.PAGE.有理數(shù)混合運(yùn)算的方法技巧一、理解運(yùn)算順序有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：①從高級(jí)到低級(jí)：先算乘方,再算乘除,最后算加減；有理數(shù)的混合運(yùn)算涉及多種運(yùn)算,確定合理的運(yùn)算順序是正確解題的關(guān)鍵。例1：計(jì)算：3＋50÷22×<>－1②從內(nèi)向外：如果有括號(hào),就先算小括號(hào)里的,再算中括號(hào)里的,最后算大括號(hào)里的。例2：計(jì)算：③從左向右：同級(jí)運(yùn)算,按照從左至右的順序進(jìn)行。例3：計(jì)算：二、應(yīng)用四個(gè)原則：1、整體性原則：乘除混合運(yùn)算統(tǒng)一化乘,統(tǒng)一進(jìn)行約分；加減混合運(yùn)算按正負(fù)數(shù)分類,分別統(tǒng)一計(jì)算,或把帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)、分?jǐn)?shù)部分拆開,分別統(tǒng)一計(jì)算。2、簡明性原則：計(jì)算時(shí)盡量使步驟簡明,能夠一步計(jì)算出來的就同時(shí)算出來；運(yùn)算中盡量運(yùn)用簡便方法,如五個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用。3、口算原則：在每一步的計(jì)算中,都盡量運(yùn)用口算,口算是提高運(yùn)算率的重要方法之一,習(xí)慣于口算,有助于培養(yǎng)反應(yīng)能力和自信心。4、分段同時(shí)性原則：對(duì)一個(gè)算式,一般可以將它分成若干小段,同時(shí)分別進(jìn)行運(yùn)算。如何分段呢?主要有：<1>運(yùn)算符號(hào)分段法。有理數(shù)的基本運(yùn)算有五種：加、減、乘、除和乘方,其中加減為第一級(jí)運(yùn)算,乘除為第二級(jí)運(yùn)算,乘方為第三級(jí)運(yùn)算。在運(yùn)算中,低級(jí)運(yùn)算把高級(jí)運(yùn)算分成若干段。一般以加號(hào)、減號(hào)把整個(gè)算式分成若干段,然后把每一段中的乘方、乘除的結(jié)果先計(jì)算出來,最后再算出這幾個(gè)加數(shù)的和。把算式進(jìn)行分段,關(guān)鍵是在計(jì)算前要認(rèn)真審題,妥用整體觀察的辦法,分清運(yùn)算符號(hào),確定整個(gè)式子中有幾個(gè)加號(hào)、減號(hào),再以加減號(hào)為界進(jìn)行分段,這是進(jìn)行有理數(shù)混合運(yùn)算行之有效的方法。<2>括號(hào)分段法,有括號(hào)的應(yīng)先算括號(hào)里面的。在實(shí)施時(shí)可同時(shí)分別對(duì)括號(hào)內(nèi)外的算式進(jìn)行運(yùn)算。<3>絕對(duì)值符號(hào)分段法。絕對(duì)值符號(hào)除了本身的作用外,還具有括號(hào)的作用,從運(yùn)算順序的角度來說,先計(jì)算絕對(duì)值符號(hào)里面的,因此絕對(duì)值符號(hào)也可以把算式分成幾段,同時(shí)進(jìn)行計(jì)算。<4>分?jǐn)?shù)線分段法,分?jǐn)?shù)線可以把算式分成分子和分母兩部分并同時(shí)分別運(yùn)算。例2計(jì)算：-0.252÷<－EQ\F<1,2>>4-<-1>101＋<-2>2×<-3>2說明：本題以加號(hào)、減號(hào)為界把整個(gè)算式分成三段,這三段分別計(jì)算出來的結(jié)果再相加。三、掌握運(yùn)算技巧〔1、歸類組合：將不同類數(shù)<如分母相同或易于通分的數(shù)>分別組合；將同類數(shù)<如正數(shù)或負(fù)數(shù)>歸類計(jì)算。〔2、湊整：將相加可得整數(shù)的數(shù)湊整,將相加得零的數(shù)〔如互為相反數(shù)相消?！?、分解：將一個(gè)數(shù)分解成幾個(gè)數(shù)和的形式,或分解為它的因數(shù)相乘的形式。〔4、約簡：將互為倒數(shù)的數(shù)或有倍數(shù)關(guān)系的數(shù)約簡?！?、倒序相加：利用運(yùn)算律,改變運(yùn)算順序,簡化計(jì)算。例計(jì)算2+4+6+…+2000〔6、正逆用運(yùn)算律：正難則反,逆用運(yùn)算定律以簡化計(jì)算。乘法分配律a<b+c>=ab+ac在運(yùn)算中可簡化計(jì)算．而反過來,ab+ac=a<b+c>同樣成立,有時(shí)逆用也可使運(yùn)算簡便。例3計(jì)算：<1>-32EQ\F<16,25>÷<-8×4>+2.52+<EQ\F<1,2>+EQ\F<2,3>－EQ\F<3,4>－EQ\F<11,12>>×24<2><－EQ\F<3,2>>×<－EQ\F<11,15>>－EQ\F<3,2>×<－EQ\F<13,15>>＋EQ\F<3,2>×<－EQ\F<14,15>>四、理解轉(zhuǎn)化的思想方法有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是確定符號(hào)和絕對(duì)值的問題。因此在運(yùn)算時(shí)應(yīng)把握"遇減化加．遇除變乘,乘方化乘",這樣可避免因記憶量太大帶來的一些混亂,同時(shí)也有助于學(xué)生抓住數(shù)學(xué)內(nèi)在的本質(zhì)問題。把我們所學(xué)的有理數(shù)運(yùn)算概括起來?？蓺w納為三個(gè)轉(zhuǎn)化：一個(gè)是通過絕對(duì)值將加法、乘法在先確定符號(hào)的前提下,轉(zhuǎn)化為小學(xué)里學(xué)的算術(shù)數(shù)的加法、乘法；二是通過相反數(shù)和倒數(shù)分別將減法、除法轉(zhuǎn)化為加法、乘法；三是將乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為積的形式。若掌握了有理數(shù)的符號(hào)法則和轉(zhuǎn)化手段,有理數(shù)的運(yùn)算就能準(zhǔn)確、快速地解決了。例計(jì)算：〔1<-6>-<+5>+<-9>+<-4>-<-9><2><-2EQ\F<1,2>>÷1EQ\F<1,4>×<-4><3>22+<2-5>×EQ\F<1,3>×[1-<-5>2]六、會(huì)用三個(gè)概念的性質(zhì)如果a,b互為相反數(shù),那么a+b=O,a=-b；如果c,d互為倒數(shù),那么cd=l,c=1/d；如果|x|=a<a＞0>,那么x=a或-a。例6已知a、b互為相反數(shù),c、d互為倒數(shù),x的絕對(duì)值等于2,試求x2-<a+b+cd>x+<a+b>2000+<-cd>2001的值。有理數(shù)的混合運(yùn)算典型例題例1計(jì)算：。分析：此算式以加、減分段,應(yīng)分為三段：,,。這三段可以同時(shí)進(jìn)行計(jì)算,先算乘方,再算乘除．式中－0.2化為參加計(jì)算較為方便。解：原式說明：做有理數(shù)混合運(yùn)算時(shí),如果算式中不含有中括號(hào)、大括號(hào),那么計(jì)算時(shí)一般用"加"、"減"號(hào)分段,使每段只含二、三級(jí)運(yùn)算,這樣各段可同時(shí)進(jìn)行計(jì)算,有利于提高計(jì)算的速度和正確率。例2計(jì)算：。分析：此題運(yùn)算順序是：第一步計(jì)算和；第二步做乘法；第三步做乘方運(yùn)算；第四步做除法。解：原式說明：由此例題可以看出,括號(hào)在確定運(yùn)算順序上的作用,所以計(jì)算題也需認(rèn)真審題。例3計(jì)算：分析：要求、、的值,用筆算在短時(shí)間內(nèi)是不可能的,必須另辟途徑。觀察題目發(fā)現(xiàn),,,逆用乘法分配律,前三項(xiàng)可以湊成含有0的乘法運(yùn)算,此題即可求出。解：原式說明："0"乘以任何數(shù)等于0。因?yàn)檫\(yùn)用這一結(jié)論必能簡化數(shù)的計(jì)算,所以運(yùn)算中,能夠湊成含"0"因數(shù)時(shí),一般都湊成含有0的因數(shù)進(jìn)行計(jì)算。當(dāng)算式中的數(shù)字很大或很繁雜時(shí),要注意使用這種"湊0法"。例4計(jì)算分析：是的倒數(shù),應(yīng)當(dāng)先把它化成分?jǐn)?shù)后再求倒數(shù)；右邊兩項(xiàng)含絕對(duì)值號(hào),應(yīng)當(dāng)先計(jì)算出絕對(duì)值的算式的結(jié)果再求絕對(duì)值。解：原式說明：對(duì)于有理數(shù)的混合運(yùn)算,一定要按運(yùn)算順序進(jìn)行運(yùn)算,注意不要跳步,每一步的運(yùn)算結(jié)果都應(yīng)在算式中體現(xiàn)出來,此題<1>要注意區(qū)別小括號(hào)與絕對(duì)值的運(yùn)算；<2>要熟練掌握乘方運(yùn)算,注意<-0.1>3,-0.22,<-2>3,-32在意義上的不同。例5計(jì)算：。分析：含有括號(hào)的混合運(yùn)算,一般按小、中、大括號(hào)的順序進(jìn)行運(yùn)算,括號(hào)里面仍然是先進(jìn)行第三級(jí)運(yùn)算,再進(jìn)行第二級(jí)運(yùn)算,最后進(jìn)行第一級(jí)運(yùn)算。解：原式例6計(jì)算解法一：原式解法二：原式說明：加減混合運(yùn)算時(shí),帶分?jǐn)?shù)可以化為假分?jǐn)?shù),也可把帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分與分?jǐn)?shù)部分分別加減,這是因?yàn)閹Х謹(jǐn)?shù)是一個(gè)整數(shù)和一個(gè)分?jǐn)?shù)的和。例如：有理數(shù)的混合運(yùn)算習(xí)題精選一、選擇題1．若,,則有<>。A．B．C．D．2．已知,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),的值是<>。A．B．44C．28D．173．如果,那么的值為<>。A．0B．4C．－4D．24．代數(shù)式取最小值時(shí),值為<>。A．B．C．D．無法確定5．六個(gè)整數(shù)的積〔修改為-36,互不相等,則<>。A．0B．4C．6D．86．計(jì)算所得結(jié)果為<>。A．2B．C．D．二、填空題1．有理數(shù)混合運(yùn)算的順序是________________________。2．已知為有理數(shù),則____0,____0,_____0?！蔡?＞"、"＜"或"≥"＝3．平方得16的有理數(shù)是_________,_________的立方等于－8。4．_________。5．一個(gè)負(fù)數(shù)減去它的相反數(shù)后,再除以這個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值,所得商為__________。三、判斷題1．若為任意有理數(shù),則。<>2．。<>3．。<>4．。<>5．。<>四、解答題1．計(jì)算下列各題：〔1；〔2；〔3；〔4；〔5；〔6；〔7；〔8。2．若有理數(shù)、、滿足等式,試求的值。3．當(dāng),時(shí),求代數(shù)式的值。4．已知如圖2-11-1,橫行和豎列的和相等,試求的值。5．求的值。6．計(jì)算。計(jì)算：有理數(shù)的混合運(yùn)算參考答案：一、1．C2．C3．C4．B5．A6．B二、1．略；2．≥,＞,＜；3．,；4．1；5．。三、1．×2．×3．√4．×5．√四、1．〔1〔2〔3〔4〔530〔6〔7〔8；2．∵,,∴；3．;4．,,;5．設(shè),則,;6．原式。有理數(shù)加、減、乘、除、乘方測試一、選擇1、已知兩個(gè)有理數(shù)的和為負(fù)數(shù),則這兩個(gè)有理數(shù)〔。A、均為負(fù)數(shù)B、均不為零C、至少有一正數(shù)D、至少有一負(fù)數(shù)2、計(jì)算的結(jié)果是〔。A、－21B、35C、－35D、－293、下列各數(shù)對(duì)中,數(shù)值相等的是〔。A、+32與+23B、－23與〔－23C、－32與〔－32D、3×22與〔3×24、某地今年1月1日至4日每天的最高氣溫與最低氣溫如下表：日期1月1日1月2日1月3日1月4日最高氣溫5℃4℃0℃4℃最低氣溫0℃℃℃℃其中溫差最大的是〔。A、1月1日B、1月2日C、1月3日D、1月4日5、已知有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示,下列結(jié)論正確的是〔A、a＞bB、ab＜0C、b－a＞0D、a+b＞06、下列等式成立的是〔。A、100÷×〔－7=100÷B、100÷×〔－7=100×7×〔－7C、100÷×〔－7=100××7D、100÷×〔－7=100×7×77、表示的意義是〔。A、6個(gè)－5相乘的積B、－5乘以6的積C、5個(gè)－6相乘的積D、6個(gè)－5相加的和8、現(xiàn)規(guī)定一種新運(yùn)算"*"：a*b=,如3*2==9,則〔*3=〔。A、B、8C、D、二、填空9、吐魯番盆地低于海平面155米,記作－155m,南岳衡山高于海平面1900米,則衡山比吐魯番盆地高m10、比－1大1的數(shù)為。11、－9、6、－3三個(gè)數(shù)的和比它們絕對(duì)值的和小。12、兩個(gè)有理數(shù)之積是1,已知一個(gè)數(shù)是－,則另一個(gè)數(shù)是。13、計(jì)算〔－2.5×0.37×1.25×〔－4×〔－8的值為。14、一家電腦公司倉庫原有電腦100臺(tái),一個(gè)星期調(diào)入、調(diào)出的電腦記錄是：調(diào)入38臺(tái),調(diào)出42臺(tái),調(diào)入27臺(tái),調(diào)出33臺(tái),調(diào)出40臺(tái),則這個(gè)倉庫現(xiàn)有電腦臺(tái)。15、小剛學(xué)學(xué)習(xí)了有理數(shù)運(yùn)算法則后,編了一個(gè)計(jì)算程序,當(dāng)他輸入任意一個(gè)有理數(shù)時(shí),顯示屏上出現(xiàn)的結(jié)果總等于所輸入的有理數(shù)的平方與1的和,當(dāng)他第一次輸入2,然后又將所得的結(jié)果再次輸入后,顯示屏上出現(xiàn)的結(jié)果應(yīng)是。16、若│a－4│+│b+5│=0,則a－b=；若,則=_________。三、解答17、計(jì)算：8＋<－>－5－<－0.25>7×1÷<－9＋19>25×+<－25>×＋25×<－><－79>÷2＋×<－29><－1>3－<1－>÷3×[3－<－3>2]18、〔1已知|a|=7,|b|=3,求a+b的值。19、已知a、b互為相反數(shù),m、n互為倒數(shù),x絕對(duì)值為2,求的值20、小機(jī)器人從某點(diǎn)O出發(fā)在一直線上來回爬行,假定向右爬行的路程記為正,向左爬行的路程記為負(fù),爬過的路程依次為〔單位：厘米：+5,－3,+10,－8,－6,+12,－10問：〔1機(jī)器人是否回到原點(diǎn)O？〔2機(jī)器人離開出發(fā)點(diǎn)O最遠(yuǎn)是多少厘米？〔3、在爬行過程中,如果每爬行1厘米獎(jiǎng)勵(lì)一粒芝麻,則機(jī)器人共可得到多少粒芝麻？答案一、選擇1、D2、D3、B4、D5、A6、B7、A8、C二、填空9、205510、011、2412、13、－3714、5015、2616、9,－1。三、解答17、,－1/3,－13,3,21/16,0,－48,0。18、±10,±4。19、∵a、b互為相反數(shù),∴a+b=0；∵m、n互為倒數(shù),∴mn=1；∵x的絕對(duì)值為2,∴x=±2,當(dāng)x=2時(shí),原式=－2+0－2=－4；當(dāng)x=－2時(shí),原式=－2+0+2=0。20、〔1、∵5－3+10－8－6+12－10=0∴機(jī)器人最后回到原點(diǎn)O,〔2、12㎝〔3、++++++=54,∴機(jī)器人可得到54粒芝麻。有理數(shù)混合運(yùn)算練習(xí)題一、填空題：1．某天上午的溫度是5℃,中午又上升了3℃,下午由于冷空氣南下,到夜間又下降了9℃,則這天夜間的溫度是℃。2．氣溫上升記作正,那么上升－5℃的意思是。3．＋5.7的相反數(shù)與－7.1的絕對(duì)值的和是。4．已知是6的相反數(shù),比的相反數(shù)小2,則等于。5．已知|a+2|+|b-3|=0,則=。6.計(jì)算|π-3.14|-π的結(jié)果是。7．在-7與37之間插入三個(gè)數(shù),使這5個(gè)數(shù)中每相鄰兩個(gè)數(shù)之間的距離相等,則這三個(gè)數(shù)的和是。8、絕對(duì)值小于3的所有整數(shù)有。9、觀察下列數(shù)：1,2,－3,4,5,－6,7,8,－9…則前12項(xiàng)的和為。10、某冷庫的溫度是零下24℃,下降6℃后,又下降3℃,則兩次變化后的溫度是。11、將有理數(shù)－,,,－由小到大的順序排列正確的順序是。12、計(jì)算：〔－5＋4＝,0－〔－10.6=,〔－1.5－〔＋3=13、互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和等于。14、紅星隊(duì)在4場足球比賽中的戰(zhàn)頃是：第一場3：1勝,第二場2：3負(fù),第三場0：0平,第四場2：5負(fù),紅星隊(duì)在4場比賽中總的凈勝數(shù)是。15、寫出一個(gè)其結(jié)果為2005的加減混合運(yùn)算式。16、數(shù)軸的三要素有原點(diǎn)、正方向和。17、在數(shù)軸上表示－2和3的兩點(diǎn)的距離是。18、在有理數(shù)中最大的負(fù)整數(shù)是,最小的非負(fù)數(shù)。19、7/3的相反數(shù)是,0的相反數(shù)是。20、大于－3而不大于2的整數(shù)是。21、的絕對(duì)值等于5；絕對(duì)值等于本身的數(shù)有。22、化簡：－「－2/3」=,－〔－〔＋2〕=。23、用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空：〔19.5+_____=–18；〔2_____–〔+5.5=–5.5；〔3；〔4。24、從–5中減去–1,–3,2的和,所得的差是_____。25、利用加法的運(yùn)算律,將寫成_______,可使運(yùn)算簡便。4、從與的和中減去所得的差是_____。26、數(shù)軸上從左至右順次有A、B、C三點(diǎn),如果它們所表示的數(shù)的和為零,則其中表示負(fù)數(shù)的點(diǎn)可能是點(diǎn)_____。27、如果,那么的關(guān)系為______。二．選擇：1、下列說法錯(cuò)誤的是〔。A、－8是－〔－8的相反數(shù)B、＋8與－〔＋8互為相反數(shù)C、＋〔－8與＋〔＋8互為相反數(shù)D、＋〔－8與－〔－8互為相反數(shù)2、下列說法中,正確的是〔。A、兩個(gè)正數(shù)相加和為正數(shù)B、兩個(gè)負(fù)數(shù)相加,等于絕對(duì)值相減C、兩個(gè)數(shù)相加,等于它們絕對(duì)值相加D、正數(shù)加負(fù)數(shù),其和一定不為03、把〔－12－〔＋8－〔－3＋〔＋4寫成省略括號(hào)的和的形式應(yīng)為〔。A、－12－8－3＋4B、－12－8＋3＋4C、－12＋8＋3＋4D、12－8－3－44、甲、乙、丙三地的海拔高度分別是20米、－15米和－10米,那么最高的地方比最低的地方高〔。A、25米B、10米C、5米D、35米5、如果x的相反數(shù)的絕對(duì)值為,則x的值為〔。A、B、－C、D、6、有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖,則下列結(jié)論正確的是〔。A、-a＜–b＜a＜bB、a＜–b＜b＜–aa0bC、-b＜a＜–a＜bD、a＜b＜–ba0b7、如果a＝－,b＝－2,c＝－2,那么︱a︱+︱b︱－︱c︱等于〔。A、－B、1C、D、－18、若︱x－3︱＝4,則x的值為〔。A、x＝7B、x＝－1C、x＝7或x＝－1D、以上都不對(duì)9、．校、家、書店依次坐落在一條南北走向的大街上,學(xué)校在家的南邊20米,書店在家北邊100米,張明同學(xué)從家里出發(fā),向北走了50米,接著又向北走了－70米,此時(shí)張明的位置在〔。A.在家

B.在學(xué)校

C.在書店

D.不在上述地方10、火車票上的車次號(hào)有兩個(gè)意義,一是數(shù)字越小表示車速越快,1～98次為特快列車,101～198次為直快列車,301～398次為普快列車,401～498次為普客列車；二是單數(shù)與雙數(shù)表示不同的行駛方向,其中單數(shù)表示從北京開出,雙數(shù)表示開往北京,根據(jù)以上規(guī)定,XX開往北京的某一直快列車的車次號(hào)可能是<

>。<A>

20

<B>119

<C>

120

<D>

31911、甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行立定跳遠(yuǎn)比賽,每人輪流跳一次稱為一輪,每輪按名次從高到低分別得3分、2分、1分<沒有并列名次>,他們一共進(jìn)行了五輪比賽,結(jié)果甲共得14分；乙第一輪得3分,第二輪得1分,且總分最低.那么丙得到的分?jǐn)?shù)是<

>。12、下列說法中正確的是〔。A有最小的自然數(shù),也有最小的整數(shù)。B沒有最小的正數(shù),但有最小的正整數(shù)。C沒有最小的負(fù)數(shù),但有最小的正數(shù)D0是最小的整數(shù)。13、下列判斷不正確的是〔。A一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值一定是正數(shù)。B一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù),即是正數(shù)。C任何有理數(shù)的絕對(duì)值都不是負(fù)數(shù)。D任何有理數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù)。14、下列兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)的是〔。A－1/8與＋0.8B1/3與－0.33C－6與－〔－6D－3.14與π15、下列交換加數(shù)的位置的變形中,正確的是〔B、C、D、16、下列計(jì)算結(jié)果中等于3的是〔。A.B.C.D.17、下列說法正確的是〔。A.兩個(gè)數(shù)之差一定小于被減數(shù)B.減去一個(gè)負(fù)數(shù),差一定大于被減數(shù)C.減去一個(gè)正數(shù),差一定大于被減數(shù)D.0減去任何數(shù),差都是負(fù)數(shù)18、下面說法正確的是〔。A、兩數(shù)之和不可能小于其中的一個(gè)加數(shù)B、兩數(shù)相加就是它們的絕對(duì)值相加C、兩個(gè)負(fù)數(shù)相加,和取負(fù)號(hào),絕對(duì)值相減D、不是互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù),相加不能得零19、如果,那么〔。A、B、C、D、無法確定的取值20、下列等式正確的是〔。A、B、C、D、21、已知,且,則的值為〔。A、–12B、–2C、–2或–12D、222、已知有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是〔。A、B、C、D、23、數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B所表示的數(shù)互為相反數(shù),且點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是–2,P是到點(diǎn)A或點(diǎn)B距離為3的數(shù)軸上的點(diǎn),則所有滿足條件的點(diǎn)P所表示的數(shù)的和為〔。A、0B、6C、10D、16三、解答題計(jì)算〔每小題8分,共32