常微分方程初值問題的數(shù)值解法制作人：趙文波常微分方程初值問題的數(shù)值解法制作人：趙文波11引言一般的一階常微分方程初值問題

y`=f(t,y),a≤t≤b y(a)=η(1.1)定理一 如果f(t,y)在帶形區(qū)域內R={(t,y

)|a≤t≤b,-∞≤u≤+∞}中連續(xù)，且關于y滿足Lipschitz條件：存在常數(shù)L，使得|f(t,y1)–f(t,y2)|≤L|y1-y2| (1.2)定理二

如果f(t,y)在R={(t,y)|a≤t≤b,-∞≤u≤+∞}中連續(xù)，且關于y滿足Lipschitz條件，那么初值問題是適定的

(1.3)1引言一般的一階常微分方程初值問題 22離散變量和離散誤差離散化過程：把初值為(1.1)的精確解y(t)在一系列的離散點：t1,t2,……

tN處的近似值y1y2……yN用y(tn)表示在t=tn

處的近似值，n=1,2,……N.離散化方法 1.差商代替導數(shù)的方法 2.Taylor級數(shù)法誤差 1.局部離散誤差

2.局部截斷誤差

3.整體離散誤差2離散變量和離散誤差離散化過程：把初值為(1.1)的精確解33單步法單步法的一般形式 顯式方法：

yn+1=yn+hФ(tn,yn,h),n=0,1,2,…N-1, y0=η,(3.1)

或 隱式方法：

yn+1=yn+hФ(tn,yn,yn+1,h),n=0,1,2,…N-1, y0=η,(3.2)

Ф為增量函數(shù)，N是正整數(shù)，h=(b-a)/N3單步法單步法的一般形式4Euler法算法10.1

y`=f(t,y),a≤t≤b；y(a)=ηInput端點a,b;區(qū)間等分數(shù)N，初值ηOuputy(t)在t的N個點處的近似值Step1h←(b-a)/N;t←a;y←η.Step2For

i=1,2,…,NdoStep3-4

Step3y←y+hf(t,y); t←a+ih. Step4Output(t,y).Step5return.Euler法算法10.15改進的Euler法解初值問題的梯形計算公式

yn+1=yn+(h/2)[f(tn,yn)+f(tn+1,yn+1)],n=0,1,2,…N-1 (3.8) y0=η; h=(b-a)/N

局部離散誤差為Rn=-(h3/12)y```(ξn) y(0)n+1=yn+hf(tn,yn), yn+1=(1/2)[y(0)n+1+yn+hf(tn+1,y(0)n+1

)] n=0,1,2,…N-1(3.10)改進的Euler法解初值問題的梯形計算公式6二階Runge-Kutta方法二階Runge-Kutta方法7m階Runge-Kutta顯式方法m階Runge-Kutta顯式方法8Richardson外推法Richardson外推法94單步法的相容性和穩(wěn)定性相容性收斂性穩(wěn)定性4單步法的相容性和穩(wěn)定性相容性104.1相容性單步法的一般形式

yn+1=yn+hФ(tn,yn,h),n=0,1,2,…N-1, y0=η,(4.1)定義1 Ф(t,y,0)=f(t,y)(4.3) 成立，則稱單步法與微分初值問題(1.1)相容，(4.3)為相容條件。定理一假設Ф(t,y,0)關于h是連續(xù)的，若單步法與微分初值問題(1.1)相容，則它至少是一階方法。4.1相容性單步法的一般形式114.2收斂性定義2假設微分方程(1.1)的右端函數(shù)f(t,y)在帶形區(qū)域內R={(t,y)|a≤t≤b,-∞≤u≤+∞}中連續(xù)，且關于y滿足Lipschitz條件。若對所有的t∈[a,b],limh→0tn=t固定yn=y(t)則稱單步法是收斂的。

定理2若Ф(t,y,h)對于a≤t≤b,0≤h≤h0以及一切實數(shù)y，關于t,y,h滿足Lipschitz條件，則單步法(4.1)收斂的充分必要條件是相容條件成立，即Ф(t,y,0)=f(t,y).4.2收斂性定義2假設微分方程(1.1)的右端函數(shù)12定理3在定理2的假設下，單步法(4.1)的局部離散誤差滿足(4.13),則其整體離散誤差誤差εn=y(tn)-yn滿足估計式 |εn|≤eL(b-a)|ε0|+hpM(eL(b-a)–1)/L L是Ф(t,y,h)關于y滿足Lipschitz條件的Lipschitz常數(shù)。定理3在定理2的假設下，單步法(4.1)的局部離散誤差滿134.3穩(wěn)定性定義3如果存在常數(shù)h0及C,使得對任意的初始值y0,y0`,單步法(4.1)的相應的精確解yn,yn`,對所有的0<h≤h0,恒有 |yn-yn`

|≤C|y0-y0`|,nh≤b-a,則說單步法(4.1)是穩(wěn)定。定理4若Ф(t,y,h)對于a≤t≤b,0≤h≤h0以及一切實數(shù)y，關于t,y,h滿足Lipschitz條件，則單步法(4.1)是穩(wěn)定的。4.3穩(wěn)定性定義3如果存在常數(shù)h0及C,使得對任意的初始值14定義4對給定的微分方程和給定的步長h，若有單步法（顯式或隱式）計算yn時有大小為δ的誤差，即計算得yn`=yn+δ,而引起其后值ym(m>n)的變化小于δ(|ym-ym`

|<|δ|),則說單步法是絕對穩(wěn)定的。 一般限于y`=μy(4.20)

考慮數(shù)值方法的絕對穩(wěn)定性，μ為復常數(shù)，若對于所有μh∈(α,β),單步法都絕對穩(wěn)定，稱(α,β)為絕對穩(wěn)定區(qū)間。定義4對給定的微分方程和給定的步長h，若有單步法（顯式或155多步法5多步法165.1線性多步法

y`=f(t,y),a≤t≤b y(a)=η(1.1)線性k步法的一般公式

5.1線性多步法 y`=f(t,y),a≤t≤175.2Adams方法顯式Adams方法隱式Adams方法5.2Adams方法顯式Adams方法185.3預測-校正方法y(0)n+1=yn+hf(tn,yn)(5.20)

yn+1=(1/2)[y(0)n+1+yn+hf(tn+1,y(0)n+1

)](5.21)

n=0,1,2,…N-1;y0=η(5.20)起預測yn+1

的作用，(5.21)起校正作用。 記f(i)n=f(tn,y(i)n).用P表預測過程，C表校正過程，E表計算f的過程 P:y(0)n+1=yn+hfn,

E:f(0)n+1=f(tn+1,y(0)n+1) C:yn+1=yn+(h/2)(fn+f(0)n+1)

E:fn+1=f(tn+1,yn+1)5.3預測-校正方法y(0)n+1=yn+hf(t19 重復迭代P,E,Ct次可提高精度。 通常，把Adams隱式和

顯式方法聯(lián)合使用，構成預測-校正方法。 預測公式： y(0)n+1=yn+h[βk0fn+βk1fn-1+…+βkkfn-k) 校正公式：

y(i+1)n+1=yn+h[β*k0fn+β*k1fn-1+…+β*kkfn-k) 重復迭代P,E,Ct次可提高精度。205.4Hamming方法Milne方法建立線性多步法的待定系數(shù)法Hamming方法5.4Hamming方法Milne方法217線性多步法的相容性、收斂性和穩(wěn)定性定義1若求解初值問題(1.1)的線性k步法(5.1)至少是一階方法，則稱他們是相容的。 記ρ(λ)=

αkλk+αk-1λk-1+…+α1λ

+α0，

σ(λ)=βkλk+βk-1λk-1+…+β1λ

+β0。 他們由線性k步法(5.1)完全確定。反之，若給定了ρ(λ)和σ(λ)，則他們唯一確定一個線性k步法。我們稱ρ(λ)為線性k步法(5.1)的特征多項式。定理1線性k步法(5.1)相容的充分必要條件是

ρ(1)=0，ρ`(1)=σ(1)，7線性多步法的相容性、收斂性和穩(wěn)定性定義1若求解初值問題(227.2收斂性定義2假設f(t,y)在R={(t,y)|a≤t≤b,-∞≤u≤+∞}中連續(xù)，且關于y滿足Lipschitz條件。若對任意的t∈[a,b],但t→0,而a+nh=tn=t固定時，(5.1)的解yn收斂于問題(1.1)的解y(t)，則說線性k步法(5.1)是收斂的。定理2若線性k步法(5.1)是收斂，則必相容。7.2收斂性定義2假設f(t,y)在R={(t,y)|a237.3穩(wěn)定性定義3若f(t,y)在R={(t,y)|a≤t≤b,-∞≤u≤+∞}中連續(xù)，且關于y滿足Lipschitz條件。若存在正常數(shù)C和h0，使得當0<h<h0

時線性k步法(5.1)的任意兩個yn和yn`滿足不等式 maxnh

≤(b-a)|yn-yn`|≤CM0

其中M0=max0≤i≤k-1|yi-yi`|那么說線性k步法(5.1)是穩(wěn)定的。引理若k為非負整數(shù)，數(shù)列

{εn}滿足遞推不等式 |εn|≤β+αh(ε0+ε1+…εn-1),n=k,k+1,…nh≤(b-a),

其中0≤

α，β,M0=max0≤i≤k-1|εi|, 則|εn|≤eα(b-a)(β+αhkM0),n=k,k+1,…nh≤(b-a)7.3穩(wěn)定性定義3若f(t,y)在R={(t,y)|a24定理3線性k步法(5.1)穩(wěn)定的充分必要條件是ρ(λ)滿足特征根條件：ρ(λ)的所有根都在單位圓上，且在在單位圓上的根只能是單重根。定理4若線性k步法(5.1)收斂，則必穩(wěn)定。定理5若線性k步法(5.1)相容且穩(wěn)定，則必收斂穩(wěn)定。定理3線性k步法(5.1)穩(wěn)定的充分必要條件是ρ(λ)滿257.4絕對穩(wěn)定性定義4對給定的μ,h,若特征方程(7.24)的所有根的模都<1，則稱線性k步法(7.23)絕對穩(wěn)定。若對所有μh∈(α,β),(7.23)都絕對穩(wěn)定，則說(α,β)為絕對穩(wěn)定區(qū)間。εε

ε

αβρσ7.4絕對穩(wěn)定性定義4對給定的μ,h,若特征方程(7.26常微分方程初值問題的數(shù)值解法制作人：趙文波常微分方程初值問題的數(shù)值解法制作人：趙文波271引言一般的一階常微分方程初值問題

y`=f(t,y),a≤t≤b y(a)=η(1.1)定理一 如果f(t,y)在帶形區(qū)域內R={(t,y

)|a≤t≤b,-∞≤u≤+∞}中連續(xù)，且關于y滿足Lipschitz條件：存在常數(shù)L，使得|f(t,y1)–f(t,y2)|≤L|y1-y2| (1.2)定理二

如果f(t,y)在R={(t,y)|a≤t≤b,-∞≤u≤+∞}中連續(xù)，且關于y滿足Lipschitz條件，那么初值問題是適定的

(1.3)1引言一般的一階常微分方程初值問題 282離散變量和離散誤差離散化過程：把初值為(1.1)的精確解y(t)在一系列的離散點：t1,t2,……

tN處的近似值y1y2……yN用y(tn)表示在t=tn

處的近似值，n=1,2,……N.離散化方法 1.差商代替導數(shù)的方法 2.Taylor級數(shù)法誤差 1.局部離散誤差

2.局部截斷誤差

3.整體離散誤差2離散變量和離散誤差離散化過程：把初值為(1.1)的精確解293單步法單步法的一般形式 顯式方法：

yn+1=yn+hФ(tn,yn,h),n=0,1,2,…N-1, y0=η,(3.1)

或 隱式方法：

yn+1=yn+hФ(tn,yn,yn+1,h),n=0,1,2,…N-1, y0=η,(3.2)

Ф為增量函數(shù)，N是正整數(shù)，h=(b-a)/N3單步法單步法的一般形式30Euler法算法10.1

y`=f(t,y),a≤t≤b；y(a)=ηInput端點a,b;區(qū)間等分數(shù)N，初值ηOuputy(t)在t的N個點處的近似值Step1h←(b-a)/N;t←a;y←η.Step2For

i=1,2,…,NdoStep3-4

Step3y←y+hf(t,y); t←a+ih. Step4Output(t,y).Step5return.Euler法算法10.131改進的Euler法解初值問題的梯形計算公式

yn+1=yn+(h/2)[f(tn,yn)+f(tn+1,yn+1)],n=0,1,2,…N-1 (3.8) y0=η; h=(b-a)/N

局部離散誤差為Rn=-(h3/12)y```(ξn) y(0)n+1=yn+hf(tn,yn), yn+1=(1/2)[y(0)n+1+yn+hf(tn+1,y(0)n+1

)] n=0,1,2,…N-1(3.10)改進的Euler法解初值問題的梯形計算公式32二階Runge-Kutta方法二階Runge-Kutta方法33m階Runge-Kutta顯式方法m階Runge-Kutta顯式方法34Richardson外推法Richardson外推法354單步法的相容性和穩(wěn)定性相容性收斂性穩(wěn)定性4單步法的相容性和穩(wěn)定性相容性364.1相容性單步法的一般形式

yn+1=yn+hФ(tn,yn,h),n=0,1,2,…N-1, y0=η,(4.1)定義1 Ф(t,y,0)=f(t,y)(4.3) 成立，則稱單步法與微分初值問題(1.1)相容，(4.3)為相容條件。定理一假設Ф(t,y,0)關于h是連續(xù)的，若單步法與微分初值問題(1.1)相容，則它至少是一階方法。4.1相容性單步法的一般形式374.2收斂性定義2假設微分方程(1.1)的右端函數(shù)f(t,y)在帶形區(qū)域內R={(t,y)|a≤t≤b,-∞≤u≤+∞}中連續(xù)，且關于y滿足Lipschitz條件。若對所有的t∈[a,b],limh→0tn=t固定yn=y(t)則稱單步法是收斂的。

定理2若Ф(t,y,h)對于a≤t≤b,0≤h≤h0以及一切實數(shù)y，關于t,y,h滿足Lipschitz條件，則單步法(4.1)收斂的充分必要條件是相容條件成立，即Ф(t,y,0)=f(t,y).4.2收斂性定義2假設微分方程(1.1)的右端函數(shù)38定理3在定理2的假設下，單步法(4.1)的局部離散誤差滿足(4.13),則其整體離散誤差誤差εn=y(tn)-yn滿足估計式 |εn|≤eL(b-a)|ε0|+hpM(eL(b-a)–1)/L L是Ф(t,y,h)關于y滿足Lipschitz條件的Lipschitz常數(shù)。定理3在定理2的假設下，單步法(4.1)的局部離散誤差滿394.3穩(wěn)定性定義3如果存在常數(shù)h0及C,使得對任意的初始值y0,y0`,單步法(4.1)的相應的精確解yn,yn`,對所有的0<h≤h0,恒有 |yn-yn`

|≤C|y0-y0`|,nh≤b-a,則說單步法(4.1)是穩(wěn)定。定理4若Ф(t,y,h)對于a≤t≤b,0≤h≤h0以及一切實數(shù)y，關于t,y,h滿足Lipschitz條件，則單步法(4.1)是穩(wěn)定的。4.3穩(wěn)定性定義3如果存在常數(shù)h0及C,使得對任意的初始值40定義4對給定的微分方程和給定的步長h，若有單步法（顯式或隱式）計算yn時有大小為δ的誤差，即計算得yn`=yn+δ,而引起其后值ym(m>n)的變化小于δ(|ym-ym`

|<|δ|),則說單步法是絕對穩(wěn)定的。 一般限于y`=μy(4.20)

考慮數(shù)值方法的絕對穩(wěn)定性，μ為復常數(shù)，若對于所有μh∈(α,β),單步法都絕對穩(wěn)定，稱(α,β)為絕對穩(wěn)定區(qū)間。定義4對給定的微分方程和給定的步長h，若有單步法（顯式或415多步法5多步法425.1線性多步法

y`=f(t,y),a≤t≤b y(a)=η(1.1)線性k步法的一般公式

5.1線性多步法 y`=f(t,y),a≤t≤435.2Adams方法顯式Adams方法隱式Adams方法5.2Adams方法顯式Adams方法445.3預測-校正方法y(0)n+1=yn+hf(tn,yn)(5.20)

yn+1=(1/2)[y(0)n+1+yn+hf(tn+1,y(0)n+1

)](5.21)

n=0,1,2,…N-1;y0=η(5.20)起預測yn+1

的作用，(5.21)起校正作用。 記f(i)n=f(tn,y(i)n).用P表預測過程，C表校正過程，E表計算f的過程 P:y(0)n+1=yn+hfn,

E:f(0)n+1=f(tn+1,y(0)n+1) C:yn+1=yn+(h/2)(fn+f(0)n+1)

E:fn+1=f(tn+1,yn+1)5.3預測-校正方法y(0)n+1=yn+hf(t45 重復迭代P,E,Ct次可提高精度。 通常，把Adams隱式和

顯式方法聯(lián)合使用，構成預測-校正方法。 預測公式： y(0)n+1=yn+h[βk0fn+βk1fn-1+…+βkkfn-k) 校正公式：

y(i+1)n+1=yn+h[β*k0fn+β*k1fn-1+…+β*kkfn-k) 重復迭代P,E,Ct次可提高精度。465.4Hamming方法Milne方法建立線性多步法的待定系數(shù)法Hamming方法5.4Hamming方法Milne方法477線性多步法的相容性、收斂性和穩(wěn)定性定義1若求解初值問題(1.1)的線性k步法(5.1)至少是一階方法，則稱他們是相容的。 記ρ(λ)=

αkλk+αk-1λk-1+…+α1λ

+α0，

σ(λ)=βkλk+βk-1λk-1+…+β1λ

+β0。 他們由線性k步法(5.1)完全確定。反之，若給定了ρ(λ)和σ(λ)，則他們唯一確定一個線性k步法。我們稱ρ(λ)為線性k步法(5.1)的特征多項式。定理1線性k步法(5.1)相容的充分必要條件是

ρ(1)=0，ρ`(1)=σ(1)，7線性多步法的相容性、收斂性和穩(wěn)定性定義1若求解初值問題(487.