帶標(biāo)準(zhǔn)答案對數(shù)與對數(shù)函數(shù)經(jīng)典例題帶標(biāo)準(zhǔn)答案對數(shù)與對數(shù)函數(shù)經(jīng)典例題帶標(biāo)準(zhǔn)答案對數(shù)與對數(shù)函數(shù)經(jīng)典例題資料僅供參考文件編號：2022年4月帶標(biāo)準(zhǔn)答案對數(shù)與對數(shù)函數(shù)經(jīng)典例題版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：經(jīng)典例題透析

類型一、指數(shù)式與對數(shù)式互化及其應(yīng)用

1．將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).

思路點撥：運(yùn)用對數(shù)的定義進(jìn)行互化.

解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；

(6).

總結(jié)升華：對數(shù)的定義是對數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對數(shù)形式和指數(shù)形式的互化又是解決問題的重要手段.

舉一反三：

【變式1】求下列各式中x的值：

(1)(2)(3)lg100=x(4)

思路點撥：將對數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求出x.

解：(1)；

(2)；

(3)10x=100=102，于是x=2；

(4)由.

類型二、利用對數(shù)恒等式化簡求值

2．求值：解：.

總結(jié)升華：對數(shù)恒等式中要注意格式：①它們是同底的；②指數(shù)中含有對數(shù)形式；③其值為真數(shù).舉一反三：

【變式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)

思路點撥：將冪指數(shù)中的乘積關(guān)系轉(zhuǎn)化為冪的冪，再進(jìn)行運(yùn)算.

解：.

類型三、積、商、冪的對數(shù)

3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.

(1)lg9(2)lg64(3)lg6(4)lg12(5)lg5(6)lg15

解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a

(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b

(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a

舉一反三：

【變式1】求值

(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2

解：

(1)

(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1

(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2

=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.

【變式2】已知3a=5b=c，，求c的值.

解：由3a=c得：

同理可得

.

【變式3】設(shè)a、b、c為正數(shù)，且滿足a2+b2=c2.求證：.

證明：

.

【變式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0.求證：.

證明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴l(xiāng)g(a+b)2=lg(9ab)，

∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb

即.

類型四、換底公式的運(yùn)用

4．(1)已知logxy=a，用a表示；

(2)已知logax=m，logbx=n，logcx=p，求logabcx.

解：(1)原式=；

(2)思路點撥：將條件和結(jié)論中的底化為同底.

方法一：am=x，bn=x，cp=x

∴，

∴；

方法二：.

舉一反三：

【變式1】求值：(1)；(2)；(3).

解：

(1)

(2)；

(3)法一：

法二：.

總結(jié)升華：運(yùn)用換底公式時，理論上換成以大于0不為1任意數(shù)為底均可，但具體到每一個題，一般以題中某個對數(shù)的底為標(biāo)準(zhǔn)，或都換成以10為底的常用對數(shù)也可.

類型五、對數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用

5．求值

(1)log89·log2732

(2)

(3)

(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

解：(1)原式=.

(2)原式=

(3)原式=

(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

舉一反三：

【變式1】求值：

解：

另解：設(shè)=m(m>0).∴，

∴，∴，

∴l(xiāng)g2=lgm，∴2=m，即.

【變式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=？

解：∵∴，

類型六、函數(shù)的定義域、值域

求含有對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域，其方法與一般函數(shù)的定義域、值域的求法類似，但要注意對數(shù)函數(shù)本身的性質(zhì)（如定義域、值域及單調(diào)性）在解題中的重要作用.

6.求下列函數(shù)的定義域：

(1)；(2).

思路點撥：由對數(shù)函數(shù)的定義知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定義域.

解：(1)因為x2>0，即x≠0，所以函數(shù)；

(2)因為4-x>0，即x<4，所以函數(shù).

舉一反三：

【變式1】求下列函數(shù)的定義域.

(1)y=(2)y=ln(ax-k·2x)(a>0且a11，k?R).

解：(1)因為，所以，

所以函數(shù)的定義域為(1，)(，2).

(2)因為ax-k·2x>0，所以()x>k.

[1]當(dāng)k≤0時，定義域為R；

[2]當(dāng)k>0時，

(i)若a>2，則函數(shù)定義域為(k，+∞)；

(ii)若0<a<2，且a≠1，則函數(shù)定義域為(-∞，k)；

(iii)若a=2，則當(dāng)0<k<1時，函數(shù)定義域為R；當(dāng)k≥1時，此時不能構(gòu)成函數(shù)，否則定義域

為.

【變式2】函數(shù)y=f(2x)的定義域為[-1，1]，求y=f(log2x)的定義域.

思路點撥：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定義域為[，2]，再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定義域為[，4].

類型七、函數(shù)圖象問題

7．作出下列函數(shù)的圖象：

(1)y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2)y=lg|x|；(3)y=-1+lgx.

解：(1)如圖(1)；(2)如圖(2)；(3)如圖(3).

類型八、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用

利用函數(shù)的單調(diào)性可以：①比較大?。虎诮獠坏仁?；③判斷單調(diào)性；④求單調(diào)區(qū)間；⑤求值域和最值.要求同學(xué)們：一是牢固掌握對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；二是理解和掌握復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律；三是樹立定義域優(yōu)先的觀念.

8.比較下列各組數(shù)中的兩個值大小：

(1)，

(2)，

(3)，(a>0且a≠1)

思路點撥：由數(shù)形結(jié)合的方法或利用函數(shù)的單調(diào)性來完成.

(1)解法1：畫出對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象，橫坐標(biāo)為的點在橫坐標(biāo)為的點的下方，

所以，<；

解法2：由函數(shù)y=log2x在R+上是單調(diào)增函數(shù)，且<，所以<；

解法3：直接用計算器計算得：≈，≈，所以<；

(2)與第(1)小題類似，在R+上是單調(diào)減函數(shù)，且<，所以；

(3)注：底數(shù)是常數(shù)，但要分類討論a的范圍，再由函數(shù)單調(diào)性判斷大小.

解法1：當(dāng)a>1時，y=logax在(0，+∞)上是增函數(shù)，且<，所以，<

當(dāng)0<a<1時，y=logax在(0，+∞)上是減函數(shù)，且<，所以，>

解法2：轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，

令b1=，則，令b2=，則

當(dāng)a>1時，y=ax在R上是增函數(shù)，且<

所以，b1<b2，即

當(dāng)0<a<1時，y=ax在R上是減函數(shù)，且<

所以，b1>b2，即.

舉一反三：

【變式1】（2011天津理7）已知則（）

A．B．C．D．

解析：另，，，在同一坐標(biāo)系下作出三個函數(shù)圖像，

由圖像可得

又∵為單調(diào)遞增函數(shù)，∴故選C.

9.證明函數(shù)上是增函數(shù).

思路點撥：此題目的在于讓學(xué)生熟悉函數(shù)單調(diào)性證明通法，同時熟悉利用對函數(shù)單調(diào)性比較同底數(shù)對數(shù)大小的方法.

證明：設(shè)，且x1<x2則

又∵y=log2x在上是增函數(shù)

即f(x1)<f(x2)

∴函數(shù)f(x)=log2(x2+1)在上是增函數(shù).

舉一反三：

【變式1】已知f(logax)=(a>0且a≠1)，試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

解：設(shè)t=logax(x∈R+，t∈R).當(dāng)a>1時，t=logax為增函數(shù)，若t1<t2，則0<x1<x2，

∴f(t1)-f(t2)=，

∵0<x1<x2，a>1，∴f(t1)<f(t2)，∴f(t)在R上為增函數(shù)，

當(dāng)0<a<1時，同理可得f(t)在R上為增函數(shù).∴不論a>1或0<a<1，f(x)在R上總是增函數(shù).

10．求函數(shù)y=(-x2+2x+3)的值域和單調(diào)區(qū)間.

解：設(shè)t=-x2+2x+3，則t=-(x-1)2+4.∵y=t為減函數(shù)，且0<t≤4，

∴y≥=-2，即函數(shù)的值域為[-2，+∞.

再由：函數(shù)y=(-x2+2x+3)的定義域為-x2+2x+3>0，即-1<x<3.

∴t=-x2+2x+3在-1，1）上遞增而在[1，3)上遞減，而y=t為減函數(shù).

∴函數(shù)y=(-x2+2x+3)的減區(qū)間為(-1，1)，增區(qū)間為[1，3.

類型九、函數(shù)的奇偶性

11.判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)(2).

(1)思路點撥：首先要注意定義域的考查，然后嚴(yán)格按照證明奇偶性基本步驟進(jìn)行.

解：由

所以函數(shù)的定義域為：(-1，1)關(guān)于原點對稱

又

所以函數(shù)是奇函數(shù)；

總結(jié)升華：此題確定定義域即解簡單分式不等式，函數(shù)解析式恒等變形需利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).說明判斷對數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的奇偶性，不能輕易直接下結(jié)論，而應(yīng)注意對數(shù)式的恒等變形.

(2)解：由

所以函數(shù)的定義域為R關(guān)于原點對稱

又

即f(-x)=-f(x)；所以函數(shù).

總結(jié)升華：此題定義域的確定可能稍有困難，函數(shù)解析式的變形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.

類型十、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

12．已知函數(shù)f(x)=lg(ax2+2x+1).

(1)若函數(shù)f(x)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍.

思路點撥：與求函數(shù)定義域、值域的常規(guī)問題相比，本題屬非常規(guī)問題，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化成常規(guī)問題.f(x)的定義域為R，即關(guān)于x的不等式ax2+2x+1>0的解集為R，這是不等式中的常規(guī)問題.

f(x)的值域為R與ax2+2x+1恒為正值是不等價的，因為這里要求f(x)取遍一切實數(shù)，

即要求u=ax2+2x+1取遍一切正數(shù)，考察此函數(shù)的圖象的各種情況，如圖，我們會發(fā)現(xiàn)，

使u能取遍一切正數(shù)的條件是.

解：(1)f(x)的定義域為R，即：關(guān)于x的不等式ax2+2x+1>0的解集為R，

當(dāng)a=0時，此不等式變?yōu)?x+1>0，其解集不是R；

當(dāng)a≠0時，有a>1.∴a的取值范圍為a>1.

(2)f(x)的值域為R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正數(shù)a=0或0≤a≤1，

∴a的取值范圍為0≤a≤1.

13．已知函數(shù)h(x)=2x(x∈R)，它的反函數(shù)記作g(x)，A、B、C三點在函數(shù)g(x)的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別為a，a+4，a+8(a>1)，記ΔABC的面積為S.

(1)求S=f(a)的表達(dá)式；(2)求函數(shù)f(a)的值域；

(3)判斷函數(shù)S=f(a)的單調(diào)性，并予以證明；(4)若S>2，求a的取值范圍.

解：(1)依題意有g(shù)(x)=log2x(x>0).

并且A、B、C三點的坐標(biāo)分別為A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，

C(a+8，log2(a+8))(a>1)，如圖.

∴A，C中點D的縱坐標(biāo)為〔log2a+log2(a+8)〕

∴S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).

(2)把S=f(a)變形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2

=2log2(1+).

由于a>1時，a2+8a>9，∴1<1+<，又函數(shù)y=log2x在(0，+∞)上是增函數(shù)，

∴0