第3章圖形的相似3．1比例線段3．1.1比例的基本性質教學目標【知識與技能】1．理解比例的基本性質．2．能根據比例的基本性質求比值．3．能根據條件寫出比例式或進行比例式的簡單變形．【過程與方法】通過例題的學習，培養(yǎng)學生的靈活運用能力．【情感態(tài)度】建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維；并通過有趣的圖形，培養(yǎng)學生學習數學的興趣．【教學重點】比例的基本性質．【教學難點】比例的基本性質及運用．教學過程一、情景導入，初步認知1．舉例說明生活中存在大量形狀相同，但大小不同的圖形．如：照片、放電影中的底片中的圖與銀幕的像、不同大小的國旗、兩把不同大小但都含有30°角的三角尺等．2．美麗的蝴蝶身長與雙翅展開后的長度之比約為0.618.一些長方形的畫框，寬與長之比也設計成0.618，許多美麗的形狀都與0.618這個比值有關．你知道0.618這個比值的來歷嗎？3．如何求兩個數的比值？【教學說明】說明學習本章節(jié)的重要意義．二、思考探究，獲取新知1．閱讀與思考題(1)什么是兩個數的比？2與－3的比；－4與6的比如何表示？其比值相等嗎？用小學學過的方法可說成什么？可寫成什么形式？(2)比與比例有什么區(qū)別？(3)用字母a，b，c，d表示數，上述四個數成比例可寫成怎樣的形式？你知道內項、外項和第四比例項的概念嗎？【歸納結論】如果兩個數的比值與另兩個數的比值相等，就說這四個數成比例．通常我們把a，b，c.d四個實數成比例表示成a∶b＝c∶ｄ或ab＝cd，其中a，d叫作比例外項，b，c叫作比例內項．2．如果四個數a、b、c、d成比例，即ab＝cd，那么ad＝bc嗎？反過來呢？【教學說明】引導學生利用等式的性質一起證明．由此，你能得到比例的基本性質嗎？【歸納結論】比例的基本性質：如果ab＝cd，，那么ad＝bc.3．已知四個數a、b、c、d成比例，即：ab＝cd，下列各式成立嗎？若成立，請說明理由．ba＝dc；ac＝bd；a＋bb＝c＋dd.分析：(1)比較條件和結論的形式得到解題思路；(2)采用設比值較為簡單．【教學說明】這三個小題反映了在比例式的變形中的兩種常用方法：一是利用等式的基本性質；二是設比值．4．根據下列條件，求a∶ｂ的值．(1)4a＝5b，(2)a7＝b8.解：(1)∵4a＝5b，∴ab＝54.(2)∵a7＝b8，∴8a＝7b，∴ab＝78.三、運用新知，深化理解1．已知：x∶(x＋1)＝(1—x)∶3，求x.解：根據比例的基本性質得，(x＋1)(1－x)＝3x.解得：x＝－3＋132或x＝－3－132.2．若2x－3yx＋y＝12，求yx.解：根據比例的基本性質得，2(2x－3y)＝x＋y，4x－6y＝x＋y，3x＝7y，yx＝37.3．已知a∶b∶c＝1∶3∶５且a＋2b－c＝8，求a、b、c.解：設a＝x，則b＝3x，c＝5x，∴x＋2×3x－5x＝8，2x＝8，x＝4，∴a＝4，b＝3×4＝12，c＝5×4＝20.4．已知x∶y＝3∶4，x∶z＝2∶3，求x∶y∶ｚ的值．解：因為x∶y＝3∶4＝6∶8，x∶z＝2∶3＝6∶9，所以x∶y∶z＝6∶8∶9.5.y＋zx＝z＋xy＝x＋yz＝k，求k的值(兩種情況)．解：①當x＋y＋z＝0時，y＋z＝－x，z＋x＝－y，x＋y＝－z，∴k為其中任意一個比值，即k＝－xx＝－1；②x＋y＋z≠０時，k＝y(tǒng)＋z＋z＋x＋x＋yx＋y＋z＝2.6．已知1，2，2三個數，請你再添上一個數，寫出一個比例式．分析：可以設再添上的數是x，根據比例的定義就可解得．解：設添上的數是x，得到：1∶2＝2∶x，解得x＝22.則比例式是：1∶2＝2∶２2.答案不唯一．7．操場上有一群學生在玩游戲，其中男生與女生的人數比例是3∶2，后來又有6名女同學參加進來，此時男生與女生人數的比為5∶4，求原來有多少名男生和女生？解：設男生與女生原來的人數分別為3k、2k，由題意得，3k2k＋6＝54，整理得，12k＝10k＋30，解得k＝15，3k＝3×15＝45，2k＝2×15＝30.答：原來有45名男生和30名女生．【教學說明】引導學生用比例的性質解決問題．四、師生互動、課堂小結先小組內交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結．教師作以補充．課后作業(yè)布置作業(yè)：教材“習題3.1”中第1題．教學反思在處理比例的基本性質前先對比例的項的有關概念進行了講解，對于比例的內項與外項，我是這樣處理的，觀察a∶b＝c∶d，a，d在比例式的外部，所以稱為比例外項，b，c在比例式的內部，所以稱為比例內項，這樣解釋形象直觀，學生容易理解．概念教學應該注意講練結合，通過練習達到對概念的理解．3．1.2成比例線段教學目標【知識與技能】1．掌握比例線段的概念及其性質．2．會求兩條線段的比及判斷四條線段是否成比例．3．知道黃金分割的定義，會判斷某一點是否為一條線段的黃金分割點．【過程與方法】能夠靈活運用比例線段的性質解決問題．【情感態(tài)度】感知知識的實際應用，增強對知識就是力量的客觀認識，進一步加強理論聯(lián)系實際的學習方法．【教學重點】能夠靈活運用比例線段的性質解決問題．【教學難點】掌握黃金分割的概念，并能解決相關的實際問題．教學過程一、情景導入，初步認知1．1、2、4、8這四個數成比例嗎？如何確定四個數成比例？2．比例的基本性質是什么？【教學說明】復習回顧，引入新課．二、思考探究，獲取新知1．如下圖，在方格紙上(設小方格邊長為單位1)有△ABC與△A′B′C′，它們的頂點都在格點上，試求出線段AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的長度，并計算AB與A′B′，BC與B′C′，AC與A′C′的長度的比值．【歸納結論】如果選用同一長度單位量得線段AB，A′B′的長度分別為m，n，那么把它們的長度的比mn叫做這兩條線段的比，記作：ABA′B′＝mn或AB∶A′B′＝m∶n；如果mn的比值為k，那么上述式子也可以寫成ABA′B′＝k或AB∶A′B′＝k.【教學說明】注意：(1)兩線段是幾何圖形，可用它的長度比來確定；(2)度量線段的長，單位有多種，但求比值必須在同一長度單位下，比值一定是正數，比值與采用的長度單位無關．(3)表示方式與數字的比表示類同，但它也可以表示為AB∶CD.2．什么是比例線段？【歸納結論】在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫作成比例線段，簡稱比例線段．3．能否將一條線段AB分成不相等的兩部分，使較短線段CB與較長線段AC的比等于線段AC與線段AB的比呢？即，使得：CBAC＝ACAB.【教學說明】引導學生用一元二次方程的知識解決問題．4．根據上面的計算我們可以得知存在這樣的一個點C.即：CBAC＝ACAB＝5－12.【歸納結論】如果線段AB上有一點C，且CBAC＝ACAB，那么線段AB被點C黃金分割．點C叫作線段AB的黃金分割點，較長線段AC與原線段AB的比叫作黃金分割比．黃金分割比5－12的數值近似為0.618.【教學說明】學生通過“計算、證明”等活動，得到并加深對黃金分割的理解．三、運用新知，深化理解1．已知四條線段a、b、c、d的長度，試判斷它們是否成比例．(1)a＝16cm，b＝8cm，c＝5cm，d＝10cm；(2)a＝8cm，b＝5cm，c＝6cm，d＝10cm.解：(1)ab＝2，dc＝2，則ab＝dc，所以a、b、d、c成比例．(2)由已知得ab≠cd，ac≠bd，ad≠bc，所以a、b、c、d四條線段不成比例．2．若ac＝bd，則下列各式一定成立的是()A.ab＝cdB.a＋dd＝b＋ccC.a2b2＝dcD.abcd＝ad【答案】B3．已知C是線段AB的一個黃金分割點，則AC∶AB為()A.5－12B.3－52C.5＋12D.5－12或3－52【答案】D4．若2x－5y＝0，求y∶ｘ與x＋yx的值．解：略．5．已知ab＝cd＝3，a－bb＝c－dd成立嗎？解：由ab＝cd＝3.得a＝3b，c＝3d.所以a－bb＝3b－bb＝2，c－dd＝3d－dd＝2，c－dd＝3d－dd＝2，因此a－bb＝c－dd.6．已知a∶b∶c＝4∶3∶2，且a＋3b－3c＝14.(1)求a，b，c；(2)求4a－3b＋c的值．解：(1)設a＝4k，b＝3k，c＝2k.∵a＋3b－3c＝14，∴4k＋9k－6k＝14，∴7k＝14，∴k＝2，∴a＝8，b＝6，c＝4.(2)4a－3b＋c＝32－18＋4＝18.7．在△ABC中，D是BC上一點，若AB＝15cm，AC＝10cm，且BD∶DC＝AB∶AC，BD－DC＝2cm，求BC.解：略．8．在比例尺為1︰2000的地圖上測得AB兩地間的圖上距離為5cm，則AB兩地間的實際距離為多少米？解：設兩地之間的實際距離為x，則：12000＝5x，x＝5×2000＝10000cm＝100m.9．在人體軀干(腳底到肚臍的長度)與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點，即比例越接近0.618越給人以美感．張女士的身高為1.65米，身體軀干(腳底到肚臍的高度)為1.00米，那么她應選擇約多高的高跟鞋看起來更美．(精確到十分位)解：設她應選擇高跟鞋的高度是xcm，則100＋x165＋x＝0.618.解得：x≈5.2cm.故她應該選擇約5.2cm的高跟鞋看起來更美．10．已知線段AB，求作線段AB的黃金分割點C，使AC＞BC.解：作法：(1)延長線段AB至F，使AB＝BF，分別以A、F為圓心，以大于等于線段AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點G，連接BG，則BG⊥AB，在BG上取點D，使BD＝12AB，(2)連接AD，在AD上截取DE＝DB，(3)在AB上截取AC＝AE.如圖，點C就是線段AB的黃金分割點．【教學說明】通過例題分析使學生進一步理解比例線段的應用和黃金分割的意義．使學生能更好地掌握本節(jié)知識．四、師生互動、課堂小結先小組內交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結．教師作以補充．課后作業(yè)布置作業(yè)：教材“習題3.1”中第2、3、4題．教學反思在學習本節(jié)內容之前，學生已理解比例線段的性質，初步掌握了比例線段在幾何中的應用．本節(jié)課學習的黃金分割是