模塊三結(jié)構(gòu)力學(xué)基本知識

項目十超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算任務(wù)二十七單跨超靜定梁的內(nèi)力計算及內(nèi)力圖繪制超靜定結(jié)構(gòu)的概念、力法的基本原理、力法的基本方程、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)、力法典型方程、力法的計算步驟力法的基本方程、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)、力法典型方程、力法的計算教學(xué)重點教學(xué)難點模塊三結(jié)構(gòu)力學(xué)基本知識項目十超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計1一、超靜定結(jié)構(gòu)的概念二、力法的基本原理三、力法的基本方程四、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)五、力法典型方程六、力法的計算步驟和舉例七、對稱性的利用教學(xué)內(nèi)容模塊三結(jié)構(gòu)力學(xué)基本知識

項目十超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算任務(wù)二十七單跨超靜定梁的內(nèi)力計算及內(nèi)力圖繪制一、超靜定結(jié)構(gòu)的概念教學(xué)內(nèi)容模塊三結(jié)構(gòu)力學(xué)基本知識2一、超靜定結(jié)構(gòu)的概念靜定結(jié)構(gòu)（staticallydeterminatestructure）

支座反力和各截面的內(nèi)力都可以用靜力平衡條件唯一確定，是沒有多余聯(lián)系的幾何不變體系。超靜定結(jié)構(gòu)（staticallyindeterminatestructure）支座反力和各截面的內(nèi)力不能完全由靜力平衡條件唯一確定，是有多余聯(lián)系的幾何不變體系。一、超靜定結(jié)構(gòu)的概念靜定結(jié)構(gòu)（staticallydet3靜定剛架超靜定剛架有多余聯(lián)系是超靜定結(jié)構(gòu)區(qū)別于靜定結(jié)構(gòu)的基本特性一、超靜定結(jié)構(gòu)的概念靜定剛架超靜定剛架有多余聯(lián)系是超靜定結(jié)構(gòu)區(qū)別于靜4二、力法的基本原理1.力法(forcemethod)的基本結(jié)構(gòu)去掉多余聯(lián)系用多余未知力來代替后得到的靜定結(jié)構(gòu)稱為按力法計算的基本結(jié)構(gòu)。二、力法的基本原理1.力法(forcemethod)的5現(xiàn)在要設(shè)法解出基本結(jié)構(gòu)的多余力X1，一旦求得多余力X1，就可在基本結(jié)構(gòu)上用靜力平衡條件求出原結(jié)構(gòu)的所有反力和內(nèi)力。因此多余力是最基本的未知力，又可稱為力法的基本未知量。但是這個基本未知量X1不能用靜力平衡條件求出，而必須根據(jù)基本結(jié)構(gòu)的受力和變形與原結(jié)構(gòu)相同的原則來確定。二、力法的基本原理現(xiàn)在要設(shè)法解出基本結(jié)構(gòu)的多余力X1，一旦求得多余力X6三、力法的基本方程

用來確定X1的條件是：基本結(jié)構(gòu)在原有荷載和多余力共同作用下，在去掉多余聯(lián)系處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移相等。為了唯一確定超靜定結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力，必須同時考慮靜力平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件三、力法的基本方程用來確定X1的條件是：基7若以11表示X1為單位力（即1=1）時，基本結(jié)構(gòu)在X1作用點沿X1方向產(chǎn)生的位移，則有11=11X1,于是上式可寫成式(a)就是根據(jù)原結(jié)構(gòu)的變形條件建立的用以確定X1的變形協(xié)調(diào)方程，即為力法基本方程。三、力法的基本方程

若以11表示X1為單位力（即1=1）時，基本結(jié)構(gòu)在8三、力法的基本方程

為了具體計算位移δ11和△1p，分別繪出基本結(jié)構(gòu)的單位彎矩圖M1和荷載彎矩圖Mp（由荷載q產(chǎn)生），分別如圖(a)、(b)所示：三、力法的基本方程為了具體計算位移δ11和△9用圖乘法計算這些位移因此可解出多余力X1

三、力法的基本方程

用圖乘法計算這些位移因此可解出多余力X1三、力法的基本10應(yīng)用上式繪制彎矩圖時，可將圖的縱標(biāo)乘以倍，再與圖的相應(yīng)縱標(biāo)疊加，即可繪出圖如圖(c)所示。綜上所述可知,力法是以多余力作為基本未知量，取去掉多余聯(lián)系后的靜定結(jié)構(gòu)為基本結(jié)構(gòu)，并根據(jù)去掉多余聯(lián)系處的已知位移條件建立基本方程，將多余力首先求出，而以后的計算即與靜定結(jié)構(gòu)無異。它可用來分析任何類型的超靜定結(jié)構(gòu)。三、力法的基本方程

多余力X1求出后，其余所有反力和內(nèi)力都可用靜力平衡條件確定。超靜定結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖M，可利用已經(jīng)繪出的和圖按疊加原理繪出，即應(yīng)用上式繪制彎矩圖時，可將圖的縱標(biāo)乘以11四、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)(degreeofstaticindeterminacy

)：多余聯(lián)系的數(shù)目或多余力的數(shù)目確定超靜定次數(shù)最直接的方法就是在原結(jié)構(gòu)上去掉多余聯(lián)系，直至超靜定結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu)，所去掉的多余聯(lián)系的數(shù)目，就是原結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。四、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)(degr12從超靜定結(jié)構(gòu)上去掉多余聯(lián)系的方式有以下幾種：1.去掉支座處的支桿或切斷一根鏈桿，相當(dāng)下去掉一個聯(lián)系，如圖(a)(b)所示；四、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)從超靜定結(jié)構(gòu)上去掉多余聯(lián)系的方式有以下幾種：1.去掉支座處132.撤去一個鉸支座或撤去一個單鉸，相當(dāng)于去掉二個聯(lián)系，如圖(c)(d)所示；四、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)2.撤去一個鉸支座或撤去一個單鉸，相當(dāng)于去掉二個聯(lián)系，如圖143.切斷一根梁式桿或去掉一個固定支座，相當(dāng)于去掉三個聯(lián)系，如圖(e)所示；四、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)3.切斷一根梁式桿或去掉一個固定支座，相當(dāng)于去掉三個聯(lián)系154.將一剛結(jié)點改為單鉸聯(lián)結(jié)成或?qū)⒁粋€固定支座改為固定鉸支座，相當(dāng)于去掉一個聯(lián)系，如圖(f)所示。對于同一個超靜定結(jié)構(gòu)，可用各種不同的方式去掉多余聯(lián)系而得到不同的靜定結(jié)構(gòu)。因此在力法計算中，同一結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)可有各種不同的形式。但應(yīng)注意，去掉多余聯(lián)系后基本結(jié)構(gòu)必須是幾何不變的。為了保證基本結(jié)構(gòu)的幾何不變性，結(jié)構(gòu)中的某些聯(lián)系是不能去掉的。四、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)4.將一剛結(jié)點改為單鉸聯(lián)結(jié)成或?qū)⒁粋€固定支座改為固定鉸支座16如圖(a)所示剛架，具有一個多余聯(lián)系。若將橫梁某處改為鉸接，即相當(dāng)于去掉一個聯(lián)系得到圖(b)所示靜定結(jié)構(gòu)；當(dāng)去掉B支座的水平鏈桿則得到圖(c)所示靜定結(jié)構(gòu)，它們都可作為基本結(jié)構(gòu)。但是，若去掉A支座的豎向鏈桿或B支座的豎向鏈桿，即成瞬變體系[圖(d)]所示，顯然是不允許的，當(dāng)然也就不能作為基本結(jié)構(gòu)。 四、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)如圖(a)所示剛架，具有一個多余聯(lián)系。若將橫梁某處17圖(a)所示超靜定結(jié)構(gòu)屬內(nèi)部超靜定結(jié)構(gòu)，因此，只能在結(jié)構(gòu)內(nèi)部去掉多余聯(lián)系得基本結(jié)構(gòu)，如(b)所示。四、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)圖(a)所示超靜定結(jié)構(gòu)屬內(nèi)部超靜定結(jié)構(gòu)，因此，只能18對于具有多個框格的結(jié)構(gòu)，按框格的數(shù)目來確定超靜定的次數(shù)是較方便的。一個封閉的無鉸框格，其超靜定次數(shù)等于3，故當(dāng)一個結(jié)構(gòu)有n個封閉無鉸框格時，其超靜定次數(shù)等于3n。如圖(a)所示結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)等于3x8=24。當(dāng)結(jié)構(gòu)的某些結(jié)點為鉸接時，則一個單鉸減少一個超靜定次數(shù)。圖(b)所示結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)等于3x8-5=19。四、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)對于具有多個框格的結(jié)構(gòu)，按框格的數(shù)目來確定超靜定的次19五、力法典型方程用力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵在于根據(jù)位移條件建立力法的基本方程，以求解多余力。對于多次超靜定結(jié)構(gòu)，其計算原理與一次超靜定結(jié)構(gòu)完全相同。圖(a)所示為一個三次超靜定結(jié)構(gòu)，在荷載作用下結(jié)構(gòu)的變形如圖中虛線所示。用力法求解時，去掉支座C的三個多余聯(lián)系，并以相應(yīng)的多余力X1、X2和X3代替所去聯(lián)系的作用，則得到圖(b)所示的基本結(jié)構(gòu)上，也必須與原結(jié)構(gòu)變形相符，在C點處沿多余力X1、X2和X3方向的相應(yīng)位移

都應(yīng)等于零。五、力法典型方程用力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵在于根據(jù)20五、力法典型方程五、力法典型方程21根據(jù)疊加原理，可將基本結(jié)構(gòu)滿足的位移條件表示為：這就是求解多余力X1、X2和X3所要建立的力法方程其物理意義是：在基本結(jié)構(gòu)中，由于全部多余力和已知荷載的共同作用，在去掉多余聯(lián)系處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移相等五、力法典型方程根據(jù)疊加原理，可將基本結(jié)構(gòu)滿足的位移條件表示為：這就是求解22用同樣的分析方法，我們可以建立力法的一般方程。對于n次超靜定結(jié)構(gòu)，用力法計算時，可去掉n個多余聯(lián)系得到靜定的基本結(jié)構(gòu)，在去掉的n個多余聯(lián)系處代之以n個多余未知力。當(dāng)原結(jié)構(gòu)在去掉多余聯(lián)系處的位移為零時，相應(yīng)地也就有n個已知的位移條件：i=0(i=1,2,…,n)

據(jù)此可以建立n個關(guān)于求解多余力的方程五、力法典型方程用同樣的分析方法，我們可以建立力法的一般方程。對于23…………根據(jù)位移互等定理可知副系數(shù)五、力法典型方程…………根據(jù)位移互等定理可知副系數(shù)五、力法典型方程24該方程稱為力法的典型方程按前面求靜定結(jié)構(gòu)位移的方法求得典型方程中的系數(shù)和自由項后，即可解得多余力Xi。然后可按照靜定結(jié)構(gòu)的分析方法求得原結(jié)構(gòu)的全部反力和內(nèi)力?；虬聪率霪B加公式求出彎矩…再根據(jù)平衡條件可求得其剪力和軸力。五、力法典型方程該方程稱為力法的典型方程按前面求靜定結(jié)構(gòu)位移的方法求25六、力法的計算步驟和舉例力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的步驟去掉原結(jié)構(gòu)的多余聯(lián)系得到一個靜定的基本結(jié)構(gòu)，并以多余力代替相應(yīng)多余聯(lián)系的作用。2.建立力法典型方程。根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在多余力和原荷載的共同作用下，在去掉多余聯(lián)系處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移相同的位移條件，建立力法典型方程3.求系數(shù)和自由項4.解典型方程，求出多余未知力。5.繪出原結(jié)構(gòu)最后內(nèi)力圖。六、力法的計算步驟和舉例力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的步驟去掉原26例1：作圖(a)所示單跨超靜定梁的內(nèi)力圖。已知梁的EI、EA均為常數(shù)。

解：（1）確定超靜定次數(shù)，選取基本結(jié)構(gòu)三次超靜定梁，選取圖(b)所示的懸臂梁作為基本結(jié)構(gòu)。六、力法的計算步驟和舉例(2)建立力法方程

根據(jù)原結(jié)構(gòu)支座B處位移為零的條件，建立如下方程：

δ11X1+δ12X2+δ13X3+Δ1P=0

δ21X1+δ22X2+δ23X3+Δ2P=0

δ31X1+δ32X2+δ33X3+Δ3P=0例1：作圖(a)所示單跨超靜定梁的內(nèi)力圖。已知梁的EI、EA27

28(3)計算系數(shù)和自由項作荷載彎矩圖MP圖和單位彎矩圖M1圖、M2圖、M3圖，如圖(c)、(d)、(e)、(f)所示。利用圖乘法求得力法方程中各系數(shù)和自由項分別為

δ11=l3/3EIδ22=l/EI

δ33=l/EAδ12=δ21=-l2/2EI

δ13=δ31=δ23=δ32=0Δ1P=-ql4/8EIΔ2P=ql3/6EIΔ3P=0六、力法的計算步驟和舉例(3)計算系數(shù)和自由項作荷載彎矩圖MP圖和單位彎矩圖M1圖29六、力法的計算步驟和舉例(4)求多余未知力將以上各系數(shù)和自由項代入力法方程，得解得六、力法的計算步驟和舉例(4)求多余未知力將以上各系數(shù)30(5)作內(nèi)力圖

六、力法的計算步驟和舉例①作M圖：根據(jù)疊加公式

M=M1X1+M2X2+M3X3+MP

計算A、B兩端及跨中彎矩如下

MAB=-1/12ql2(上拉)

MBA=-1/12ql2(上拉)

M跨中=1/24ql2(下拉)(5)作內(nèi)力圖六、力法的計算步驟和舉例①作M圖：根31②作剪力圖根據(jù)已求出的桿端彎矩和荷載，畫AB梁的受力圖如圖所示。

六、力法的計算步驟和舉例由∑MA=0得

QBA=-ql/2

所以由∑Y=0得

QAB=ql/2因為AB梁受到均勻分布荷載，剪力圖應(yīng)為斜直線，如圖(h)所示。

六、力法的計算步驟和舉例由∑MA=0得因為AB32七、對稱性的利用用力法解算超靜定結(jié)構(gòu)時，結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)愈高，多余未知力就愈多，計算工作量也就愈大。但在實際的建筑結(jié)構(gòu)工程中，很多結(jié)構(gòu)是對稱的，我們可利用結(jié)構(gòu)的對稱性，適當(dāng)?shù)剡x取基本結(jié)構(gòu)，使力法典型方程中盡可能多的副系數(shù)等于零，從而使計算工作得到簡化。當(dāng)結(jié)構(gòu)的幾何形狀、支座情況、桿件的截面及彈性模量等均對稱于某一幾何軸線時，則稱此結(jié)構(gòu)為對稱結(jié)構(gòu)。七、對稱性的利用用力法解算超靜定結(jié)構(gòu)時，結(jié)構(gòu)的超靜定33如圖a所示剛架為對稱結(jié)構(gòu)，可選取圖b所示的基本結(jié)構(gòu)，即在對稱軸處切開，以多余未知力x1,x2,x3來代替所去掉的三個多余聯(lián)系。七、對稱性的利用如圖a所示剛架為對稱結(jié)構(gòu)，可選取圖b所以多余未知力x1,x34相應(yīng)的單位力彎矩圖如圖c,d,e所示，七、對稱性的利用相應(yīng)的單位力彎矩圖如圖c,d,e所示，七、對稱性的利用35其中x1和x2為對稱未知力；x3為反對稱的未知力，顯然1,2圖是對稱圖形；3是反對稱圖形。由圖形相乘可知：七、對稱性的利用其中x1和x2為對稱未知力；x3為反對稱的1,2圖是對稱36故力法典型方程簡化為由此可知，力法典型方程將分成兩組：一組只包含對稱的未知力，即x1,x2；另一組只包含反對稱的未知力x3。因此，解方程組的工作得到簡化。七、對稱性的利用故力法典型方程簡化為由此可知，力法典型方程將分成兩組：37非對稱的外荷載可分解為對稱的和反對稱的兩種情況的疊加（如圖f.a.b）＝＋七、對稱性的利用非對稱的外荷載可分解為對稱的和反對稱＝＋七、對稱性的利用38（1）外荷載對稱時，使基本結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎矩圖p是對稱的，則得從而得x3=0。這時只要計算對稱多余未知力x1和x2。七、對稱性的利用（1）外荷載對稱時，使基本結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎p是對稱的，則得從而得39（2）外荷載反對稱時，使基本結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎矩圖p是反對稱的，則得從而得X1=X2=0這時，只要計算反對稱的多余未知力X3..七、對稱性的利用（2）外荷載反對稱時，使基本結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎矩圖p是反對稱的40從上述分析可得到如下結(jié)論：a.在計算對稱結(jié)構(gòu)時，如果選取的多余未知力中一部分是對稱的，另一部分是反對稱的。則力法方程將分為兩組：一組只包含對稱未知力；另一組只包含反對稱未知力。b.結(jié)構(gòu)對稱，若外荷載不對稱時，可將外荷載分解為對稱荷載和反對稱荷載，而分別計算然后疊加。這時，在對稱荷載作用下，反對稱未知力為零，即只產(chǎn)生對稱內(nèi)力及變形；在反對稱荷載作用下，對稱未知力為零，即只產(chǎn)生反對稱內(nèi)力及變形。七、對稱性的利用從上述分析可得到如下結(jié)論：a.在計算對稱結(jié)構(gòu)時，如41例2:利用對稱性，計算圖(a)所示單跨超靜定梁，并繪最后彎矩圖。解：

（1）此結(jié)構(gòu)為三次超靜定梁，且結(jié)構(gòu)及荷載均為對稱，因此可以利用對稱性進行計算。圖(b)所示為半結(jié)構(gòu)。（2）選取圖(c)所示的懸臂梁作為基本結(jié)構(gòu)。由于半結(jié)構(gòu)的C支座是定向支座，梁C點的水平位移為零，根據(jù)對稱性的結(jié)論可知水平未知力X2=0，只須考慮未知力X1的作用。七、對稱性的利用（3）建立力法方程：δ11X1+Δ1P

=

0

例2:利用對稱性，計算圖(a)所示單跨超靜定梁，并繪最后彎42任務(wù)二十七單跨超靜定梁的內(nèi)力計算及內(nèi)力圖繪制課件43七、對稱性的利用（4）計算系數(shù)和自由項

作荷載彎矩圖MP圖和單位彎矩圖M1圖，如圖(d)、(e)所示。利用圖乘法求得力法方程中系數(shù)和自由項分別為：七、對稱性的利用（4）計算系數(shù)和自由項利用圖乘法求得力法方程44（5）求多余未知力將以上各系數(shù)和自由項代入力法方程，得

七、對稱性的利用

（6）作內(nèi)力圖作M圖：根據(jù)疊加公式

M=M1X1+MP先畫出半結(jié)構(gòu)的M圖，在用對稱性繪制出原結(jié)構(gòu)最后M圖，圖(f)所示。（5）求多余未知力七、對稱性的利用（6）作內(nèi)力圖作M圖：45繪出原結(jié)構(gòu)最后的剪力圖，圖(g)所示。

七、對稱性的利用繪出原結(jié)構(gòu)最后的剪力圖，圖(g)所示。七、對稱性的利46小結(jié)1.力法的基本原理力法是計算超靜定結(jié)構(gòu)的基本方法之一。超靜定結(jié)構(gòu)的主要特點是有多余聯(lián)系，力法解題的基本原理是：首先將超靜定結(jié)構(gòu)中的多余聯(lián)系去掉，代之以多余未知力。以去掉多余聯(lián)系后得到的靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)，以多余未知力作為力法的基本未知量，利用基本結(jié)構(gòu)在荷載和多余未知力共同作用下的變形條件建立力法方程（稱為力法的基本方程），從而求解多余未知力。求得多余未知力后，超靜定問題就轉(zhuǎn)化為靜定問題，可用平衡條件求解所有未知力。七、對稱性的利用小結(jié)1.力法的基本原理力法是計算超靜定結(jié)構(gòu)的472.確定基本未知量和選擇基本結(jié)構(gòu)一般用去掉多余聯(lián)系使原超靜定結(jié)構(gòu)變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)的方法。去掉的多余聯(lián)系處的多余未知力即為基本未知量。去掉多余聯(lián)系后的靜定結(jié)構(gòu)即為基本結(jié)構(gòu)。所以基本未知量和基本結(jié)構(gòu)是同時選定的。同一超靜定結(jié)構(gòu)可以選擇多種基本結(jié)構(gòu)，應(yīng)盡量選擇計算簡單的基本結(jié)構(gòu)，但必須保證基本結(jié)構(gòu)是幾何不變且無多余聯(lián)系的靜定結(jié)構(gòu)。七、對稱性的利用2.確定基本未知量和選擇基本結(jié)構(gòu)一般用去掉多余聯(lián)系483.建立力法方程基本結(jié)構(gòu)在荷載（或溫度變化、支座移動等）及多余未知力作用下，沿多余未知力方向的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)在相應(yīng)處的位移相等，據(jù)此列出力法方程。要充分理解力法方程所代表的變形條件的意義，以及方程中各項系數(shù)和自由項的含義。因此，力法計算的關(guān)鍵是：確定基本未知量；選擇基本結(jié)構(gòu)；建立基本方程。七、對稱性的利用3.建立力法方程基本結(jié)構(gòu)在荷載（或溫度變化、支座移494.力法方程的系數(shù)和自由項的計算系數(shù)和自由項的計算就是求靜定結(jié)構(gòu)的位移。因此，要使系數(shù)、自由項的計算準(zhǔn)確，必須保證靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力（或內(nèi)力圖）的正確和位移計算的準(zhǔn)確。力法方程中的主系數(shù)(ii)恒大于零；副系數(shù)和自由項?？赡苄∮诹恪⒌扔诹?，也可能大于零，且副系數(shù)七、對稱性的利用

ij=ji，注意這一特點。4.力法方程的系數(shù)和自由項的計算系數(shù)和自由項的計算505.超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算與內(nèi)力圖的繪制通過解力法方程求得多余未知力后，可用靜力平衡方程或內(nèi)力疊加公式計算超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和繪制內(nèi)力圖。對梁和剛架來說，一般先計算桿端彎矩、繪制彎矩圖，然后計算桿端剪力、繪制剪力圖，最后計算桿端軸力、繪制軸力圖。6.對稱性的利用如果結(jié)構(gòu)對稱，可選擇對稱的基本結(jié)構(gòu)，利用荷載對稱或反對稱作用時的內(nèi)力和變形特性，可使計算得以簡化。七、對稱性的利用5.超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算與內(nèi)力圖的繪制通過解力法方51模塊三結(jié)構(gòu)力學(xué)基本知識

項目十超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算任務(wù)二十七單跨超靜定梁的內(nèi)力計算及內(nèi)力圖繪制超靜定結(jié)構(gòu)的概念、力法的基本原理、力法的基本方程、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)、力法典型方程、力法的計算步驟力法的基本方程、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)、力法典型方程、力法的計算教學(xué)重點教學(xué)難點模塊三結(jié)構(gòu)力學(xué)基本知識項目十超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計52一、超靜定結(jié)構(gòu)的概念二、力法的基本原理三、力法的基本方程四、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)五、力法典型方程六、力法的計算步驟和舉例七、對稱性的利用教學(xué)內(nèi)容模塊三結(jié)構(gòu)力學(xué)基本知識

項目十超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算任務(wù)二十七單跨超靜定梁的內(nèi)力計算及內(nèi)力圖繪制一、超靜定結(jié)構(gòu)的概念教學(xué)內(nèi)容模塊三結(jié)構(gòu)力學(xué)基本知識53一、超靜定結(jié)構(gòu)的概念靜定結(jié)構(gòu)（staticallydeterminatestructure）

支座反力和各截面的內(nèi)力都可以用靜力平衡條件唯一確定，是沒有多余聯(lián)系的幾何不變體系。超靜定結(jié)構(gòu)（staticallyindeterminatestructure）支座反力和各截面的內(nèi)力不能完全由靜力平衡條件唯一確定，是有多余聯(lián)系的幾何不變體系。一、超靜定結(jié)構(gòu)的概念靜定結(jié)構(gòu)（staticallydet54靜定剛架超靜定剛架有多余聯(lián)系是超靜定結(jié)構(gòu)區(qū)別于靜定結(jié)構(gòu)的基本特性一、超靜定結(jié)構(gòu)的概念靜定剛架超靜定剛架有多余聯(lián)系是超靜定結(jié)構(gòu)區(qū)別于靜55二、力法的基本原理1.力法(forcemethod)的基本結(jié)構(gòu)去掉多余聯(lián)系用多余未知力來代替后得到的靜定結(jié)構(gòu)稱為按力法計算的基本結(jié)構(gòu)。二、力法的基本原理1.力法(forcemethod)的56現(xiàn)在要設(shè)法解出基本結(jié)構(gòu)的多余力X1，一旦求得多余力X1，就可在基本結(jié)構(gòu)上用靜力平衡條件求出原結(jié)構(gòu)的所有反力和內(nèi)力。因此多余力是最基本的未知力，又可稱為力法的基本未知量。但是這個基本未知量X1不能用靜力平衡條件求出，而必須根據(jù)基本結(jié)構(gòu)的受力和變形與原結(jié)構(gòu)相同的原則來確定。二、力法的基本原理現(xiàn)在要設(shè)法解出基本結(jié)構(gòu)的多余力X1，一旦求得多余力X57三、力法的基本方程

用來確定X1的條件是：基本結(jié)構(gòu)在原有荷載和多余力共同作用下，在去掉多余聯(lián)系處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移相等。為了唯一確定超靜定結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力，必須同時考慮靜力平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件三、力法的基本方程用來確定X1的條件是：基58若以11表示X1為單位力（即1=1）時，基本結(jié)構(gòu)在X1作用點沿X1方向產(chǎn)生的位移，則有11=11X1,于是上式可寫成式(a)就是根據(jù)原結(jié)構(gòu)的變形條件建立的用以確定X1的變形協(xié)調(diào)方程，即為力法基本方程。三、力法的基本方程

若以11表示X1為單位力（即1=1）時，基本結(jié)構(gòu)在59三、力法的基本方程

為了具體計算位移δ11和△1p，分別繪出基本結(jié)構(gòu)的單位彎矩圖M1和荷載彎矩圖Mp（由荷載q產(chǎn)生），分別如圖(a)、(b)所示：三、力法的基本方程為了具體計算位移δ11和△60用圖乘法計算這些位移因此可解出多余力X1

三、力法的基本方程

用圖乘法計算這些位移因此可解出多余力X1三、力法的基本61應(yīng)用上式繪制彎矩圖時，可將圖的縱標(biāo)乘以倍，再與圖的相應(yīng)縱標(biāo)疊加，即可繪出圖如圖(c)所示。綜上所述可知,力法是以多余力作為基本未知量，取去掉多余聯(lián)系后的靜定結(jié)構(gòu)為基本結(jié)構(gòu)，并根據(jù)去掉多余聯(lián)系處的已知位移條件建立基本方程，將多余力首先求出，而以后的計算即與靜定結(jié)構(gòu)無異。它可用來分析任何類型的超靜定結(jié)構(gòu)。三、力法的基本方程

多余力X1求出后，其余所有反力和內(nèi)力都可用靜力平衡條件確定。超靜定結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖M，可利用已經(jīng)繪出的和圖按疊加原理繪出，即應(yīng)用上式繪制彎矩圖時，可將圖的縱標(biāo)乘以62四、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)(degreeofstaticindeterminacy

)：多余聯(lián)系的數(shù)目或多余力的數(shù)目確定超靜定次數(shù)最直接的方法就是在原結(jié)構(gòu)上去掉多余聯(lián)系，直至超靜定結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu)，所去掉的多余聯(lián)系的數(shù)目，就是原結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。四、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)(degr63從超靜定結(jié)構(gòu)上去掉多余聯(lián)系的方式有以下幾種：1.去掉支座處的支桿或切斷一根鏈桿，相當(dāng)下去掉一個聯(lián)系，如圖(a)(b)所示；四、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)從超靜定結(jié)構(gòu)上去掉多余聯(lián)系的方式有以下幾種：1.去掉支座處642.撤去一個鉸支座或撤去一個單鉸，相當(dāng)于去掉二個聯(lián)系，如圖(c)(d)所示；四、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)2.撤去一個鉸支座或撤去一個單鉸，相當(dāng)于去掉二個聯(lián)系，如圖653.切斷一根梁式桿或去掉一個固定支座，相當(dāng)于去掉三個聯(lián)系，如圖(e)所示；四、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)3.切斷一根梁式桿或去掉一個固定支座，相當(dāng)于去掉三個聯(lián)系664.將一剛結(jié)點改為單鉸聯(lián)結(jié)成或?qū)⒁粋€固定支座改為固定鉸支座，相當(dāng)于去掉一個聯(lián)系，如圖(f)所示。對于同一個超靜定結(jié)構(gòu)，可用各種不同的方式去掉多余聯(lián)系而得到不同的靜定結(jié)構(gòu)。因此在力法計算中，同一結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)可有各種不同的形式。但應(yīng)注意，去掉多余聯(lián)系后基本結(jié)構(gòu)必須是幾何不變的。為了保證基本結(jié)構(gòu)的幾何不變性，結(jié)構(gòu)中的某些聯(lián)系是不能去掉的。四、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)4.將一剛結(jié)點改為單鉸聯(lián)結(jié)成或?qū)⒁粋€固定支座改為固定鉸支座67如圖(a)所示剛架，具有一個多余聯(lián)系。若將橫梁某處改為鉸接，即相當(dāng)于去掉一個聯(lián)系得到圖(b)所示靜定結(jié)構(gòu)；當(dāng)去掉B支座的水平鏈桿則得到圖(c)所示靜定結(jié)構(gòu)，它們都可作為基本結(jié)構(gòu)。但是，若去掉A支座的豎向鏈桿或B支座的豎向鏈桿，即成瞬變體系[圖(d)]所示，顯然是不允許的，當(dāng)然也就不能作為基本結(jié)構(gòu)。 四、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)如圖(a)所示剛架，具有一個多余聯(lián)系。若將橫梁某處68圖(a)所示超靜定結(jié)構(gòu)屬內(nèi)部超靜定結(jié)構(gòu)，因此，只能在結(jié)構(gòu)內(nèi)部去掉多余聯(lián)系得基本結(jié)構(gòu)，如(b)所示。四、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)圖(a)所示超靜定結(jié)構(gòu)屬內(nèi)部超靜定結(jié)構(gòu)，因此，只能69對于具有多個框格的結(jié)構(gòu)，按框格的數(shù)目來確定超靜定的次數(shù)是較方便的。一個封閉的無鉸框格，其超靜定次數(shù)等于3，故當(dāng)一個結(jié)構(gòu)有n個封閉無鉸框格時，其超靜定次數(shù)等于3n。如圖(a)所示結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)等于3x8=24。當(dāng)結(jié)構(gòu)的某些結(jié)點為鉸接時，則一個單鉸減少一個超靜定次數(shù)。圖(b)所示結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)等于3x8-5=19。四、超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)對于具有多個框格的結(jié)構(gòu)，按框格的數(shù)目來確定超靜定的次70五、力法典型方程用力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵在于根據(jù)位移條件建立力法的基本方程，以求解多余力。對于多次超靜定結(jié)構(gòu)，其計算原理與一次超靜定結(jié)構(gòu)完全相同。圖(a)所示為一個三次超靜定結(jié)構(gòu)，在荷載作用下結(jié)構(gòu)的變形如圖中虛線所示。用力法求解時，去掉支座C的三個多余聯(lián)系，并以相應(yīng)的多余力X1、X2和X3代替所去聯(lián)系的作用，則得到圖(b)所示的基本結(jié)構(gòu)上，也必須與原結(jié)構(gòu)變形相符，在C點處沿多余力X1、X2和X3方向的相應(yīng)位移

都應(yīng)等于零。五、力法典型方程用力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵在于根據(jù)71五、力法典型方程五、力法典型方程72根據(jù)疊加原理，可將基本結(jié)構(gòu)滿足的位移條件表示為：這就是求解多余力X1、X2和X3所要建立的力法方程其物理意義是：在基本結(jié)構(gòu)中，由于全部多余力和已知荷載的共同作用，在去掉多余聯(lián)系處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移相等五、力法典型方程根據(jù)疊加原理，可將基本結(jié)構(gòu)滿足的位移條件表示為：這就是求解73用同樣的分析方法，我們可以建立力法的一般方程。對于n次超靜定結(jié)構(gòu)，用力法計算時，可去掉n個多余聯(lián)系得到靜定的基本結(jié)構(gòu)，在去掉的n個多余聯(lián)系處代之以n個多余未知力。當(dāng)原結(jié)構(gòu)在去掉多余聯(lián)系處的位移為零時，相應(yīng)地也就有n個已知的位移條件：i=0(i=1,2,…,n)

據(jù)此可以建立n個關(guān)于求解多余力的方程五、力法典型方程用同樣的分析方法，我們可以建立力法的一般方程。對于74…………根據(jù)位移互等定理可知副系數(shù)五、力法典型方程…………根據(jù)位移互等定理可知副系數(shù)五、力法典型方程75該方程稱為力法的典型方程按前面求靜定結(jié)構(gòu)位移的方法求得典型方程中的系數(shù)和自由項后，即可解得多余力Xi。然后可按照靜定結(jié)構(gòu)的分析方法求得原結(jié)構(gòu)的全部反力和內(nèi)力?；虬聪率霪B加公式求出彎矩…再根據(jù)平衡條件可求得其剪力和軸力。五、力法典型方程該方程稱為力法的典型方程按前面求靜定結(jié)構(gòu)位移的方法求76六、力法的計算步驟和舉例力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的步驟去掉原結(jié)構(gòu)的多余聯(lián)系得到一個靜定的基本結(jié)構(gòu)，并以多余力代替相應(yīng)多余聯(lián)系的作用。2.建立力法典型方程。根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在多余力和原荷載的共同作用下，在去掉多余聯(lián)系處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移相同的位移條件，建立力法典型方程3.求系數(shù)和自由項4.解典型方程，求出多余未知力。5.繪出原結(jié)構(gòu)最后內(nèi)力圖。六、力法的計算步驟和舉例力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的步驟去掉原77例1：作圖(a)所示單跨超靜定梁的內(nèi)力圖。已知梁的EI、EA均為常數(shù)。

解：（1）確定超靜定次數(shù)，選取基本結(jié)構(gòu)三次超靜定梁，選取圖(b)所示的懸臂梁作為基本結(jié)構(gòu)。六、力法的計算步驟和舉例(2)建立力法方程

根據(jù)原結(jié)構(gòu)支座B處位移為零的條件，建立如下方程：

δ11X1+δ12X2+δ13X3+Δ1P=0

δ21X1+δ22X2+δ23X3+Δ2P=0

δ31X1+δ32X2+δ33X3+Δ3P=0例1：作圖(a)所示單跨超靜定梁的內(nèi)力圖。已知梁的EI、EA78

79(3)計算系數(shù)和自由項作荷載彎矩圖MP圖和單位彎矩圖M1圖、M2圖、M3圖，如圖(c)、(d)、(e)、(f)所示。利用圖乘法求得力法方程中各系數(shù)和自由項分別為

δ11=l3/3EIδ22=l/EI

δ33=l/EAδ12=δ21=-l2/2EI

δ13=δ31=δ23=δ32=0Δ1P=-ql4/8EIΔ2P=ql3/6EIΔ3P=0六、力法的計算步驟和舉例(3)計算系數(shù)和自由項作荷載彎矩圖MP圖和單位彎矩圖M1圖80六、力法的計算步驟和舉例(4)求多余未知力將以上各系數(shù)和自由項代入力法方程，得解得六、力法的計算步驟和舉例(4)求多余未知力將以上各系數(shù)81(5)作內(nèi)力圖

六、力法的計算步驟和舉例①作M圖：根據(jù)疊加公式

M=M1X1+M2X2+M3X3+MP

計算A、B兩端及跨中彎矩如下

MAB=-1/12ql2(上拉)

MBA=-1/12ql2(上拉)

M跨中=1/24ql2(下拉)(5)作內(nèi)力圖六、力法的計算步驟和舉例①作M圖：根82②作剪力圖根據(jù)已求出的桿端彎矩和荷載，畫AB梁的受力圖如圖所示。

六、力法的計算步驟和舉例由∑MA=0得

QBA=-ql/2

所以由∑Y=0得

QAB=ql/2因為AB梁受到均勻分布荷載，剪力圖應(yīng)為斜直線，如圖(h)所示。

六、力法的計算步驟和舉例由∑MA=0得因為AB83七、對稱性的利用用力法解算超靜定結(jié)構(gòu)時，結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)愈高，多余未知力就愈多，計算工作量也就愈大。但在實際的建筑結(jié)構(gòu)工程中，很多結(jié)構(gòu)是對稱的，我們可利用結(jié)構(gòu)的對稱性，適當(dāng)?shù)剡x取基本結(jié)構(gòu)，使力法典型方程中盡可能多的副系數(shù)等于零，從而使計算工作得到簡化。當(dāng)結(jié)構(gòu)的幾何形狀、支座情況、桿件的截面及彈性模量等均對稱于某一幾何軸線時，則稱此結(jié)構(gòu)為對稱結(jié)構(gòu)。七、對稱性的利用用力法解算超靜定結(jié)構(gòu)時，結(jié)構(gòu)的超靜定84如圖a所示剛架為對稱結(jié)構(gòu)，可選取圖b所示的基本結(jié)構(gòu)，即在對稱軸處切開，以多余未知力x1,x2,x3來代替所去掉的三個多余聯(lián)系。七、對稱性的利用如圖a所示剛架為對稱結(jié)構(gòu)，可選取圖b所以多余未知力x1,x85相應(yīng)的單位力彎矩圖如圖c,d,e所示，七、對稱性的利用相應(yīng)的單位力彎矩圖如圖c,d,e所示，七、對稱性的利用86其中x1和x2為對稱未知力；x3為反對稱的未知力，顯然1,2圖是對稱圖形；3是反對稱圖形。由圖形相乘可知：七、對稱性的利用其中x1和x2為對稱未知力；x3為反對稱的1,2圖是對稱87故力法典型方程簡化為由此可知，力法典型方程將分成兩組：一組只包含對稱的未知力，即x1,x2；另一組只包含反對稱的未知力x3。因此，解方程組的工作得到簡化。七、對稱性的利用故力法典型方程簡化為由此可知，力法典型方程將分成兩組：88非對稱的外荷載可分解為對稱的和反對稱的兩種情況的疊加（如圖f.a.b）＝＋七、對稱性的利用非對稱的外荷載可分解為對稱的和反對稱＝＋七、對稱性的利用89（1）外荷載對稱時，使基本結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎矩圖p是對稱的，則得從而得x3=0。這時只要計算對稱多余未知力x1和x2。七、對稱性的利用（1）外荷載對稱時，使基本結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎p是對稱的，則得從而得90（2）外荷載反對稱時，使基本結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎矩圖p是反對稱的，則得從而得X1=X2=0這時，只要計算反對稱的多余未知力X3..七、對稱性的利用（2）外荷載反對稱時，使基本結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎矩圖p是反對稱的91從上述分析可得到如下結(jié)論：a.在計算對稱結(jié)構(gòu)時，如果選取的多余未知力中一部分是對稱的，另一部分是反對稱的。則力法方程將分為兩組：一組只包含對稱未知力；另一組只包含反對稱未知力。b.結(jié)構(gòu)對稱，若外荷載不對稱時，可將外荷載分解為對稱荷載和反對稱荷載，而分別計算然后疊加。這時，在對稱荷載作用下，反對稱未知力為零，即只產(chǎn)生對稱內(nèi)力及變形；在反對稱荷載作用下，對稱未知力為零，即只產(chǎn)生反對稱內(nèi)力及變形。七、對稱性的利用從上述分析可得到如下結(jié)論：a.在計算對稱結(jié)構(gòu)時，如92例2:利用對稱性，計算圖(a)所示單跨超靜定梁，并繪最后彎矩圖。解：

（1）此結(jié)構(gòu)為三次超靜定梁，且結(jié)構(gòu)及荷載均為對稱，因此可以利用對稱性進行計算。圖(b)所示為半結(jié)構(gòu)。（2）