-.z.第五章多邊形的面積【知識(shí)梳理】平行四邊形的面積平行四邊形的面積=底×高用字母表示：s=ah變形式：平行四邊形的底=面積÷高〔a=s÷h)平行四邊形的高=面積÷底〔h=s÷a)要點(diǎn)提示：求平行四邊形的面積時(shí)，底和高要對(duì)應(yīng)。三角形的面積三角形的面積=底×高÷2用字母表示：s=ah÷2變形式：三角形的底=面積×2÷高〔a=2s÷h)三角形的高=面積×2÷底〔h=2s÷a)要點(diǎn)提示：①等底等高的三角形的面積相等。②等底等高的平行四邊形和三角形，三角形的面積是平行四邊形面積的一半。梯形的面積梯形的面積=〔上底+下底〕×高÷2用字母表示：s=〔a+b〕h÷2變形式：梯形的高=面積×2÷〔上底+下底)字母表示為：h=2s÷(a+b)梯形的上底=面積×2÷高-下底字母表示為：a=2s÷h-b梯形的下底=面積×2÷高-上底字母表示為：b=2s÷h-a要點(diǎn)提示：梯形的面積，求梯形的高或其中一個(gè)底，也可以用方程法解決。4.組合圖形的面積把求組合圖形的面積轉(zhuǎn)化成求幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形的面積的和或差。要點(diǎn)提示：求組合圖形的面積時(shí)，一定要分清是由哪些根本圖形組合而成的，再利用割補(bǔ)、剔除等方法求面積。估計(jì)不規(guī)則圖形的面積方法一：借助方格紙用數(shù)方格的方法進(jìn)展估計(jì)。方法二：根據(jù)圖形的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為近似的規(guī)則圖形來(lái)估計(jì)。要點(diǎn)提示：數(shù)方格時(shí)，先確定圖形的面積范圍，再估計(jì)它的面積。【診斷自測(cè)】填空題。3.8dm2=〔〕cm20.03公頃=〔〕平方米一個(gè)三角形的底是3.6米，高是2.5米，它的面積是〔〕平方米，和它等底等高的平行四邊形的面積是〔〕平方米。一個(gè)平行四邊形的高是12厘米，面積是96平方厘米，它的底是〔〕厘米。一個(gè)梯形的上底與下底的和是200cm，高是50cm，面積是〔〕m2。選擇?！?〕一個(gè)三角形的底不變，高擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，則它的面積〔〕。A.擴(kuò)大到原來(lái)的3倍B.縮小到原來(lái)的C.不變(2)如圖，甲三角形的面積是15cm2，則乙三角形的面積是〔〕cm2。A.27B.54C.45甲乙(3〕下面平行線間的三個(gè)圖形的面積相比，〔〕。5cm9cm41268A.三角形的面積最大B.梯形的面積最大C.一樣大3.判斷題。(1)三角形的底越長(zhǎng)，面積就越大?！病?2)周長(zhǎng)相等的兩個(gè)平行四邊形的面積相等。()(3)兩個(gè)完全一樣的梯形能拼成一個(gè)平行四邊形。()求以下圖形的面積?！矄挝唬豪迕住场?〕3435433(2)337377李奶奶在自家墻外用籬笆圍了一個(gè)梯形的花園，如下圖?；▓@一邊靠墻，籬笆全長(zhǎng)15.5米，這個(gè)花園的面積是多少平方米？3.5m3.5m6.一個(gè)三角形的面積是75平方厘米，高是7.5厘米，它的底是多少厘米？【考點(diǎn)突破】類(lèi)型一：平行四邊形、三角形、梯形的面積。17例1.求平行四邊形的面積?！矄挝唬篶m)AD1713.5B18C答案：s=ah=18×13.5=243(cm2)答：平行四邊形的面積的面積是243平方厘米。解析：底邊BC邊上的高長(zhǎng)13.5厘米，底邊CD邊上的高長(zhǎng)17厘米，計(jì)算平行四邊形的面積時(shí)，底和高一定要相對(duì)應(yīng)，所以應(yīng)選擇18×13.5。例2.在一塊底是90米，高是60米的平行四邊形地里種向日葵，如果平均每棵向日葵占地0.25平方米，則這塊地一共可以種多少棵向日葵？答案：90×60=5400〔平方米〕5400÷0.25=21600〔棵〕答：這塊地一共可以種21600棵向日葵。解析：先根據(jù)s=ah求出平行四邊形的面積，再根據(jù)"總面積÷一棵的占地面積=棵數(shù)〞求出種向日葵的棵數(shù)。例3.選擇。平行四邊形的底擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，高縮小到原來(lái)的，面積〔〕。A.擴(kuò)大到原來(lái)的2倍B.縮小到原來(lái)的C.擴(kuò)大到原來(lái)的4倍D.不變答案：D解析：平行四邊形的面積=底×高，〔底×2〕×〔高×〕=底×高×2×=底×高，面積不變。應(yīng)選D。例4.一塊三角形綠地的面積是13.5平方米，底是6米，高是多少米？答案：由s=ah÷2推導(dǎo)出h=2s÷a。h=2s÷a=2×13.5÷6=27÷6=4.5(m)答：高是4.5米。解析：可以先根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式s=ah÷2推導(dǎo)出h=2s÷a，再計(jì)算。例5.判斷。〔1〕三角形的面積等于平行四邊形面積的一半?！病场?〕三角形的底是7厘米，高是2厘米，面積是14平方厘米?！病炒鸢福骸?〕×〔2〕×解析：此題錯(cuò)在沒(méi)有強(qiáng)調(diào)三角形的底和高與平行四邊形的底和高分別相等這一條件。所以應(yīng)改為"三角形的面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半。〞〔2〕此題錯(cuò)在三角形的面積計(jì)算公式運(yùn)用錯(cuò)誤，忘記除以2了。所以應(yīng)改為"面積是7平方厘米。〞例6.以下圖中陰影局部的面積是10平方厘米，平行四邊形ABCD的面積是多少平方厘米？ADB4cm8cmC答案：10×2÷4=5(cm)(4+8)×5=60(cm2)解析：圖中陰影局部是一個(gè)三角形，它的面積和底。根據(jù)h=2s÷a可求出它的高，這個(gè)三角形的高也就是平行四邊形的高。再根據(jù)平行四邊形的面積計(jì)算公式，求出平行四邊形的面積。例7.如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是8厘米和4厘米，求陰影局部的面積是多少平方厘米？4cm8cm答案：方法一：剔除法。8×8+4×4=80(cm2)8×8÷2+(8+4)×4÷2=56(cm2)80-56=24(cm2)答：陰影局部的面積是24平方厘米。解析：先求出兩個(gè)正方形的面積和，再?gòu)闹袦p去空白局部〔兩個(gè)三角形〕的面積即為陰影局部的面積。方法二：分割法。4×4÷2=8(cm2)〔8-4〕×8÷2=16(cm2)8+16=24(cm2)答：陰影局部的面積是24平方厘米。解析：將陰影局部分割成兩個(gè)底和高的三角形，如圖，先分別求出兩個(gè)三角形的面積，再求出整個(gè)陰影局部的面積。例8.求圖中陰影局部的面積。4cm4cm28cm28cm8cm答案：28÷4=7〔cm)(4+8)×7÷2=42(cm2)答：陰影局部的面積是42平方厘米。解析：先根據(jù)"平行四邊形的高=面積÷底〞，求出平行四邊形的高，也就是梯形的高；再根據(jù)梯形的面積計(jì)算公式求出梯形面積，也就是陰影局部的面積。例9.如下圖，梯形的面積是90平方厘米，上底是10厘米，下底是20厘米，求陰影部分的面積。答案：90×2÷〔10+20〕=6〔厘米〕10×6÷2=30〔平方厘米〕答：陰影局部的面積是30平方厘米。解析：先根據(jù)"梯形的高=面積×2÷〔上底+下底〕〞，求出梯形的高；梯形的高也就是圖中兩個(gè)三角形的高，再根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式求出陰影三角形的面積。例10.如下圖，一個(gè)梯形上底是4厘米，下底是9厘米。①在梯形中畫(huà)出一條線段，把梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形。②分成的平行四邊形面積是24厘米2，分成的三角形面積是多少平方厘米？4cm9cm答案：①如右圖所示。②24÷4=6〔cm〕〔9-4〕×6÷2=15〔cm2〕答：分成的三角形的面積是15平方厘米。解析：先根據(jù)"平行四邊形的高=面積÷底〞，求出平行四邊形的高，也就梯形的高或分成的三角形的高；再根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式求出分成的三角形的面積。類(lèi)型二：組合圖形的面積。2例11.一塊鐵板的形狀如以下圖。在這塊鐵板的一面涂上油漆，涂油漆的面積是多少？〔單位：分米〕2410428答案：28×〔2+4+2〕=64〔平方分米〕24〔4+2+4+2〕×〔10-8〕÷2=12〔平方分米〕4464+12=76〔平方分米〕104答：涂油漆的面積是76平方分米。2解析：將這個(gè)圖形分成一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)梯形。8【易錯(cuò)精選】1.判斷?！?〕3cm4cm,這個(gè)平行四邊形的面積是5×4=20〔cm2)?！病?cm〔2〕面積相等的兩個(gè)三角形一定等底等高?！病尺x擇。對(duì)"拉動(dòng)一個(gè)長(zhǎng)方形木框的一角，木框就變成了平行四邊形〞這一現(xiàn)象的描述，說(shuō)法不正確的選項(xiàng)是〔〕A.長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和平行四邊形的周長(zhǎng)相等。B.長(zhǎng)方形的面積和平行四邊形的面積相等。C.長(zhǎng)方形的面積大于平行四邊形的面積。填空。三角形的底擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，高擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，面積就擴(kuò)大到原來(lái)的〔〕倍。一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3厘米、4厘米和5厘米，求這個(gè)直角三角形的面積。5cm5cm3cm4cm5.以下圖是一個(gè)平行四邊形，一條邊上的高是5厘米，它的面積是多少平方厘米？4cm6cm【精華提煉】計(jì)算平行四邊形的面積時(shí)，底和高一定要相對(duì)應(yīng)。平行四邊形的面積與它的底和高有關(guān)，底擴(kuò)大到原來(lái)的n倍〔n≠0),高縮小到原來(lái)的，面積不變。3.等底等高的三角形的面積相等。3.三角形的面積和高〔或底〕求底〔或高〕，底〔或高〕=三角形的面積×2÷高〔或底〕。4.平行四邊形的面積等于與它等底等高的三角形面積的2倍。5.兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形。兩個(gè)完全一樣的梯形能拼成一個(gè)平行四邊形?！颈竟?jié)訓(xùn)練】訓(xùn)練【1】1.將一個(gè)底邊BC長(zhǎng)16厘米的直角三角形ABC向右平移6厘米，再向下平移1.5厘米，得到一個(gè)圖形〔如以下圖〕，求陰影局部的面積。ABC訓(xùn)練【2】如下圖，求平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是多少？〔單位：cm〕AD1.51.21.61.51.21.6BC訓(xùn)練【3】以下4個(gè)平行四邊形完全一樣，圖形中的陰影局部相比擬，〔〕。A.甲的陰影局部面積大B.乙的陰影局部面積大C.丙的陰影局部面積大D.丁的陰影局部面積大E.甲、乙、丙、丁的陰影局部面積同樣大甲乙丙丁訓(xùn)練【4】如圖，在一塊長(zhǎng)方形的草坪中間有兩條寬為2米的路，一條是平行四邊形，一條是長(zhǎng)方形，草坪長(zhǎng)16米，寬10米，求草坪的面積。根底穩(wěn)固填空。1.1200cm2=()m20.3m2=()dm2一個(gè)三角形的底是8米，高是3.4米，它的面積是〔〕米2。一個(gè)平行四邊形的面積是3.8cm2,與它等底等高的三角形的面積是〔〕cm2。一個(gè)直角梯形的上底、下底和直角腰的和是25m，直角腰是5m，面積是〔〕m2。一個(gè)梯形的面積是645cm2,如果它的上底增加10cm，下底減少10cm，則它的面積是〔〕cm2.。右圖中直角三角形斜邊上的高是〔〕厘米。4cm5cm3cm二、選擇。把一個(gè)平行四邊形的木框架拉成長(zhǎng)方形，〔〕。A.面積不變，周長(zhǎng)不變。B.面積變小，周長(zhǎng)變大。C.面積變小，周長(zhǎng)不變。D.面積變大，周長(zhǎng)不變。右圖中，平行四邊形的面積是24平方厘米，則陰影局部的面積是〔〕。A.24B.12C.48D.6以下圖中，與涂色的三角形面積相等的三角形有〔〕個(gè)。A.1B.2C.3D.4比擬圖中陰影局部面積的大小，〔〕。A.甲=乙B.甲>乙甲乙C.甲<乙D.無(wú)法比擬判斷。一個(gè)三角形的面積是3.5平方厘米，高是0.35厘米，它的底是10厘米。()兩個(gè)完全一樣的直角三角形可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。〔〕任意一個(gè)平行四邊形都可以分成兩個(gè)大小和形狀都一樣的梯形?！病巢僮黝}。下面的方格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都代表1cm，請(qǐng)你畫(huà)出兩個(gè)形狀不同但面積都是12cm2的三角形。計(jì)算以下圖中陰影局部的面積。1.5m3m2.(單位：厘米〕66843.如圖，E、F分別是平行四邊形ABCD上、下兩邊的中點(diǎn)，連接CE、AF。如果平行四邊形ABCD的面積是58平方分米。求平行四邊形AFCE的面積。AEDBFC4.右圖有一個(gè)正方形和一個(gè)長(zhǎng)方形。條件如下圖〔圖中單位：厘米〕，求涂色梯形的面積。1.51.21解決問(wèn)題。如下圖是一塊麥田〔圖中實(shí)線圍成的局部〕。它的面積大約是多少平方米？21.6m21.6m45m如圖，一塊長(zhǎng)方形綠地中有一條彎曲的小路，準(zhǔn)備在小路的兩側(cè)鋪上草坪。計(jì)算草坪的面積是多少平方米？〔圖中單位：米〕2883030有一段底長(zhǎng)130米、寬5米的平行四邊形的公路，穿過(guò)一塊長(zhǎng)133米、寬50米的長(zhǎng)方形麥田。如以下圖所示〔圖中單位：米〕。剩余局部的麥田的面積是多少平方米？501305131204.一個(gè)平行四邊形，底增加4厘米后，面積增加40平方厘米；高增加1厘米后，面積增加15平方厘米，求原平行四邊形的面積是多少平方厘米？一堆木頭整齊地堆放在地上，最下面一層有15根，最上面一層有8根，每相鄰的兩層中下面的一層都比上面的一層多一根。這堆木頭一共有多少根？10080100806040200如以下圖AD=7cm，BC=13cm，右邊三角形和左邊梯形的面積相等，求三角形的底BE是多少？ADBEC2.右圖是由兩個(gè)正方形拼成的圖形，其中小正方形的邊長(zhǎng)是4厘米，求陰影局部的面積。GFADHBCEBCE3.如圖，把一個(gè)組合圖形分成三塊，分別用A、B、C代表，求A塊比B塊大多少平方米？〔單位：厘米〕BC50A50304.如圖，在梯形中，a，b的面積分別為4厘米和8厘米，則梯形的面積是多少平方厘米？dbacb5.一個(gè)凸六邊形ABCDEF，P、Q、M、N分別為AB、BC、DE和EF邊上的中點(diǎn)。陰影部分的面積是100平方厘米，則六邊形ABCDEF的面積是多少平方厘米？NAFNPEPEMMQBQCD參考答案【診斷自測(cè)】〔1〕380300〔2〕4.59〔3〕8〔4〕0.5〔1〕A(2)A(3)C〔1〕×〔2〕×〔3〕√4.(1)5×3+4×3÷2(2)(3+7)×(7-3)÷2+7×3=15+6=10×4÷2+21=21(cm2)=20+21答：它的面積是21cm2。=41(cm2)答：它的面積是41cm2?！病场?.5÷2=12×3.5÷2=21〔平方米〕答：這個(gè)花園的面積是21平方米。75×2÷7.5=20〔厘米〕答：它的底是20厘米?！疽族e(cuò)精選】1.〔1〕答案：×解析：平行四邊形的面積=底×高，不能用兩條鄰邊相乘。應(yīng)改為"5×3=15〔cm2)〞?！?〕答案：×解析：等底等高的三角形面積一定相等，但面積相等的三角形不一定等底等高。答案：B解析："拉動(dòng)一個(gè)長(zhǎng)方形木框的一角，木框就變成了平行四邊形〞，平行四邊形相鄰兩邊也就長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，所以周長(zhǎng)沒(méi)有發(fā)生變化；長(zhǎng)方形變成平行四邊形后，高小于長(zhǎng)方形的寬〔如右圖所示〕，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式和平行四邊形的面積公式可知，面積比原來(lái)小了。應(yīng)選B。寬高答案：6解析：原來(lái)三角形的面積=底×高÷2，新三角形的面積=〔底×2〕×〔高×3〕÷2=6×底×高÷2。故面積擴(kuò)大到原來(lái)的6倍。答案：3×4÷2=6〔平方厘米〕答：這個(gè)直角三角形的面積是6平方厘米。解析：直角三角形兩條直角邊互相垂直，所以假設(shè)把一條直角邊做底，另一條直角邊就是這個(gè)底邊上的高，所以直角三角形的面積=一條直角邊的長(zhǎng)×另一條直角邊的長(zhǎng)÷2。直角三角形中較短的兩邊為直角邊。所以取3和4的乘積再除以2。答案：4×5=20〔平方厘米〕答：這個(gè)直角三角形的面積是20平方厘米。解析：首先確定5厘米的高是哪一條邊上的高，根據(jù)直角三角形中斜邊大于直角邊，所以5厘米的高不可能是6厘米這條邊的高。所以4厘米的底邊上的高是5厘米，所以這個(gè)平行四邊形的面積為4×5=20〔平方厘米〕。【本節(jié)訓(xùn)練】訓(xùn)練【1】1.答案：s=(a+b)h÷2=〔16-6+16〕×1.5÷2①②=26×1.5÷2③=19.5(平方厘米〕答：陰影局部的面積是19.5平方厘米。解析：根據(jù)題意可知①的面積+②的面積=③的面積+②的面積，陰影局部的面積等于圖中白色梯形的面積，所以可根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù)計(jì)算白色梯形的面積。白色梯形的上底等于BC的長(zhǎng)減去向右移動(dòng)的6厘米，下底是BC的長(zhǎng)，高是向下移動(dòng)的1.5厘米。訓(xùn)練【2】答案：1.5×1.6=2.4〔厘米2〕2.4÷1.2=2〔厘米〕〔1.5+2〕×2=7〔厘米〕答：平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是7厘米。解析：平行四邊形的周長(zhǎng)是相鄰兩邊長(zhǎng)度和的2倍，一條邊長(zhǎng)1.5厘米，所以要先求出與1.5厘米相鄰的一邊的長(zhǎng)。先根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)求出平行四邊形的面積，即1.5×1.6=2.4〔平方厘米〕；再根據(jù)"平行四邊形的底=面積÷高〞求出與1.5厘米相鄰的一邊的長(zhǎng)，即2.4÷1.2=2〔厘米〕；最后求出平行四邊形的周長(zhǎng)，即〔1.5+2〕×2=7〔厘米〕。訓(xùn)練【3】3.答案：E解析：4個(gè)平行四邊形的面積相等，陰影局部各占每個(gè)平行四邊形的一半，所以四個(gè)圖中陰影局部的面積相等。訓(xùn)練【4】答案：16×10=160〔平方米〕16×2+10×2-2×2=48〔平方米〕160-48=112〔平方米〕答：草坪的面積是112平方米。解析：草坪的面積等于長(zhǎng)方形的面積減空白局部的面積?？瞻拙植康拿娣e=白色長(zhǎng)方形的面積+白色平行四邊形的面積-底、高都為2米的平行四邊形的面積〔如上圖〕。根底穩(wěn)固答案：一、1.0.12302.13.63.1.94.505.6456.2.4二、1.D2.D3.C4.A三、1.×2.√3.√四、五、1.〔5-3〕×5÷2=5〔m2)答：陰影局部的面積是5m2。2.8×6÷2=24〔cm2)答：陰影局部的面積是5m2。3.58÷2=29(平方分米〕答：平行四邊形AFCE的面積的面積是29平方分米。(1+1.2)×1.5÷2=2.2×1.5÷2=1.65〔平方厘米〕答：涂色梯形的面積1.65平方厘米。六、1.45×21.6=972〔平方米〕答：它的面積大約是972平方米。2.30×8=240〔平方米〕2×8=16〔平方米〕240-16=224〔平方米〕答：草坪的面積是224平方米。3.120×50×2=12000〔平方米〕答：剩余局部的麥田的面積是12000平方米。4.40÷4=10〔cm)15÷1=15(cm)15×10=150(cm2)答：原平行四邊形的面積是150平方厘米。15-8+1=8〔層〕〔8+15