空間向量解立體幾何題講義【提綱】一、回顧平面向量的有關(guān)知識(shí)1、平面直角坐標(biāo)系2、平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算3、平面向量的數(shù)量積、模及夾角公式4、平面向量的平行和垂直的的充要條件二、介紹空間向量的有關(guān)知識(shí)（推廣）1、空間直角坐標(biāo)系2、空間向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算3、空間向量的數(shù)量積、模及夾角公式4、空間向量的平行和垂直的充要條件5、直線的方向向量6、平面的法向量7、空間向量的應(yīng)用（1）證明：平行；垂直（2）計(jì)算：角；距離【教學(xué)過(guò)程】一、復(fù)習(xí)回顧平面向量的有關(guān)知識(shí)1、平面直角坐標(biāo)系2、平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算3、平面向量的數(shù)量積、模及夾角公式4、平面向量的平行和垂直的的充要條件二、介紹空間向量的有關(guān)知識(shí)（推廣）（一）空間直角坐標(biāo)系1、建立以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以i,j,k的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，即三條坐標(biāo)軸.稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz，點(diǎn)O叫原點(diǎn)，向量i,j,k都叫坐標(biāo)向量.通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面，yOz平面，zOx平面，如圖所示。注：作空間直角坐標(biāo)系。-xyz時(shí)，一般使ZxOy=135。（或45）,ZyOz=90。。2、（正交）基底° 。 。（二）空間向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算1、坐標(biāo)表示用ij,k九示（二）空間向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算1、坐標(biāo)表示給定空間直角坐標(biāo)系O-xyz和向量a,設(shè)i,j,k為坐標(biāo)向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（ai，a2,a3），使a=1飛j+Ak，有序?qū)崝?shù)組（a2,a3）叫作向量°在空間直角坐標(biāo)系

°-華中的坐標(biāo)，記作a=（%）,其中a1叫橫坐標(biāo),a2叫縱坐標(biāo),a3叫豎坐標(biāo).若A（x,°-華中的坐標(biāo)，記作a=（%）,其中a1叫橫坐標(biāo),a2叫縱坐標(biāo),a3叫豎坐標(biāo).若A(x,y,zi),B(X2,y2,z2)，貝ijAB=(x2-x「y2-y/z2-z)，如右下圖所示。2、坐標(biāo)運(yùn)算,若a=(a/a2,a3),b=(b,b2,b3)，貝Ua+b=(a+b,a+b,a+b)a-b=(a-b；a-b,a-b)(3)九a二(九a,九a,九a)(九￡R)(三)空間向量的數(shù)量積、模及夾角公式—I--H1、設(shè)a,b是空間兩個(gè)非零向量，我們把數(shù)量—■-to —■—tai -F—F —■—i-IaIIbIcos<a,b>叫作向量a,b的數(shù)量積，記作a?b，即——fr fn f—?a?b=IaIIbIcos<a,b>2x規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為02x3、夾角公式:cos*a?b:,y,z)2、模長(zhǎng)公式：IaI=a??a=x22+3、夾角公式:cos*a?b:,y,z)（四）空間向量的平行和垂直的充要條件'b='a1、1、a//bob—Xa。<b—Xa(X￡R)b—Xa33 32、a±boa?b―0oxx+yy+zz―0，其中a,b是兩個(gè)非零向量）（五）直線的方向向量 121212把直線l上的向量e以及與e共線的向量叫做直線l的方向向量（六）平面的法向量若表示向量孔的有向線段所在直線垂直于平面a，則稱這個(gè)向量垂直于平面a，記作— — Tnla，如果nla，那么向量n叫做平面a的法向量。在空間求平面的法向量的方法：法1：（直接法）找一條與平面垂直的直線，求該直線的方向向量。法2：（待定系數(shù)法）步驟：①建立空間直接坐標(biāo)系；②設(shè)平面的法向量沏—（x,y,z）；③在平面內(nèi)找兩個(gè)不共線的向量a-（21,片”和b二（X2,y2,z2）；④建立方程組d⑤解方程組，取其中的一組解即可。―?（七）空間向量的應(yīng)用

1、證明平行和垂直(1)證明兩直線平行已知兩直線〃和b,a,bea,C,Deb，則a〃b=存在唯一的實(shí)數(shù)九使AB=入CD(2)證明直線和平面平行 一. 一>已知直線aaa,A,Bea和平面a的法向量n，則a〃a=AB1n=AB-n=0(3)證明兩個(gè)平面平行 f-* -f-r-已知兩個(gè)不重合平面a,P，法向量分別為m,n,則a〃pom//nTOC\o"1-5"\h\z(4)證明兩直線垂直 .已知直線a,b,A,Bea,C,Deb，則a1boaB-CD=0(5)證明直線和平面垂直—￥ —?已知直線a和平面a,a、Bea,平面a的法向量為n，則a1aoAB//n(6)證明兩個(gè)平面垂直—bF T1-已知兩個(gè)平面a和p及兩個(gè)平面的法向量n,m，則aipon1m2、求角與距離(1)求兩異面直線所成的角已知兩異面直線a,b，且A,Bea,C,Deb,則異面直線a,b所成的角°的計(jì)算公式為:IAB-CDiC0S9= 一IABiicdi(2)求直線和平面所成的角已知A,B為直線a上任意兩點(diǎn)，n為平面a的法向量，則a和平面a所成的角9為：兀①當(dāng)<AB,n〉e0,-時(shí)，9=不一<AB,n>；J2―— . - 、.c.■P-②當(dāng)<AB,n>e—,-時(shí)，9=<AB,n>~~J 2(3)求二面角已知二面角a-1-p,m,n分別為面a,p的法向量，則二面角的平面角9的大小與兩個(gè) 卜—b- +—r法向量所成的角相等或互補(bǔ)，即9=<m,n>或--<m,n>注：如何判斷二面角的平面角和法向量所成角的大小關(guān)系？通過(guò)觀察二面角的平面角是銳角還是鈍角,再由法向量成的角來(lái)定之。通過(guò)觀察法向量的方向,判斷法向量所成的角與二面角的平面角相等還是互補(bǔ)。(4)求兩條異面直線的距離已知兩條異面直線a,b,m是與兩條異面直線都垂直的向量，且Aea,Beb，則兩條異 i- Ir面直線的距離為d=1AB-m1ImI推導(dǎo)：作AC1a，垂足為C，連結(jié)BC，AC=d即為所求，設(shè)ZBAC=9，則IAB-mIIAB-mIIABIImId=IABI-cos9=IABI-1cos<AB,m>I=IABIABIImI(5)求點(diǎn)到面的距離已知平面a和點(diǎn)A,B,A2,Bea,m為平面a的法向量，則點(diǎn)A到平面a的距為,IAB-mId- ： ImI推導(dǎo)過(guò)程：類似上面方法三、例題選講例1(2008安徽理)如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是四邊長(zhǎng)均為1的菱形，/ABC-亍,OA1底面ABCD,OA-2,M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)形，(I)證明：直線MNII平面OCD(II)求異面直線AB與DM所成角的大小;(皿)求點(diǎn)B到平面OCD的距離.例2(2005湖南文、理)如圖1,已知ABCD是上、下底邊長(zhǎng)分別為2和6,高為、；3的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸O1O折成直二面角，如圖2(I)證明：AC1BO1； (II)求二面角O—AC—O1的大小.例3(2007四川理)如圖，PCBM是直角梯形，/PCB=900,PM//BC,PM=1,BC=2，又AC=1,ZACB=1200,AB±PC，直線AM與直線PC所成的角為60°(I)求證：平面PAC，平面ABC；(II)求二面角M—AC—B的大??； F卜 大(111)求三棱錐P—MAC的體積. \ /\四、練習(xí)題1、(2006福建文、理)如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=<2.(I)求證：AO±平面BCD； /'、、、、、(II)求異面直線AB與CD所成角的大?。?:

(Ill)求點(diǎn)E到平面ACD的距離.2、(2007海南、寧夏理)如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，/BAC=90°，O為BC中點(diǎn).(I)證明：SO±平面ABC；(II)求二面角A—SC—B的余弦值.AB3、(2008海南、寧夏理)如圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCD-ABCD的對(duì)角線BD上,/PDA=600AB(I)求DP與CC1所成角的大??；(II)求DP與平面AADD所成角的大小.1 14、(2007安徽文、理)如圖,在六面體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形%bcDi是邊長(zhǎng)為1的正方形，叫,平面abc%DD1平面ABCDDD1=2(I)求證：A1C1與AC共面，B1D1與BD共面;(II)求證:平面A1ACC11平面B1BDD1；(m)求二面角A—BB1-C的大小.5、(2006全國(guó)I卷文、理)如圖，11、12是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段.點(diǎn)A、B在11上，點(diǎn)C在12上，AM=MB=MN。(I)證明AC1NB"(II)若/ACB=60O，求NB與平面ABC所成角的余弦值。例題及練習(xí)題參考答案例1解：作AP工CD于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為x,y,z軸建立坐標(biāo)系，則A（0,0,B）…專。）"用三；。。。。2），,MW），，N（1-7，丁，。）

,4,Q)=0，一苧取z=v2，解得n=(0,4,<2)?.,,4,Q)=0，一苧???MN〃平面OCD(II)設(shè),與MD所成的角為e, =(i,0,0),md=(-苧,3,-1)coseIcoseIAB?MDI1; ;-=—IABI?IMDI2TOC\o"1-5"\h\z???e=三丁即AB與MD所成角的大小為一3 3f /—(III)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為d，則d為OB在向量n=(0,4,v2)上的投影的絕對(duì)值,一—? .IOB?nI2一 2由OB=(1,0,—2),得d=—=—=彳.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為InI3 3例2解：(I)證明由題設(shè)知OALOO1,OBXOO1.所以ZAOB是所折成的直二面角的平面角，即OAXOB.故可以O(shè) 》只為原點(diǎn)，OA、OB、OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立z/Ty/X空間直角坐標(biāo)系，如圖，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是A(3,0,0), 0 3 1?，B(0,3,0),C(0,1,v-3),O1(0,0,、3). )從而AC=(-3,1,x/3),BO；=(0,-3,v3) ,AC-BO=-3+ ?、/3=0.所以AC±BO.\o"CurrentDocument"1 i,平面OAC,BO1是平面OAC的一個(gè)法向量.(II)解：因?yàn)锽OjOC=-3+、3?J3=0,,平面OAC,BO1是平面OAC的一個(gè)法向量.設(shè)n=(x,y,z)是0平面01AC的一個(gè)法向量，由，1￡二°J-3x+y+岳=0,取z=g， 得1(1,0,揚(yáng).n-OC-o y-0-I1設(shè)二面角o—AC—0]的大小為。，由〃、BO的方向可知。=<n,BO>,1 i i“?'f5777 n?BO -J3所以COS。=COS<〃，BO>=—__3^^=—.1 \n\-\BOI4i例3B：(I)-：PC1AB.PC1BC,AB^BC=B：.PC1TWABC,又?.?PCu平面尸AC??.平面尸AC±平面ABC(ID在平面ABC內(nèi)，過(guò)。作CDLC5,建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz(如圖)由題意有也1、2，-2，Z,CP也1、2，-2，Z,CP=(0,0,z)oZZ uu o由直線AM與直線PC所成的解為60。，得4加.0。=閃明。耳360。，即解得Z°=l??CM=(0,0,1\CA=??CM=(0,0,1\CA=[2 2J，設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為〃=設(shè)根與幾所成的角為0,則設(shè)根與幾所成的角為0,則00s0=m\-\n二顯然，二面角AC—5的平面V7Z]=W1

匕八一。°E%]=1,得八={才-y},平面ABC的法向量取為mZ]=W1

匕八一。角為銳角，故二面角M-AC-B的平面色大小為 Y五arccos7(III)解法一：由(II)知，PCMN為正方形/.V=V=V=V=lx』ACCN.sinl2Oo?MN=9P-MACA-PCMA-MNCM-ACN3 2 12(III)解法二：取平面尸CM的法向量取為〃=(1,0,0),則點(diǎn)A到平面PCM的距離1

h二9t41二@丁PC=1,PM=1，???V=V ==-X-|pd-Pm.h=S-xlxlx—口工In| 2 P-maca-PCM32111 6 2121練習(xí)1：(1)證明：_連結(jié)O二?BO=DO,AB=AD,AAOXBD.???BO=DO,BC=CD,,CO，BD.在AAOC中，由已知可得AO=1,CO=v3.而AC=2,?AO2+CO2=AC2,???NA0C=90°,即AO±OC.???BDAOC=0,,AO1平面BCD.(II)解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,\；3,0),A(0,0,1),1、3 — —???cos:BA,CD=BA?CD,2B^AdC：D\ 42，，異面直線AB與CD所成角的大小為arccos--.???cos:BA,CD=BA?CD,2B^AdC：D\ 42，，異面直線AB與CD所成角的大小為arccos--.4(III)解法一：設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z)，則v13y-z=0.n?AD=(x,y,z)?(-v13y-z=0.n?AC=(x,y,z)?(0,、3,-1)=0,令y=1,得n=(八次1,V3)是平面ACD的一個(gè)法向量.又EC=(-2,g0,???點(diǎn)E到平面ACD的距離h=IECnIv???點(diǎn)E到平面ACD的距離h=IECnIv3 ；21(I)解法二：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h.???V-VA-ACD A-CDE?S△ACD?AO?S.△CDE在AACD中，CA=CD=2,AD=％區(qū)，,S△ACD=1x血x22-超371而AO=1,,1J31xT_v2lS=1x史x22=X3,Ah=AO1J31xT_v2lCDE2 4 2 q ^CDESAACD

一…一“，，一?②???點(diǎn)E到平面ACD的距離為-y練習(xí)2：證明：(I)由題設(shè)AB一…一“，，一?②???點(diǎn)E到平面ACD的距離為-y練習(xí)2：證明：(I)由題設(shè)AB=AC=SB=SC=SA，連結(jié)OA,△ABC為等腰直角三角形，所以 立 且AO1BC,又4SBC為OA=OB=OC=SA2等腰三角形，故SO1BC,且SO_五SA，從而OA2+SO2=SA2.所以△SOA為直2角三角形，SO1AO.又AO^BO_O.所以SO1平面ABC.(II)解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB,OA分別為X軸、y軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)B(L0,0)，貝UC(—1,0,0)A(0,1,0)S(0,0,1),SC的中點(diǎn)(1 1、M ,0,一I22)MO=(1 1、—,0,——12 2)1 1\—,1,——,SC_(—1,0,—1).2 2)，MO^SC=0,MA^SC=0.故MO1SC,MA1SC,<MO,MA>等于二面角A—SC—B的平面角.cos<MO,MA>=MO*MA|MO?MA|所以二面角N―SC—B的余弦值為亙3練習(xí)3：解：如圖，以D為原點(diǎn)，DA為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz.則DA=(1,0,0),CC=(0,0,1).連結(jié)BD,B'D'.在平面BB'D'D中，延長(zhǎng)DP交B'D'于H^設(shè)DH=(m,m,1)(m>0)，由已知<DH,DA>=60，由DADHcos<DA,DADHcos<DA,DH>可得2m={2m—1.解得而wj，所以DH(I)因?yàn)閏os<(I)因?yàn)閏os<DH,CC'〉=7'2八u’2八” ” x0+ x0+1x1q j 1x7f2所以＜DH,CC'＞=45「即DP與CC所成的角為45.(11)平面工HD'D的一個(gè)法向量是DC=(0,1,0).x0+x1+1x0因?yàn)閏os<DH,DC>=21 2= 1x<2所以＜DHDX60.可得DP與平面HHD'D所成的角為30.練習(xí)4:比(向量法)：以D為原點(diǎn)，以DA,DC,DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建0),C(0,2,0)立空間直角坐標(biāo)系D—xyz如圖，則有A(2,0,0),B0),C(0,2,0)H(1,0,2),B(1,1,2),C(0,1,2),D(0,0,2).(I)證明：AC=(—1,1,0),AC=(—2,2,0),11DB=(1,1,0),DB=(2,2,0),/.AC=2(I)證明：AC=(—1,1,0),AC=(—2,2,0),11DB=(1,1,0),DB=(2,2,0),/.AC=2AC,DB=2DB.111111AC與AC平行，DB與DB平行，1111于是AC與AC共面，BD與BD共面.1111(II)證明:DDjAC=(0,0,2)?(-2,2,0)=0,DB?AC=(2,2,0)?(—2,2,0)=0,?.DR1AC,DB1AC.DD與DB是平時(shí)BDD,內(nèi)的兩條相交直線，AC1平面BBDD.又平面1111AACCaAC,平面AACC1