關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等實數(shù)根.則k的取值范圍且且七樓A座辦公家園二、填空且且七樓A座辦公家園三、解答題已知關(guān)于x的方程x2-（2m+2）x+m2+5=0有兩個相等的實數(shù)根，化簡|1-m|+解：∵方程x2-（2m+2）x+m2+5=0有兩個相等的實數(shù)根∴?

=[-(2m+2)]2-4(m2+5)=8m-16=0∴m=2原式=1+0=1

七樓A座辦公家園三、解答題解：∵方程x2-（2m+2）x+m2+5=0有兩個一元二次方程第二部分內(nèi)容

一、一元二次方程根的判別式二、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系三、二次三項式的因式分解四.一元二次方程應(yīng)用題七樓A座辦公家園一元二次方程第二部分內(nèi)容七樓A座辦公家園

一元二次方程根的判別式

兩不相等實根兩相等實根無實根一元二次方程一元二次方程根的判式是:判別式的情況根的情況定理與逆定理兩個不相等實根

兩個相等實根

無實根(無解)一、七樓A座辦公家園一元二次方程根的判別式兩不相等實根兩相等實根無實根一元二例1：不解方程，判別下列方程的根的情況（1）（3）（2）解：（1）

=

判別式的應(yīng)用:所以，原方程有兩個不相等的實根。說明：解這類題目時，一般要先把方程化為一般形式，求出△，然后對△進行計算，使△的符號明朗化，進而說明△的符號情況，得出結(jié)論。1、不解方程，判別方程的根的情況

七樓A座辦公家園例1：不解方程，判別下列方程的根的情況（1）（3）（2）解：例2：當(dāng)k取什么值時，已知關(guān)于x的方程：（1）方程有兩個不相等的實根；（2）方程有兩個相等的實根；（3）方程無實根；解：△=(1).當(dāng)△>0

，方程有兩個不相等的實根,8k+9>0,即

(2).當(dāng)△=0

，方程有兩個相等的實根,8k+9=0,即

(3).當(dāng)△

<0

，方程有沒有實數(shù)根,8k+9<0,即

2、根據(jù)方程的根的情況確定方程的待定系數(shù)的取值范圍

說明：解此類題目時，也是先把方程化為一般形式，再算出△，再由題目給出的根的情況確定△的情況。從而求出待定系數(shù)的取值范圍K＜七樓A座辦公家園例2：當(dāng)k取什么值時，已知關(guān)于x的方程：解：△=(1).當(dāng)△例3、已知m為非負整數(shù)，且關(guān)于x的方程：有兩個實數(shù)根，求m的值。解：∵方程有兩個實數(shù)根∴解得：∵m為非負數(shù)∴m=0或m=1說明：當(dāng)二次項系數(shù)也含有待定的字母時，要注意二次項系數(shù)不能為0，還要注意題目中待定字母的取值范圍.七樓A座辦公家園例3、已知m為非負整數(shù)，且關(guān)于x的方程：解：∵方程有兩個實例4、求證：關(guān)于x的方程：有兩個不相等的實根。證明：所以，無論m取任何實數(shù),方程有兩個不相等的實數(shù)根。無論m取任何實數(shù)都有：即：△>03、證明方程根的情況說明：此類題目要先把方程化成一般形式，再計算出△，如果不能直接判斷△情況，就利用配方法把△配成含用完全平方的形式，根據(jù)完全平方的非負性，判斷△的情況，從而證明出方程根的情況七樓A座辦公家園例4、求證：關(guān)于x的方程：證明：所以，練習(xí)：1、不解方程，判別下列方程的根的情況（1）（3）（2）2、已知關(guān)于x的方程：有兩個不相等的實數(shù)根，k為實數(shù)，求k的取值范圍。