“探索三角形全等的條件（一）”的教學(xué)案例

教學(xué)內(nèi)容

蘇科版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)》七年級下冊第十二章第三節(jié)第一課時。

教材分析

本課時是探索三角形全等的條件的第一課時。主要內(nèi)容是三角形兩邊一角全等條件的探索過程，三角形全等的“邊角邊”條件及其簡單的應(yīng)用。在新課程教材中，三角形全等的判定條件的探索是分五節(jié)課進(jìn)行的。由于所教班的同學(xué)求知欲望強，對于未知的知識有積極探索的欲望，為適應(yīng)學(xué)生這種要求，我對教材內(nèi)容重新整合，增加了一個生活中應(yīng)用的例子，并且共同探討了SSA的問題，這樣不但易于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和探索欲望，也為以后鞏固與深化三角形全等條件的應(yīng)用提供了更廣闊的時間和空間。

學(xué)生的認(rèn)知狀況分析：

學(xué)生通過前面的學(xué)習(xí)已了解了圖形的全等的概念及特征，掌握了全等圖形（包括全等三角形）的對應(yīng)邊、對應(yīng)角的關(guān)系，這為探究三角形全等的條件做好了知識上的準(zhǔn)備。另外，學(xué)生也具備了利用已知條件作三角形的基本作圖能力，這使學(xué)生能主動參與本節(jié)課的操作、探究成為可能。

教學(xué)目標(biāo)

1．知識技能達(dá)成目標(biāo)：通過學(xué)生動手畫圖、剪紙、理解和掌握三角形全等的“邊角邊”的判定方法。會運用該判定方法證明三角形全等。進(jìn)而證明線段或角相等問題。

2．過程方法揭示目標(biāo)：經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程。培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力、邏輯思維能力，發(fā)展有條理地表達(dá)能力，在教學(xué)中向?qū)W生滲透全等變換的思維方法。

3．情感態(tài)度孕育目標(biāo)：在自主探索三角形全等的條件的過程中，經(jīng)歷畫圖、觀察、操作、比較、推理、交流等環(huán)節(jié)，培養(yǎng)參與、合作精神、以及探索精神和探索能力，從而獲得正確的學(xué)習(xí)方式和良好的情感體驗。

教學(xué)的重點與難點：

重點：三角形全等條件的探索過程是本節(jié)課的重點。

從設(shè)置情景提出問題，到動手操作，交流，直至歸納得出結(jié)論，整個過程學(xué)生不僅得到了兩個三角形全等的條件，更重要得是經(jīng)歷了知識的形成過程，體會了一種分析問題的方法，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，這將有利于學(xué)生更好的理解數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)。

難點：三角形全等條件的探索過程，特別是創(chuàng)設(shè)出問題后，學(xué)生面對開放性問題，要做出全面、正確得分析，并對各種情況進(jìn)行討論，對初一學(xué)生有一定的難度。

根據(jù)初一學(xué)生年齡、生理及心理特征，還不具備獨立系統(tǒng)地推理幾何問題的能力，思維受到一定的局限，考慮問題不夠全面，因此要充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，適時點撥、引導(dǎo)，盡可能調(diào)動所有學(xué)生的積極性、主動性參與到合作探討中來，使學(xué)生在與他人的合作交流中獲取新知，并使個性思維得以發(fā)展。

設(shè)計意圖：

任何數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)都會經(jīng)歷：“猜想—驗證—推廣—說理—應(yīng)用”這一過程，它是研究數(shù)學(xué)的基本思路。

本節(jié)課先通過對三角形全等需具備的條件的個數(shù)的探討，從而科學(xué)、大膽地提出猜想，進(jìn)一步到“邊角邊”判定條件的研究，接著用剪紙的辦法來驗證“邊角邊”，然后共同體驗結(jié)論的簡單應(yīng)用，對于優(yōu)等生設(shè)置了進(jìn)一步推廣的空間，最后對探索到的數(shù)學(xué)知識又加以應(yīng)用。三角形全等需具備三個條件而本節(jié)課主要研究了“邊角邊”，與“邊角邊”類同的“邊邊角”可作為接下來最先研究的問題。所以在本節(jié)課的尾聲設(shè)置了關(guān)于“邊邊角”的探究，既承接“邊角邊”的研究并體現(xiàn)與之的區(qū)別又為研究其它判定三角形全等的條件作鋪墊，這樣充分地體現(xiàn)了課標(biāo)的過程教學(xué)，也完美地展示了數(shù)學(xué)研究的基本思路。

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)探究欲望

師：生活的五彩繽紛離不開生活中美麗的圖形，讓我們共同來欣賞幾幅生活中的全等圖形。

動畫演示

師：生活中處處有數(shù)學(xué)，就讓我們帶著數(shù)學(xué)的眼光一起走進(jìn)全等三角形。

動畫演示兩全等三角形后出現(xiàn)以下六個圖形。

（在下圖中，每個圖形都有兩個三角形全等，

根據(jù)已知條件，寫出其余相等的對應(yīng)邊和對應(yīng)角）

A

B

C

D

E

（1）（2）（3）

A

B

C

D

1

2

（4）（5）（6）

題目：

（1）△ACB≌△DEF，其中A與D，C與E是對應(yīng)頂點；

（2）△ABC≌△ADC，其中∠BAC=∠DAC；

（3）△ABC≌△ADE，其中AB=AD；

（4）△ABC≌△DCB，其中∠1和∠2是對應(yīng)角；

（5）△ABE≌△ACD，其中∠B=∠C；

（6）△ABE≌△DCE，其中BE=CE；

答案：

（1）AC=DE，AB=DF，CB=EF，∠A=∠D，∠C=∠DEF，∠ABC=∠F

（2）AB=AD，BC=DC，AC=AC，∠ACB=∠ACD，∠B=∠D；

（3）BC=DE，AC=AE，∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，∠C=∠E；

（4）AB=DC，AC=DB，BC=CB，∠1=∠2，∠A=∠D，∠ABC=∠DCB

（5）AB=AC，AE=AD，BE=CD，∠A=∠A，∠AEB=∠ADC

（6）AB=DC，AE=DE，∠A=∠D，∠B=∠C，∠AEB=∠DEC

師：同學(xué)們，你們可以選擇一個你喜歡的圖形點擊，這樣即出現(xiàn)相應(yīng)題目，思考如何解決。（網(wǎng)絡(luò)教室）

生：各自操作思考，進(jìn)行自主復(fù)習(xí)。（自己可查詢答案）

簡析一方面讓學(xué)生回憶學(xué)過的相關(guān)內(nèi)容，為“探索三角形全等的條件”作伏筆，激發(fā)“探索三角形全等的條件”的欲望；另一方面讓學(xué)生了解到兩個全等的三角形可任意變換其位置而有不同的改變。同時考慮學(xué)生可根據(jù)其意愿去選擇思考的題形。

二、鼓勵大膽猜想，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)結(jié)論

師：我們不禁會想，要你畫兩個三角形全等需要幾個與邊或角的大小有關(guān)的條件呢？一個條件、兩個條件、三個條件，還是…

生：三個！

師：同學(xué)們的猜想是否正確呢？還是讓大家共同來議一議。如果只給一個條件：給一條邊對應(yīng)相等或給一個角對應(yīng)相等行嗎？

生A：不行，我畫了兩個三角形滿足一條邊和一個角對應(yīng)相等，但這兩個三角形不全等。（學(xué)生畫的三角形放在畫圖板上給大家看）

師：你太棒了！直接給出滿足一條邊和一個角對應(yīng)相等的兩個三角形不全等的反例，當(dāng)然也間接肯定了滿足一個條件的兩個三角形不一定全等。

師：給兩個條件還有哪些可能性？

生B：除了給一條邊和一個角，還可能是“兩個角”或“兩條邊”。

師：答的非常好。哪位同學(xué)愿意來談?wù)劇皾M足兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形是否全等”。

生C：不一定全等，比如這個三角尺內(nèi)側(cè)的三角形與外圍的三角形滿足三個角相等，但它們不全等（C手里拿著一個常用的三角尺）

師：太好了！你的觀察力太強了！不僅推翻了“滿足兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等”，而且還說明了滿足三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等。

師：那如果滿足“兩條邊”對應(yīng)相等的兩個三角形呢？你有發(fā)現(xiàn)嗎？

生：不全等！

師：為什么呢？

生：因為角度不固定，可變化。

師：給三個條件會有哪些可能性？

生D：給三個角、三條邊。

師：還有沒有需要補充的。

生E：兩條邊和一個角

生F：兩個角和一條邊。

師：我們這節(jié)課主要來探討其中的一種情況“兩條邊和一個角”對應(yīng)相等的兩個三角形，其它情況我們以后逐一研究。兩條邊和一個角在三角形中的位置分布會有幾種情況呢？請同座位先相互交流一下。

交流完畢

生G：角可能是兩條邊的夾角，也可能是其中一邊的對角。

師：很好，那就先探討“兩邊和夾角對應(yīng)相等的兩個三角形”，讓我們動手畫一畫再剪一剪吧！

多媒體展示剪一剪的內(nèi)容（剪出一個滿足條件的三角形，條件：以10cm、20cm的線段為邊，它們的夾角為600）

學(xué)生開始動手操作：先在紙上畫好，接著用剪刀剪下。

師：四人小組交流，將剪下的三角形放在一起進(jìn)行比較。你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：重合生：全等

師：將你的三角形拿去和你好朋友的比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：重合生：全等

師：剛才的發(fā)現(xiàn)讓你想到了什么？

生H：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。

師：概括的太精彩了！這樣看來，同學(xué)們只要多觀察、多思考，將來都有可能成為科學(xué)家，說不定將來就要學(xué)習(xí)在座各位所發(fā)現(xiàn)探究出來的知識了。（同學(xué)們開心的笑）

多媒體展示

簡析在教材的基礎(chǔ)上作合理的變化，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。在學(xué)生探索新知識的經(jīng)歷和獲得新知識的過程中，注意培養(yǎng)學(xué)生直覺猜想的能力，鍛煉學(xué)生發(fā)散性思維；同時通過學(xué)生的討論交流，不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，體驗到合作的力量，讓學(xué)生在長知識的同時，也長了智慧，還嘗試到互助成功的喜悅，培養(yǎng)了良好的思維品質(zhì)。

三、典型例題初探，師生達(dá)成共識

多媒體展示，

（例1、如圖AB=AD，∠BAC=∠DAC，△ABC和△ADC全等嗎？為什么？）

師：小組內(nèi)先交流。你有解決這個問題的方法了嗎？聰明的同學(xué)們，誰來先分析。

生I：在這兩個三角形中AC邊是公共的所以相等，而題目又已知了AB=AD，

∠BAC=∠DAC，這樣滿足“SAS”的條件，所以全等

師：大家贊同他的分析嗎？

生：贊同

師：那就鼓勵一下（掌聲）

在電腦上師生共同完成解題過程。

四、嘗試應(yīng)用知識，及時反饋矯正

師：對于剛才的兩個三角形的全等，大家說明的非常棒。老師這兒有一些三角形，請你們判斷一下它們是否全等？

多媒體展示反饋練習(xí)中的第一類題

1、如圖，下列三角形中，哪兩個三角形是全等三角形？

4

5

300

300

4

4

4

6

400

①②③

6

4

400

400

4

4

4

300

5

④⑤⑥

生J：①和④③和⑤

師：你認(rèn)為他的結(jié)論正確嗎？

生：正確

師：J同學(xué)能解釋一下嗎？

生J：因為它們都有兩條邊及夾角對應(yīng)相等，所以是全等的。

師：非常好，你的觀察力和概括能力都非常棒。

簡析：教學(xué)要以人為本、因材施教。所以這里另配有中等難度題和一個難些的題讓一部分學(xué)生和個別學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，以避免“吃不飽”現(xiàn)象。對基礎(chǔ)薄弱的同學(xué)不作要求。反饋練習(xí)中2、3題使運用又上了一個新臺階——利用三角形全等證明線段或角相等。

2、已知：如圖，點E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C

問：AF和DE相等嗎？為什么？

A

B

C

D

E

F

解：

∵=

∴+=+

即=

在△和△中

=

∵∠=∠

=

∴△≌△（）

∴=（全等三角形的對應(yīng)邊相等）

3、已知：如圖，AC=AB，AE=AD，∠1=∠2

問：∠3和∠4相等嗎？為什么？

解：

∵∠=∠

∴∠+∠=∠+∠

即∠=∠

1

2

3

4

A

B

C

D

E

在△和△中

=

∵∠=∠

=

∴△≌△（）

∴∠=∠（全等三角形的對應(yīng)角相等）

五、師生聚焦課堂，歸納小結(jié)評價

師：從這節(jié)課里你收獲到什么？還想了解什么？

生K：我知道了判定兩個三角形全等可以用“邊角邊”的方法

生L：判定兩個三角形全等后又可以得到對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等

生M：我還想知道判定兩個三角形全等還有哪些方法？

生N：三角形全等有什么實際用途呢？

師：好！只要同學(xué)們學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去看世界，相信你會發(fā)現(xiàn)這個世界更廣闊、更精彩！

六、延伸拓展課堂，體驗生活數(shù)學(xué)

多媒體展示（A、B間有一高樓，如要測A、B兩點的距離，你有什么好方法？）

師：這是課后小組交流的一個問題

七、引導(dǎo)探究方向，培養(yǎng)發(fā)散思維

師：對于“探索三角形全等的條件”本節(jié)課只做了一個開始，有了本節(jié)課的探索思路，相信同學(xué)們課后自己一定會探索到更多的結(jié)論，可從類似的“兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形開始”。課后先獨立思考再小組交流，以到達(dá)成功的彼岸。多媒體展示

教學(xué)后記：對于全等三角形的研究，實際是平面幾何中對封閉的兩個圖形關(guān)系研究的第一步。它是兩個三角形間最簡單，最常見的關(guān)系。它不僅是學(xué)習(xí)后面知識的基礎(chǔ)，并且是證明線段相等、角相等以及兩線互相垂直、平行的重要依據(jù)。因此必須熟練地掌握全等三角形的判定方法，并且靈