PAGEPAGE5函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性及函數(shù)的圖像(一)復(fù)習(xí)指導(dǎo)單調(diào)性：設(shè)函數(shù)y＝f(x)定義域?yàn)锳，區(qū)間MA，任取區(qū)間M中的兩個(gè)值x1，x2，改變量Δx＝x2－x1＞0，那么當(dāng)Δy＝f(x2)－f(x1)＞0時(shí)，就稱(chēng)f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)，當(dāng)Δy=f(x2)－f(x1)＜0時(shí)，就稱(chēng)f(x)在區(qū)間M上是減函數(shù)．如果y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間M上是增(減)函數(shù)，那么說(shuō)y=f(x)在這一區(qū)間上具有單調(diào)性，這一區(qū)間M叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，在給定區(qū)間上，判斷函數(shù)增減性，最根本的方法就是利用定義：在所給區(qū)間任取x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)判斷相應(yīng)的函數(shù)值f(x1)與f(x2)的大小．利用圖象觀察函數(shù)的單調(diào)性也是一種常見(jiàn)的方法，教材中所有根本初等函數(shù)的單調(diào)性都是由圖象觀察得到的．對(duì)于y=f[φ(x)]型雙重復(fù)合形式的函數(shù)的增減性，可通過(guò)換元，令u=φ(x)，然后分別根據(jù)u=φ(x)，y=f(u)在相應(yīng)區(qū)間上的增減性進(jìn)行判斷，一般有“同那么增，異那么減〞這一規(guī)律．此外，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性，更是一種非常重要的方法，這一方法將在后面的復(fù)習(xí)中有專(zhuān)門(mén)的討論，這里不再贅述．奇偶性：(1)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)任意一個(gè)x，都有－x∈D，且f(－x)=－f(x)，那么這個(gè)函數(shù)叫做奇函數(shù)；設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)任意一個(gè)x，都有－x∈D，且f(－x)=f(x)，那么這個(gè)函數(shù)叫做偶函數(shù)．函數(shù)的奇偶性有如下重要性質(zhì)：f(x)奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．f(x)為偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．此外，由奇函數(shù)定義可知：假設(shè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，那么一定有f(0)=0，此時(shí)函數(shù)f(x)的圖象一定通過(guò)原點(diǎn)．周期性：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)成立，那么函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．關(guān)于函數(shù)的周期性，下面結(jié)論是成立的．(1)假設(shè)T為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，那么kT也是f(x)的周期(k為非零整數(shù))．(2)假設(shè)T為y=f(x)的最小正周期，那么為y=Af(ωx+φ)+b的最小正周期，其中ω≠0．對(duì)稱(chēng)性：假設(shè)函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(a－x)=f(b+x)那么y=f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，假設(shè)函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(a－x)=－f(b+x)那么y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱(chēng)．函數(shù)的圖象：函數(shù)的圖象是函數(shù)的一種重要表現(xiàn)形式，利用函數(shù)的圖象可以幫助我們更好的理解函數(shù)的性質(zhì)，我們首先要熟記一些根本初等函數(shù)的圖象，掌握根本的作圖方法，如描點(diǎn)作圖，三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖法等，掌握通過(guò)一些變換作函數(shù)圖象的方法．同時(shí)要特別注意體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法在解題中的靈活應(yīng)用．(1)利用平移變換作圖：y=f(x)y=f(x＋a)y=f(x)y=f(x)＋b(2)利用和y=f(x)對(duì)稱(chēng)關(guān)系作圖：y=f(－x)與y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；y=－f(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)y=－f(－x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；y=f-1(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)(3)利用y=f(x)圖象自身的某種對(duì)稱(chēng)性作圖y=|f(x)|的圖象可通過(guò)將y=f(x)的圖象在x軸下方的局部關(guān)于x軸旋轉(zhuǎn)180°，其余局部不變的方法作出．y=f(|x|)的圖象：可先做出y=f(x)，當(dāng)x≥0時(shí)的圖象，再利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，作出y=f(x)(x＜0)的圖象．此外利用伸縮變換作圖問(wèn)題，待三角的復(fù)習(xí)中再進(jìn)行研究．還要記住一些結(jié)論：假設(shè)函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(a－x)=f(b+x)那么y=f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，假設(shè)函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(a－x)=－f(b+x)那么y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱(chēng)．(二)解題方法指導(dǎo)例1．設(shè)a≠0，試確定函數(shù)在(－1，1)上的單調(diào)性．例2．討論的增減性．例3．f(x)在(－∞，2)上是增函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(4－x)=f(x)成立，判斷f(x)在(2，+∞)上的增減性．例4*．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n，都有且當(dāng)時(shí)，f(x)＞0．又(Ⅰ)求證(Ⅱ)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并進(jìn)行證明例5．在R上求一個(gè)函數(shù)，使其既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)例6．判斷以下函數(shù)的奇偶性(2)(其中φ(x)為奇函數(shù)，a＞0且a≠1)．例7．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，判斷它的增減性．例8．設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽且以2為一個(gè)周期的周期函數(shù)，也是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[2，3]時(shí)f(x)=(x－1)2+1，求當(dāng)x∈[1，2]時(shí)f(x)的解析式．例9．作出的圖象，并指出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，漸近線，及函數(shù)的單調(diào)性．例10．作出函數(shù)的圖象(1)(2)y=|lg|x||例11．(1)作出方程｜x｜+｜y｜=1所表示的曲線．(2)作出方程｜x－1｜+｜y+1｜=1所表示的曲線．例12．函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且f(x)=x2+2x．(1)求函數(shù)g(x)的解析式；(2)解不等式g(x)≥f(x)－｜x－1｜．例題解析例1解：任取x1，x2∈(－1，1)，且Δx=x2－x1＞0，那么由于－1＜x1＜x2＜1，所以Δx=x2－x1＞0，1＋x1x2＞0，1－＞0，1－＞0．因此當(dāng)a＞0時(shí)，Δy=f(x2)－f(x1)＞0，當(dāng)a＜0時(shí)，Δy=f(x2)－f(x1)＜0．所以當(dāng)a＞0時(shí)f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)，當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)在(－1，1)上是減函數(shù)．例2分析：可先在(0，＋∞)上研究f(x)的增減性，然后根據(jù)f(x)的奇偶性判斷其在(－∞，0)上的增減性，而當(dāng)x＞0時(shí)，有當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=〞成立，即當(dāng)時(shí)，f(x)取得最小值由此可知x=是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一個(gè)分界點(diǎn)．解：任取x1，x2∈(0，]，且Δx=x2－x1＞0那么因?yàn)棣=x2－x1＞0，且，因此Δy=f(x2)－f(x1)＜0，故f(x)在上是減函數(shù)．同理可證f(x)在是增函數(shù)．又由可知f(x)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以可知f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．綜上所述，在和上是增函數(shù)，在，上是減函數(shù)．例3解：任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，那么由2＜x1＜x2得2＞4－x1＞4－x2因?yàn)閒(x)在(－∞，2)上是增函數(shù)，所以有f(4－x1)＞f(4－x2)而由又有f(4－x1)=f(x1)，f(4－x2)=f(x2)，所以f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(2，＋∞)上是減函數(shù)．小結(jié)：注意體會(huì)解題中的劃歸思想．此題假設(shè)是一個(gè)小題，由f(4－x)=f(x)可知f(x)的圖像關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)，立即就可以判斷出f(x)在(2，＋∞)上是減函數(shù)．例4分析：判斷這類(lèi)抽象函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是根據(jù)去創(chuàng)造條件，利用單調(diào)性的定義進(jìn)行和判斷，可以采用分析法尋求解題思路．解：(Ⅰ)由f(m＋n)=f(m)＋f(n)得f(0)=f(0＋0)=2f(0)有f(0)=－又由及得(Ⅱ)任取x1，x2∈R且Δx＝x2－x1＞0那么根據(jù)可得那么有函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)．例5解：設(shè)所求的R上的函數(shù)為f(x)，那么由函數(shù)奇偶性定義得f(－x)=－f(x)①，f(－x)=f(x)②，聯(lián)立①②，消去f(－x)，得f(x)=0．顯然函數(shù)f(x)=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，所以f(x)=0就是所求的函數(shù)．例6解：(1)因?yàn)閷?duì)任意x∈R，都有，所以函數(shù)定義域?yàn)镽任取x∈R，那么－x∈R且有所以是奇函數(shù)(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽．任取x∈R，那么－x∈R，且有所以是偶函數(shù)．例7解：顯然x∈[－1，1]，－x∈[－1，1]，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以對(duì)區(qū)間[－1，1]內(nèi)任意實(shí)數(shù)x均有f(－x)=－f(x)成立，即，也就是這是關(guān)于x的恒等式，比擬兩端分子分母對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，可得a=b=0．所以任取x1，x2∈[－1，1]，且Δx=x2－x1＞0那么因?yàn)椋?≤x1＜x2≤1，所以Δx=x2－x1＞0，1－x1x2＞0，因此Δy=f(x2)－f(x1)＞0，所以當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)為增函數(shù)．注：此題也可以通過(guò)f(0)=0，f(－1)=－f(－1)求得a=b=0例8分析：此題的解答要抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一個(gè)是f(x)為偶函數(shù)，再一個(gè)是f(x)為周期函數(shù)，通過(guò)畫(huà)出草圖，就會(huì)發(fā)現(xiàn)可以先求出當(dāng)x∈[－3，－2]時(shí)函數(shù)的解析式，在利用周期性求出當(dāng)x∈[1，2]時(shí)f(x)的解析式，要注意體會(huì)劃歸的思想方法．解：當(dāng)x∈[－3，－2]時(shí)－x∈[2，3]所以f(－x)=(－x－1)2＋1=(x＋1)2＋1，因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，因此當(dāng)x∈[－3，－2]時(shí)，f(x)=(x＋1)2＋1當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，x－4∈[－3，－2]，有f(x－4)=(x－4＋1)2＋1=(x－3)2＋1，因?yàn)?為f(x)的周期，可知－4也為f(x)一個(gè)周期，有f(x－4)=f(x)故x∈[1，2]時(shí)f(x)=(x－3)2＋1．例9解：因?yàn)樗詫⒌膱D象向左平移一個(gè)單位，再向上平移兩個(gè)單位，即可得到的圖象，如圖由圖象可以得到：對(duì)稱(chēng)中心為(－1，2)漸近線分別為x=－1，y=2函數(shù)在(－∞，－1)和(－1，＋∞)上都是增函數(shù)．例10解：(1)將函數(shù)的圖象向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位，即可的得到，如圖．(2)y=｜lg｜x｜｜為偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)先作出y=lgx的圖象，在根據(jù)奇偶性作出y=lg｜x｜的圖象，最后將y=lg｜x｜在橫軸下面的圖象關(guān)于x軸旋轉(zhuǎn)180°，其余局部不變．即可得到y(tǒng)=｜lg｜x｜｜的圖象，如圖．例11分析，曲線｜x｜＋｜y｜=1是關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)圖形，利用對(duì)稱(chēng)性可以很快的作出曲線，至于曲線｜x－1｜＋｜y＋1｜=1，只需通過(guò)將曲線｜x｜＋｜y｜＝1適當(dāng)平移即可得到．解：(1)先作出線段x＋y=1(x≥1，y≥1)，再作出該線段分別關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)分別對(duì)稱(chēng)的線段，就得到方程｜x｜＋｜y｜=1所表示的曲線，如圖．(2)將(1)中方程｜x｜＋｜y｜=1所表示的曲線右移一個(gè)單位，下移一個(gè)單位就得到方程｜x－1｜＋｜y