§14-4兩個自由度體系的自由振動一、剛度法（1）兩個自由度體系m1m2y1(t)y2(t)m1m2K2K1K2K1y1(t)y2(t)11兩自由度體系自由振動微分方程1設(shè)解為=常數(shù)當(dāng)然Y1=Y2=0為其解，為了求得不全為零的解，令特征方程頻率方程1）在振動過程中，兩個質(zhì)點(diǎn)具有相同的頻率和相同的相位角；2）在振動過程中，兩個質(zhì)點(diǎn)的位移在數(shù)值上隨時間而變化，但其比值始終保持不變。振動過程中，結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動形式，稱為主振型。2（1）主振型（2）按主振型振動的條件：初位移或初速度與此振型相對應(yīng)；m1m2Y21Y11Y12Y22最小圓頻率稱為第一(基本)圓頻率：——第二圓頻率由此可見：

多自由度體系如果按某個主振型自由振動，其振動形式保持不變，此時，多自由度體系實(shí)際上是像一個單自由度體系在振動。實(shí)際上，多自由度體系在零時刻的y0或vo通常不能完全與某一振型相對應(yīng)。3例7：設(shè)圖示剛架橫梁剛度為無限大，層間側(cè)移剛度分別為k1和k2，試求剛架水平振動時的自振動頻率和主振型。m1m2k1k2解：（1）求頻率方程中的剛度系數(shù)11k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2（3）一般振動兩自由度體系自由振動是兩種頻率及其主振型的組合振動多自由度體系自由振動的振型分解4（3）求主振型1.6181.01.00.618第1振型第2振型（2）求頻率k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2代公式若有5（3）求主振型（2）求頻率若有若n=90則第一振型和第二振型分別為：可見當(dāng)頂端質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和剛度很小時，頂端水平側(cè)移很大。建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中，將這種因頂端質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量和剛度突變，而導(dǎo)致頂端巨大反應(yīng)的現(xiàn)象，稱為鞭梢效應(yīng)。如：屋頂消防水池、上人屋面設(shè)計(jì)的樓電梯間，女兒墻或屋頂建筑物等。6二、柔度法m1m2y1(t)y2(t)設(shè)解為此時慣性力幅值在自由振動過程中任意時刻t，質(zhì)量m1、m2的位移y1(t)、y2(t)應(yīng)當(dāng)?shù)扔隗w系在當(dāng)時慣性力作用下的靜力位移。主振型的位移幅值等于主振型慣性力幅值作用下產(chǎn)生的靜力位移。7m1m2Y1Y2當(dāng)然解Y1=Y2=0，為了求得不全為零的解，令令主振型80.5a例9.試求圖示梁的自振頻率和主振型，梁的EI已知。12aaamm解：（1）計(jì)算頻率1a1（2）振型10.27713.61第一振型第二振型9三、主振型及主振型的正交性

m1m2Y11Y21由功的互等定理：整理得：m1m2Y12Y22因，則存在：兩個主振型相互正交，因與質(zhì)量有關(guān)，稱為第一正交關(guān)系。10由功的的互互等等定定理理：：上式式分分別別乘乘以以ω12、ω22，則得得：：第一一主主振振型型慣慣性性力力在在第第二二主主振振型型位位移移上上所所做做的的功功等等于于零零；；第第二二主主振振型型慣慣性性力力在在第第一一主主振振型型位位移移上上所所做做的的功功等等于于零零；；某一一主主振振型型的的慣慣性性力力在在其其它它主主振振型型位位移移上上不不做做功功，，其其能能量量不不會會轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移移到到其其它它主主振振型型上上，，不不會會引引起起其其它它主主振