第三章微分方程方法建模3.1微分方程建模3.2草地水量模型3.3傳染病模型3.4食餌-捕食者模型第三章微分方程方法建模3.1微分方程建模微分方程模型屬于動態(tài)模型

描述所研究對象特征隨時間(空間)的演變過程

分析所研究對象特征的變化規(guī)律

預報所研究對象特征的未來性態(tài)

研究控制所研究對象特征的手段

根據(jù)函數(shù)及其變化率(導數(shù))之間的關系確定函數(shù)微分方程建模方法

根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設

按照內(nèi)在規(guī)律(模式)或用類比法建立微分方程3.1微分方程建模微分方程模型屬于動態(tài)模型描述所研究對象特征隨時間(空間)的3.1.1

人的體重3.1.2

常微分方程建模基本準則3.1微分方程建模3.1.1人的體重3.1微分方程建模3.1.1

人的體重

某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陳代謝(即自動消耗)。在健身訓練中，他所消耗的熱量大約是69（焦/公斤·天）乘以他的體重(公斤)。假設以脂肪形式貯藏的熱量100％的有效，而1公斤脂肪含熱量41868焦。問題研究此人的體重隨時間變化的規(guī)律3.1.1人的體重某人的食量是10467（問題分析體重w時間t函數(shù)w(t),連續(xù)可微找到體重w(t)滿足的微分方程即可求出函數(shù)w(t)“變化率”“導數(shù)”微元法

3.1.1

人的體重問題分析體重w時間t函數(shù)w(t),連續(xù)可微找到體重w(t)由題意可知,“每天”體重變化應滿足下面描述

輸出＝進行健身訓練時的消耗進一步分析體重的變化＝輸入－輸出輸入＝扣除基本的新陳代謝之后的凈重量吸收

體重的變化/天＝凈吸收量/天－運動消耗/天

導數(shù)意義的陳述凈吸收量/天＝10467(焦/天)－5038(焦/天)＝5429(焦/天)運動消耗/天＝69焦(/公斤·天)×w(t)(公斤)3.1.1

人的體重由題意可知,“每天”體重變化應滿足下面描述輸出＝進行健身

體重的變化/天＝

(公斤/天)

（公斤/天）

將兩單位換算成統(tǒng)一形式：

連續(xù)函數(shù)w(t)的瞬時關系滿足下面關系式模型建立＝3.1.1

人的體重體重的變化/天＝(公斤/天)（公斤/天）將兩單位換算由上述分析，體重w(t)滿足下面關系式

兩邊的物理單位量綱一致，令

模型建立3.1.1

人的體重由上述分析，體重w(t)滿足下面關系式兩邊的物理單位量綱一分離變量法

0到t積分3.1.1

人的體重模型求解分離變量法0到t3.1.1人的體重模型求解由上述表達可知，隨著時間的變化，人的體重最終趨于一種平穩(wěn)的值模型解釋即3.1.1

人的體重由上述表達可知，隨著時間的變化，人的體重最終模型解釋即3.常微分方程建模應符合下面基本準則：

模式：找出問題遵循的模式，大致可按下面兩種方法：

1）利用熟悉的力學、數(shù)學、物理、化學等學科中的規(guī)律，對某些實際問題直接列出微分方程；

2）模擬近似法，在生物、經(jīng)濟等學科中，許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律并不清楚，而且現(xiàn)象也相當復雜，但都可以遵循下面的模式改變率＝凈變化率＝輸入率－輸出率翻譯：將研究的對象翻譯成為時間變量的連續(xù)函數(shù)；轉(zhuǎn)化：在實際問題中,有許多表示導數(shù)的常用詞，如“速率”,“增長率”(在生物學、人口學問題研究中),“衰變率”(在放射性問題中)及“邊際”(在經(jīng)濟學中)等；3.1.2常微分方程建?；緶蕜t常微分方程建模應符合下面基本準則：模式：找出問題遵循的模式

建立瞬時表達式：微分方程是一個在任何時刻都必須正確的瞬時表達式。由此根據(jù)尋找到問題所遵循的模式，建立起在自變量時段上的函數(shù)x(t)的增長量表達式即得到的表達式確定條件：這些條件是關于系統(tǒng)在某一特定時刻或邊界上的信息，它們獨立于微分方程而成立，用于確定有關的常數(shù)，為了完整、充分地給出問題陳述，應將這些給定的條件和微分方程一起給出。單位：在建模中應注意每一項應采用同樣的物理單位；常微分方程建模應符合下面基本準則：3.1.2常微分方程建?；緶蕜t建立瞬時表達式：微分方程是一個在任何時刻都必須正表達式即得3.2草地水量模型草地網(wǎng)球比賽常因下雨而被迫中斷，只有草坪的最上層充分干以后，才能夠繼續(xù)比賽。雨停之后，部分雨水直接滲入地下，部分蒸發(fā)到空氣中去。一些機械裝置可以用來加速干燥過程，但為避免損傷草皮，最好讓草地自然地變干，能否建立一個數(shù)學模型描述這一干燥過程.問題3.2草地水量模型草地網(wǎng)球比賽常因下雨而被迫中斷，只有草坪草地開始是干的，突然開始下雨，雨大約持續(xù)c小時,雨在草地中聚積了h厘米高的水;需要建立模型求出Q(t)，并能預測下雨后多長時間t1，使Q(t1)=0。問題陳述3.2草地水量模型由此可將研究對象視為草地積單位面積的水量Q,它是時間t的函數(shù).雨停后，通過滲入、蒸發(fā)使草地的積水減少，最終自然變干，恢復比賽。草地開始是干的，突然開始下雨，雨大約需要建立模型求出Q(t)2．滲透率、蒸發(fā)率與草地的水量成正比，不考慮空氣中的濕度與溫度；3．降雨速度為常數(shù)。模型假設1．開始時草地是干的,下雨時只考慮滲透排水,雨停后水是通過滲透,蒸發(fā)排除的,其它因素不考慮。3.2草地水量模型2．滲透率、蒸發(fā)率與草地的水量成正比，不考慮3．降雨速度為常問題分析若草地是干的，即Q(0)=0。

草地積了h厘米高的水量

流出量(滲透、蒸發(fā)過程)由此本模型應遵循下面的模式：

草地積水量的改變量＝流入量－流出量（1）r米/秒降雨速度持續(xù)c小時下雨時開始時停雨后水的流入量（降雨過程）流出量（滲透過程）草地水量的改變草地水量的改變3.2草地水量模型問題分析若草地是干的，即Q(0)=0。草地積了h厘米高的水草地積水量的改變量＝

流入量－流出量

＝

模型建立A（平方米）:草地的面積a單位時間內(nèi)單位水量的滲透量單位時間內(nèi)單位水量的蒸發(fā)量b時間內(nèi)(1)式各量的描述:(2)3.2草地水量模型草地積水量的改變量＝流入量－流出量＝模型建立A（平方數(shù)值計算：不妨假設降雨半小時,即c=1800秒,此時草地積水深h=0.018米,降雨速度在半小時

為方便直接給出a=0.001/秒,b=0.0005/秒,將所取數(shù)值代入(2)式整理方程，得若給出有關草地進水足夠信息，就可由(2)式求出Q(t)；模型求解參數(shù)a,b可以通過參數(shù)辨識方法得到。注3.2草地水量模型數(shù)值計算：不妨假設降雨半小時,即c=1800秒,此時草地模型求解3.2草地水量模型模型求解3.2草地水量模型模型求解（3）式能預測雨停后草地中水是如何隨時間變化減少的3.2草地水量模型模型求解（3）式能預測雨停后草地中水是如何隨時間變化減少的3但在實際比賽中一般要求水量降至最高水量值的10％就認為草地足夠干，也就是說只要達到Q(t1)=10%Q

(1800)即可。即在雨停后t1-1800時即可恢復比賽。令t1

滿足(3)式，得

雨停后還要等1534秒(約25分)才能恢復比賽.若水量降到最大值5%,需要大約33分鐘可以恢復比賽。模型求解本問題是確定比賽何時才能恢復，即t1為何值時使得Q(t1)=0。而由(3)式可知,當t趨于無窮大時,Q(t)趨于零，所以這樣的t1是不存在的。3.2草地水量模型但在實際比賽中一般要求水量降至最高水量值的10％雨停3.3傳染病模型模型1(簡單模型)模型2(SI模型)模型3（SIS模型）模型4（SIR模型）3.3傳染病模型模型1(簡單模型)問題

描述傳染病的傳播過程

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律

預報傳染病高潮到來的時刻

預防傳染病蔓延的手段

按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型3.3傳染病模型問題描述傳染病的傳播過程分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律預報傳

已感染人數(shù)(病人)i(t)

每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1(簡單模型)假設若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?已感染人數(shù)(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足模型2(SI模型)區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率SI模型模型2(SI模型)區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻(日接觸率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻(日模型3（SIS模型）傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設SIS模型3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期~一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。模型3（SIS模型）傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健模型3i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0模型3i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的模型4(SIR模型)傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率

,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個方程模型4(SIR模型)傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染模型4SIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質(zhì)模型4SIR模型無法求出在相平面模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內(nèi)作相軌線的圖形，進行分析模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/σ

i(t)先升后降至0P2:s0<1/σ

i(t)單調(diào)降至01/σ~閾值P3P4P2S0si101D模型4SIR模型相軌線及其分模型4SIR模型預防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛(wèi)生水平(日治愈率)醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/的估計

降低s0提高r0

提高閾值1/

降低(=/),群體免疫模型4SIR模型預防傳染病蔓延的手段(日接觸率)模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計記被傳染人數(shù)比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高閾值1/σ降低被傳染人數(shù)比例xs0-1/=模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計記被傳染人數(shù)比例x<<s0i模型驗證20世紀初在印度孟買發(fā)生的—次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了。公共衛(wèi)生部門記錄了每天移出者（死亡）的人數(shù)，即有了dr/dt的實際數(shù)據(jù)，KerMack等人用這組數(shù)據(jù)把模型所預測的結(jié)果與實際傳染病的資料進行比較。

根據(jù)前面的SIR模型：和有：于是：模型驗證20世紀初在印度孟買發(fā)生的—次瘟疫中幾乎所有病人都死當時，?。?）式右端的Taylor展開的前三項，在r0=0初始值下求解，得到：其中：帶回（*）式，即有：然后確定s0等參數(shù)，畫出r（t）的圖形，實際數(shù)據(jù)在圖中用圓點表示，可以看出，理論曲線與實際數(shù)據(jù)吻合得相當不錯。

當時，?。?）式右端的Taylor3.4

被捕食者-捕食者模型

種群甲靠豐富的天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌-捕食者系統(tǒng)，如食用魚和鯊魚，美洲兔和山貓，害蟲和益蟲。

模型的歷史背景——一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降(食用魚和鯊魚同時捕撈)，但是其中鯊魚的比例卻增加，為什么？3.4被捕食者-捕食者模型種群甲靠豐富的天然資源生存，種食餌（甲）數(shù)量x(t),

捕食者（乙）數(shù)量

y(t)甲獨立生存的增長率r乙使甲的增長率減小，減小量與

y成正比乙獨立生存的死亡率d甲使乙的死亡率減小，減小量與x成正比方程(1),(2)無解析解食餌-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食餌能力b~食餌供養(yǎng)捕食者能力食餌（甲）數(shù)量x(t),捕食者（乙）數(shù)量y(t)甲獨tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.9269………5.10009.616216.72355.20009.017316.2064………9.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用數(shù)學軟件MATLAB求微分方程數(shù)值解x~y平面上的相軌線tx(t)y(t)020.00004.00000.10002計算結(jié)果（數(shù)值，圖形）x(t),y(t)是周期函數(shù)，相圖(x,y)是封閉曲線觀察，猜測x(t),y(t)的周期約為9.6xmax65.5,xmin6,ymax20.5,ymin3.9用數(shù)值積分可算出

x(t),y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值約為25,

y(t)的平均值約為10。食餌-捕食者模型(Volterra)計算結(jié)果（數(shù)值，圖形）x(t),y(t)是周期函數(shù)，相圖(

消去dt分析第一象限的相軌線行為c由初始條件確定取指數(shù)消去dt分析第一象限的相軌線行為c由初始條件確定取指數(shù)x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上討論相軌線的圖形相軌線時無相軌線以下設x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上討論相軌線y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0P0x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)相軌線退化為P點

存在x1<x0<x2,使f(x1)=f(x2)=p存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q相軌線是封閉曲線族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相軌線y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0P0x1x相軌線是封閉曲線x(t),y(t)是周期函數(shù)(周期記T)求x(t),y(t)在一周期的平均值軌線中心用相軌線分析點附近情形相軌線是封閉曲線x(t),y(t)是周期函數(shù)(周期記T)?T2T3T4T1PT1

T2

T3

T4x(t)的“相位”領先y(t)模型解釋初值相軌線的方向?T2T3T4T1PT1T2T3模型解釋r~食餌增長率d~捕食者死亡率b~食餌供養(yǎng)捕食者能力捕食者數(shù)量食餌數(shù)量Pr/ad/ba~捕食者掠取食餌能力捕食者數(shù)量與r成正比,與a成反比食餌數(shù)量與d成正比,與b成反比模型解釋r~食餌增長率d~捕食者死亡率b~食餌供養(yǎng)捕食模型解釋一次大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降，但是其中鯊魚的比例卻在增加，為什么？rr-1,dd+1捕撈戰(zhàn)時捕撈rr-2,dd+2,2<1???xy食餌(魚)減少，捕食者(鯊魚)增加自然環(huán)境

還表明：對害蟲(食餌)—益蟲(捕食者)系統(tǒng)，使用滅兩種蟲的殺蟲劑,會使害蟲增加，益蟲減少。模型解釋一次大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降，但是其中鯊魚的比食餌-捕食者模型(Volterra)的缺點與改進Volterra模型改寫多數(shù)食餌—捕食者系統(tǒng)觀察不到周期震蕩,而是趨向某個平衡狀態(tài),即存在穩(wěn)定平衡點加Logistic項可以證明，在給定條件下，此模型一定有穩(wěn)定平衡點。具體可參考第七章中關于方程穩(wěn)定性的相關內(nèi)容。食餌-捕食者模型(Volterra)的缺點與改進Volter第三章微分方程方法建模3.1微分方程建模3.2草地水量模型3.3傳染病模型3.4食餌-捕食者模型第三章微分方程方法建模3.1微分方程建模微分方程模型屬于動態(tài)模型

描述所研究對象特征隨時間(空間)的演變過程

分析所研究對象特征的變化規(guī)律

預報所研究對象特征的未來性態(tài)

研究控制所研究對象特征的手段

根據(jù)函數(shù)及其變化率(導數(shù))之間的關系確定函數(shù)微分方程建模方法

根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設

按照內(nèi)在規(guī)律(模式)或用類比法建立微分方程3.1微分方程建模微分方程模型屬于動態(tài)模型描述所研究對象特征隨時間(空間)的3.1.1

人的體重3.1.2

常微分方程建?；緶蕜t3.1微分方程建模3.1.1人的體重3.1微分方程建模3.1.1

人的體重

某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陳代謝(即自動消耗)。在健身訓練中，他所消耗的熱量大約是69（焦/公斤·天）乘以他的體重(公斤)。假設以脂肪形式貯藏的熱量100％的有效，而1公斤脂肪含熱量41868焦。問題研究此人的體重隨時間變化的規(guī)律3.1.1人的體重某人的食量是10467（問題分析體重w時間t函數(shù)w(t),連續(xù)可微找到體重w(t)滿足的微分方程即可求出函數(shù)w(t)“變化率”“導數(shù)”微元法

3.1.1

人的體重問題分析體重w時間t函數(shù)w(t),連續(xù)可微找到體重w(t)由題意可知,“每天”體重變化應滿足下面描述

輸出＝進行健身訓練時的消耗進一步分析體重的變化＝輸入－輸出輸入＝扣除基本的新陳代謝之后的凈重量吸收

體重的變化/天＝凈吸收量/天－運動消耗/天

導數(shù)意義的陳述凈吸收量/天＝10467(焦/天)－5038(焦/天)＝5429(焦/天)運動消耗/天＝69焦(/公斤·天)×w(t)(公斤)3.1.1

人的體重由題意可知,“每天”體重變化應滿足下面描述輸出＝進行健身

體重的變化/天＝

(公斤/天)

（公斤/天）

將兩單位換算成統(tǒng)一形式：

連續(xù)函數(shù)w(t)的瞬時關系滿足下面關系式模型建立＝3.1.1

人的體重體重的變化/天＝(公斤/天)（公斤/天）將兩單位換算由上述分析，體重w(t)滿足下面關系式

兩邊的物理單位量綱一致，令

模型建立3.1.1

人的體重由上述分析，體重w(t)滿足下面關系式兩邊的物理單位量綱一分離變量法

0到t積分3.1.1

人的體重模型求解分離變量法0到t3.1.1人的體重模型求解由上述表達可知，隨著時間的變化，人的體重最終趨于一種平穩(wěn)的值模型解釋即3.1.1

人的體重由上述表達可知，隨著時間的變化，人的體重最終模型解釋即3.常微分方程建模應符合下面基本準則：

模式：找出問題遵循的模式，大致可按下面兩種方法：

1）利用熟悉的力學、數(shù)學、物理、化學等學科中的規(guī)律，對某些實際問題直接列出微分方程；

2）模擬近似法，在生物、經(jīng)濟等學科中，許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律并不清楚，而且現(xiàn)象也相當復雜，但都可以遵循下面的模式改變率＝凈變化率＝輸入率－輸出率翻譯：將研究的對象翻譯成為時間變量的連續(xù)函數(shù)；轉(zhuǎn)化：在實際問題中,有許多表示導數(shù)的常用詞，如“速率”,“增長率”(在生物學、人口學問題研究中),“衰變率”(在放射性問題中)及“邊際”(在經(jīng)濟學中)等；3.1.2常微分方程建?；緶蕜t常微分方程建模應符合下面基本準則：模式：找出問題遵循的模式

建立瞬時表達式：微分方程是一個在任何時刻都必須正確的瞬時表達式。由此根據(jù)尋找到問題所遵循的模式，建立起在自變量時段上的函數(shù)x(t)的增長量表達式即得到的表達式確定條件：這些條件是關于系統(tǒng)在某一特定時刻或邊界上的信息，它們獨立于微分方程而成立，用于確定有關的常數(shù)，為了完整、充分地給出問題陳述，應將這些給定的條件和微分方程一起給出。單位：在建模中應注意每一項應采用同樣的物理單位；常微分方程建模應符合下面基本準則：3.1.2常微分方程建模基本準則建立瞬時表達式：微分方程是一個在任何時刻都必須正表達式即得3.2草地水量模型草地網(wǎng)球比賽常因下雨而被迫中斷，只有草坪的最上層充分干以后，才能夠繼續(xù)比賽。雨停之后，部分雨水直接滲入地下，部分蒸發(fā)到空氣中去。一些機械裝置可以用來加速干燥過程，但為避免損傷草皮，最好讓草地自然地變干，能否建立一個數(shù)學模型描述這一干燥過程.問題3.2草地水量模型草地網(wǎng)球比賽常因下雨而被迫中斷，只有草坪草地開始是干的，突然開始下雨，雨大約持續(xù)c小時,雨在草地中聚積了h厘米高的水;需要建立模型求出Q(t)，并能預測下雨后多長時間t1，使Q(t1)=0。問題陳述3.2草地水量模型由此可將研究對象視為草地積單位面積的水量Q,它是時間t的函數(shù).雨停后，通過滲入、蒸發(fā)使草地的積水減少，最終自然變干，恢復比賽。草地開始是干的，突然開始下雨，雨大約需要建立模型求出Q(t)2．滲透率、蒸發(fā)率與草地的水量成正比，不考慮空氣中的濕度與溫度；3．降雨速度為常數(shù)。模型假設1．開始時草地是干的,下雨時只考慮滲透排水,雨停后水是通過滲透,蒸發(fā)排除的,其它因素不考慮。3.2草地水量模型2．滲透率、蒸發(fā)率與草地的水量成正比，不考慮3．降雨速度為常問題分析若草地是干的，即Q(0)=0。

草地積了h厘米高的水量

流出量(滲透、蒸發(fā)過程)由此本模型應遵循下面的模式：

草地積水量的改變量＝流入量－流出量（1）r米/秒降雨速度持續(xù)c小時下雨時開始時停雨后水的流入量（降雨過程）流出量（滲透過程）草地水量的改變草地水量的改變3.2草地水量模型問題分析若草地是干的，即Q(0)=0。草地積了h厘米高的水草地積水量的改變量＝

流入量－流出量

＝

模型建立A（平方米）:草地的面積a單位時間內(nèi)單位水量的滲透量單位時間內(nèi)單位水量的蒸發(fā)量b時間內(nèi)(1)式各量的描述:(2)3.2草地水量模型草地積水量的改變量＝流入量－流出量＝模型建立A（平方數(shù)值計算：不妨假設降雨半小時,即c=1800秒,此時草地積水深h=0.018米,降雨速度在半小時

為方便直接給出a=0.001/秒,b=0.0005/秒,將所取數(shù)值代入(2)式整理方程，得若給出有關草地進水足夠信息，就可由(2)式求出Q(t)；模型求解參數(shù)a,b可以通過參數(shù)辨識方法得到。注3.2草地水量模型數(shù)值計算：不妨假設降雨半小時,即c=1800秒,此時草地模型求解3.2草地水量模型模型求解3.2草地水量模型模型求解（3）式能預測雨停后草地中水是如何隨時間變化減少的3.2草地水量模型模型求解（3）式能預測雨停后草地中水是如何隨時間變化減少的3但在實際比賽中一般要求水量降至最高水量值的10％就認為草地足夠干，也就是說只要達到Q(t1)=10%Q

(1800)即可。即在雨停后t1-1800時即可恢復比賽。令t1

滿足(3)式，得

雨停后還要等1534秒(約25分)才能恢復比賽.若水量降到最大值5%,需要大約33分鐘可以恢復比賽。模型求解本問題是確定比賽何時才能恢復，即t1為何值時使得Q(t1)=0。而由(3)式可知,當t趨于無窮大時,Q(t)趨于零，所以這樣的t1是不存在的。3.2草地水量模型但在實際比賽中一般要求水量降至最高水量值的10％雨停3.3傳染病模型模型1(簡單模型)模型2(SI模型)模型3（SIS模型）模型4（SIR模型）3.3傳染病模型模型1(簡單模型)問題

描述傳染病的傳播過程

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律

預報傳染病高潮到來的時刻

預防傳染病蔓延的手段

按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型3.3傳染病模型問題描述傳染病的傳播過程分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律預報傳

已感染人數(shù)(病人)i(t)

每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1(簡單模型)假設若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?已感染人數(shù)(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足模型2(SI模型)區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率SI模型模型2(SI模型)區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻(日接觸率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻(日模型3（SIS模型）傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設SIS模型3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期~一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。模型3（SIS模型）傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健模型3i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0模型3i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的模型4(SIR模型)傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率

,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個方程模型4(SIR模型)傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染模型4SIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質(zhì)模型4SIR模型無法求出在相平面模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內(nèi)作相軌線的圖形，進行分析模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/σ

i(t)先升后降至0P2:s0<1/σ

i(t)單調(diào)降至01/σ~閾值P3P4P2S0si101D模型4SIR模型相軌線及其分模型4SIR模型預防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛(wèi)生水平(日治愈率)醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/的估計

降低s0提高r0

提高閾值1/

降低(=/),群體免疫模型4SIR模型預防傳染病蔓延的手段(日接觸率)模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計記被傳染人數(shù)比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高閾值1/σ降低被傳染人數(shù)比例xs0-1/=模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計記被傳染人數(shù)比例x<<s0i模型驗證20世紀初在印度孟買發(fā)生的—次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了。公共衛(wèi)生部門記錄了每天移出者（死亡）的人數(shù)，即有了dr/dt的實際數(shù)據(jù)，KerMack等人用這組數(shù)據(jù)把模型所預測的結(jié)果與實際傳染病的資料進行比較。

根據(jù)前面的SIR模型：和有：于是：模型驗證20世紀初在印度孟買發(fā)生的—次瘟疫中幾乎所有病人都死當時，取（*）式右端的Taylor展開的前三項，在r0=0初始值下求解，得到：其中：帶回（*）式，即有：然后確定s0等參數(shù)，畫出r（t）的圖形，實際數(shù)據(jù)在圖中用圓點表示，可以看出，理論曲線與實際數(shù)據(jù)吻合得相當不錯。

當時，?。?）式右端的Taylor3.4

被捕食者-捕食者模型

種群甲靠豐富的天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌-捕食者系統(tǒng)，如食用魚和鯊魚，美洲兔和山貓，害蟲和益蟲。

模型的歷史背景——一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降(食用魚和鯊魚同時捕撈)，但是其中鯊魚的比例卻增加，為什么？3.4被捕食者-捕食者模型種群甲靠豐富的天然資源生存，種食餌（甲）數(shù)量x(t),

捕食者（乙）數(shù)量

y(t)甲獨立生存的增長率r乙使甲的增長率減小，減小量與

y成正比乙獨立生存的死亡率d甲使乙的死亡率減小，減小量與x成正比方程(1),(2)無解析解食餌-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食餌能力b~食餌供養(yǎng)捕食者能力食餌（甲）數(shù)量x(t),捕食者（乙）數(shù)量y(t)甲獨tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.9269………5.10009.616216.72355.20009.017316.2064………9.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用數(shù)學軟件MATLAB求微分方程數(shù)值解x~y平面上的相軌線tx