二次函數(shù)各知識點、考點、典型例題及對應練習（超全）【典型例題】題型1二次函數(shù)的概念例1（基礎(chǔ)）.二次函數(shù)的圖像的頂點坐標是（）A．（-1，8）B.（1，8）C（-1，2）D（1，-4）點撥：本題主要考察二次函數(shù)的頂點坐標公式例2.（拓展，2008年武漢市中考題，12）下列命題中正確的是\o\(○,1)若b2－4＞0，則二次函數(shù)2的圖象與坐標軸的公共點的個數(shù)是2或3\o\(○,2)若b2－40，則二次函數(shù)2的圖象與x軸只有一個交點，且這個交點就是拋物線頂點。\o\(○,3)當－5時，不論b為何值，拋物線2一定過y軸上一定點。\o\(○,4)若拋物線2與x軸有唯一公共點，則方程20有兩個相等的實數(shù)根。\o\(○,5)若拋物線2與x軸有兩個交點A、B，與y軸交于c點，4，S△6，則拋物線解析式為2－54。\o\(○,6)若拋物線2（a≠0）的頂點在x軸下方，則一元二次方程20有兩個不相等的實數(shù)根。\o\(○,7)若拋物線2（a≠0）經(jīng)過原點，則一元二次方程20必有一根為0。\o\(○,8)若a－2，則拋物線2（a≠0）必過一定點。\o\(○,9)若b2＜3，則拋物線2與x軸一定沒有交點。\o\(○,10)若一元二次方程20有兩個不相等的實數(shù)根，則函數(shù)2的圖象與x軸必有兩個交點。\o\(○,11)若0，則拋物線2與x軸的兩個交點一個在原點左邊，一個在原點右邊。點撥：本題主要考查二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，及二次函數(shù)和一元二次方程二者之間的聯(lián)系。復習時，抓住系數(shù)a、b、c對圖形的影響的基本特點，提升學生的數(shù)形結(jié)合能力，抓住拋物線的四點一軸與方程的關(guān)系，訓練學生對函數(shù)、方程的數(shù)學思想的運用。題型2二次函數(shù)的性質(zhì)例3若二次函數(shù)的圖像開口向上，與x軸的交點為（4，0），（-2，0）知，此拋物線的對稱軸為直線1，此時時，對應的y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1<y2B.y12C.y1>y2D.不確定點撥：本題可用兩種解法解法1：利用二次函數(shù)的對稱性以及拋物線上函數(shù)值y隨x的變化規(guī)律確定：a>0時，拋物線上越遠離對稱軸的點對應的函數(shù)值越大；a<0時，拋物線上越靠近對稱軸的點對應的函數(shù)值越大解法2：求值法：將已知兩點代入函數(shù)解析式，求出a，b的值再把橫坐標值代入求出y1與y2的值，進而比較它們的大小【舉一反三】變式1：已知二次函數(shù)上兩點，試比較的大小變式2：已知二次函數(shù)上兩點，試比較的大小變式3：已知二次函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于y軸對稱，是前者圖像上的兩點，試比較的大小AADBC題型3二次函數(shù)的圖像例4如圖所示，正方形的邊長為10，四個全等的小正方形的對稱中心分別在正方形的頂點上，且它們的各邊與正方形各邊平行或垂直，若小正方形的邊長為x，且0<x≤10，陰影部分的面積為y，則能反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖像時（）1010010100A10100B10100510010CD例5、（2009湖北省荊門市）函數(shù)＋1與2＋＋1（a≠0）的圖象可能是（）A．B．C．D．A．B．C．D．點撥：本題考查函數(shù)圖象與性質(zhì)，當時，直線從左向右是上升的，拋物線開口向上，D是錯的，函數(shù)＋1與2＋＋1（a≠0）的圖象必過（0，1），所以C是正確的，故選C．例6已知=次函數(shù)y＝的圖象如圖．則下列5個代數(shù)式：，，4a－2，2，2a－b中，其值大于0的個數(shù)為（）A．2 B3 C、4 D、5點撥：本題考查二次函數(shù)圖像性質(zhì)，a的符號由開口方向確定，b的符號由對稱軸和a共同決定，c看其與y軸的交點坐標，，4a－2看x取某個特殊值時y的值可從圖像中直觀發(fā)現(xiàn)題型5二次函數(shù)的平移例7.將拋物線向下平移1個單位，得到的拋物線是（）A． B． C． D．題型6二次函數(shù)應用銷售利潤類問題例8某商品的進價每件為50元，現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出70件，市場調(diào)查反映：如果每件的售價每漲10元（售價每件不能高于140元），那么每星期少賣5件，設每件漲價x元（x為10的正整數(shù)倍），每周銷售量為y件。⑴求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍。⑵如何定價才能使每周的利潤最大且每周銷量較大？每周的最大利潤是多少？點撥：銷售總利潤=銷售量×(售價-進價)本類題主要考查學生用二次函數(shù)知識解決實際問題中的最值問題（如最大利潤、最大面積、材料最值、時間最少，效率最高等問題），及函數(shù)自變量取值對最值的約束等知識。復習時注意，自變量的取值限制條件：如正整數(shù)倍，非負整數(shù)倍，自然數(shù)倍，2的整數(shù)倍等條件的限制。題型7二次函數(shù)與幾何圖形綜合(面積、動點)例9已知二次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點，，，直線（）與軸交于點．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在直線（）上有一點（點在第四象限），使得為頂點的三角形與以為頂點的三角形相似，求點坐標（用含的代數(shù)式表示）；（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在一點，使得四邊形為平行四邊形？若存在，請求出的值及四邊形的面積；若不存在，請說明理由．yyxO圖2點撥：本類題主要考察二次函數(shù)表達式的求法，二次函數(shù)與幾何知識的運用。面廣，知識綜合性強。復習時要著重深究點、線、面中所包含的隱含條件，要用運動、發(fā)展、全面的觀點去分析圖形，并注意到圖形運動過程中的特殊位置。【基礎(chǔ)達標訓練】一、選擇題1.(2009年四川省內(nèi)江市)拋物線的頂點坐標是（）A．（2，3）B．（－2，3）C．（2，－3）D．（－2，－3）2.（2009年桂林市、百色市）二次函數(shù)的最小值是（）．A．2B．1C．－3D．3.(2009年上海市)拋物線（是常數(shù)）的頂點坐標是（）A． B． C． D．4.(2009年陜西省)根據(jù)下表中的二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的對應值，可判斷二次函數(shù)的圖像與x軸 【】x…－1012…y…－1－2…A．只有一個交點 B．有兩個交點，且它們分別在y軸兩側(cè)xyxyO15.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：；方程的兩根之和大于0；隨的增大而增大；④，其中正確的個數(shù)（）A．4個B．3個C2個D．1個6.二次函數(shù)的圖象如圖2所示，若點A（1，y1）、B（2，y2）是它圖象上的兩點，則y1與y2的大小關(guān)系是（ ）A．B．C．D．不能確定yxOyxOB．C．yxyxOyxOB．C．yxOA．yxOD．1Oxy8.（2009年臺灣）向上發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y公尺，且時間與高度關(guān)系為2。若此炮彈在第7秒與第14秒時的高度相等，則再下列哪一個時間的高度是最高的？(A)第8秒(B)第10秒(C)第12秒(D)第15秒。9.(2009年南充)拋物線的對稱軸是直線（）A． B． C． D．10.（2009年遂寧）把二次函數(shù)用配方法化成的形式A.B.C.D.二、填空題11.（2009年甘肅慶陽）圖6（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在l時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2m，水面寬4m．如圖6（2）建立平面直角坐標系，則拋物線的關(guān)系式是圖6（1）圖6（2）圖6（1）圖6（2）12.(2009年上海市)把拋物線y＝的圖象先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得的圖象的解析式是y＝x－35，則13.（2009年淄博市）請寫出符合以下三個條件的一個函數(shù)的解析式．①過點；②當時，y隨x的增大而減小；③當自變量的值為2時，函數(shù)值小于2．14.（2009年婁底）如圖7，⊙O的半徑為2，C1是函數(shù)2的圖象，C2是函數(shù)2的圖象，則陰影部分的面積是.15.（2009白銀市）拋物線的部分圖象如圖8所示，請寫出與其關(guān)系式、圖象相關(guān)的2個正確結(jié)論：，．（對稱軸方程，圖象與x正半軸、y軸交點坐標例外）16.（2009年包頭）將一條長為20的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形，則這兩個正方形面積之和的最小值是2．17.（2009年黃石市）若拋物線與的兩交點關(guān)于原點對稱，則分別為．18、（2009年蘭州）二次函數(shù)的圖象如圖12所示，點位于坐標原點，點，，，…，在y軸的正半軸上，點，，，…，在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上，若△,△，△，…，△都為等邊三角形，則△的邊長＝.三、解答題19.（2009年內(nèi)蒙古包頭）某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量（件）與銷售單價（元）符合一次函數(shù)，且時，；時，．（1）求一次函數(shù)的表達式；（2）若該商場獲得利潤為元，試寫出利潤與銷售單價之間的關(guān)系式；銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？（3）若該商場獲得利潤不低于500元，試確定銷售單價的范圍．20.(安徽省)心理學家發(fā)現(xiàn)，學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x(單位：分)之間滿足函數(shù)關(guān)系：0.1x2+2.643(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越強。(1)x在什么范圍內(nèi)，學生的接受能力逐步增強？x在什么范圍內(nèi)，學生的接受能力逐步降低？(2)第10分時，學生的接受能力是什么？(3)第幾分時，學生的接受能力最強？21.（2009仙桃）如圖，已知拋物線y＝x2＋＋c經(jīng)過矩形的兩個頂點A、B，平行于x軸，對角線與拋物線交于點P，點A的坐標為(0，2)，＝4．(1)求拋物線的解析式；(2)若S△＝，求矩形的面積22.拋物線與x軸交A、B兩點(A點在B點左側(cè))，直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2.

(1)求A、B兩點的坐標及直線的函數(shù)表達式；

(2)P是線段上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段長度的最大值；

(3)點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由.

【能力提高訓練】23．如圖，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為，，，將此三角板繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，得到．（1）如圖，一拋物線經(jīng)過點，求該拋物線解析式；32112AO第23題圖32112AO第23題圖Bxy24．(12分)如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝2＋＋c(a＞0)的圖象頂點為D，與y軸交于點C，與x軸交于點A、B，點A在原點的左側(cè)，點B的坐標為(3，0)，＝，∠＝\F(1,3)．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)若平行于x軸的直線與該拋物線交于點M、N，且以為直徑的圓與x軸相切，求該圓的半徑長度；CxxyyAOCxxyyAOBEDACBCDG圖1圖2.25.（2009年湖南長沙）為了扶持大學生自主創(chuàng)業(yè)，市政府提供了80萬元無息貸款，用于某大學生開辦公司生產(chǎn)并銷售自主研發(fā)的一種電子產(chǎn)品，并約定用該公司經(jīng)營的利潤逐步償還無息貸款．已知該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為每件40元，員工每人每月的工資為2500元，公司每月需支付其它費用15萬元．該產(chǎn)品每月銷售量（萬件）與銷售單價（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）求月銷售量（萬件）與銷售單價（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當銷售單價定為50元時，為保證公司月利潤達到5萬元（利潤＝銷售額－生產(chǎn)成本－員工工資－其它費用），該公司可安排員工多少人？（3）若該公司有80名員工，則該公司最早可在幾個月后還清無息貸款？4421406080x（元）（萬件）y26.如圖，直角梯形中，∥，∠＝90°，已知＝＝3，＝4，動點P從B點出發(fā)，沿線段向點C作勻速運動；動點Q從點D出發(fā)，沿線段向點A作勻速運動．過Q點垂直于的射線交于點M，交于點N．P、Q兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度．當Q點運動到A點，P、Q兩點同時停止運動．設點Q運動的時間為t秒．(1)求，的長(用t的代數(shù)式表示)；(2)當t為何值時，四邊形構(gòu)成平行四邊形？(3)是否存在某一時刻，使射線恰好將△的面積和周長同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由；ABCDQABCDQMNP(第25題圖)專題一：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)本專題涉及二次函數(shù)概念，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，拋物線平移后的表達式等.試題多以填空題、選擇題為主，也有少量的解答題出現(xiàn).考點1.二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，它的對稱軸是直線，頂點坐標是（-，）.例1已知，在同一直角坐標系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)的圖像交于點．（1）求、的值；（2）求二次函數(shù)圖像的對稱軸和頂點坐標.考點2.拋物線與a、b、c的關(guān)系yxO圖1拋物線2yxO圖1例2已知的圖象如圖1所示，則的圖象一定過（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限考點3.二次函數(shù)的平移當k>0（k<0）時，拋物線2（a≠0）的圖象可由拋物線2向上（或向下）平移個單位得到；當h>0（h<0）時，拋物線（）2（a≠0）的圖象可由拋物線2向右（或向左）平移個單位得到.例3把拋物線3x2向上平移2個單位，得到的拋物線是（）3（2）23（2）23x2+23x2-2專題練習一1.對于拋物線2，下列說法正確的是（）A.開口向下，頂點坐標為（5，3）B.開口向上，頂點坐標為（5，3）C.開口向下，頂點坐標為（-5，3）D.開口向上，頂點坐標為（-5，3）2.若拋物線2-2與y軸的交點為（0，-3），則下列說法不正確的是（）A.拋物線開口向上B.拋物線的對稱軸是1C.當1時，y的最大值為-4D.拋物線與x軸交點為（-1，0），（3，0）圖23.將二次函數(shù)2的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度后，所得圖象的函數(shù)表達式是.圖24.小明從圖2所示的二次函數(shù)的圖象中，觀察得出了下面五條信息：①；②；③；④；⑤，你認為其中正確信息的個數(shù)有.（填序號）專題復習二：二次函數(shù)表達式的確定本專題主要涉及二次函數(shù)的三種表示方法以及根據(jù)題目的特點靈活選用方法確定二次函數(shù)的表達式.題型多以解答題為主.ABABCD圖1菜園墻例1如圖1，用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度不限）的矩形菜園，設邊長為米，則菜園的面積（單位：米）與（單位：米）的函數(shù)關(guān)系式為（不要求寫出自變量的取值范圍）．考點2.根據(jù)拋物線上點的坐標確定二次函數(shù)表達式1.若已知拋物線上三點的坐標，則可用一般式：2（a≠0）；2.若已知拋物線的頂點坐標或最大（?。┲导皰佄锞€上另一個點的坐標，則可用頂點式：（）2（a≠0）；3.若已知拋物線與x軸的兩個交點坐標及另一個點，則可用交點式：（1）（2）（a≠0）.例2已知拋物線的圖象以A（-1，4）為頂點，且過點B（2，-5），求該拋物線的表達式.例3已知一拋物線與x軸的交點是A（-2，0）、B（1，0），且經(jīng)過點C（2，8）.（1）求該拋物線的解析式；（2）求該拋物線的頂點坐標.專項練習二1.由于世界金融危機的不斷蔓延，世界經(jīng)濟受到嚴重沖擊.為了盤活資金，減少損失，某電器商場決定對某種電視機連續(xù)進行兩次降價.若設平均每次降價的百分率是x，降價后的價格為y元，原價為a元，則y與x之間的函數(shù)表達式為（）圖22a（1）2a（1）（12）（1）2圖22.如圖2，在平而直角坐標系中，拋物線2與x軸交于A、B兩點，點A在x軸負半軸，點B在x軸正半軸，與y軸交于點C，且∠，，3，則這條拋物線的函數(shù)解析式是．3.對稱軸平行于y軸的拋物線與y軸交于點（0，-2），且1時，3；1時1，求此拋物線的關(guān)系式.4.推理運算：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，．（1）求此二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）求此二次函數(shù)圖象的頂點坐標；（3）填空：把二次函數(shù)的圖象沿坐標軸方向最少平移個單位，使得該圖象的頂點在原點．專題三：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系本專題主要涉及根據(jù)二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根，由圖象判斷一元二次方程根的情況，由一元二次方程根的情況判斷拋物線與x軸的交點個數(shù)等，題型主要填空題、選擇題和解答題.考點1.根據(jù)二次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對應值，確定方程根的范圍一元二次方程20就是二次函數(shù)2當函數(shù)y的值為0時的情況.例1根據(jù)下列表格中二次函數(shù)2的自變量與函數(shù)值的對應值，判斷方程20（a≠0,為常數(shù)）的一個解的范圍是（）6.176.186.196.20Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．考點2.根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定所對應的一元二次方程的根.4圖1二次函數(shù)2的圖象與x軸的交點有三種情況：有兩個交點、一個交點、沒有交點；當二次函數(shù)2的圖象與x軸有交點時，交點的橫坐標就是當0時自變量x的值，即一元二次方程24圖1例2已知二次函數(shù)2+3的部分圖象如圖1所示，則關(guān)于x的一元二次方程2+30的解為.考點3.拋物線的交點個數(shù)與一元二次方程的根的情況當二次函數(shù)2的圖象與x軸有兩個交點時，則一元二次方程20有兩個不相等的實數(shù)根；當二次函數(shù)2的圖象與x軸有一個交點時，則一元二次方程20有兩個相等的實數(shù)根；當二次函數(shù)2的圖象與x軸沒有交點時，則一元二次方程20沒有實數(shù)根.反之亦然.例3在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點的個數(shù)是（）A.3 B.2 C.1 D.0圖2專項練習三圖21.拋物線2-77的圖象和x軸有交點，則k的取值范圍是.2.已知二次函數(shù)的部分圖象如圖2所示，則關(guān)于的一元二次方程的解為．圖33.已知函數(shù)的圖象如圖3所示，那么關(guān)于的方程的根的情況是（）圖3A.無實數(shù)根 B.有兩個相等實數(shù)根C.有兩個異號實數(shù)根 D.有兩個同號不等實數(shù)根圖44.二次函數(shù)的圖象如圖4所示，根據(jù)圖象解答下列問題：圖4（1）寫出方程的兩個根．（2）寫出不等式的解集．（3）寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍．（4）若方程有兩個不相等的實數(shù)根