初等數學模型問題一：公平席位分配問題公平席位分配是人類社會中相當普遍一類權益分配問題，這個問題起源于美國眾議院議員在各州名額分配問題。席位分配問題某校有200名學生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若學生代表會議設20個席位，問三系各有多少個席位？按通例分配席位方案，即按人數百分比分配標準表示某單位席位數表示某單位人數表示總人數表示總席位數1問題提出20個席位分配結果系別人數所占百分比分配方案席位數甲100100/200(50/100)?20=10乙6060/200(30/100)?20=6丙4040/200(20/100)?20=4現丙系有6名學生分別轉到甲、乙系各3名。系別人數所占百分比分配方案席位數甲103103/200=51.5%51.5%?20=10.3乙6363/200=31.5%31.5%?20=6.3丙3434/200=17.0%17.0%?20=3.410641064現象1

丙系雖少了6人，但席位仍為4個。（不公平?。榱嗽诒頉Q提案時可能出現10：10平局，再設一個席位。21個席位分配結果系別人數所占百分比分配方案席位數甲103103/200=51.5%51.5%?21=10.815乙6363/200=31.5%31.5%?21=6.615丙3434/200=17.0%17.0%?21=3.5701173現象2

總席位增加一席，丙系反而降低一席。（不公平?。┩ɡ峙浞椒ǎ喊窗俜直确峙渫耆≌麛得~后，剩下名額按通例分給小數部分較大者。存在不公平現象，能否給出更公平分配席位方案？2建模分析目標：建立公平分配方案。反應公平分配數量指標可用每席位代表人數來衡量。系別人數席位數每席位代表人數公平程度甲10310103/10=10.3中乙63663/6=10.5差丙34434/4=8.5好系別人數席位數每席位代表人數甲10010100/10=10乙60660/6=10丙40440/4=10系別人數席位數每席位代表人數公平程度甲10311103/11=9.36中乙63763/7=9好丙34334/3=11.33差普通地，單位人數席位數每席位代表人數AB當席位分配公平但通常不一定相等，席位分配不公平程度用以下標準來判斷。此值越小分配越趨于公平，但這并不是一個好衡量標準。單位人數p席位數n每席位代表人數絕對不公平標準A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,D不公平程度大為改進！2）相對不公平表示每個席位代表人數，總人數一定時，此值越大，代表人數就越多，分配席位就越少。則A吃虧,或對A是不公平。定義“相對不公平”對A相對不公平值；同理，可定義對B相對不公平值為：對B相對不公平值；建立了衡量分配不公平程度數量指標制訂席位分配方案標準是使它們盡可能小。3建模模型1若A、B兩方已占有席位數為用相對不公平值討論當席位增加1個時，應該給A還是B方。不失普通性，有下面三種情形。情形1說明即使給A單位增加1席，仍對A不公平，所增這一席必須給A單位。情形2說明當對A不公平時，給A單位增加1席，對B又不公平。計算對B相對不公平值情形3說明當對A不公平時，給B單位增加1席，對A不公平。計算對A相對不公平值則這一席位給A單位，不然給B單位。結論：當（*）成立時，增加一個席位應分配給A單位，反之，應分配給B單位。記則增加一個席位應分配給Q值較大一方。這么分配席位方法稱為Q值方法。若A、B兩方已占有席位數為4推廣有m方分配席位情況設方人數為，已占有個席位，當總席位增加1席時，計算則1席應分給Q值最大一方。從開始，即每方最少應得到以1席，（假如有一方1席也分不到，則把它排除在外。）設有k個部門，每個部門人數分別

為

,總人數N，待分配席位為m，理想化席位分配結果為,記

顯然，若全為整數時，應有

當不全為整數時，需要確定同時滿足以下公理公平分配方案：模型2公理1、

，即

取

，其中

，

，

表示

整數部分。公理2、，即總席位增加時，各個部門席位數不會降低。公理1顯然滿足Young公理公理IV（公平分攤性），公理2顯然滿足Young公理公理I（人口單調性）和公理III（名額單調性）設總人數為n，總席位數為m，第個部門人數為，令稱其為對第個部門絕對不公平值。令稱其為對第個部門相對不公平值，或稱為相對尾數。因為人口數是整數，為使分配公平，需全部

越小越好，所以公平分配方案應該是最大

到達最小，亦即全部到達最小。為方便起見，首先考慮只有兩個部門情況，而且

，

和

不全是整數（實際上，它們同為整數或小數）。記，即為小數部分。 定理、滿足公理1、2分配方案為：(1)若

，且

，則取，（即“百分比加通例”方法）。(2)若

，則取得結果同上.

(3)若

，則取按照定理，對三個部門，設全不為零（若有一個為零，實則按兩個部門進行分配），能夠做以下公平分配當時；按百分比取整后，多出席位分配給小數部分較大部門（百分比加通例方法）。當時；按百分比取整后，若多出一個席位，則分配給第一個部門，若多出兩個席位，則分配給第一個部門及第二、三部門中小數部分較大部門。當初

；按百分比取整后，若多出一個席位，則分配給第一、二部門中小數部分較大部門，若多出兩個席位，則分配給第一部門和第二部門。當初

；按百分比取整后，若多出一個席位，則分配給第一部門；若多出兩個席位，則分配給第一部門和第二部門。普通地，對個部門，設不全為零，且，則當時，將剩下個席位分配給第一至第個部門，當時，將剩下個席位分配給第一至第-1個部門及(較大一個部門。單位人數20個席位21個席位分配百分比X，BQ，H分配百分比XBQH110310.3101110.815101111122636.3666.61577663343.4433.574343總和2002020202121212121X-表示相對尾數法分配結果，B-表示百分比加通例分配結果，Q-表示Q-值法分配結果，H-表示d’Hondt法（文[1]）分配結果5舉例甲、乙、丙三系各有些人數103，63，34，有21個席位，怎樣分配？按Q值方法：練習學校共1000學生，235人住在A樓，333人住在B樓，432