3.4基本不等式（一）

3.4基本不等式（一）1會(huì)探索、理解不等式的證明過(guò)程，應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值；能夠解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.基本不等式的應(yīng)用.利用基本不等式求最大值、最小值.重點(diǎn)難點(diǎn)目標(biāo)會(huì)探索、理解不等式的證明過(guò)程，應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值2

會(huì)標(biāo)的設(shè)計(jì)源中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明發(fā)明于中國(guó)周代的勾股定理而繪制的弦圖。它既標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就，又象一只轉(zhuǎn)動(dòng)的風(fēng)車，歡迎來(lái)自世界各地的數(shù)學(xué)精英們。2002年在北京舉行的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)會(huì)標(biāo)的設(shè)計(jì)源中國(guó)2002年在北京舉行的第24屆國(guó)際數(shù)3思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案中找4ab問2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它們的面積和是S’=———問1：在正方形ABCD中,設(shè)AF=a,BF=b,則正方形的面積為S=————，問3：S與S’有什么樣的關(guān)系？從圖形中易得，s>s’,即探究1問4：

S與S’有相等的情況嗎？何時(shí)相等？

圖片說(shuō)明：當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有ab問2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△A5探究2問題1：當(dāng)a,b為任意實(shí)數(shù)時(shí)，成立嗎？問題2：特別地，如果a>0、b>0,

當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)“＝”號(hào)成立，

此不等式稱為基本不等式探究2問題1：當(dāng)a,b為任意實(shí)數(shù)時(shí)，6由“半徑不小于半弦”得：幾何解釋∵Rt△ACDRt△DCB∽∴CD2=AC·BC∴CD=ABEDCab由“半徑不小于半弦”得：幾何解釋∵Rt△ACDRt△DCB∽7基本不等式：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.注意：①不等式的適用范圍②

稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)

稱為它們的算術(shù)平均數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.基本不等式：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.注意：②稱8應(yīng)用1：利用基本不等式判斷代數(shù)式的大小關(guān)系例1.下列表達(dá)式中大于等于4的是()（A）x+（B）sinx+（0<x<π）（C）3x+4×3-x（D）lgx+4logx10應(yīng)用1：利用基本不等式判斷代數(shù)式的大小關(guān)系例1.下列表達(dá)式中9注意1、兩個(gè)不等式的適用范圍不同;2、一般情況下若“=”存在時(shí)，要注明等號(hào)成立的條件；3、運(yùn)用基本不等式時(shí)，要把一端化為常數(shù)（定值）。即“一正、二定、三相等”注意1、兩個(gè)不等式的適用范圍不同;即“一正、二定、三相等10例2（1）用籬笆圍成一個(gè)面積為100m的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短.最短的籬笆是多少？應(yīng)用2：解決最大（?。┲祮栴}解：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為xm，寬為ym，

則xy=100，籬笆的長(zhǎng)為2（x+y）m.當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x=y=10.結(jié)論1：兩個(gè)正變量積為定值，則和有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)兩值相等時(shí)取最值

因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為10m時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆是40m例2（1）用籬笆圍成一個(gè)面積為100m的矩形菜園，問這個(gè)矩形11（2）用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？解：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為xm，寬為ym，則2（x+y）=36,x+y=18矩形菜園的面積為xym2=18/2=9得xy81當(dāng)且僅當(dāng)x=y,即x=y=9時(shí)，等號(hào)成立

因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為9m時(shí)，菜園面積最大，最大面積是81m2結(jié)論2：兩個(gè)正變量和為定值，則積有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)兩值相等時(shí)取最值。（2）用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形菜園12（2）一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大.最大面積是多少？另解：設(shè)矩形菜園的寬為xm，則長(zhǎng)為（18－x）m，其中0＜x＜18，其面積為:S＝x（18－x）當(dāng)且僅當(dāng)x＝18－x，即x＝9時(shí)菜園面積最大，即菜園長(zhǎng)9m，寬為9m時(shí)菜園面積最大為81m2.（2）一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬13達(dá)標(biāo)檢測(cè)（1）（2）（3）（4）1、設(shè)a>0，b>0，給出下列不等式其中恒成立的

.2.若a.b∈R,且a+b=3,則2a+2b的最小值為——

達(dá)標(biāo)檢測(cè)1、設(shè)a>0，b>0，給出下列不等式其中恒成立的14知識(shí)小結(jié)作業(yè)P101習(xí)題3.4A組1，2

（1）兩個(gè)正數(shù)積為定值，和有最小值.

（2）兩個(gè)正數(shù)和為定值，積有最大值.應(yīng)用要點(diǎn)：一正、二定、三相等重要不等式基本不等式(a、b∈R+)結(jié)論(a、b∈R)知識(shí)小結(jié)作業(yè)P101習(xí)題3.4A組1，2（1）兩153.4基本不等式（一）

3.4基本不等式（一）16會(huì)探索、理解不等式的證明過(guò)程，應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值；能夠解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.基本不等式的應(yīng)用.利用基本不等式求最大值、最小值.重點(diǎn)難點(diǎn)目標(biāo)會(huì)探索、理解不等式的證明過(guò)程，應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值17

會(huì)標(biāo)的設(shè)計(jì)源中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明發(fā)明于中國(guó)周代的勾股定理而繪制的弦圖。它既標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就，又象一只轉(zhuǎn)動(dòng)的風(fēng)車，歡迎來(lái)自世界各地的數(shù)學(xué)精英們。2002年在北京舉行的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)會(huì)標(biāo)的設(shè)計(jì)源中國(guó)2002年在北京舉行的第24屆國(guó)際數(shù)18思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案中找19ab問2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它們的面積和是S’=———問1：在正方形ABCD中,設(shè)AF=a,BF=b,則正方形的面積為S=————，問3：S與S’有什么樣的關(guān)系？從圖形中易得，s>s’,即探究1問4：

S與S’有相等的情況嗎？何時(shí)相等？

圖片說(shuō)明：當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有ab問2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△A20探究2問題1：當(dāng)a,b為任意實(shí)數(shù)時(shí)，成立嗎？問題2：特別地，如果a>0、b>0,

當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)“＝”號(hào)成立，

此不等式稱為基本不等式探究2問題1：當(dāng)a,b為任意實(shí)數(shù)時(shí)，21由“半徑不小于半弦”得：幾何解釋∵Rt△ACDRt△DCB∽∴CD2=AC·BC∴CD=ABEDCab由“半徑不小于半弦”得：幾何解釋∵Rt△ACDRt△DCB∽22基本不等式：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.注意：①不等式的適用范圍②

稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)

稱為它們的算術(shù)平均數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.基本不等式：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.注意：②稱23應(yīng)用1：利用基本不等式判斷代數(shù)式的大小關(guān)系例1.下列表達(dá)式中大于等于4的是()（A）x+（B）sinx+（0<x<π）（C）3x+4×3-x（D）lgx+4logx10應(yīng)用1：利用基本不等式判斷代數(shù)式的大小關(guān)系例1.下列表達(dá)式中24注意1、兩個(gè)不等式的適用范圍不同;2、一般情況下若“=”存在時(shí)，要注明等號(hào)成立的條件；3、運(yùn)用基本不等式時(shí)，要把一端化為常數(shù)（定值）。即“一正、二定、三相等”注意1、兩個(gè)不等式的適用范圍不同;即“一正、二定、三相等25例2（1）用籬笆圍成一個(gè)面積為100m的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短.最短的籬笆是多少？應(yīng)用2：解決最大（小）值問題解：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為xm，寬為ym，

則xy=100，籬笆的長(zhǎng)為2（x+y）m.當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x=y=10.結(jié)論1：兩個(gè)正變量積為定值，則和有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)兩值相等時(shí)取最值

因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為10m時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆是40m例2（1）用籬笆圍成一個(gè)面積為100m的矩形菜園，問這個(gè)矩形26（2）用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？解：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為xm，寬為ym，則2（x+y）=36,x+y=18矩形菜園的面積為xym2=18/2=9得xy81當(dāng)且僅當(dāng)x=y,即x=y=9時(shí)，等號(hào)成立

因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為9m時(shí)，菜園面積最大，最大面積是81m2結(jié)論2：兩個(gè)正變量和為定值，則積有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)兩值相等時(shí)取最值。（2）用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形菜園27（2）一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大.最大面積是多少？另解：設(shè)矩形菜園的寬為xm，則長(zhǎng)為（18－x）m，其中0＜x＜18，其面積為:S＝x（18－x）當(dāng)且僅當(dāng)x＝18－x，即x＝9時(shí)菜園面積最大，即菜園長(zhǎng)9m，寬為9m時(shí)菜園面積最大為81m2.（2）一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬28達(dá)標(biāo)檢測(cè)（1）（2）（3）（4）1、設(shè)a>0，b>0，給出下列不等式其中恒成立的