ABDESSD2立體幾何中的“內(nèi)切”與“外”問題的探究ABDESSD21球與柱體規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組

1.3球與正棱柱球與一般的正棱柱的組合體，常以外接形態(tài)居多。下面以正三棱柱為例，介本類題目的法—構(gòu)造直角三角形法。設(shè)三柱合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)

B1

的高，底面邊長a如圖2所示，D和D分1系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題1.1球與正方體

別為上下底面的中心。根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，球心必落在高

DD1

的中點(diǎn)如圖所示，正方體

AC1111

,正方體的棱長a

O，OD

hAO,AD2

a

，借助直角三角形的勾,H為棱的中點(diǎn)O為球的球心。常見組合方式有三類：一是球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，截面圖為正方形

股定理，可求

R3

。

和其內(nèi)切圓，則

r

a2

；二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形EFHG和外接圓，則

OG

22

a

；三是球?yàn)檎襟w的外接球，截面圖為長方形

1

和其外接圓，則

AOR.12通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，常用工具是

例3正四棱柱

ABC1

的各頂點(diǎn)都在半徑為R球面上，截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面，通過兩個(gè)截面圖

則正四棱柱的側(cè)面積有最

值，為.的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。

2

球與錐體規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.2.1球與正四面體正四面體作為一個(gè)規(guī)的幾何體，它既存在外接，也存在內(nèi)切球，并且兩心合一，利用這可順利解決球的半徑與正面體的棱長關(guān)系。如圖4，設(shè)正四面體

S

ABC的棱長a內(nèi)切球半徑為r，外接球例1

棱長為的正方體

ABCD1

的8頂點(diǎn)都在的

的半徑為

，取

的中點(diǎn)為，為在底面的射影，連接表面上，別是棱

AA1

DD的中點(diǎn)則直線EF被截得1

CDSD,SE

為正四面體的高。在截面三角形,作個(gè)與邊的線段長為（）

和

相切，圓心在高上的圓，即為內(nèi)切球的截面。1.2

球與長方體

因?yàn)檎拿骟w本身的對稱性可知外球和內(nèi)切球的球心同為

O

此時(shí)，長方體各頂點(diǎn)可在一個(gè)球面上長體存在外切球.是不一定存在內(nèi)切.長方體的棱長為b對角線為l.當(dāng)球?yàn)殚L方體的外

COOS,r

,a,3

則有接球時(shí)，截面圖為長方體的對角面和其外接圓，和正方體的外接球的道la2理是一樣的，故球的半徑R.2例2在長、寬、高分別為，2，4的長方體內(nèi)有一個(gè)半徑為球，任意擺動(dòng)此長方體，則球經(jīng)過的空間部分的體積為)

a2Ra，22CE=6ara.這個(gè)解法是通過利用兩心合一的思路立含有412兩個(gè)球的半徑的等量關(guān)系進(jìn)行求解同時(shí)我們可發(fā)現(xiàn)為正四面1

體高的四等分點(diǎn).果我們牢記這些數(shù)量關(guān)系，可為解題帶來極大的方便.

一是球?yàn)槿忮F的外接球，此時(shí)三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，根據(jù)截面圖的特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.二是球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個(gè)面相切，球心到四個(gè)面的距離相等，都為球半徑．這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個(gè)小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積例6在三棱錐－ABC，PA＝PB=PC=

3

,棱PA底面ABC所成的角為，則該三棱錐外接球的體積為（）例4將徑都為１的四個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為()A.

363

B.2+

23

C.4+

23

D.

43

2.4球與特殊的棱2.2球與三條側(cè)棱互相直的三棱錐球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐組合問題，主要是體現(xiàn)在球?yàn)槿忮F的外接球.決的基本方法是補(bǔ)形法，即把三棱柱補(bǔ)形成正方體或者長方體。常見兩種形式：

球與一些特殊的棱錐進(jìn)行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補(bǔ)形法、等進(jìn)行求解。例如，四面體都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點(diǎn)幾何特征，巧定球心位置。一是三棱錐的三條棱互相垂直且相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)正方體，

如圖8棱錐

,滿SA，

它的外接球球心就是三錐的外接的球心。如圖5，棱錐ABD的外接球的球心和正方體D的外接111

的中點(diǎn)O由直角三角形的性質(zhì)可得：點(diǎn)為三棱SABC的外接球的球心,

OSSC.2

,球的球心重合，設(shè)

a，則R1

32

a

。二是如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直且不相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)長方體它的外接的球心就是三棱的外接球的心a22l2R244

l為長方體的體對角線長例矩形ABCD中，

AB將矩形折成直二角()3球與球

B

,則四體ABCD是對個(gè)多個(gè)小球結(jié)合在一起，組合成復(fù)雜的幾何體問題，要求有豐富例5

在正三棱錐

S

，、分別是棱SC、

的空間想象能力，解決本類問題需掌握恰當(dāng)?shù)奶幚硎侄危鐪?zhǔn)確確定各中點(diǎn)，且

AMMN

,若棱

SA

2

,則三棱錐

SABC

外

個(gè)小球的球心的位置關(guān)系，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平接球的表面積是。

面問題求解.例在半徑為的球內(nèi)放入大小相等的4個(gè)小球，則小球的半徑的最大值2.3

球與正棱錐球與正棱錐的組合，常見的有兩類，

為（）2

4

球與幾何體的各條棱相切

9.全國Ⅱ理）一正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上。球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為目的，然后通過構(gòu)造三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求.與正

如果正四棱柱的底面邊長為1cm那么該棱柱的表面積為cmP四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一半：

r

2a4

.

C

D

10.（寧）圖，半徑為2半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐此正六棱例8把一個(gè)皮球放入如10所示的由8根長均20的鐵絲接成的四

B

E

錐的側(cè)面積是________．棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與根鐵絲都有接觸點(diǎn)，則皮球的半徑為（）

A

F

11.（遼寧省順一中棱長為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形(四面體A.

3cm

B.

cm

C.

2cm

D.

的截面)的面是.12.（莊一模一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）13.(吉林吉林市)設(shè)正方體的棱長為（）

233

，則它的外接球的表面積為（新課標(biāo)理）已知三棱錐

ABC

的所有頂點(diǎn)都在球

O

的求面,

長為1的角,球徑SC

;此棱錐的體積為（）綜合上面的四種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋

15寧文已點(diǎn)P,A,B,C,D是球面上的點(diǎn),PA平面四邊轉(zhuǎn)體答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)過作截面來解決果外切的是多面體，

形ABCD是邊長為2

正方.若PA=2

,則OAB的面積為則作截面時(shí)主要抓住多面體過球心的對角面來作；把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的內(nèi)接問題．解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑．發(fā)揮好空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化，問題即可得解．如果是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體等可以借助結(jié)論直接求,時(shí)結(jié)論的記憶必須準(zhǔn)確.外接球內(nèi)切球問題1.（陜西理）個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（）

______________.A．

3

B．

3C．343D．122.直三棱柱

ABC11

的各頂點(diǎn)都在同一面，若AA,1于。

，則此球的

表面積等3正三棱柱

ABC11

內(nèi)接于半徑為

2球，若,B兩點(diǎn)的球面距離為，則正三棱柱的體積為．4.表面積為

的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的