第九章隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念隨機過程的有限維分布函數(shù)族隨機過程的數(shù)字特征特殊的隨機過程及性質(zhì)泊松過程和維納過程§9.1基本概念例1、1mol氧氣注入密封的圓柱形容器中（中間插入網(wǎng)形隔板），注入的起始時刻令t=0，問[0,1]中任一時刻左邊含有的氧分子數(shù)。

令t時刻左邊含有的氧分子數(shù)為X(t)，則在每一個時刻t，X(t)為隨機變量，且X(0.1)與X(0.2)顯然不獨立。稱{X(t),t∈T}為隨機過程，T稱為參數(shù)集。隨機過程的例子以X(t)表示某電話交換臺在時間段[0,t]內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，則{X(t)，t∈[0,∞)}是隨機過程；以X(t)表示某地區(qū)第t天的最高氣溫，則{X(t)，t=0,1,…}是隨機過程；以X(t)表示某固定點處在時刻t的海面相對于平均海平面的高度，則{X(t)，t∈[0,∞)}是隨機過程；X(t)=acos(ωt+Θ)，t∈（-∞,∞)，其中a，ω是常數(shù)，Θ是隨機變量。則{X(t)，t∈（-∞,∞)}是隨機過程令t在T中變動，得到依賴于t的一族隨機變量，則稱為隨機過程。記為{X(t),t∈T}，或X(t),X(ω,t)（隨機過程即為定義在同一個Ω上的無窮多個隨機變量的集合族。）注：①T:參數(shù)集；t:參數(shù)（一般為時間，也可以是其余的參數(shù)）；Ω:樣本空間。故隨機過程{X(t),t∈T}由t和ω決定。②T可以是離散、可列地取值，如T={1,2,…}，稱為具有離散參數(shù)的隨機過程（隨機序列）；T也可以是某一有限區(qū)間或無限區(qū)間，如T＝[a,b]，T=[0,+∞)，稱為具有連續(xù)參數(shù)的隨機過程。③參數(shù)t固定為t0，則X(ω,t0)為一隨機變量，稱為過程在t0時刻的狀態(tài)；故隨t變化的隨機變量的集合族即為一隨機過程。固定t0∈T，I={X(ω0,t0)|任意ω0∈Ω}稱為狀態(tài)空間（所有狀態(tài)的集合）；根據(jù)X(ω,t0)離散（連續(xù)），I稱為離散（連續(xù)）狀態(tài)空間。④固定ω0,{X(ω0,t),t∈T}是t普通的函數(shù)，稱為隨機過程對應(yīng)于試驗結(jié)果ω0的一個樣本函數(shù)（一個實現(xiàn)，一個軌跡）。

所有的軌跡放在一起即為隨機過程，這種定義在理論上比較有用；但在實際的認識中我們是在每個時刻t去認識隨機過程，故用統(tǒng)計的方式處理。⑤隨機過程的分類按參數(shù)T和狀態(tài)空間I分類（1）T和I都是離散的（2）T是連續(xù)的，I是離散的（3）T是離散的，I是連續(xù)的（4）T和I都是連續(xù)的按Xt的概率特性分類正交增量過程獨立增量過程馬爾可夫過程平穩(wěn)隨機過程§9.2隨機過程的有限維分布函數(shù)族定義1：定義2：定義3：稱為隨機過程的有限維分布函數(shù)族。例1、設(shè)隨機序列Xn=Sn,(n=1,2,…)，其中S是在[0,1]區(qū)間上服從均勻分布的隨機變量，求{Xn,n≥1}的一維分布密度函數(shù)族。（書上例9.2.1）例2、已知隨機過程求：§9.3隨機過程的數(shù)字特征定義1：定義2：計算公式：注：①隨機過程{X(t),t∈T}，t固定時X(t)即為隨機變量，故概率論中求數(shù)字特征的方法，全部可以用來求隨機過程中相應(yīng)的數(shù)字特征（包括數(shù)字特征的性質(zhì)）。③隨機過程加普通函數(shù)不改變協(xié)方差函數(shù)。（（書上例9.3.6））②{X(t),t∈T}中均方值函數(shù)存在，其協(xié)方差函數(shù)一定存在。（書上例9.3.7）例1

設(shè)X(t)=Ycos(t)+Zsin(t),

t>0，Y,Z相互獨立，EY=EZ=0，DY=DZ=2。求{X(t),t>0}的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。解

例

2

設(shè)X(t)=Y+Zt,

t>0，Y,ZN(0,1)求{X(t),t>0}的一、二維概率密度族。解因Y,Z為正態(tài)隨機變量，則其線性組合X(t)也是正態(tài)隨機變量，X(t)～N(0,1+t2)

隨機過程{X(t),t>0}的一維概率密度故隨機過程{X(t),t>0}的二維概率密度為§9.4特殊的隨機過程⒈二階矩過程：設(shè){X(t),t∈T}為一隨機過程，若任意t∈T,二階矩存在，即EX2(t)<+∞，則稱{X(t),t∈T}為二階矩過程。⒉正態(tài)過程：設(shè){X(t),t∈T}為一隨機過程,若

X(t)的任一有限維分布均為正態(tài)分布，則稱{X(t),t∈T}為正態(tài)過程（特殊的二階矩過程）例1：設(shè)隨機過程其中A,B是相互獨立同服從正態(tài)分布N(0,σ2)的隨機變量，ω是常數(shù)，證明：X(t)是正態(tài)隨機過程。⒊獨立增量過程：設(shè){X(t),t∈T}為一隨機過程，⒋齊次增量過程：設(shè){X(t),t∈T}為一隨機過程，特殊：當(dāng){X(t),t∈T}為獨立增量過程時稱為齊次獨立增量過程。⒌馬爾可夫過程：設(shè){X(t),t∈T}為一隨機過程，具有馬爾可夫性的隨機過程稱為馬爾可夫過程。例2、Xn，n=1,2,…是獨立同分布的隨機變量序列，稱其部分和序列為和過程，證明和過程{Sn}，n=1,2,…是齊次獨立增量過程。⒍獨立增量過程的性質(zhì)：{X(t),t∈T}是一個獨立增量過程，t0是T的起點，定義Y(t)=X(t)-X(t0)，則Y(t)也是一個獨立增量過程，而且與X(t)有著完全相同的增量規(guī)律，且P(Y(t0)=0)=1;所以，一般的，對于獨立增量過程{X(t),t∈T}，若T={t|t≥0}，我們假設(shè)P(X(0)=0)=1。定理1：設(shè){X(t),t≥0}是一個獨立增量過程，在P(X(0)=0)=1的條件下，X(t)的任意有限維分布函數(shù)族可以由增量X(t)-X(s)(0<s<t)的分布來唯一確定。定理2：設(shè){X(t),t≥0}是一個獨立增量過程，其均值函數(shù)和方差函數(shù)存在，則在P(X(0)=0)=1條件下，X(t)的協(xié)方差函數(shù)如：例2中Xn，n=1,2,…是獨立同分布且方差為σ2的隨機變量序列，則其和過程的協(xié)方差函數(shù)例2、Xn，n=1,2,…是獨立同分布的隨機變量序列，稱其部分和序列為和過程，證明和過程{Sn}，n=1,2,…是齊次獨立增量過程?！?.5泊松過程和維納過程一、維納過程定義：設(shè)隨機過程{W(t),t≥0}，若滿足如下條件，則稱W(t)為維納過程：(1)

W(0)=0；(2)

W(t)是齊次獨立增量過程；(3)(4)任給t≥0，EW(t)=0。性質(zhì)：(1)W(t)為正態(tài)過程，其一維分布為正態(tài)分布。(2)

二、泊松過程1.概念定義：設(shè){N(t),t≥0}表示[0,t]時間內(nèi)隨機點發(fā)生的數(shù)目，如果N(t)具有以下性質(zhì)，則稱{N(t),t≥0}是一個到達強度為λ(λ>0)的泊松過程。(1)齊次性：

以{N(t0,t0+t)=k}表示“在(t0,t0+t]發(fā)生k個隨機點”這一事件，則Pk(t)=P(N(t0,t0+t)=k)(k=0,1,2,…)只與時間區(qū)間長度t有關(guān)，而與起始點無關(guān)。(2)獨立增量性（無后效性）：

在任意的n個互不相交的時間區(qū)間(ai,bi](i=1,2,…)中，各自發(fā)生的隨機點數(shù)是相互獨立的，即：若第i個區(qū)間(ai,bi]有ki個隨機點出現(xiàn)，則事件{N(ai,bi)=ki}(i=1,2,…)獨立。(3)普通性：在一瞬間最多出現(xiàn)一個隨機點；則(4)

P(N(0)=0)=1（非本質(zhì)性質(zhì)）若記2.性質(zhì)（有限維分布及數(shù)字特征）(1)設(shè){N(t),t≥0}是一個強度為λ的泊松過程，則N(t)的一維分布是參數(shù)為λt的泊松分布，即N(t)~P(λt)。

mN(t)=

λt；

DN(t)=

λt；

CN(s,t)=

λ·min{s,t}(3)設(shè){N(t),t≥0}是一個強度為λ的泊松過程，則增量N(t)-N(s)（參數(shù)t>s≥0）的分布是參數(shù)為λ(t-s)的泊松分布，即

N(t)-N(s)~P(λ(t-s))。(4)設(shè){N(t),t≥0}是一個強度為λ的泊松過程，求N(t)的二維分布。3.間隔時間的分布例：設(shè){N(t),