歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）（理科專用）1．【2022年全國(guó)甲卷】已知函數(shù)fx=e(1)若fx≥0，求(2)證明：若fx有兩個(gè)零點(diǎn)x1,【答案】(1)(?(2)證明見的解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為ex(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞f'(x)=(令f(x)=0,得x=1當(dāng)x∈(0,1),f當(dāng)x∈(1,+∞),f若f(x)≥0,則e+1?a≥0,即所以a的取值范圍為(?(2)由題知,f(x)一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1不妨設(shè)x要證x1x因?yàn)閤1,因?yàn)閒(x1即證e即證e下面證明x>1時(shí)，e設(shè)g(x)=e則g=(1?設(shè)φ(x)=所以φ(x)>φ(1)=e,而所以exx所以g(x)在(1,+∞即g(x)>g(1)=0,所以e令?(x)=?所以?(x)在(1,+∞即?(x)<?(1)=0,所以lnx?綜上,exx?x【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式?(x)=ln2．【2022年全國(guó)乙卷】已知函數(shù)f(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)0,f(2)若fx在區(qū)間?1,0,0,+【答案】(1)y=2x(2)(?【解析】【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對(duì)a分類討論,對(duì)x分(?1,0),(0,+∞(1)f(x)的定義域?yàn)??1,+當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ln(1+x)+xex所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=2x(2)f(x)=f設(shè)g(x)=1°若a>0,當(dāng)x∈(?1,0),g(x)=e所以f(x)在(?1,0)上單調(diào)遞增,f(x)<f(0)=0故f(x)在(?1,0)上沒有零點(diǎn),不合題意2°若?1?a?0,當(dāng)x∈(0,+∞所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增所以g(x)>g(0)=1+a?0所以f(x)在(0,+∞)故f(x)在(0,+∞3°若(1)當(dāng)x∈(0,+∞),則g'(x)=eg(0)=1+a<0,g(1)=所以存在m∈(0,1),使得g(m)=0,即f當(dāng)x∈(0,m),f當(dāng)x∈(m,+∞所以當(dāng)x∈(0,m),f(x)<f(0)=0當(dāng)x→+所以f(x)在(m,+∞又(0,m)沒有零點(diǎn),即f(x)在(0,+∞(2)當(dāng)x∈(?1,0),g(x)=設(shè)?(x)=?所以g'(x)在g所以存在n∈(?1,0),使得g當(dāng)x∈(?1,n),g當(dāng)x∈(n,0),g'又g(?1)=所以存在t∈(?1,n),使得g(t)=0,即f當(dāng)x∈(?1,t),f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(t,0),f(x)單調(diào)遞減有x→?1,f(x)→?而f(0)=0,所以當(dāng)x∈(t,0),f(x)>0所以f(x)在(?1,t)上有唯一零點(diǎn),(t,0)上無(wú)零點(diǎn)即f(x)在(?1,0)上有唯一零點(diǎn)所以a<?1,符合題意所以若f(x)在區(qū)間(?1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn),求a【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)a的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.3．【2022年新高考1卷】已知函數(shù)f(x)=ex?ax(1)求a；(2)證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【答案】(1)a=1(2)見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)b>1時(shí)，ex?x=b的解的個(gè)數(shù)、x?lnx=b的解的個(gè)數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)?(x)=ex+lnx?2x，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且可得f(x),g(x)(1)f(x)=ex?ax的定義域?yàn)镽若a≤0，則f'(x)>0，此時(shí)f(x)無(wú)最小值，故g(x)=ax?lnx的定義域?yàn)?0,+∞當(dāng)x<lna時(shí)，f'(x)<0，故當(dāng)x>lna時(shí)，f'(x)>0，故故f(x)當(dāng)0<x<1a時(shí)，g'(x)<0，故當(dāng)x>1a時(shí)，g'(x)>0，故故g(x)因?yàn)閒(x)=ex?ax故1?ln1a=a?aln設(shè)g(a)=a?11+a?故g(a)為(0,+∞)上的減函數(shù)，而故g(a)=0的唯一解為a=1，故1?a1+a=ln綜上，a=1.(2)由（1）可得f(x)=ex?x和g(x)=x?當(dāng)b>1時(shí)，考慮ex?x=b的解的個(gè)數(shù)、設(shè)S(x)=ex?x?b當(dāng)x<0時(shí)，S'(x)<0，當(dāng)x>0時(shí)，故S(x)在(?∞,0)上為減函數(shù)，在所以S(x)而S(?b)=e?b>0設(shè)u(b)=eb?2b，其中b>1故u(b)在(1,+∞)上為增函數(shù)，故故S(b)>0，故S(x)=ex?x?b設(shè)T(x)=x?lnx?b，當(dāng)0<x<1時(shí)，T'(x)<0，當(dāng)x>1時(shí)，故T(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+∞所以T(x)而T(e?b)=T(x)=x?lnx?b有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即當(dāng)b=1，由（1）討論可得x?lnx=b、當(dāng)b<1時(shí)，由（1）討論可得x?lnx=b、故若存在直線y=b與曲線y=f(x)、y=g(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則b>1.設(shè)?(x)=ex+lnx?2x設(shè)s(x)=ex?x?1，x>0故s(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，故s(x)>s(0)=0即所以?'(x)>x+1x?1≥2?1>0而?(1)=e?2>0，故?(x)在(0,+∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x0當(dāng)0<x<x0時(shí)，?(x)<0即ex當(dāng)x>x0時(shí)，?(x)>0即ex因此若存在直線y=b與曲線y=f(x)、y=g(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故b=f(x此時(shí)ex?x=b有兩個(gè)不同的零點(diǎn)此時(shí)x?lnx=b有兩個(gè)不同的零點(diǎn)故ex1?x1=b所以x4?b=lnx4故x4?b為方程ex?x=b的解，同理又ex1?x1=b可化為故x1+b為方程x?lnx=b的解，同理所以{x1,故{x0=【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)注意對(duì)參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.4．【2022年新高考2卷】已知函數(shù)f(x)=xe(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<?1，求a的取值范圍；(3)設(shè)n∈N?，證明：【答案】(1)f(x)的減區(qū)間為(?∞,0)，增區(qū)間為(2)a≤(3)見解析【解析】【分析】（1）求出f'(x)，討論其符號(hào)后可得（2）設(shè)?(x)=xeax?ex+1，求出?″(x)，先討論a>1（3）由（2）可得2lnt<t?1t對(duì)任意的t>1恒成立，從而可得(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=(x?1)ex，則當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)<0，當(dāng)x>0時(shí)，故f(x)的減區(qū)間為(?∞,0)，增區(qū)間為(2)設(shè)?(x)=xeax?又?'(x)=(1+ax)e則g'若a>12，則因?yàn)間'故存在x0∈(0,+∞)，使得故g(x)在(0,x0)故?(x)在(0,x0)若0<a≤12，則下證：對(duì)任意x>0，總有l(wèi)n(1+x)<x證明：設(shè)S(x)=ln(1+x)?x，故故S(x)在(0,+∞)上為減函數(shù)，故S(x)<S(0)=0即由上述不等式有eax+故?'(x)≤0總成立，即?(x)在所以?(x)<?(0)=?1.當(dāng)a≤0時(shí)，有?'所以?(x)在(0,+∞)上為減函數(shù)，所以綜上，a≤1(3)取a=12，則?x>0，總有令t=e12故2tlnt<t2?1所以對(duì)任意的n∈N?，有整理得到：ln(n+1)?故1=ln故不等式成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的符號(hào)合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.5．【2021年甲卷理科】已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.【解析】【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）方法一：利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，并結(jié)合的正負(fù)，零點(diǎn)和極限值分析的圖象，進(jìn)而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調(diào)性得到的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，,令得,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù),設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)由與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)解，取對(duì)數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)解．構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．由于，當(dāng)時(shí)，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)知，所以，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的解為且．所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．[方法三]分離法：一曲一直曲線與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)為在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相同的解．因?yàn)椋詢蛇吶?duì)數(shù)得，即，問題等價(jià)為與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．②當(dāng)時(shí)，取上一點(diǎn)在點(diǎn)的切線方程為，即．當(dāng)與為同一直線時(shí)有得直線的斜率滿足：時(shí)，與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．記，令，有．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；時(shí)，最大值為，所當(dāng)且時(shí)有．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．[方法四]：直接法．因?yàn)椋傻茫?dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．因?yàn)?，且，所以，即，即，兩邊取?duì)數(shù)，得，即．令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．故實(shí)數(shù)a的范圍為．]【整體點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，屬較難試題，方法一：將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.方法二：將問題取對(duì)，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.方法三：將問題取對(duì)，分成與兩個(gè)函數(shù)，研究對(duì)數(shù)函數(shù)過原點(diǎn)的切線問題，將切線斜率與一次函數(shù)的斜率比較得到結(jié)論．方法四：直接求導(dǎo)研究極值，單調(diào)性，最值，得到結(jié)論.6．【2021年乙卷理科】設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．【答案】（1）；（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)由（Ⅰ）知，，其定義域?yàn)椋C，即證，即證．（?。┊?dāng)時(shí)，，，即證．令，因?yàn)椋栽趨^(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，即證，由（ⅰ）分析知在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．綜合（?。áⅲ┯校甗方法二]【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無(wú)分母函數(shù)由（1）得，，且，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；同理，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時(shí)，，單減，故；當(dāng)時(shí)，，單增，故；綜上所述，在恒成立.[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見結(jié)論證明令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．故當(dāng)且時(shí)，且，，即，所以．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，同理可證得．綜合（?。áⅲ┑茫?dāng)且時(shí)，，即．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一利用不等式的性質(zhì)分類轉(zhuǎn)化分式不等式：當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為證明，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而證得；方法二利用不等式的性質(zhì)分類討論分別轉(zhuǎn)化為整式不等式：當(dāng)時(shí)，成立和當(dāng)時(shí)，成立，然后換元構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)而證得，通性通法，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，證得常見常用結(jié)論（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．然后換元得到，分類討論，利用不等式的基本性質(zhì)證得要證得不等式，有一定的巧合性.7．【2021年新高考1卷】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.(2)方法二：將題中的等式進(jìn)行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)的定義域?yàn)椋傻?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價(jià)轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)椋谑敲}轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因?yàn)椋裕?，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對(duì)數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，即又因?yàn)椋?，即．因?yàn)椋?，即．綜上，有結(jié)論得證．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對(duì)稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識(shí)和技能.方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)是最基本的極值點(diǎn)偏移問題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.8．【2021年新高考2卷】已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)①；②．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時(shí)：，當(dāng)時(shí)，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．9．【2020年新課標(biāo)1卷理科】已知函數(shù).（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2）【解析】【分析】(1)由題意首先對(duì)函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.(2)方法一：首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，，由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.(2)[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)由得，，其中，①.當(dāng)x=0時(shí)，不等式為：，顯然成立，符合題意；②.當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)a得，，記，，令，則，，故單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞增，，由可得：恒成立，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；因此，,綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.[方法二]：特值探路當(dāng)時(shí)，恒成立．只需證當(dāng)時(shí)，恒成立．當(dāng)時(shí)，．只需證明⑤式成立．⑤式，令，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減．從而，即，⑤式成立．所以當(dāng)時(shí)，恒成立．綜上．[方法三]：指數(shù)集中當(dāng)時(shí)，恒成立，記，，①.當(dāng)即時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意；②.若即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以若滿足，只需，即，所以當(dāng)時(shí)，成立；③當(dāng)即時(shí)，，又由②可知時(shí)，成立，所以時(shí)，恒成立，所以時(shí)，滿足題意.綜上，.【整體點(diǎn)評(píng)】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，常用方法技巧有：方法一，分離參數(shù)，優(yōu)勢(shì)在于分離后的函數(shù)是具體函數(shù)，容易研究；方法二，特值探路屬于小題方法，可以快速縮小范圍甚至得到結(jié)果，但是解答題需要證明，具有風(fēng)險(xiǎn)性；方法三，利用指數(shù)集中，可以在求導(dǎo)后省去研究指數(shù)函數(shù)，有利于進(jìn)行分類討論，具有一定的技巧性！10．【2020年新課標(biāo)2卷理科】已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；（2）證明：；（3）設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)確定其在各個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)[方法一]由題意將所給的式子進(jìn)行變形，利用四元基本不等式即可證得題中的不等式；(3)[方法一]將所給的式子進(jìn)行恒等變形，構(gòu)造出(2)的形式，利用(2)的結(jié)論即可證得題中的不等式.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，則：，在上的根為：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.(2)[方法一]【最優(yōu)解】：基本不等式法由四元均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)等號(hào)成立．所以．[方法二]：構(gòu)造新函數(shù)+齊次化方法因?yàn)?，令，則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值．求導(dǎo)得，令，得．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．所以函數(shù)的最大值為，故．[方法三]：結(jié)合函數(shù)的周期性進(jìn)行證明注意到，故函數(shù)是周期為的函數(shù)，結(jié)合(1)的結(jié)論，計(jì)算可得：，，，據(jù)此可得：，，即.(3)[方法一]【最優(yōu)解】：利用(2)的結(jié)論由于，所以．[方法二]：數(shù)學(xué)歸納法+放縮當(dāng)時(shí)，，顯然成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)原式成立，即．那么，當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)不等式也成立．綜上所述，不等式對(duì)所有的都成立．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：基本不等式是證明不等式的重要工具，利用基本不等式解題時(shí)一定要注意等號(hào)成立的條件；方法二：齊次化之后切化弦是一種常用的方法，它將原問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的問題，然后構(gòu)造函數(shù)即可證得題中的不等式；方法三：周期性是三角函數(shù)的重要特征，結(jié)合函數(shù)的周期性和函數(shù)的最值證明不等式充分體現(xiàn)了三角函數(shù)有界限的應(yīng)用.(3)方法一：利用(2)的結(jié)論體現(xiàn)了解答題的出題思路，逐問遞進(jìn)是解答題常見的設(shè)問方式；方法二：數(shù)學(xué)歸納法是處理與自然數(shù)有關(guān)的命題的常見策略，放縮法是不等式證明中常見的方法.11．【2020年新課標(biāo)3卷理科】設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，解方程即可；（2）方法一：由（1）可得，易知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，采用反證法，推出矛盾即可.【詳解】（1）因?yàn)?，由題意，，即：，則．（2）［方法一］：通性通法由（1）可得，，令，得或；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，若所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對(duì)值大于1的零點(diǎn)，則或，即或.當(dāng)時(shí)，，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；當(dāng)時(shí)，，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.［方法二］【最優(yōu)解】：設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，且，則．從而．令，由判別式，可知在R上有解，的對(duì)稱軸是，所以在區(qū)間上有一根為，在區(qū)間上有一根為，進(jìn)而有，所以的所有零點(diǎn)的絕對(duì)值均不大于1．［方法三］：設(shè)是函數(shù)的一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，且．設(shè)，則，顯然在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．又，于是的值域?yàn)椋O(shè)為函數(shù)的零點(diǎn)，則必有，于是，所以解得，即．綜上，的所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．［方法四］：由（1）知，，令，得或．則在區(qū)間內(nèi)遞增，在區(qū)間內(nèi)遞減，在區(qū)間內(nèi)遞增，所以的極大值為的極小值為．（?。┤簦椿?，有唯一一個(gè)零點(diǎn)，顯然有，不滿足題意；（ⅱ）若，即或，有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)一個(gè)零點(diǎn)為，顯然有，此時(shí)，，則，另一個(gè)零點(diǎn)為1，滿足題意；同理，若一個(gè)零點(diǎn)為，則另一個(gè)零點(diǎn)為．（ⅲ）若，即，有三個(gè)零點(diǎn)，易知在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為，顯然有，又，，所以在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)m，顯然，同理，在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)n，有．綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．［方法五］：設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)且，則是的另一個(gè)零點(diǎn)．．則，設(shè)，由判別式，所以方程有解．假設(shè)實(shí)數(shù)滿足．由，得．與矛盾，假設(shè)不成立．所以，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：先通過研究函數(shù)的單調(diào)性，得出零點(diǎn)可能所在區(qū)間，再根據(jù)反證法思想即可推出矛盾，是通性通法；方法二：利用零點(diǎn)的定義以及零點(diǎn)存在性定理即可求出，是本題的最優(yōu)解；方法三：利用零點(diǎn)的定義結(jié)合題意求出的范圍，然后再由零點(diǎn)定義以及的范圍即可求出所有零點(diǎn)的范圍，從而證出；方法四：由函