(完好版)【精髓篇】初中數(shù)學九年級培優(yōu)教程整理(全)(完好版)【精髓篇】初中數(shù)學九年級培優(yōu)教程整理(全)(完好版)【精髓篇】初中數(shù)學九年級培優(yōu)教程整理(全)初中數(shù)學九年級培優(yōu)目錄第1講二次根式的性質(zhì)和運算(P2----7)第2講二次根式的化簡與求值(P7----12)第3講一元二次方程的解法(P13----16)第4講根的鑒識式及根與系數(shù)的關(guān)系(P16----22)第5講一元二次方程的應用(P23----26)第6講一元二次方程的整數(shù)根(P27----30)第7講旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)變換（一）(P30----38)第8講旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)變換（二）(P38----46)第9講圓的基本性質(zhì)(P47----51)第10講圓心角和圓周角(P52----61)第11講直線與圓的地址關(guān)系（P62----69）第12講圓內(nèi)等積證明及變換((P70----76)第13講弧長和扇形面積(P76----78)第14講概率初步(P78----85)第15講二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)(P85----91)第16講二次函數(shù)的解析式和綜合應用(P92----98)第17講二次函數(shù)的應用(P99----108)第18講相似三角形的性質(zhì)(P109----117)第19講相似三角形的判斷(P118-----124)第20講相似三角形的綜合應用(P124-----130)每天進步一點點！堅持就是成功！1第1講二次根式的性質(zhì)和運算考點·方法·破譯1．認識二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的定義，能正確進行辨析；2．掌握二次根式相關(guān)性質(zhì)，并能熟練運用性質(zhì)進行化簡；3．會依照二次根式的性質(zhì)挖掘題中隱含條件，求參數(shù)的值（或取值范圍）.經(jīng)典·考題·賞析【例１】（荊州）以下根式中屬最簡二次根式的是（）A.a21B.1C.8D.272【解法指導】判斷式子可否為最簡二次根式的條件有兩點：①被開方式中不能夠含分母；②被開方式中不能夠有可開盡方的數(shù)或式子.B中含分母，C、D含開方數(shù)4、9，應選A.【變式題組】1．⑴（中山）以下根式中不是最簡二次根式的是（）A.10B.8C.6D.2⑵①a2b2；②x；③x2xy；④27abc，最簡二次根式是（）5A．①,②B．③,④C．①,③D．①,④【例２】(黔東南)方程4x8xym0，當y＞0時，m的取值范圍是（）A．0＜m＜1B．m≥2C．m＜2D．m≤2【解法指導】此題屬于兩個非負數(shù)的代數(shù)和問題，隱含兩個代數(shù)式均為0的結(jié)論.由題意得4x－8＝0，x－y－m0.化為y＝2－m，則2－m＞0，應選C.變式題組】2．（寧波）若實數(shù)x、y滿足x2(y3)20，則xy的值是__________.3．（荊門）若x11x(xy)2，則x－y的值為（）A．－1B．1C．2D．34．（鄂州）使代數(shù)式x3有意義的x的取值范圍是（）x4A．x＞3B．x≥3C．x＞4D．x≥3且x≠45.（懷化）a2b3(c4)20，則a－b－c＝________.【例３】以下二次根式中，與24是同類二次根式的是（）A．18B．30C．48D．54【解法指導】判斷幾個二次根式可否為同類二次根式應先把它們都化為最簡二次根式，再看被開方數(shù)可否一2樣.A．1832；B．30不能夠化簡；C.4843；D．5436，而2426.故此題應選D.【變式題組】6．若是最簡二次根式3a8與172a是同類二次根式，則a＝________．7．在以下各組根式中，是同類二次根式的是（）A．3和18B．3和1C．a(chǎn)2b和ab2D．a(chǎn)1和a138．已知最簡二次根式ba3b和2ba2是同類二次根式，則a＝_______，b＝______.【例４】以下計算正確的選項是（）A．532B．824C．2733D．(12)(12)1a(a＞0)【解法指導】正確運用二次根式的性質(zhì)①(a)2a(a≥0)；②a2a0(a0)；③a(a＜0)abab(a≥0,b≥0)；④bb(b≥0,a＞0)進行化簡計算，并能運用乘法公式進行計算.AB、中的項aa不能夠合并.D.(12)(12)1(2)21.故此題應選C.【變式題組】9.（聊城）以下計算正確的選項是（）A．234265B．842C．2733D．(3)2310．計算：(154)2007(415)2007_____________11．(2332)2(2332)2_____________12．(濟寧)已知a為實數(shù)，那么a2＝（）A．a(chǎn)B．－aC．－1D．013．已知a＞b＞0，a＋b＝6ab，則ab的值為（）ab2B．2C．2D．1A．22【例５】已知xy＞0，化簡二次根式xy的正確結(jié)果為（）x23A．yB．yC．yD．y【解法指導】先要判斷出y＜0，再依照xy＞0知x＜0.故原式xyy.選D.x2【變式題組】14．已知a、b、c為△ABC三邊的長，則化簡abc(abc)2的結(jié)果是_______.15．觀察以下分母有理化的計算：121，132，1，算果21324343中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算：11L1)(20061)_________.(13220062005216．已知，則0＜x＜1，則(x1)24(x1)24_________.xx【例６】（遼寧）⑴先化簡嗎，再求值：11b5151ab，其中a，b.ba(ab)22⑵已知x32，y32，那么代數(shù)式xy(xy)2值為________.3232xy(xy)2【解法指導】關(guān)于⑴，先化簡代數(shù)式再代入求值；關(guān)于⑵，依照已知數(shù)的特色求xy、x＋y的值，再代入求值.【解】⑴原式＝aba(ab)b2(ab)2ab，當a51，b51時，ab＝1，a＋b＝5,ab(ab)ab(ab)ab22原式＝5.⑵由題意得：xy＝1，x＋y＝10,原式＝11001011100.99【變式題組】17．（威海）先化簡，再求值：(a＋b)2＋(a－b)(2a＋b)－3a2，其中a23,b32.18．（黃石）已知a是43的小數(shù)部分，那么代數(shù)式(a2a2a)(a4)的值為________.a24a4a22aa【例７】已知實數(shù)x、y滿足(xx22008)(yy22008)2008，則3x2－2y2＋3x－3y－2007的值為（）A．－2008B．2008C．－1D．1【解法指導】對條件等式作近似于因式分解的變形，找出a、b的關(guān)系，再代入求值.解:∵(xx22008)(yy22008)2008，4∴(xx22008)2008yy22008，yy22008(yy22008)2008xx22008，由以上兩式可得x＝y(tǒng).xx22008∴(xx22008)2008,解得x2＝2008，所以3x2－2y2＋3x－3y－2007＝3x2－2x2＋3x－3x－2007＝x2－2007＝1，應選D.【變式題組】19．若a＞0，b＞0，且a(ab)3b(a5b)，求2a3bab的值.abab演練牢固·反響提高01．若m404，則預計m的值所在的范圍是（）A．1＜m＜2B．2＜m＜3C．3＜m＜4D．4＜m＜502．（綿陽）已知12n是正整數(shù)，則實數(shù)n的最大值為（）A．12B．11C．8D．303．（黃石）以下根式中，不是最簡二次根式的是（）．．A.7B.3C.12D.204．（賀州）以下根式中，不是最簡二次根式的是（）A.2B.6C.8D.1005．以下二次根式中，是最簡二次根式的是（）A.12B.x23C.3D.a2b206．（常德）設(shè)a＝20，b＝(－3)2,c39,d(1)1,則a、b、c、d、按由小到大的序次排列正確的選項是（）2A．c＜a＜d＜bB．b＜d＜a＜cC．a(chǎn)＜c＜d＜bD．b＜c＜a＜d07．（十堰）以下運算正確的選項是（）A．325B．326C．(31)231D．52325308．若是把式子(11根號外的因式移入根號內(nèi)，化簡的結(jié)果為（）a)1a5A．1aB．a(chǎn)1C．a(chǎn)1D．1a09．（徐州）若是式子(x1)2x2化簡的結(jié)果為2x－3，則x的取值范圍是（）A．x≤1B．x≥2C．1≤x≤2D．x＞010．（懷化）函數(shù)yx中自變量的取值范圍是________.x211．（湘西）關(guān)于任意不相等的兩個數(shù)a，b，定義一種運算a※b＝325.那么12※4＝________.3212．（荊州）先化簡，再求值：a2a211a1，其中a3.2aa3a213．（廣州）先化簡，再求值：(a3)(a3)a(a6)，其中a15.2培優(yōu)升級01．（涼山州）已知一個正數(shù)的平方根是3x－2和5x＋6，則這個數(shù)是________.02．已知a、b是正整數(shù)，且滿足2(1515)是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對（a，b）共有________對.ab03．（全國）設(shè)a51，則a5a42a3a2a2________.2a3a04．（全國）設(shè)x1,a是x的小數(shù)部分,b是x的小數(shù)部,則a3＋b3＋3ab＝________.2105．（重慶）已知yx22x22222＝________.5x445x，則x＋y06．（全國）已知a21，a226，a62，那么a、b、c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b07．（武漢）已知yx14x（x，y均為實數(shù)），則y的最大值與最小值的差為（）A．63B．3C．53D．6308．（全國）已知非零實數(shù)a、b滿足2a4b2(a3)b242a，則a＋b等于（）A．－1B．0C．1D．209．（全國）232217122等于（）A．542B．421C．5D．1610．已知x2xyy0(x0,y0)，則3xxyy的值為（）5x3xy4y11C．2D．3A．B．343211．已知ab2a14b23c315，求a＋b＋c的值.c212．已知913與913的小數(shù)部分分別是a和b，求ab－3a＋4b＋8的值.第2講二次根式的化簡與求值考點·方法·破譯1．會靈便運用二次根式的運算性質(zhì)化簡求值.2．會進行二次根式的有理化計算，會整體代入求值及變形求值.3．會化簡復合二次根式，會在根式范圍內(nèi)分解因式.經(jīng)典·考題·賞析【例１】（河北）已知12，那么xxx23x1x29x1xx

的值等于__________【解法指導】經(jīng)過平方或運用分式性質(zhì)，把已知條件和待求式的被開方數(shù)都用x1表示或化簡變形.11x解：兩邊平方得，x24，x2，兩邊同乘以x得，x212x，∵x23x15x，xxx29x111x，∴原式11511=11=1155【變式題組】1．若a1a1________4（0＜a＜1），則aa72．設(shè)x1a，則4xx2的值為（）aA．a(chǎn)1B．1aC．a(chǎn)1D．不能夠確定aaa【例２】（全國）滿足等式xyyx2003x2003y2003xy＝2003的正整數(shù)對（x,y）的個數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4【解法指導】對條件等式作近似于因式分解的變形，將問題轉(zhuǎn)變成求不定方程的正整數(shù)解.解：可化為xy(xy)2003(xy)2003(xy2003)0，∴(xy2003)(xy2003)0∵xy20030，∴xy20030，則xy＝2003，且2003是質(zhì)數(shù)，∴正整數(shù)對（x,y）的個數(shù)有2對，應選B.【變式題組】3．若a＞0，b＞0，且a(a4b)3b(a2b)，求2a3bab的值.abab【例３】（四川）已知：xa1(0a1)，求代數(shù)式ax2x6x3x2x24x的值.xx22xx2x24x【解法指導】視x－2，x2-4x為整體，把xa1平方，移項用含a的代數(shù)式表示x－2，x2-4x，注意0a＜a＜1的限制.解：平方得，xa12，∴x2a1，x24x4a212，1aaa2x24xa22，a2∴化簡原式＝(x3)(x2)x(x2)x2x24xxg3x2x24xx1a1(1a)＝(a)2aa22aa1(1a)aaa【變式題組】4．（武漢）已知x3312，求代數(shù)式x3(5x2)的值.x212x4x285．（五羊杯）已知m12，n12，且(7m214ma)(3n26n7)8，則a的值等于（）A．－5B．5C．－9D．9【例４】（全國）如圖，點A、C都在函數(shù)330)的圖像上，點B、D都在x軸上，且使得△OAB、y(xx△BCD都是等邊三角形，則點D的坐標為________.【解法指導】解：如圖，分別過點A、C作x軸的垂線，垂足分別為E、F.設(shè)OE=a，BF=b，則AE=3a，CF=3b，所以，點A、C的坐標為（a,3a）、3a233a3y（2a＋b,3b），所以，解得，A3b(2ab)33b63所以，點D的坐標為（26,0）COx【變式題組】EBFD6．（邵陽）閱讀以下資料，爾后回答以下問題.在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上如5，2，2同樣的式子，其實我們還可以夠?qū)⑵溥M一步化簡：333155353；（一）2236；（二）33333333223131；（三）313131以上這類化簡的步驟叫做分母有理化，2還可以夠用以下方法化簡：31231213131331；（四）31313131（1）請你用不同樣的方法化簡2；53①參照（三）試得：2=_____________________________；（要有簡化過程）53②參照（四）試得：2=_____________________________；（要有簡化過程）53（2）化簡：111L13153752n12n1【例５】（五羊杯）設(shè)a、b、c、d為正實數(shù)，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一個三角形的三邊長分別為a2c2，b2d2，(ba)2(dc)2，求此三角形的面積.9【解法指導】誠然不能夠用面積公式求三角形面積(為什么?)，a2c2的幾何意義是以a、c為直角邊的直角三角形的斜邊，從構(gòu)造圖形下手，將復雜的根式計算轉(zhuǎn)變成幾何問題加以解決.解：如圖，作長方形ABCD，使AB＝b－a，AD＝c，延長DA至E，使DE＝d，延長DC至F，使DF＝b，連結(jié)EF、FB、EB，則BF＝a2c2，EF＝b2d2，DbBE=(ba)2(dc)2，從而知△BEF就是題設(shè)的三角形，而aCFS△BEF＝S長方形ABCD＋S△BCF＋S△ABE－S△DEF＝(b－a)c＋1(d－c)(b－a)－1bd＝d1(bc－ad)22AB2c【變式題組】E7．(北京)已知a、b均為正數(shù)，且a＋b＝2，求U＝a24b21演練牢固·反響提高01．已知x32，y32，那么代數(shù)式xyx2y2值為__________3232xyx2y202．設(shè)a71，則3a312a26a12＝（）A．24B．25C．4710D．471203．（天津）計算(31)20012(31)20002(31)19992001__________04．（北京）若有理數(shù)x、y、z滿足xy1z21(xyz)，則(xyz)2__________205．（北京）正數(shù)m、n滿足m4mn2m4n4n30，則m2n8m2__________n200206．（河南）若x31，則x3(23)x2(123)x35的值是（）A．2B．4C．6D．807．已知實數(shù)a滿足2000aa2001a，那么a20002的值是（）A．1999B．2000C．2001D．200208．設(shè)a1003997，b1001999，c21000，則a、b、c之間的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a(chǎn)＜c＜b1009．已知1(x1)2x，化簡x21xx21x44培優(yōu)升級01．（信利）已知x13，那么111__________x2x24x202．已知a4a15，則62a__________03．（江蘇）已知(xx22002)(yy22002)2002，則x23xy4y26x6y58__________04．（全國）7x29x137x25x137x，則x＝__________05．已知x32，y32，那么yx__________3232x2y206．（武漢）若是ab20022，ab20022，b3c3b3c3，那么a3b3c3的值為（）A．20022002B．2001C．1D．007．（紹興）當x12002時，代數(shù)式(4x32005x2001)2003的值是（）2A．0B．－1C．1D．2200308．（全國）設(shè)a、b、c為有理數(shù)，且等式ab2c3526成立，則2a999b1001c的值是（）A．1999B．2000C．2001D．不能夠確定09．計算：64332（1）3)(32)(6（2）101415211014152111（3）111L1353357557474749349（4）322526721292201123013242152561727210．已知實數(shù)a、b滿足條件abb1，化簡代數(shù)式(11)g(ab1)2，將結(jié)果表示成不含b的形式.aab1a2(a0)x2x211．已知x，化簡：2x2ax12．已知自然數(shù)x、y、z滿足等式x26yz0，求x＋y＋z的值.12第3講一元二次方程的解法考點·方法·破譯1．掌握一元二次方程根的定義并能應用根的定義解題；2．掌握一元二次方程的四種解法，并能靈便應用各種解法解方程；3．會應用一元二次方程解實質(zhì)應用題。經(jīng)典·考題·賞析【例１】以下關(guān)于x的方程中，必然是一元二次方程的是（）A.(m-2)x2-2x-1=0B.k2x+5k+3=0C.3x21x20D.3x22403x【解法指導】A、B選項中的二次系數(shù)能夠為0，不是；D的分母中含字母，不吻合.應選C.【變式題組】1．（威海）若關(guān)于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一個根是-2，則另一個根是___________.【例2】若是m、n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2-2m=1，n2-2n=1，那么代數(shù)式2m2+4n2-4n+1998=___________.【解法指導】此題要運用整體代入法，依照一元二次方程根的定義運用整體代入法降次.解：由題意，2m2=4m+2，4n2=8n+2，則原式=(4m+2)+(8n+2)-4n+1998=(4m+4n)+4+1998，又由根與系數(shù)關(guān)系得m+n=2，∴原式=2010.【變式題組】2．（南昌）若3a2-a-2=0，則5+2a-6a2=___________.3．（煙臺）設(shè)a、b是方程x2+x-2009=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b的值為（）A．2006B．2007C．2008D．20092例3】關(guān)于x的一元二次方程(m-3)x+4x+m-9=0有一個根為0，m的值為___________.解法指導】方法1：將x=0代入；方法2：有一個根為0，則常數(shù)項為0.解：依題意m2-9=0，∴m=±3，依照方程是一元二次方程得m≠3，綜合知m=-3.【變式題組】4．（慶陽）若關(guān)于x的方程x2+2x+k-1=0的一個根是0，則k=___________.5．（東營）若關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常數(shù)項為0，則m的值等于（）A．1B．2C．1或2D．02【例4】（連云港）解方程：x+4x-1=0.【解法指導】解：解法一：∵a=1，b=4,c=-1，∴x=44241(1)±5.∴原方程的根為2.即x=-21x125,x225.解法二：配方，得(x+2)2=5，直接開平方，得x25,∴原方程的根為x125,x225.【變式題組】6．（清遠）方程2的解是（）x=16A．x=±4B．x=4C．x=-4D．x=167.（南充）方程(x-3)(x+1)=x-3的解是（）A.x=0B.x=3C.x=3或x=-1D.x=3或x=08.（咸寧）方程3x(x+1)=3x+3的解為（）A．x=1B．x=-1C．x1=0，x2=-1D．x1=1，x2=-1139.（溫州）我們已經(jīng)學習了一元二次方程的四種解法：因式分解法、開平方法、配方法和公式法.請從以下一元二次方程中任選一個，并選擇你以為合適的方法解這個方程.①x2-3x+1=0；②(x-1)2=3；③x2-3x=0；④x2-2x=4.【例5】（山西）解方程：6x2-x-12=0【解法指導】為便于配方可先化二次項系數(shù)為1，解：方程兩邊都除以6，移項得x2-1x=2，配方得2-11)2=2+(-1)2,(x-1)2=289=(17)2，即x-1=±17，∴x1=346xx+(-,x2=.612121214412121223【變式題組】10．（仙桃）解方程：x2+4x+2=0.211．（武漢）解方程：x-3x-1=0.212．（山西）解方程：x-2x-3=0.演練牢固·反響提高01．（寧德）方程x2-4x=0的解是___________.02．（十堰）方程(x+2)(x-1)=0的解為___________.03．（大興安嶺）方程(x-5)(x-6)=x-5的解是（）A．x=5B．x=或x=6C．x=7D．x=5或x=704．（太原）用配方法解方程x2-2x-5=0時，原方程應變形為（）A．(x+1)2=6B．(x-1)2=6C．(x+2)2=9D．(x-2)2=905．（云南）一元二次方程5x2-2x=0的解是（）A．x10,x22B．x10,x2552C．x10,x25D．x10,x222506．（黃石）已知a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2+nx-1=0的兩實數(shù)根，則式子ba的值是（）222D2abA．n+2B．-n+2C．n-2．-n-207．（畢節(jié)）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，那么每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為（）A．8人B．9人C．10人D．11人08．（臺州）用配方法解一元二次方程x2-4x=5的過程中，配方正確的選項是（）A．(x+2)2=1B．(x-2)2=1C．(x+2)2=9D．(x-2)2=9209．（義烏）解方程x-2x-2=0.10．（蘭州）用配方法解一元二次方程：22x+1=3x.1411．（新疆）解方程：(x-3)2+4x(x-3)=0.12．（梧州）解方程：(x-3)2+2x(x-3)=0.13．（長春）解方程：x2-6x+9=(5-2x)2.yx1①14．（上海）解方程：2x2xy20②培優(yōu)升級01．（鄂州）已知α、β為方程x2+4x+2=0的兩個實根，則α3+14β+50=___________.02．已知x是一元二次方程x2+3x-1=0的實數(shù)根，那么代數(shù)式x3(x25)的值為___________.3x26xx2x2x23）.03．（蘇州）若x2-x-2=0，則x)21的值等于（(x2323B．3C．3D．3或3A．33304．（全國）已知三個關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0，恰有一個公共實數(shù)根，則a2b2c2的值為（）.bccaabA．0B．1C．2D．305．（全國）已知實數(shù)x、y滿足：4242，則4y4）.x4x23，y+y=3x4的值為（A．7B．113C．713D．52206．（全國）已知m=1+2，n=1-2，且(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)=8，則a的值等于（）.A．-5B．5C．-9D．907．（畢節(jié)）三角形的每條邊的長都是方程x2-6x+8=0的根，則三角形的周長是___________.08．（濱州）觀察以下方程及其解的特色：⑴x12的解為x1=x2=1；⑵x15的解為x1=2，x2=1；⑶x110的解為x1=3，x2=1；xx22x33解答以下問題：⑴請猜想：方程x126的解為________；⑵請猜想：關(guān)于x的方程x1________的解為x1=a，x2=1（ax5xa260）；⑶下面以解方程x為例，考據(jù)⑴中猜想結(jié)論的正確性.x515解：原方程可化為5x2-26x=-5.（下面請大家用配方法寫出解此方程的詳細過程）09．（瀘州）如圖，P1（x1，y1），P2（x2，y2），Pn（xn，yn）在函數(shù)y4（x＞0）的圖象上，△P1OA1，△P2A1A2，x△P3A2A3，△PnAn-1An都是等腰直角三角形，斜邊OA1、A1A2、A2A3、An-1An都在x軸上.⑴求P1的坐標；⑵求y1+y2+y3++y10的值.第4講根的鑒識式及根與系數(shù)的關(guān)系考點·方法·破譯1．掌握一元二次方程根的鑒識式的運用，能兼顧運用的條件；2．理解掌握一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，并會運用根與系數(shù)關(guān)系求對稱式的值.經(jīng)典·考題·賞析【例1】（成都）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k>-1B.C.k<1D.【解法指導】由題意得錯誤!未找到引用源?！咀兪筋}組】1．（十堰）以下方程中，有兩個不相等實數(shù)根的是（）A．B.C.D.=02．(濰坊)關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是（）16A．6【例２】（荊州）關(guān)于x的方程錯誤!未找到引用源。只有一解（同樣解算一解），則a的值為（）A．a(chǎn)=0B.a=2C.a=1D.a=0或a=2【變式題組】3．(成都)設(shè)x1,x2是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為_________.4．(南通)設(shè)x,x2是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則,則a=______1【例３】（包頭）關(guān)于x的一元二次方程錯誤!未找到引用源。的兩個實數(shù)根分別是錯誤!未找到引用源。，且錯誤!未找到引用源。=7,則錯誤!未找到引用源。的值是（）A．1【解法指導】此題觀察一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的鑒識式，要注意所求的值必定滿足錯誤!未找到引用源。.由題意知：錯誤!未找到引用源。又∵錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。,而當m=5時，原方程的鑒識式錯誤!未找到引用源。,此時方程無解，錯誤!未找到引用源。不合題意舍去.錯誤!未找到引用源。,應選C.【變式題組】5．（濰坊）已知關(guān)于x的一元二次方程錯誤!未找到引用源。的兩個實數(shù)根是錯誤!未找到引用源。,則k的值是（）A．86．（鄂州）設(shè)錯誤!未找到引用源。是關(guān)于x的一元二次方程錯誤!未找到引用源。的兩實根，當a為什么值時，錯誤!未找到引用源。有最小值？最小值是多少？【例４】（蘭州）已知關(guān)于x的一元二次方程錯誤!未找到引用源。.(1)若是此方程有兩個不相等的實數(shù)根，求a的取值范圍；(2)若是此方程的兩個實數(shù)根為錯誤!未找到引用源。,且滿足錯誤!未找到引用源。,求a的值.【解法指導】解：（1）錯誤!未找到引用源。.∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，錯誤!未找到引用源。.(2)由題意得：錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源?！咀兪筋}組】7．(綿陽)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2（k－1）x+k2－1=0有兩個不相等的實數(shù)根．17（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）0可能是方程的一個根嗎？若是，央求出它的另一個根；若不是，請說明理由．【例５】（中山）已知關(guān)于x的方程錯誤!未找到引用源。.（1）求證:方程有兩個不相等的實數(shù)根.（2）當m為什么值時，方程的兩根互為相反數(shù)？并求出此時方程的解.【解法指導】證明方程有兩個不相等的實數(shù)根，一般要把錯誤!未找到引用源。化為完滿平方加正常數(shù)的形式.（1）證明:由于△=(m2)24(2m1)=(m2)24所以無論m取何值時,△>0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根.（2）解：由于方程的兩根互為相反數(shù)，所以x1x20，依照方程的根與系數(shù)的關(guān)系得m20，解得m2，所以原方程可化為x250，解得x15，x25【變式題組】8．(中山)已知一元二次方程錯誤!未找到引用源。.若方程有兩個實數(shù)根，求m的值；（2）若方程的兩個實數(shù)根為錯誤!未找到引用源。，且錯誤!未找到引用源。+錯誤!未找到引用源。,求m的值.【例６】設(shè)實數(shù)s,t分別滿足錯誤!未找到引用源。,而且st≠1，求錯誤!未找到引用源。的值.【解法指導】此題要觀察s,t的共同點，應用方程的思想，把它們看做一個一元二次方程的兩根，應用根與系數(shù)關(guān)系求值.解：∵s≠0，∴第一個等式能夠變形為：錯誤!未找到引用源。,又∵st≠1，∴錯誤!未找到引用源。t是一元二次方程x2+99x+19=0的兩個不同樣的實根，于是，有錯誤!未找到引用源。,即st+1=－99s，t=19s．∴錯誤!未找到引用源。演練牢固·反響提高1801．(東營)若n（n≠0）是關(guān)于x的方程錯誤!未找到引用源。的根，則m+n的值為02．(株洲)定義：若是一元二次方程ax2bxc0(a0)滿足abc0，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程.已知ax2bxc0(a0)是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，則以下結(jié)論正確的選項是A．a(chǎn)cB．a(chǎn)bC．bcD．a(chǎn)bc03．（崇左）一元二次方程錯誤!未找到引用源。的一個根為-1，則另一個根為．04．(賀州)已知關(guān)于x的一元二次方程x2xm0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是．05．（上海）若是關(guān)于x的方程x2xk0（k為常數(shù)）有兩個相等的實數(shù)根，那么k．06．（泰安）關(guān)于x的一元二次方程x2(2k1)x2k20有實數(shù)根，則k的取值范圍是.07．（淄博）已知關(guān)于x的方程x22(k3)xk24k10．（1）若這個方程有實數(shù)根，求k的取值范圍；（2）若這個方程有一個根為1，求k的值；（3）若以方程x22(k3)xk24k10的兩個根為橫坐標、縱坐標的點恰在反比率函數(shù)ym的圖象x上，求滿足條件的m的最小值．08．已知關(guān)于x的一元二次方程錯誤!未找到引用源。(1)若方程有兩個相等的實數(shù)根，求m的值；（2）若方程的兩個實數(shù)根之積等于錯誤!未找到引用源。,求錯誤!未找到引用源。的值.1909．（孝感）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(2m1)xm20有兩個實數(shù)根x1和x2．（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）當x12x220時，求m的值．10．（鄂州）關(guān)于x的方程kx2(k2)xk0有兩個不相等的實數(shù)根.4(1)求k的取值范圍.(2)可否存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，說明原由11．（北京）已知：關(guān)于x的一元二次方程mx2(3m2)x2m20(m0)．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2（其中x1x2）．若y是關(guān)于m的函數(shù)，且yx22x1，求這個函數(shù)的解析式；（3）在（2）的條件下，結(jié)合函數(shù)的圖象回答：當自變量m的取值范圍滿足什么條件時，y≤2m．12．（淄博）已知x1,x2是方程x2的兩個實數(shù)根，且x12x232．2xa0(1)求x1,x2及a的值；32(2)求x13x12x1x2的值．培優(yōu)升級01．（全國）設(shè)a213a，b213b，且a11（）b，則代數(shù)式22的值為abA5.B7.C9.D.11.02．（延邊）已知m是方程錯誤!未找到引用源。的一個根，則代數(shù)式錯誤!未找到引用源。的值等于（）20A．201603．若是a、b都是質(zhì)數(shù)，且錯誤!未找到引用源。,那么錯誤!未找到引用源。的值為（）A．錯誤!未找到引用源。B.錯誤!未找到引用源。C.錯誤!未找到引用源。D錯誤!未找到引用源?；?04．（全國）已知實數(shù)錯誤!未找到引用源。，且滿足錯誤!未找到引用源。的值為（）A．2305.(全國)設(shè)錯誤!未找到引用源。是關(guān)于x的方程錯誤!未找到引用源。的兩個實數(shù)根，則錯誤!未找到引用源。的最大值為___________06．已知錯誤!未找到引用源。是方程錯誤!未找到引用源。的兩個實數(shù)根，則錯誤!未找到引用源。07．（全國）關(guān)于所有不小于2的自然數(shù)n，關(guān)于x的一元二次方程錯誤!未找到引用源。的兩個根記作錯誤!未找到引用源。,則錯誤!未找到引用源。__08．已知關(guān)于x的方程：錯誤!未找到引用源。.求證：無論m取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個相異實根；（2）若這個方程的兩個實根為錯誤!未找到引用源。，滿足錯誤!未找到引用源。,求m的值及相應的錯誤!未找到引用源。.09．（全國競賽）設(shè)m是不小于-1的實數(shù)，使得關(guān)于x的方程錯誤!未找到引用源。有兩個不相等的實數(shù)根錯誤!未找到引用源。,(1)若錯誤!未找到引用源。,求m的值；（2）求錯誤!未找到引用源。的最大值.第5講一元二次方程的應用考點·方法·破譯1．能靈便應用一元二次方程的四種解法解方程；2．會成立一元二次方程模型解實質(zhì)應用題．經(jīng)典·考題·賞析【例l】(南平)有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有100人患了流感，那么每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為()21A．8人B．9人C．10人D．11人【解法指導】成立一元二次方程模型求解．設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為x,第一輪被傳染人數(shù)為x，患流感人數(shù)為x+l；第二輪被傳染人數(shù)為x(x+1)，所以l+x+x(x+1)=100，解得x=9．應選B．【變式題組】1．(甘肅)近來幾年來，全國房價不斷上漲，某縣2010年4月份的房價平均每平方米為3600元，比2008年同期的房價平均每平方米上漲了2000元，假設(shè)這兩年該縣房價的平均增加率為x，則關(guān)于x的方程為．2．(襄樊)為了改進居民住所條件，我市計劃用未來兩年的時間，將城鎮(zhèn)居民的住所面積由現(xiàn)在的人均約為10m2。提高到12．1m2。，若每年的年增加率同樣，則年增加率為()A．9％B．10％C．1l％D．12％3．(太原)某種品牌的手機經(jīng)過四、五月份連續(xù)兩次降價，每部售價由3200元降到了2500元．設(shè)平均每個月降價的百分率為x，依照題意列出的方程是．【例2】(黃石)三角形兩邊的長是3和4，第三邊的長是方程x2一12x+35=0的根，則該三角形的周長為()A．14B．12C．12或14D。以上都不對【解法指導】方程x2一12x+35=0可化為(x一7)(x一5)=0，解得x=7或x=5，當x=7時，三邊不能夠組成三角形，所以第三邊的長只能取5，該三角形的周長為12．應選B．【變式題組】4．(青海)方程x2一9x+18=0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的周長為()A．12B．12或15C．15D．不能夠確定5．(襄樊)如圖，在平行四邊形ABCD中，AE上BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x一3=0的根，則平行四邊形ABCD的周長是()ADA、422B、1262C、222D、1262或222

BCE【例3】(莆田)已知⊙O和⊙O2的半徑分別是一元二次方程（x—1)(x一2)=0的兩根，且OO=2，則⊙O和⊙1121O2的地址關(guān)系是．【解法指導】依題意，⊙O和⊙O的半徑分別為1和2，∵l<OO<3，∴⊙O和⊙O訂交．121212【變式題組】6．(蘭州)兩圓的圓心距為l，兩圓的半徑分別是方程x2一5x+6=0的兩個根，則兩圓的地址關(guān)系是()A．外離B．內(nèi)切C．訂交D．外切7．(江蘇)某縣2008年農(nóng)民人均年收入為7800元，計劃到2010年，農(nóng)民人均年收入達到9100元．設(shè)人均年收入的平均增加率為x，則可列方程8．(慶陽)如圖，在寬為20米、長為30米的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，余下部分作為耕地．若耕地面積需要55l米。，則修建的路寬應為()A、1米B、1．5米C、2米D、2．5米【例4】(白銀)在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算“⊕”，其法規(guī)為：a⊕b=a2-b2，求方程(4⊕3)⊕x=24的解．【解法指導】解此類題要嚴格依照定義進行變換．解：∵a⊕b=a2-b2∴(4⊕3)⊕x=7⊕x=72-x2∴72-x2=25．∴x=±5．【變式題組】9．(全國)關(guān)于實數(shù)u、v，定義一種運算“※”為：u※v=uv+v,若關(guān)于x的方程x※(a※x)=一1有兩個不同樣a的取值范圍是4的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù)．【例5】(十堰)如圖，利用一面墻(墻的長度不高出45m)，用80m長的籬笆圍一個矩形場所．(1)怎樣圍才能使矩形場所的面積為750m2，(2)可否使所圍矩形場所的面積為8l0m2，為什么?22【解法指導】解：(1)設(shè)所圍矩形ABCD的長AB為x米，則寬AD為1(80一x)米．依題意，得x·1(80一x)=750，22212=50．即x一80x+1500=0．解此方程，得x=30，x∵墻的長度不高出45m,∴x2=50不合題意，應舍去．當x=30時，1(80一x)=1×(80—30)=25．所以，222當所圍矩形長為30m、寬為25m時，能使矩形的面積為750m．(2)不能夠．由于由x·1(80一x)=810，得x2一80x+1620=0．又∵b2-4ac=(一80)2一4×1×1620=-80<0∴上述28l0m2．方程沒有實數(shù)根．所以，不能夠使所圍矩形場所的面積為【變式題組】10．(廣東)某種電腦病毒流傳特別快，若是一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有8l臺電腦被感染．請你用學過的知識解析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦?若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會高出700臺?演練牢固·反響提高1．(南通)某省為解決農(nóng)村飲用水問題，省財政部門共投資20億元對各市的農(nóng)村飲用水的“改水工程”予以必然比例的補助．2008年，A市在省財政補助的基礎(chǔ)上再投入600萬元用于“改水工程”，計劃今后每年以同樣的增加率投資，20l0年該市計劃投資“改水工程”1176萬元．求A市投資“改水工程”的年平均增加率；(2)從2008年到2010年，A市三年共投資“改水工程”多少萬?2．(長沙)當m為什么值時，關(guān)于z的一元二次方程x2—4x+m一1=0有兩個相等的實數(shù)根?此時這兩個實數(shù)根是多2少?3．(貴陽)汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，有效促進我國現(xiàn)代化建設(shè)．某汽車銷售企業(yè)2005年盈利1500萬元，到2007年盈利2160萬元，且從2005年到2007年，每年盈利的年增加率同樣。(1)該企業(yè)2006年盈利多少萬元?(2)若該企業(yè)盈利的年增加率連續(xù)保持不變，預計2008年盈利多少萬元?4．(慶陽)某企業(yè)2006年盈利1500萬元，2008年戰(zhàn)勝全球金融危機的不利影響，仍實現(xiàn)盈利2160萬元．從2006年到2008年，若是該企業(yè)每年盈利的年增加率同樣，求：23該企業(yè)2007年盈利多少萬元?(2)若該企業(yè)盈利的年增加率連續(xù)保持不變，預計2009年盈利多少萬元?培優(yōu)升級1．(河南)已知x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2—6x+k=0的兩個實數(shù)根，且x12x22—x1—x2=115．2求k的值；(2)求x1+x2+8的值．2．(臨沂)為落實素質(zhì)教育要求，促進學生全面發(fā)展，我市某中學2009年投資11萬元新增一批電腦，計劃今后每年以同樣的增加率進行投資，2011年投資18．59萬元．求該學校為新增電腦投資的每年平均增加率；(2)從2009年到2011年，該中學三年為新增電腦共投資多少萬元?3．(南寧)如圖，要設(shè)計一個等腰梯形的花壇，花壇上底長120米，下底長180米，上下底相距80米，在兩腰中點連線(虛線)處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等．設(shè)甬道的寬為x米．(1)用含x的式子表示橫向甬道的面積為平方米；當三條甬道的面積是梯形面積的八分之一時，求甬道的寬．4．(廈門)某商店購進一種商品，單價30元．試銷中發(fā)現(xiàn)這類商品每天的銷售量P(件)與每件的銷售價x(元)滿足關(guān)系：P=100—2x．若商店每天銷售這類商品要獲得200元的收益，那么每件商品的售價應定為多少元?每天要售出這類商品多少件?245．(慶陽)如圖．張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為1米的正方形后，剩下的部分恰好能圍成一個容積為15米2的無蓋長方體箱子，且此長方體箱子的底面長比寬多2米，現(xiàn)已知購買這種鐵皮每平方米需20元錢，問張大叔購回這張矩形鐵皮共花了多少元錢?6．(益陽)如圖，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的長．小萍同學靈便運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題．請依照小萍的思路。研究并解答以下問題：(1)分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC訂交于G點，證明四邊形AEGF是正方形；(2)設(shè)AD=x，利用勾股定理，成立關(guān)于x的方程模型，求出x的值．7．(全國)某校舉行春季運動會時，由若干個同學組成一個8列的長方形隊列．若是原隊列中增加120人，就能組成一個正方形隊列；若是原隊列中減少120人，也能組成一個正方形隊列．問原長方形隊列有同學多少人?第6講一元二次方程的整數(shù)根考點·方法·破譯1．方程的整數(shù)根問題是各級各種競賽的熱點內(nèi)容，重點觀察含參方程，一般要求參數(shù)的值；2．基本方法有：分解求根法、消參法、鑒識式法、反客為主法、綜合法，經(jīng)典·考題·賞析【例l】（全國）已知方程a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0（其中a是非負整數(shù)），最少有一個整數(shù)根，那么a=____．【解法指導】此題需要分類談論，分一次和二次兩種狀況．關(guān)于二次，可用分解求根法．解：①a=0時，則需2a2-13a+15=0，矛盾．所以此時無整數(shù)解；②a≠0，分解得（ax+3-2a）（ax+5-a）=0．∴a≠0，解得x13，x2152．則a是3或5的約數(shù)，故a可取±l，±3或±5．a(chǎn)a25【變式題組】1．（全國）已知關(guān)于x的方程(a-l)x2+2x-a-1=0的根都是整數(shù)，那么吻合條件的整數(shù)a有____個．2．（全國）設(shè)關(guān)于2＋（2k2-6k-4）x＋k2=4的兩根都是整數(shù)，求滿足條件的所有實數(shù)kx的二次方程（k2-6k+8）x的值．【例2】（全國）試確定所有有理數(shù)r，使得關(guān)于石的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整數(shù)根．【解法指導】此題需要分類談論，分一次和二次兩種狀況．關(guān)于二次，可用消參法，解：(1)若r=0，x=1，原方程無整數(shù)根；2r22r11(2)當r≠0時，x1x21，x1x21，消去r得：4xx22xx217，得rrrr11r1（2x12l22x1-1=12或2x1-1=21，x2=4，此時1；或x1=-3，x2=0，r11或r=l．rr=－=0,r=1．綜合得r=－3r3【變式題組】3．求滿足以下條件的所有k值，使關(guān)于x的方程kx2+（k+l）x+（k-l）=0的根都是整數(shù)．【例3】（海南）已知20102011-20102009=2010x×2009×2011，那么x的值是()．A.2008【解法指導】20112009x×2009×2011，，則有20102009此題運用分解因式法，由2010-2010=2010（2010-1）（20101）=2010x×2009×2011，則有x=2009，此題應選B．【變式題組】4．（全國）若l00a+64和201a+64均為四位數(shù)，且均為完滿平方數(shù)，則整數(shù)a的值是____．【例4】（全國）已知a是正整數(shù)，若是關(guān)于并的方程x3+(a+17)x2+（38-a）x-56=0數(shù)，求a的值及方程的整數(shù)根．【解法指導】此題可用綜合法，解：觀察易知，方程有一個整數(shù)根x1=1，將方程的左側(cè)分解因式得(x-1)[x2+(a+18)x+56]=0由于a是正整數(shù)，所以關(guān)于x的方程x2+(a+18)x+56=0(1)的鑒識式△=(a+18)2-224>0，它必然有兩個不同樣的實數(shù)根而原方程的根都是整數(shù)，所以方都是整數(shù)，所以它的鑒識式△=(a+18)2-224應該是一個完滿平方數(shù)，設(shè)(a+18)2-224=k2（其整數(shù)），則(a+18)2-k2=224，即（a+18+k）（a+18-k）=224.顯然a+18+k與a+18-k的奇偶性同樣，且a+18+k≥18．而224=112×2=56×4=28×8，所以a18k112,a18k56,a18k2,或18k4,aa18k28,a39,a12,a0,或18k8,解得或k或k10,ak55,26,a39,a12,而a是正整數(shù)，所以只可能55,或26.kk當a=39時，方程(l)即x2+57x+56=0，它的兩根分別為－1和－56.此時原方程的三個根為1，－1，－56．當a=12時，方程(1)即x2+30x+56=0，它的兩根分別為-2和-28.此時原方程的三個根為1，－2，－28．26【變式題組】5．（全國）設(shè)a是正整數(shù)，二次函數(shù)y=x2+(a+17)x+38-a，反比率函數(shù)y=56，若是兩個函數(shù)圖象的交點都是整點（橫x坐標和縱坐標都是整數(shù)的點），求a的值，【例5】（全國）關(guān)于x，y的方程x2+xy+2y2=29的整數(shù)解（x，y）的組數(shù)為()A．2組B．3組C．4組D．無量多組【解法指導】此題可用鑒識式法．解：可將原方程視為關(guān)于算的二次方程，將其變形為x2+xy+(2y2-29)=0．由于該方程有整數(shù)根，則鑒識式△≥0，且是完滿平方數(shù)．由A=y2-4（2y2-29）=－7y2+116≥0，解得y2≤116≈16.57．于7是y2014916△11610988534顯然，只有y2=16時，△=4是完滿平方數(shù)，吻合要求．當y=4時，原方程為x2+4x+3=0．此時x1=－l，x2=－3；當y=－4時，原方程為x24=1，x=3．x11,x23,x21,x23,所以，原方程的整數(shù)解為4;y2y2y2y14;4;4.【變式題組】6．（武漢）整數(shù)a使得關(guān)于x、y的方程組x2y3ab關(guān)于每一個實數(shù)b總有實數(shù)解，求整數(shù)a的值．xyb22a23b4演練牢固·反響提高1．（全國）關(guān)于x、y，的方程x2+y2=208（x-y）的所有正整數(shù)解為______．2．若直角三角形的兩條直角邊都是整數(shù)，且是方程x2-(m+2)x+4m=0的根，求m及三角形三邊長．3．已知方程ax2-(a-3)x+a-2=0中的a取整數(shù)，試求出能使此方程的解最少有一個是整數(shù)時a的值．4．（全國）設(shè)a是正整數(shù)，若是二次函數(shù)113ay=2x2+(2a+23)x+10-7a和反比函數(shù)）y的圖象有公共整點（橫x坐標和縱坐標都是整數(shù)的點），求a的值和對應的公共點．5．（全國）已知p、q都是質(zhì)數(shù)，且使得關(guān)于x的二次方程x2-(8p-l0q)x+5pq=0最少有一個正整數(shù)根，求所有的質(zhì)數(shù)對(p，q)．27培優(yōu)升級1．（全國）已知a、b都是正整數(shù)，試問關(guān)于x的方程x2-abx+1(a+b)=0可否有兩個整數(shù)解？若是有，請把它們求2出來；若是沒有，請給出證明．2．（全國）(1)可否存在正整數(shù)m、n，使得m(m+2)=n(n+1)?(2)設(shè)k（k≥3）是給定的正整數(shù)，可否存在正整數(shù)m，n,，使得m（m+k）=n(n+1)?3.（全國）以以下圖，⊙O的直徑的長是關(guān)于x的二次方程x2+2（k-2）x十k=0（k是整數(shù)）的最大整數(shù)根．P是⊙O外一點，過點P作⊙O的切線PA和割線PBC，其中A為切點，點B，C是直線PBC與⊙O的交點．若PA，PB，PC的長都是正整數(shù)，且PB的長不是合數(shù)，求PA2+PB2+PC2的值．4．（全國）設(shè)整數(shù)a、b、c（a≥b≥c）為三角形的三邊長，滿足a2+b2+c2-ab-ac-bc=13，求吻合條件且周長不高出的三角形的個數(shù)．5．（全國）已知二次函數(shù)y=x2+bx-c的圖象經(jīng)過兩點P(l，a)，Q(2，l0a)．(1)若是a、b、c都是整數(shù)，且c<b<8a，求a、b、c的值；(2)設(shè)二次函數(shù)y=x2+bx-c的圖象與x軸的交點為A、B，與y軸的交點為C．若是關(guān)于石的方程x2+bx-c=0的兩個根都是整數(shù)，求△ABC的面積．28第7講旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)變換（二）考點·方法·破譯1．掌握旋轉(zhuǎn)的三個性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；旋轉(zhuǎn)前后對應邊，對應角相等；每對對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角；2．會判斷圖形的旋轉(zhuǎn)過程，會利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)解本責問題；3．能利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)進行開放研究。經(jīng)典·考題·賞析【例１】（咸寧）如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且00接EF，以下∠DAE=45，將△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90后，獲得△AFB，連結(jié)論：①△AED≌AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④222）BE+DC=DE，其中正確的選項是（A．②④B．①④C．②③D.①③【解法指導】此題解題可利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)切入000解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，∠FAD=∠FBC=90，且AF=AD，∵∠DAE=45，∴∠FAE=45，由AF=AD，∠FAE=∠DAE，AE=AD，得△AED≌△AEF，①正確；由勾股定理得222222BF+BE=FE，將BF=DC，F(xiàn)E=DE代入得，BE+DC=DE，④正確；且知③不正確；若∠AFB≠∠ADC，則②不正確，故此題選B【變式題組】01．如圖，在等腰Rt△ABC的斜邊AB上取兩點M、N，使∠MCN=45，記AM=m,MN=x,BN=n,則以線段x、m、n為邊長的三角形的形狀是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．隨x、m、n的變化而改變29【例２】（孝感）如圖，將放置于平面直角坐標系中的三角板AOB繞O點順時針旋轉(zhuǎn)01190，得△AOB。已知∠001點的坐標為（）AOB=90，∠B=90，AB=1，則BA．(3,3)B．(3,3)C．(1,3)D．(3,1)22222222110111133【解法指導】依照旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠AOB=30，OB=OB=3，過B作BH垂直Y軸于H。可得BH=2，OH=，2則B1點的坐標為(3,3)，此題選A。22【變式題組】1．（泰安）如圖，將邊長為1的正三角形OAP沿X軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2008次，點P依次落在點P1，P2，P3，P2008的地址，則點P2008的橫坐標為_________．【例３】（邵陽）如圖將00點ARt△ABC(其中∠B=34，∠C=90)繞按順時針方向旋轉(zhuǎn)到△A1B1C1的地址，使得點C、A1，B1在同一條直線上，那么旋轉(zhuǎn)角最小等于（）【解法指導】能夠選擇∠BAB1為旋轉(zhuǎn)角，由三角形外角和定理得∠BAB1=340+900=1240，應選B?！咀兪筋}組】3．（津州）如圖，△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)800獲得△OCD，若∠A=1100，∠D=400，則∠а的度數(shù)是（）A．300B．400C．500D．60030001114．（陜西）如圖，∠AOB=90，∠B=30，△AOB能夠看作是由△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)а角度獲得的，若點A在AB上，則旋轉(zhuǎn)角а的大小能夠是（）A．300B．450C．600D．9005．（株洲）如圖是“大西洋合約組織”標志的主體部分（平面圖），它是由四個完滿同樣的四邊形OABC拼成的，0）測得AB=BC，OA=OC，OA⊥OC，∠ABC=36，則∠OAB的度數(shù)是（A．1160B．1170C．1180D．11900011【例４】（昆明）在Rt△ABC中，∠C=90，BC=4cm，AC=3㎝，把△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90后，獲得△ABC，以以下圖，則點B所走過的路徑長為（）5cmC．5A．52cmB．cmD．5cm42AB為半徑、圓心角為900【解法指導】點B所走過的路徑是以的圓弧，又AB=5cm，所以路徑長為1255cm，應選C42【變式題組】6．（麗水）把一副三角板按如圖（1）地址擺放，使得兩塊三角板的直角邊AC和MD重合，已知AB=AC=8cm，將△MED繞點A（M）逆時針旋轉(zhuǎn)600后如圖（2），兩個三角形重疊（陰影）部分的面積約是________cm2(結(jié)果精確到0.1,31.73).31【例５】(南寧)已知△ABC在平面坐標系中的地址以以下圖。1）分別寫出圖中點A和點C的坐標；畫出△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)900后的△A1B1C1；2）（3）求點A旋轉(zhuǎn)到點A1所經(jīng)過的路線長（結(jié)果保留）【解法指導】解：（1）A（0，4）、C（3，1）（2）圖略（3）AC=32，弧903232AA11802【變式題組】1．（武漢）如圖，已知△ABC的三個極點分別為A（-2，3）、B（-6，0）、C（-1。0）（1）請直接寫出點A關(guān)于Y軸對稱的點的坐標；（2）將△ABC繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)900，畫出圖形，直接寫出點B的對應點的坐標；（3）請直接寫出：以A、B、C為極點的平行四邊形的第四個極點的坐標。322．（齊齊哈爾）如圖，在平面坐標系，△ABC的極點坐標為A（-2，3）、B（-3，2）、C（-1，1）。（1）若將△ABC向右平移3個單位，再向上平移1個單位長度，請畫出平移后的△A1B1C1（2）畫出△A1B1C1繞原點旋轉(zhuǎn)1800后獲得的△A2B2C2；（3）△A1B1C1與△ABC是中心對稱圖形，請寫出對稱中心的坐標：_________;按次連接C、C1、C1、C2所獲得的圖形是軸對稱圖形嗎？【例６】（全國）如圖在平面直角坐標系xoy中，等腰梯形ABCD的極點坐標分別為A（1，1）、B（2，-1），C（-2，-1）、D（-1，1），Y軸上一點P（0，2）繞點A旋轉(zhuǎn)180011022繞點C旋轉(zhuǎn)1800得點3獲得P，點P繞點B旋轉(zhuǎn)180獲得P；點PP，點P3繞點D旋轉(zhuǎn)1800獲得P4，，重復操作依次獲得P1、P2、，則點P2010的坐標是（）A、（2010，2）B、（2010，-2）C、（2012，-2）D.（0，2）【解法指導】由已知能夠獲得，點P1、P2的坐標分別為（2，0），（2，-2），記P2（a2,b2），其中a2=2,b2=-2,根據(jù)對稱關(guān)系，依次能夠求得：P（-4-a,-2-b）,P4(2+a2,4+b2),P5(-a,-2-b2),P(4+a,b)，令P6(a,b),同樣能夠322262262求得，點P的坐標（4+a,b）即P(4×2+a,b),由于2010=4×502+2，所以點P的坐標為（2010，-2），此題應106210222010選B?！咀兪筋}組】1．（東莞）如圖①，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三33角形OCD，連接AC和BD，訂交于點E，連接BC，求∠AEB的大?。唬?）如圖②，△OAB固定不動，保持△OCD的形狀和大小不變，將△OCD繞點O旋轉(zhuǎn)（△OAB和△OCD不能夠重疊），求∠AEB的大小。2．（衡陽）如圖，圓心角都是900的扇形OAB與扇形OCD疊放在一起，連接AC，BD。（1）求證：AC=BD；（2）若圖中陰影部分的面積是3cm2,OA=2cm，求OC的長。4演練牢固·反響提高01．（廣州）將左圖所示的圖案按順時針方向旋轉(zhuǎn)900后能夠獲得的圖案是（）3402．（黑龍江）如圖，將△ABC沿DE折疊，使點A與BC邊上的中點F重合，以下結(jié)論中：①EF∥AB且EF=1AB；②∠BAF=∠CAF；③S四邊形ADFE=1AF?DE；④∠BDF+∠FEC=2∠BAC，正確的個數(shù)是（2）2A．1B．2C．3D．403．（揚州）如圖，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，P為△ABC內(nèi)一點，將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后與11的長等于________.△ABP重合，若是AP=3，那么線段PP04．(達州)以以下圖，邊長為2的等邊三角形木塊，沿水平線l轉(zhuǎn)動，則A點從開始至結(jié)束所走過的路線長為：___________（結(jié)果保留正確值）3505．（青島）如圖邊長為1的兩個正方形互相重合，按住其中一個不動，將另一個繞極點A順時針旋轉(zhuǎn)450，則這個兩個正方形重疊部分的面積是_______.06．(莆田)如圖，在正三角形網(wǎng)格中，每一個小三角形都是邊長為1的正三角形，解答以下問題：（1）網(wǎng)格中每個小三角形的面積為_________（2）將極點在格點上的四邊形ABCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120兩次所獲得的兩個圖形，并寫出點A所經(jīng)過的路線為____________(結(jié)果保留)07．（溫州）如圖，方格紙中有三個點A，B，C，要求作一個四邊形使這三個點在這個四邊形的邊（包括極點）上，且四邊形的極點在方格的極點上。（1）在圖甲中作出的四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形；（2）在圖乙中作出的四邊形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形；（3）在圖丙中作出的四邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。36培優(yōu)升級01．如圖，△COD是△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)0后獲得的圖形，點040C恰幸好AB上，∠AOD=90，則∠B的度數(shù)是________.37002．(黃岡)如圖，在Rt△ABC中，∠A=90，AB=6㎝，AC=8㎝，以斜邊BC上距離B點6cm的點P為中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉(zhuǎn)900至△DEF，則旋轉(zhuǎn)前后兩個三角形重疊部分的面積是_______cm2.03．(延邊)如圖，矩形ABCD中，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，點P在矩形ABCD內(nèi)。若AB=4cm，BC=6cm,AE=CG=3cm,BF=DH=4cm，四邊形AEPH的面積為5cm2，則四邊形PFCG的面積為______cm2.04．(嘉興)如圖，在直角坐標系中，已知點A（-3，0），B（0，4），對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次獲得三角形①、②、③、④，則三角形⑩的直角極點的坐標為_____.05．如圖，已知：P是等邊△ABC內(nèi)的一點，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7,則以PA、PB、PC的長為三角形的三個內(nèi)角的大小之比（）A．2：3：4B．3：4：5C．4：5：6D．5：6：73806．（河北）有一個四等轉(zhuǎn)盤，在它的上、右、下、左的地址分別掛著“眾”、“志”、“成”、“城”四個字牌，如圖1，若將位于上下地址的兩個字牌對調(diào)，同時將位于左右地址的兩個字牌對調(diào)，再將轉(zhuǎn)盤順時針旋轉(zhuǎn)900，則完成一次變換。圖2，圖3分別表示第1次變換和第2次變換，按上述規(guī)則完成第9次變換后，“眾”字位于轉(zhuǎn)盤的位置是（）A．上B．下C．左D．右0107．已知，點P是正方形ABCD內(nèi)的一點，連PA、PB、PC。（1）將△PAB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90到△PCB的地址（如圖1）。①設(shè)AB的長為a,PB的長為b(b<a)，求△PAB旋轉(zhuǎn)到△P1CB的過程中邊PA所掃過地域（圖1中陰影部分）的面積；②若0222PA=2，PB=4，∠APB=135，求PC的長。（2）如圖2，若PA+PC=2PB，請說明點P必在對角線AC上。3900008．（棗莊）把一副三角板如圖甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90，∠A=45，∠D=30，斜邊AB=6cm，DC=7cm，把三角板DCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)150獲得△D1CE1；（如圖乙），這時AB與CD1訂交于點O，與D1E1訂交于點F。（1）求∠OFE1的度數(shù)；（2）求線段AD1的長；（3）若把三角形D1CE1繞點C順時針再旋轉(zhuǎn)300得△D2CE2，這時點B在△D2CE2的內(nèi)部、外面，還是邊上？說明原由。40第8講旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)變換（二）考點·方法·破譯1．能利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)進行開放研究；2．能運用類比推理思想進行開放研究；3．學會在旋轉(zhuǎn)變換中搜尋不變幾何關(guān)系。經(jīng)典·考題·賞析【例１】（山西）如圖1，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE、GC.（1）試猜想AE與GC如同何的地址關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）將正方形DEFG繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點E落在BC邊上，如圖2，連接AE和CG,你以為（1）的結(jié)論可否還成立？若成立，給出證明；若不能立，請說明原由?！窘夥ㄖ笇А拷猓海?）答：AE⊥GC.證明：延長GC交AE于點H.在正方形ABCD與正方形DEFG中，AD=DC,∠ADE=CDG=90°，DE=DG,∴△ADE≌△CDG，∴∠1=∠2.∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°∴∠AHG=180°-（∠1+∠3）=180°-90°=90°AE⊥GC41（2）答：成立證明：延長AE和GC訂交于點H.在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD=DC,DE=DG.ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDC=90°∴∠1=∠2=90°-∠3∴△ADE≌△CDG∴∠5=∠4.又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°∴∠6=∠7.又∵∠AEB+∠6=90°,∠AEB=∠CEH∴∠CEH+∠7=90°,∴∠EHC=90°，AE⊥GC【變式題組】1．（煙臺）如圖，直角梯形ABC中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，過點D作DE∥AB，∠BCD的均分線于點E,連接BE.1）求證：BC=CD2）將△BCE繞點C，順時針旋轉(zhuǎn)90°獲得△DCG，連接EG。求證：CD垂直均分EG。3）延長BE交CD于點P.求證：P是CD的中點。42【例２】（臺州）如圖1，Rt△ABC≌△Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°?！鱁DF繞著邊AB的中點D旋轉(zhuǎn)，DE、DF分別交線段AC于點M、K（1）觀察：①如圖2、圖3，當∠CDF=0°或60°時，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．②如圖4，當∠CDF=30°時，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．（2）猜想：如圖1，當0°＜∠CDF＜60°時，AM+CK_______MK，證明你所獲得的結(jié)論．（3）若是MK2+CK2=AM2，請直接寫出∠CDF的度數(shù)和MK的值．【解法指導】（1）①=②＞（2）＞AM證明：作點C關(guān)于FD的對稱點G，連接GK，GM，GD，則CD=GD，GK=CK，∠GDK=∠CDK，∵D是AB的中點，∴AD=CD=GD．∵30°，∴∠CDA=120°，∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，∠ADM+∠CDK=60°．∴∠ADM=∠GDM，∵DM=DM，∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．433）∠CDF=15°，MK=3AM2【變式題組】2．填空或解答：點B、C、E在同素來線上，點A、D在直線CE的同側(cè)，AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠CED，直線AE、BD交于點F.1）如圖①，若∠BAC=60°，則∠AFB=_____；如圖②，若∠BAC=90°，則∠AFB=_____；（2）如圖③，若∠BAC=，則∠AFB=_____（用含的式子表示）；（3）將圖③中的△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)（點F不與點A、B重合），得圖④或圖⑤，在圖④中，∠AFB=與∠的數(shù)量關(guān)系是______；在圖⑤中，∠AFB=與∠的數(shù)量關(guān)系是______，請你任選其中一個結(jié)論證明。【例３】已知將一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如圖1擺放，點E、A、D、B在素來線上，且D是AB的中點，將Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)（0°＜＜90°），在旋轉(zhuǎn)的過程中，直線DE、AC訂交于點M，直線DF、BC訂交于點N,分別過M、N作直線AB的垂線垂足為G、H。1）當=30°時，（如圖2），求證：AG=DH；2）當=60°時，（如圖3），（1）中的結(jié)論可否依舊成立？請寫出你的結(jié)論，并說明原由；（3）當0°＜＜90°時，（1）中的結(jié)論可否成立？請寫出你的結(jié)論并依照圖4說明原由?！窘夥ㄖ笇А看祟}屬于旋轉(zhuǎn)類動向問題，是開放研究題，在旋轉(zhuǎn)變化中，向來有兩組三角形全等（或相似）。（1）證明：∵∠A=∠ADM=30°，∴MA=MD.又MG⊥AD于點G，44AG=AD.∵∠BDC=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°=∠B，CB=CD.C與N重疊.又NH⊥DB于點H，DH=DB.AD=DB，AG=DH.解：結(jié)論成立.∵∠ADM=60°，∴∠NDB=90°-60°=30°.∴∠MAD=∠NDB.又AD=DB，∠ADM=∠B=60°，∴△MAD≌△NDB.MA=ND.MG，NH分別是△MAD，△NDB的對應高，∴Rt△MAG≌Rt△NDH.AG=DH.解：結(jié)論成立.在Rt△AMG中，∠A=30°，∴∠AMG＝60°＝∠B.又∠AGM=∠NHB=90°，∴△AGM∽△NHB.AGMG.NHBH∵∠MDG=α，∴∠DMG=90°-α=∠NDH.又∠MGD=∠DHN=90°，Rt△MGD∽Rt△DHN.MGDG∴DHNHAGDH∴DGBHAGDH∴ADDBAG=DH.45【變式題組】3．（沈陽）將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F．（1）求證：AF+EF=DE；（2）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α，且0°＜α＜60°，其他條件不變，請在圖②中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在（1）中猜想的結(jié)論可否依舊成立；（3）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角β，且60°＜β＜180°，其他條件不變，如圖③．你以為（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不能立，請寫出AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說明原由．【例４】如圖①，兩個圖形（與比2：1），∠BAD=120°，對角線均在軸上，拋物線y=x2經(jīng)過AD中點M．31）填空：A點坐標為_____，D點坐標為______；（2）操作：如圖②，固定，將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)α度角（0°＜α＜90°），并延長E交AD于P，延長H交CD于Q．研究1：在旋轉(zhuǎn)過程中可否存在某一角度α，使得四邊形AFEP是平行四邊形？若存在，請推斷出α值；若不存在，說明原由；研究2：設(shè)AP=x，四邊形OPDQ面積s，求s與x之間函數(shù)關(guān)系式，并指出x取值范圍．46【解法指導】1）A（0，2），D（，0）．2）研究1：當α=60°時，四邊形AFEP是平行四邊形．原由以下：∵兩菱形的位似比為2﹕1，OA=2，OD=，菱形ABCD邊長為4，∠BAO=60°∴菱形EFGH的邊長EF=AD=2，∠FEO=60°∵在旋轉(zhuǎn)過程中EF的長和∠FEO的大小向來不變∴當射線OE旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過M點時，P與M重合，AM=AP=2AOP為等邊三角形，∠APO=∠AOP=60°那么，∠APO=∠FEO=60°，則EF∥AP又∵EF=AM=2∴當旋轉(zhuǎn)角度α=∠AOP=60°時，EF平行且等于AP∴α=60°時，四邊形AFEP為平行四邊形．研究2：過P點作PR⊥y軸于R，過Q作QT⊥x軸于T，設(shè)TQ=y，則：PR=AP?sin60°=，OR=OA﹣AR=2﹣AP?cos60°=2﹣x，OT=OD﹣DT=﹣TQ?t