第7章機(jī)電系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模

機(jī)電系統(tǒng)主要是由機(jī)械系統(tǒng)和電氣系統(tǒng)構(gòu)成的。通常數(shù)學(xué)建?？煞譃殡姎夂蜋C(jī)械兩部分進(jìn)行。在數(shù)學(xué)建模中要分別考慮各自系統(tǒng)的特點(diǎn)及其建模方法，再綜合建立系統(tǒng)模型。本節(jié)的知識(shí)將通過實(shí)例討論建模問題。第7章機(jī)電系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模機(jī)電系統(tǒng)主要是由例7.1

建立如圖所示的電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)模型。解（1）系統(tǒng)工作原理分析：該系統(tǒng)由一個(gè)電動(dòng)機(jī)和一套由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I及旋轉(zhuǎn)阻尼組成。電動(dòng)機(jī)電樞電阻和電感不可忽略，考慮串聯(lián)在電回路中。機(jī)械系統(tǒng)中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與阻尼具有相同的運(yùn)動(dòng)速度，按并聯(lián)處理。（2）系統(tǒng)輸入變量為，輸出變量為。設(shè)中間變量例7.1建立如圖所示的電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)模型（3）根據(jù)各部分工作原理列出運(yùn)動(dòng)方程（3）根據(jù)各部分工作原理列出運(yùn)動(dòng)方程a.在穩(wěn)態(tài)情況下，加在電樞上的電壓主要被什么平衡？b.在過渡過程中，電樞電流如何變化呢？c.在穩(wěn)態(tài)過程中電樞電流與負(fù)載電流是什么關(guān)系？d.在過渡過程中哪部分電流產(chǎn)生了加速度？e.電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速又是如何建立起來的呢？對(duì)直流伺服電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型的物理認(rèn)識(shí)對(duì)直流伺服電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型的物理認(rèn)識(shí)UdEILnId+-+-直流電動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖設(shè)一臺(tái)直流伺服電動(dòng)機(jī)拖動(dòng)一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為1kgm2的負(fù)載，設(shè)其額定電壓為220V，額定電流為40A，電樞回路的電阻為1，電樞回路電感為800mH，額定轉(zhuǎn)矩為20Nm，額定轉(zhuǎn)速為1200rpm，轉(zhuǎn)矩系數(shù)為0.5，反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)為0.18，摩擦力矩等常值負(fù)載轉(zhuǎn)矩為1Nm，試仿真一下在突加220V直流電壓情況下該伺服電動(dòng)機(jī)各參數(shù)的變化過程。UdEILnId+-+-直流電動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖設(shè)第7章機(jī)電系統(tǒng)的建模課件建立仿真模型文件建立仿真模型文件第7章機(jī)電系統(tǒng)的建模課件轉(zhuǎn)速過渡過程轉(zhuǎn)速過渡過程電樞電流過渡過程電樞電流過渡過程反電動(dòng)勢(shì)過渡過程反電動(dòng)勢(shì)過渡過程例7.2

建立機(jī)械傳動(dòng)（齒輪傳動(dòng)）系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型如圖所示系統(tǒng)，由電動(dòng)機(jī)通過齒輪傳動(dòng)驅(qū)動(dòng)負(fù)載。忽略齒輪軸柔性、齒輪側(cè)隙、齒側(cè)彈性變形。每個(gè)齒輪的齒數(shù)與齒輪半徑成比例，求關(guān)于輸入軸的等效慣量和等效阻尼以及關(guān)于輸出軸的等效慣量和等效阻尼。齒輪1的齒數(shù)和齒輪2的齒數(shù)分別為Z1和Z2，齒輪1和齒輪2的角速度分別是ω1和ω2

。齒輪2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和粘性組尼系數(shù)分別用J1、C1和J2、C2表示。通過牛頓定律，得以下方程式中：T1是由齒輪傳動(dòng)引起的齒輪1上的負(fù)載轉(zhuǎn)矩，T2是傳遞到齒輪2的轉(zhuǎn)矩。例7.2建立機(jī)械傳動(dòng)（齒輪傳動(dòng)）系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型第7章機(jī)電系統(tǒng)的建模課件第7章機(jī)電系統(tǒng)的建模課件例7.3

建立如圖所示位置隨動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型解（1）系統(tǒng)工作原理分析：該系統(tǒng)是一個(gè)由綜合檢測(cè)元件（自整角機(jī)）、放大器、執(zhí)行電動(dòng)機(jī)、減速裝置和負(fù)載等部分構(gòu)成的負(fù)反饋閉環(huán)位置隨動(dòng)系統(tǒng)；（2）輸入變量為，輸出變量為；（3）根據(jù)各部分工作原理列出各機(jī)電元件的運(yùn)動(dòng)方程；例7.3建立如圖所示位置隨動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型解第7章機(jī)電系統(tǒng)的建模課件對(duì)上述各式進(jìn)行拉氏變換，并消去中間變量，可得到系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為對(duì)上述各式進(jìn)行拉氏變換，并消去中間變量，可得例7.4

打印機(jī)皮帶驅(qū)動(dòng)器常用低價(jià)位打印機(jī)通常配有皮帶驅(qū)動(dòng)器，用于打印頭沿打印頁面橫向移動(dòng)，下圖給出一個(gè)裝有直流電機(jī)的皮帶驅(qū)動(dòng)式打印機(jī)的實(shí)例。在該系統(tǒng)中，光傳感器用來測(cè)定打印頭的位置，皮帶張力變化用于調(diào)節(jié)皮帶的實(shí)際彈性狀態(tài)。本例的目的是建立系統(tǒng)狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型。打印機(jī)皮帶驅(qū)動(dòng)器系統(tǒng)例7.4打印機(jī)皮帶驅(qū)動(dòng)器常用低價(jià)位打印下圖給出了皮帶輪驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的基本模型。模型中皮帶彈性系數(shù)為k，滑輪半徑為r，電機(jī)軸轉(zhuǎn)動(dòng)角為θp，打印頭質(zhì)量為m，位移為y(t)。光傳感器用于測(cè)量位移y，其輸出電壓為v1,且v1=k1y?？刂破鬏敵鲭妷簽関2，它是v1的函數(shù)。假設(shè)v2與v1具有線性關(guān)系：打印機(jī)皮帶驅(qū)動(dòng)器模型下圖給出了皮帶輪驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的基本模型。模型中皮電機(jī)和滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和為J=J電機(jī)+J滑輪，電機(jī)的繞組磁場(chǎng)電感忽略不計(jì)L≈0，繞組電阻為R，電機(jī)系數(shù)為Km。下面我們來推導(dǎo)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。注意到y(tǒng)=rθp，可知皮帶張力T1、T2分別為：于是，作用在質(zhì)量上的靜張力為：(7.5.1)(7.5.2)電機(jī)和滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和為J=J電機(jī)+J接下來推導(dǎo)描述電機(jī)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程。當(dāng)L=0時(shí)，電機(jī)繞組電流，而電機(jī)轉(zhuǎn)矩為，于是有：電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩包括驅(qū)動(dòng)皮帶所需的有效轉(zhuǎn)矩T

和克服擾動(dòng)或無負(fù)載所需的轉(zhuǎn)矩Td，因此又有：

有效轉(zhuǎn)矩T驅(qū)動(dòng)電機(jī)軸帶動(dòng)滑輪運(yùn)動(dòng)，因此應(yīng)有：(7.5.3)接下來推導(dǎo)描述電機(jī)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程。當(dāng)L=式（7.5.1）、（7.5.2）、（7.5.3）構(gòu)成了描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的一階微分方程組，其矩陣形式為：式（7.5.1）、（7.5.2）、（7.例7.5磁盤驅(qū)動(dòng)讀取系統(tǒng)磁盤驅(qū)動(dòng)器作為重要的計(jì)算機(jī)外部設(shè)備被應(yīng)用?？疾煜聢D的磁盤驅(qū)動(dòng)器示意圖可以發(fā)現(xiàn)，磁盤驅(qū)動(dòng)讀取裝置的目標(biāo)是將磁頭準(zhǔn)確定位，以便正確讀取磁盤磁道的信息。

圖7.6.1

磁盤驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)示意圖例7.5磁盤驅(qū)動(dòng)讀取系統(tǒng)磁盤驅(qū)動(dòng)器作為重磁盤旋轉(zhuǎn)速度在1800rpm到7200rpm，相當(dāng)于磁頭在磁盤上方不到100nm的地方“飛行”，位置精度指標(biāo)初步定為1μm，要求做到使磁頭由一個(gè)磁道移到另一個(gè)磁道所花的時(shí)間小于10ms。至此，我們可以給出如下圖所示的初步的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，該閉環(huán)系統(tǒng)利用電機(jī)驅(qū)動(dòng)磁頭臂到達(dá)預(yù)期的位置。由上圖可以確定系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)、傳感器和控制器，然后建立控制對(duì)象和傳感器等元件的模型。磁盤驅(qū)動(dòng)器讀取系統(tǒng)采用永磁直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)讀取手臂的擺動(dòng)。磁頭安裝在一個(gè)與手臂相連的簧片上，它讀取磁盤上各點(diǎn)處不同的磁通量并將信號(hào)提供給放大器，簧片（彈性金屬制成）保證磁頭以100nm的間隙懸浮于磁盤上方。磁盤旋轉(zhuǎn)速度在1800rpm到7200rpm圖7.6.2中的偏差信號(hào)是在磁頭讀取磁盤上預(yù)先錄制的索引磁道時(shí)產(chǎn)生的。建立圖7.6.3所示框圖模型。我們假定磁頭足夠精確，傳感器環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為H(s)=1；同時(shí)，作為足夠精確的近似，我們用例7.3給出的直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)模型來對(duì)激勵(lì)電機(jī)和臂建模（式7.6.1）；圖中也給出了線性放大器的模型。（式7.6.1）圖7.6.2中的偏差信號(hào)是在磁頭讀取磁盤上預(yù)

圖7.6.3所示框圖模型簡(jiǎn)化為圖7.6.4所示閉環(huán)系統(tǒng)框圖模型，將框圖模型簡(jiǎn)化為如下模型：圖7.6.3所示框圖模型簡(jiǎn)化為圖7.6.47.7機(jī)械傳動(dòng)鏈間隙在齒輪等機(jī)械傳動(dòng)鏈中，如不采取特殊消隙措施，或所采取的措施不是很得當(dāng)，則總會(huì)存在傳動(dòng)間隙，間隙的存在對(duì)可逆運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)就不可避免地造成“回差”，使系統(tǒng)呈現(xiàn)出具有“滯環(huán)特性”的非單值性的非線性。其物理模型和滯環(huán)特性如下圖所示。間隙的物理模型間隙的滯環(huán)特性7.7機(jī)械傳動(dòng)鏈間隙在齒輪等機(jī)械傳動(dòng)鏈中，如2.10機(jī)械傳動(dòng)鏈間隙間隙的影響結(jié)果：輸出位移相對(duì)輸入位移存在動(dòng)態(tài)滯后容易使系統(tǒng)不穩(wěn)定，造成振蕩輸出軸與檢測(cè)元件間的間隙造成測(cè)量誤差導(dǎo)致失動(dòng)量導(dǎo)致機(jī)械構(gòu)件磨損注意：摩擦產(chǎn)生的阻尼作用有助于在一定程度上消除間隙的影響2.10機(jī)械傳動(dòng)鏈間隙間隙的影響結(jié)果：7.8摩擦對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響1.對(duì)摩擦力的重新認(rèn)識(shí)

互相接觸的兩物體有相對(duì)運(yùn)動(dòng)或有相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，就存在摩擦，在接觸面間產(chǎn)生的切向運(yùn)動(dòng)阻力，即為摩擦力。摩擦力的大小和形式取決于兩物體結(jié)構(gòu)、壓力、相對(duì)速度、潤滑情況及其他一些因素。因此，準(zhǔn)確用數(shù)學(xué)描述是困難的。

在應(yīng)用上分為：粘滯摩擦庫侖摩擦靜摩擦7.8摩擦對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響1.7.8摩擦對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響粘滯摩擦力：大小與速度成正比，方向相反。

庫侖摩擦力：是物體運(yùn)動(dòng)時(shí)接觸面對(duì)運(yùn)動(dòng)物體所呈現(xiàn)的阻力，又稱動(dòng)摩擦力，它是一個(gè)常數(shù)。靜摩擦力：是物體有運(yùn)動(dòng)傾向但仍處于靜止時(shí)所呈現(xiàn)的阻力。最大值發(fā)生在開始運(yùn)動(dòng)的瞬間，所以靜摩擦力大于動(dòng)摩擦力。（a）粘滯摩擦情況（b）庫侖摩擦情況（c）實(shí)際摩擦情況7.8摩擦對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響粘滯摩擦力：（a）粘滯摩7.8摩擦對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響2.摩擦力對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的影響-位置伺服系統(tǒng)7.8摩擦對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響2.7.8摩擦對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響只有摩擦力作用時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下摩擦力單獨(dú)作用下位置伺服系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為7.8摩擦對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響只有摩7.4摩擦對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響若輸入信號(hào)為恒速信號(hào)，則粘滯摩擦和庫侖摩擦的合力為利用拉式變換的終值定理，得

穩(wěn)態(tài)誤差與摩擦成正比，與系統(tǒng)的開環(huán)增益成反比，增加系統(tǒng)的開環(huán)增益可以減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，但無限增加開環(huán)增益可能帶來系統(tǒng)的不穩(wěn)定。7.4摩擦對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響若輸入7.8摩擦對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響3.摩擦力低速性能的影響——爬行(stick-slip)低速爬行示意圖由于控制量不夠大，不足以克服靜摩擦力矩，電動(dòng)機(jī)不會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)，只能保持靜止不動(dòng)?？刂屏考哟蟮秸每朔o摩擦力矩，電動(dòng)機(jī)開始轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)刻，靜摩擦力據(jù)立即下降為較小的動(dòng)摩擦力矩。7.8摩擦對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響3.7.8摩擦對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響低速爬行示意圖7.8摩擦對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響低速爬行示意圖7.8摩擦對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響低速爬行示意圖之后又重復(fù)上述過程注意：為了減小死區(qū)和爬行，減小動(dòng)靜摩擦力之差，比一味追求小的動(dòng)、靜摩擦系數(shù)更有效7.8摩擦對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響低速爬行示意圖之后又重復(fù)上述7.9機(jī)械系統(tǒng)的其他因素1.機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)第一階固有頻率——機(jī)械移動(dòng)系統(tǒng)——機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)的第一階固有頻率是決定系統(tǒng)頻率響應(yīng)帶寬的一個(gè)重要約束因素。在設(shè)計(jì)一個(gè)伺服控制系統(tǒng)時(shí)，通常要求機(jī)械系統(tǒng)的第一階固有頻率是系統(tǒng)帶寬的五倍以上。問題：機(jī)械系統(tǒng)固有頻率低了會(huì)發(fā)生什么情況？7.9機(jī)械系統(tǒng)的其他因素1