數(shù)值分析NumericalValueAnalysis數(shù)值分析研究的對象

數(shù)值分析是計(jì)算數(shù)學(xué)的范疇，有時也稱它為計(jì)算數(shù)學(xué)、計(jì)算方法、數(shù)值方法等，其研究對象是各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法的設(shè)計(jì)、分析及其有關(guān)的數(shù)學(xué)理論和具體實(shí)現(xiàn)的一門學(xué)科，它是一個數(shù)學(xué)分支。是科學(xué)與工程計(jì)算（科學(xué)計(jì)算）的理論支持。數(shù)值分析既有純數(shù)學(xué)高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點(diǎn)，又有應(yīng)用數(shù)學(xué)的廣泛性與實(shí)際試驗(yàn)的高度技術(shù)性的特點(diǎn)。數(shù)值分析研究的對象它是一門與計(jì)算機(jī)使用密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程。許多科學(xué)與工程實(shí)際問題（核武器的研制、導(dǎo)彈的發(fā)射、氣象預(yù)報(bào)）的解決都離不開科學(xué)計(jì)算。目前，試驗(yàn)、理論、計(jì)算已成為人類進(jìn)行科學(xué)活動的三大方法。數(shù)值分析研究的對象

它與其他學(xué)科相結(jié)合也產(chǎn)生一些邊緣科學(xué)，如計(jì)算力學(xué)、計(jì)算物理、計(jì)算生物學(xué)及計(jì)算經(jīng)濟(jì)學(xué)等。

計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行加減乘除四則運(yùn)算和一些簡單的函數(shù)計(jì)算(即使是函數(shù)也是通過數(shù)值分析方法處理，轉(zhuǎn)化為四則運(yùn)算而形成了的一個小型論軟件包)。

本門課程將著重紹進(jìn)行科學(xué)計(jì)算所必須掌握的一些最基本、最常用的算法，并分析其誤差。

科學(xué)計(jì)算的過程，是從數(shù)學(xué)模型的提出到上機(jī)計(jì)算得出結(jié)果的完整過程。（下圖表明了其中的主要步驟和相互關(guān)系）數(shù)學(xué)化離散化程序化數(shù)學(xué)模型構(gòu)造算法編制程序上機(jī)運(yùn)行輸出結(jié)果實(shí)際問題數(shù)值分析研究的對象數(shù)值分析研究的任務(wù)①將計(jì)算機(jī)不能直接計(jì)算的運(yùn)算，化成在計(jì)算機(jī)上可執(zhí)行的運(yùn)算。②針對數(shù)值問題研究可在計(jì)算機(jī)上執(zhí)行且行之有效的新的計(jì)算公式。例：解線性方程組，已有Cram法則，但不可行。③誤差分析，即研究數(shù)值問題的性態(tài)和數(shù)值方法的穩(wěn)定性。數(shù)值分析研究的目的①學(xué)習(xí)一些常用的數(shù)值方法，掌握數(shù)值方法的基本理論，為進(jìn)一步研究新算法奠定基礎(chǔ)。初步掌握一種軟件包：Matlab,Mathematic等的使用方法。課程主要內(nèi)容代數(shù)插值法；曲線擬合與函數(shù)逼近；數(shù)值積分與數(shù)值微分；

線性代數(shù)方程組數(shù)值求解的直接法；線性代數(shù)方程組數(shù)值求解的迭代法；非線性方程與方程組數(shù)值求解；常微分方程數(shù)值求解。第一章緒論主要內(nèi)容：一些常用概念；數(shù)值計(jì)算中的誤差；運(yùn)算誤差分析；算法的基本概念；數(shù)值型算法的特點(diǎn)；算法設(shè)計(jì)的基本方法；算法的復(fù)雜度；數(shù)值型算法的穩(wěn)定性。1.計(jì)算方法中常用的一些概念

數(shù)值問題數(shù)值解算法計(jì)算量病態(tài)問題良態(tài)問題數(shù)值穩(wěn)定算法數(shù)值問題、數(shù)值解、算法

由一組已知數(shù)據(jù)（輸入數(shù)據(jù)），求出一組結(jié)果數(shù)據(jù)（輸出數(shù)據(jù)），使得這兩組數(shù)據(jù)之間滿足預(yù)先制定的某種關(guān)系的問題，稱為數(shù)值問題。經(jīng)過計(jì)算機(jī)的計(jì)算求出的解，或由數(shù)值計(jì)算公式得出的解稱為數(shù)值解。一般數(shù)值解是近似值。由給定的已知量，經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算及規(guī)定的運(yùn)算順序，求出所關(guān)心的未知量的數(shù)值解，這樣所構(gòu)成的整個計(jì)算步驟，稱為算法。

計(jì)算量一個算法所需要的乘法和除法總次數(shù)稱為計(jì)算量。計(jì)算量的單位為flop，表示完成一次浮點(diǎn)數(shù)乘或除法所需要的時間。算法的計(jì)算量可以衡量算法的優(yōu)劣，因?yàn)樗w現(xiàn)著算法的計(jì)算效率，通常算法的計(jì)算量越小，則算法的計(jì)算效率越高，因而該算法也越好。由于計(jì)算機(jī)做加減法要比乘除法快得多，故算法的計(jì)算量可以不考慮加減法的時間。例:設(shè)A，Ｂ，Ｃ分別為10×20，20×50，50×10的矩陣，計(jì)算D=ABC就有如下不同的算法和計(jì)算量算法1：D=(AB)C計(jì)算量N1=15000flop;

算法2：D=A(BC)計(jì)算量N2=12000flop.

病態(tài)問題因初始數(shù)據(jù)的微小變化，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的劇烈變化問題稱為病態(tài)問題。病態(tài)問題也稱為壞問題、不良問題，這類問題通常是問題本身固有的。求解病態(tài)問題應(yīng)該特別注意，因?yàn)閷?shí)際問題的數(shù)據(jù)都是近似的或經(jīng)計(jì)算機(jī)計(jì)算要對輸入數(shù)據(jù)做舍入處理，這都引起原始數(shù)據(jù)的擾動，若所求解的正好是個病態(tài)問題，則采用通常算法計(jì)算就會出現(xiàn)很隱蔽的錯誤，導(dǎo)致不良的后果。病態(tài)問題在函數(shù)計(jì)算方程組求根及方程組求解中都是存在的，它的計(jì)算或求解應(yīng)用專門的方法或?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為非病態(tài)問題來求解。

數(shù)值穩(wěn)定算法

在計(jì)算過程中產(chǎn)生的舍入誤差能被控制在一定的范圍內(nèi)，且對最后的結(jié)果影響不大的算法稱為穩(wěn)定算法。不是數(shù)值穩(wěn)定的算法稱為數(shù)值不穩(wěn)定算法。

數(shù)值不穩(wěn)定算法會導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果失真，對數(shù)值不穩(wěn)定的算法常采用轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的數(shù)值穩(wěn)定的算法來處理。

2.對算法所要考慮的問題計(jì)算速度。例如，求解一個20階線性方程組，用加減消元法需3000次乘法運(yùn)算，而用克萊姆法則要進(jìn)行次運(yùn)算，如用每秒1億次乘法運(yùn)算的計(jì)算機(jī)要30萬年。2.對算法所要考慮的問題2.存儲量。

大型問題有必要考慮。3.數(shù)值穩(wěn)定性。

在大量計(jì)算中，舍入誤差是積累還是能控制，這與算法有關(guān)。3.數(shù)值計(jì)算中的誤差來源及種類

---模型誤差、參數(shù)誤差、截?cái)嗾`差、舍入誤差。1.模型誤差（也稱描述誤差）模型誤差是在建立數(shù)學(xué)模型時，由于忽略了一些次要因素而產(chǎn)生的誤差，它是數(shù)學(xué)建模階段要考慮的誤差，不是計(jì)算方法可以解決的。2.參數(shù)誤差（也稱觀測誤差）測量已知參數(shù)時，數(shù)據(jù)帶來的誤差，它也不是計(jì)算方法能解決的問題。觀測得到的物理量：如問題、長度、電壓等。

數(shù)值計(jì)算中的誤差3.截?cái)嗾`差（也稱方法誤差）截?cái)嗾`差是對參與計(jì)算的數(shù)學(xué)公式做簡化可行處理后所產(chǎn)生的誤差（用有限過程代替無限過程或用容易計(jì)算的方法代替不容易計(jì)算的方法），是計(jì)算方法關(guān)注的內(nèi)容。4.舍入誤差（也稱計(jì)算誤差）舍入誤差是由于計(jì)算機(jī)只能表示有限位數(shù)字，因而只能取有限位數(shù)進(jìn)行計(jì)算所得的誤差，它也是計(jì)算方法關(guān)注的內(nèi)容。數(shù)值計(jì)算中的誤差舍入誤差不可避免，很難控制。求解過程中產(chǎn)生的誤差現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)模型離散格式模型誤差建模離散舍入誤差觀測模型截?cái)嗾`差數(shù)值解計(jì)算

數(shù)值計(jì)算中的誤差誤差的基本概念

絕對誤差

---近似數(shù)x*

關(guān)于準(zhǔn)確數(shù)x

的絕對誤差：

E(x)=x

－x*（或E(x*)=x

－x*)）

---近似數(shù)x*

關(guān)于準(zhǔn)確數(shù)x

的絕對誤差限：

｜E(x)｜=｜x

－x*

｜

---工程上表示準(zhǔn)確數(shù)x

的范圍：

x*

－

x

x*

+

或x=

x*

---函數(shù)值的絕對誤差：

E[f(x)]

f'(x)

E(x)

數(shù)值計(jì)算中的誤差相對誤差

---近似數(shù)x*

關(guān)于準(zhǔn)確數(shù)x

的相對誤差：---函數(shù)值的相對誤差限：---近似數(shù)x*

關(guān)于準(zhǔn)確數(shù)x

的相對誤差限（實(shí)際應(yīng)用）：

數(shù)值計(jì)算中的誤差有效數(shù)字設(shè)x*是x的一個近似值，如果x*的絕對誤差限是它的某一位的半個單位，則說近似值準(zhǔn)確到這一位，若該位到x*

的第一位非零數(shù)字攻有n位，則稱這n

位數(shù)字為有效數(shù)字。例題下列近似值的絕對誤差限都是0.005，試問各個近似值有幾位有效數(shù)字？（3，2，無）

數(shù)值計(jì)算中的誤差有效數(shù)字

---用x*

表示x

時準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第k

位：---近似數(shù)x*

具有n(>0)位有效數(shù)字：

數(shù)值計(jì)算中的誤差一般地，一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個數(shù)精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確的數(shù)位止，所有的數(shù)字，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字．例：10/3通過四舍五入得到的如下近似數(shù)，各精確到哪一位，各有哪幾個有效數(shù)字？（1）3.3

（2）3.33例：按四舍五入原則寫出下各數(shù)具有５位有效數(shù)字的近似數(shù)。

(1)187.9325(2)0.03785551(3)8.000033(4)2.7182818

數(shù)值計(jì)算中的誤差有效數(shù)字與相對誤差的關(guān)系

---n

位有效數(shù)字的近似數(shù)x*其相對誤差：---相對誤差為

的近似數(shù)x*至少具有n位有效數(shù)字。注：在未標(biāo)明近似數(shù)的絕對誤差時默認(rèn)該近似數(shù)準(zhǔn)確到末位數(shù)字，從其最左邊的非零數(shù)字起直到最右邊的一位數(shù)字止均為有效數(shù)字。4.數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的幾個問題某些原則

---１．使用收斂穩(wěn)定的計(jì)算方法；２．小心處理病態(tài)的數(shù)學(xué)問題；３．注意簡化計(jì)算步驟，減少算術(shù)運(yùn)算的次數(shù)；４．避免兩個相近的數(shù)相減，避免絕對值太小的數(shù)作除數(shù)；５．防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)．4.數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的幾個問題(1)需要1+2+3+…+n次乘法;(2)需要n次乘法.注意簡化計(jì)算步驟:4.數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的幾個問題避免兩個相近的數(shù)相減：4.數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的幾個問題避免絕對值太小的數(shù)作除數(shù):計(jì)算機(jī)運(yùn)算時，絕對值很小的數(shù)作除數(shù)會溢出停機(jī)，而且當(dāng)絕對