1CD1CD一選題（山東東營，3分如圖，在矩形ABCD中E是AD邊中點⊥，垂足為點，接，分析下列四個結(jié)論：①△∽△；②；；tanCAD=A4個．．D1

．其中正確的結(jié)論有【案【步示本題考查矩形的質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義等．【細(xì)答解分如下：結(jié)論①

正誤√

分析∵四邊形ABCD矩形ADABC=90°∠∵⊥AC，垂足為F，∴∠AFE=∠ABC=90°，eq\o\ac(△,∴)AEF∽△CAB，①正確②

√

同(1)可eq\o\ac(△,證)AEF∽△CBF∴

AFAECFBC

．又∵點是的中點，∴BC=AD=2AE∴

AFCF

AE1

，所以故正確

√X

過作∥AC于N∵DE∥BEDM∴四邊形BMDE是平行四邊形，BC，∴BM=CM，∴CN=NF．∵BE⊥2于點F，BE，∴DNCF，∴DF=DC，故③正確∵tan∠CAD=，而CD與AD的大小不知道，∠的無法AD判斷，故④錯誤綜上所述，①②③正確，而無法判斷④正確，故選B【后思一多解】③取BC的中點，接，F(xiàn)M∴FM=CME是AD的點，∴DE=BM，又∵∥BM邊平行四邊形∥DM⊥是段CF的垂直分線DF=DC．【鍵】形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義（2016山東安233分）圖，矩形ABCD，已知AB＝，BD的直平分線交AD于點E，交于，△的積為．＝90°，BOF∽△，∴菱形ABCD＝90°，BOF∽△，∴菱形ABCDA

E

DOB

F

C第題圖【步示本題考查了矩形性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是相似三角形面積比等于相似比的平方的性質(zhì)的應(yīng)用因已知＝6BC＝8以以求出的面積為EF垂平分BD可知∠＝°所△BOF與△相似利勾股定理可以求出BD的，也就知道了O的長度，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，可以計算出的面積．【細(xì)答四形ABCD是形AB＝CD＝6＝°BC8勾定理得＝，

1＝，垂直平分BD，∴∠BOF＝90，＝BD5∵＝，BOFC252575＝＝＝，＝．BC864648【后思由于所求的是角三角形以有的同學(xué)可能直接用＝來算三角形的面積，這樣解決起來就很繁瑣實際上題是考查相似三角形的性質(zhì)兩相似三角形面積的比等于相似比的平方以認(rèn)真審題，理清脈絡(luò)很關(guān)鍵．【鍵】形性；股理垂平線相三形的質(zhì)（2016山省莊，分如圖邊形ABCD是形＝DB＝6⊥于則DH等）A

BC．．D

CA

H

B【案A．【步示本題考查了菱形的性質(zhì)，及面積公式，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)．根據(jù)菱形對線互相垂直且平分，求出菱形的邊長，再利用菱形的面積公式即可求出高線DH【細(xì)答解：BD交點O∵四邊形ABCD是形∴AO

1AC＝4＝DB∠AOB90°，∴AB＝＝＝

AC2DBAB2DH＝＝AB55

，菱形ABCD菱形ABCD故擇ADO

CA

H

B【后思本考查了菱形的性質(zhì)及積公式．菱形的性質(zhì)：①菱形的四條邊相等；②菱形的對角線互相垂直平分，且每一條對角線平分一組對角；＝DHBAO求解．【鍵】勾定；形的質(zhì)菱的積

2＝3題解答時，還可以利用BDH∽△（2016山淄，，4分圖，正形ABCD的長為10AG=CH=8DH=6連接.則段GH的為（）C.

85

－5【案B【步示本題考查正方形勾股定理及逆定理的知識，解題關(guān)鍵是能靈活添加輔助線，將問題轉(zhuǎn)化為已知問題解決延BG交CH點，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明≌△CDH≌△BCE可得GE=﹣=2HE=﹣、HEG=90，勾股定理可得的．【細(xì)答解法一：如圖，延長交于，∵CH=8，DH，AB=，∴ABG≌△CDH（）∵BG==AB2∴△是直角三角形，∠AGB=90°同理△DHC是角三角形，DHC°.∵∠1=∠5，∠∠6，∠=∠°，∴∠1+∠，∠°，又∵∠2+°，∠°，∴∠∠3=∠5∠2=∠∠6，∵AB=BC，ABG≌△（）∴BE==，∠=∠AGB=90.,然后利用矩形的性質(zhì)將,然后利用矩形的性質(zhì)將∠ACE化到CAB∴－BG－同可=2GE.在eq\o\ac(△,RT)GHE，GH=GEHE=2=2.選擇法二：過點作EF⊥于EF，過點H作HF.∵BG==AB2

，∴△ABG是角三角形，∠AGB同理△DHC是角三角形，DHC∴=∵BE

∴GF－234.8=0.4.=3.6∴HF－3∴HG2.8

0.4

=2.故擇E【后思添輔助線，構(gòu)造直角三形求解是解題關(guān).【鍵】方形，勾股定理及逆定理天津，，3分如圖，把一張矩形紙片沿角線疊，點的對應(yīng)點為于點E，下列結(jié)正確的()

B，AB與DC相交A∠DAB′

B∠ACD=∠C．AD=D．AE=【案D【步示本是一道有關(guān)折疊的問，應(yīng)根據(jù)折疊的性質(zhì)求解．根據(jù)折疊得ABC與eq\o\ac(△,)′C全，得到∠=∠【析據(jù)折疊得到ABCeq\o\ac(△,AB)eq\o\ac(△,)C=

∥CD=DCA=

，∴EA=C.故選擇D.【后思折疊問題是屬于軸對稱變換疊后圖形的形狀和大小不變?nèi)切握郫B后到的三角形與原三角形全等，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等【鍵】疊問題；等腰三角形；全等三角形(2016浙寧，，分如圖是一個由5張紙拼成的平行四邊形，相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為另兩張直角三角形紙片的面積都為S,中一張正方形紙片的面積為,則這個平行四邊形的面積一定可以表示()213222222213222222A.4S

B.4S

C.4S+S

D.3S+4S【案A【步示本題考查了平行四邊形性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)、整式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是引字母找S、S、S之間的關(guān)系設(shè)腰直角角形紙片的直角邊長為a,中一張正方形紙片的邊長為從可以表示出面積為S的直三角形紙片兩條直角邊長，進(jìn)而得出S、之間的關(guān).【析設(shè)腰直角三角形紙片的直角邊長為a,中間一張正方形紙片的邊長為則

S1

a

2

，

3

2

，∴11S(a)(a)(22)S)22

,即

2S3

2

，∴這個平行四邊形的面=SSSSS)，故擇.111【后思此類問題常常通引入字母，再結(jié)合圖形把所求的面積具體化，找出三個面積之間的等量關(guān)系，就可以求得問題的.【鍵】等三角形與直角三角形平行邊形；平方差式；整式加減(2016浙舟，，3分如圖，矩形中AD=3過點．作距為2的行線段AE，分別交．于點E、，DE的長是)A

B

C．

D．【案D【步示本考查了矩形、平行四形、全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是用DE的數(shù)式表示的長度過作FH⊥，交于點H，根據(jù)平行線間的距離的概念得FH=2=AD設(shè)=.先說明四邊形AECF平行四邊形由矩形平行四邊形的性質(zhì)可DE=即=3－x再eq\o\ac(△,證)≌△得FA－x，然后在eq\o\ac(△,Rt)ADE中用勾股定理構(gòu)造關(guān)于的程，解方程求出的，得DE的長【析設(shè)DE=x.點作⊥AE交AE于點H∵AE、平行線段，F(xiàn)H=2=ADAECF.∵四邊形ABCD是形∴AB∥AB=CD∴四形AECF為行邊形∴AF=CE∴即－在矩形ABCD中∠BAD=D=90°，∴∠D=∠AHF=90°，∠DAE=AFH，ADE≌△FHA，∴AE=FA=3因此在eq\o\ac(△,Rt)ADE中由AD

=AE

”得“2

+x

－

得，DE=，選擇D【后思本題較綜合地考查了部分特殊四邊形的性質(zhì)與判定三角形識別與性質(zhì)等知識后，利用上述知識，用x代數(shù)式表示AE的度是解答本題的關(guān)鍵，再結(jié)合勾股定理，利用方程求解，分體現(xiàn)了方程思想在求解幾何圖形相關(guān)問題的重要功.【鍵】矩形性質(zhì)；行四邊形的判定；全等三角形的識別與性質(zhì)；勾股定理；方程思（2016四省廣安市，，3分下列說法：三角形的三條高一定都在三角形內(nèi)；有一個角是直角的四邊形是矩形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形．其中正確的個數(shù)有（）A1個B個C．3個D．4個【案A【步示本題考了三角形的中線線角平分線的概念矩形的判定菱形判定全三角形的判定，平行四邊形的判定等，解題的關(guān)鍵是掌握這些概念、定理等．因為直角三角形與鈍角三角形的三條高不都在三角形內(nèi)①錯至有三個角是直角的四邊形才是矩形②錯；③是菱形的定義，正確；滿足④的條件時有可能形成“邊邊角”的情況，故錯誤；等腰形滿足“一組對邊平行，另一組對邊相等不是平行四邊形，故⑤錯誤．【細(xì)答解只有③正確，故選擇【后思要理解三角形“三線”的概念，掌握三角形、平行四邊形、矩形、菱形的判定方法這是正確解題的基礎(chǔ)能畫圖舉反例以排除不符合條件情形也是解這類題的基本功多思考勤積累類的問題還有：判斷下列說法是否正確：（1一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊.解：錯誤．如圖，作△ABC使AB＝，在BC上一點（D不與、重合且BDCD接AD.以為點AD一邊，作∠EAD，使∠＝∠，＝，連接DE.由上述畫圖方法，可知△ADCDAESAS.所以＝ACAB，∠＝∠C＝∠B.即四邊形ABCD有一組對邊相等＝AB組角相等（∠＝∠卻是平行四邊形（另一組對邊和BD不行也不相等（2一組對邊相等，且一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊.解：錯誤．如圖2畫兩條相交直線，交點為，在其中一條直線上截?。絆C分別過A、C點向另一條直線作垂線，垂足分別為E、在線段OF上一點D（點與O、重接CD.在線段OE的長線上取一點，EBFD，連接AB由上述畫圖方法，易知△COF△AOE（＝，由“SAS可判eq\o\ac(△,定)≌△，則CDAB連接、，則四邊形滿足條，卻不是平行四邊.（3一組對角相等，且連接這一組對角的頂點的對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊解：錯誤．如圖，畫一個“箏形ABCD，其中＝，＝且AOOC則該“箏形”滿足條件，但它不是平行四邊形.【鍵】中線高線、平分線；矩形的判定；菱形的判定；全等三角形的判定；平行四邊形的判定2016四瀘103分圖形ABCD的邊AD=3,AB=2,E為AB的中F在BC上且，AF分與DEDB相交于M，N，則MN的為（）A.

22922B.C.D.52045【案【步示本題的關(guān)是出助應(yīng)三形似知來決首根eq\o\ac(△,據(jù))HOD與△相求出HO的，而到段FO的長，根eq\o\ac(△,據(jù))BNF和AND相得到段的長進(jìn)根△△MFO相似出AM的長從根線和求MN的長【細(xì)答解過F作FHAD，交ED于，則，BF=2FCBC=AD=3，∴BF=AH=2FC=HD=1，

FH

2

2

=

2

2

=22

，∵OH∥AE，

HODH1115，∴AE=，∴OF=FH-OH=2-=，∵AE，eq\o\ac(△,∴)eq\o\ac(△,)∽，AD33AMAEAM1，即=，F(xiàn)MFM3BG47BG47∴AM=

38

3，∵AD∥，∴△∽△FNB，∴4

AD32，∴AN=AF=FF25

，∴

629-5420

，選B.【后思一與行邊有的線的題常會計到似角，常尋題中”“X”相三形解問的鍵【鍵】行邊的質(zhì)勾定；似角的定相似角的質(zhì)（四川省陽，，3分如圖，點E，點F分別在菱形的ABAD上且＝DF，BFDE于G，延長CD的延長線于H，若

＝，則的為·······（）DFH

D

CF

AEBA

B

C．

D．

【案．【步示本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．由菱形知AB∥∥BC可知圖中存在多個相似三角形中的基本圖形”“與X“型．由基本圖形得

HFDF＝＝，以HF＝HB．類似AF3地，HD

HDBG4，又＝，所以＝．基本圖形得＝＝，所以BGHB，由①4HG3②可求

BG

的比值．【細(xì)答解：設(shè)菱形ABCD的長為．為四邊形ABCD菱形，

AF

＝2＝DF所以AE＝＝a，AF＝＝a，∥CD，所以

HFHDDF13＝＝＝，以HD＝＝a，HF＝HB．因為AB21HB∥CD所以＝＝＝，以＝HB所以＝，故答案為BHG7aHB2【后思）求線段的比通利用平行線或相似三角形得到比例線段，然后再進(jìn)行轉(zhuǎn)化得到所求兩線段的比）到平行線，要聯(lián)想到以下兩個常用的基本圖形”“與”X“型【鍵】形的性質(zhì)；相似三角形的判定；轉(zhuǎn)化思想．（2016四南，，3分如，對折矩形紙片，使與DC重得到折痕EF將紙片展平，再一次折疊，使點D落到上點，并使折痕經(jīng)過點，平紙片后∠DAG的小為（）

FA．30°B．45°．D【案C【步示本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，正確得出∠是解題關(guān)鍵．直接利用翻折變換的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出∠4再利用平行線的性質(zhì)得出1=∠∠3進(jìn)而得出答案．【細(xì)答解如圖所示：由題意可：∠，AN=MN∠°，則NG=

AM，故AN=NG則∠2=∠4，∵∥AB∴∠4=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∴∠DAG=60．故選擇．

13

×，【后思本還可以采用如下方法解。解：連接，∵EF垂平分AD，∴，由折疊知AD=AG，∴AG=AD=DG，∴△ADG為邊三角形，∴∠DAG=60，故選．【鍵】形的性質(zhì)；軸對稱變換；等邊三角形；平行線的性質(zhì)；實驗操作題型11.（2016四省江，分）組正方形按如圖所示的方式放置中頂點在軸頂C、、112

2

3

4

3

??x在軸上正方形

C11

的邊長為1

11

＝60B11

∥

2

2

∥

33

??20152016220152015201622015則正方形

2016

2016

2016

2016

的邊長是（）（

1）B.（2

）

2016

C.（

33）（33

）

2015A

B

B

A

A

E

EC

E【案D.【步示這一道規(guī)律探究題，解題時，先探究第正方形

222

的邊長，歸納方法后依次求出正方形、正方形ABCD3344【細(xì)答解∵∠11

的邊長，之后依據(jù)總結(jié)得出的規(guī)律求出正方形＝60，∴∠＝°，1

2016

2016

2016

2016

的邊長∵正方形

C1

的邊長

11

為1，∴

1

＝

∵正方形的四條邊都相等，∴

2

＝

在Rt△

2

中，∵

11

∥

2

2

，∴∠

22

＝°，∴正方形

的長C22222

2

＝

3322＝＝.603同理，正方形

D33

的邊長為

3＝.63正方形

444

的邊長為

1＝.62正方形

nnn

的邊長為

(3)n3

＝

3()3

n

∴正方形

2016

2016

2016

2016

的邊長（

33

）.故D.【后思由題過程發(fā)現(xiàn)，此題的錯點有兩個，1特殊角的三角函數(shù)值記得不清，如°＝（2求正方形邊長時易計算出錯.【鍵】律索問正形性；殊三函值運(yùn)

32

，四川雅市，分）圖，四邊形ABCD的邊相等，且面積為120cm對線AC=24cm則四邊形ABCD的長為()A.52cmB.40cmC.39cmD.26cm【案A【步示本題考查了菱形的判定與性質(zhì)形面積的計算解題的關(guān)鍵是握菱形面積的計算公.由意，四邊形為形，根據(jù)菱形面積公=

AC

可以求出BD的，再用勾股定理求出菱形的邊長，進(jìn)而求得四邊形ABCD的周長.【細(xì)答解∵邊形ABCD的四相，∴四邊形ABCD菱形，∵面積為120cm,對角線AC=24cm，120=

，∴BD=10,∴

522

,∴四邊形的長為：43，故擇A【后思菱的面積公式：①底3對線乘積的一半；（）形中，對角線互相垂直平分，它把菱形分成4個全等的直角三角形，用勾股定理就可以到兩條對角線長和邊長之間的關(guān)系【鍵】菱的判定菱形的性質(zhì)；菱形的積；勾定理13.（2016四省安，12，3分如圖，在矩ABCD中，6AE⊥BD，足E，ED=3BE，點P、Q分別在BD，AD上則AP+PQ的最小值為)A.

B.

C.

3

D.

3【案D【步示本題考查了矩形、相似角形、銳角三角函數(shù)的定義、軸對變換等知，解題的關(guān)鍵是利用軸對稱變換找出、Q的置．畫于直線BD的稱點F,則AP+PQ=PF+PQ≥QF,當(dāng)QF⊥AD時，AP+PQ最.【細(xì)答解畫A關(guān)直線的對稱點F,連接QF,PF,∵AE⊥，∴∴AP+PQ=PF+PQ≥QF,QFAD時，AP+PQ最小∵四邊形ABCD為矩形，∴∠°，∴AEBDEA,∵ED=3BE，BE=a,DE=3a,∴

a,AE33

,∴∠

3aED

,∴∠ADE=30°∴AE=EF=

3AD=3,∴AF=6,當(dāng)⊥時∠FAD=60=63=2

3

,即AP+PQ的最小值為

3

，選D.【后思利用軸對稱是求最短路線問題的常用技巧其方法是畫其中一點關(guān)于直線的稱點一點與對稱點之間的線段的長就是最短路線的【鍵】矩的性質(zhì)軸對稱變換似三角的判定；似三角的性質(zhì)；銳角角函數(shù)的定14.（2016四川宜市，，分）圖點P是形ABCD的邊AD上一點，形兩邊AB、BC的分是6和8則P到矩的條角AC和BD距之是）【案A【步示如連，因矩的角相，、是角APO的邊AO上的，理PF是OD上的，兩三形底且積和于整矩面的分一面可AO=OD也可，用面法PE+PF可求【細(xì)答解作PE⊥AC,PF⊥BD連接因BC長別和8所以形對線AC=BD=10,所，

PAO

△POD

AOD

所以

1AO2

所以PE+PF=

故選A【后思初階面法幾常的用已直三形的直邊斜上高可用角角二是知個00二是知個00形面的種同計方，出程高即

1角角2邊邊的高22三形三長求角內(nèi)圓半（三角分的點到邊距）三是題型問.【鍵】矩的質(zhì)勾定；面法方與數(shù)想二填題2016四省中20分圖矩ABCD的BC至AE∠，則∠E=度【案【步示本考查了形的性質(zhì)、腰三角的判定、質(zhì)三角形外角定理.連AC，由矩形的性質(zhì)得AC=BD，且ACB=，等三角形的判定、性質(zhì)三角形外角理，可得∠=

∠，而可得結(jié)果000000【細(xì)答解連AC如圖所示，∵形ABCD∴AC=BD=CE且∠ACB=∠ADB=30

，∴△ACE是腰三角形，∴∠E=∠CAE=

∠ACB=15.故答案為.【后思矩的性質(zhì)：對邊平行，邊相等，對角線互相平分且相等，四個角都是直角；不會作輔助線應(yīng)用矩形性質(zhì)、等腰三角形判定、性質(zhì)及三角形外角定理導(dǎo)致無法求.【鍵】矩的性質(zhì)等腰三角形判定；等腰三形的性質(zhì)；三角外定理；（2016四川市都，14，4分如圖，在矩形ABCD中，＝，對角線、相于點O，垂直平分于點，AD長為．A

DOEB【案AD3【步示題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理及垂直平分線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是掌握有關(guān)的性質(zhì)．先根據(jù)AE垂平分，得AB＝，再根據(jù)矩性質(zhì)求出BD，然后利用勾股定理求出AD的．【細(xì)答解∵AE垂直平分，＝AO＝，∵邊形是形，∴BO＝＝3，∴＝BO＝6＝BD

＝6

＝3

，答為3【后思本題在解答時也可利用AB＝AO＝BO，得到△ABO為等邊三角形，然后利用角函數(shù)得AD2°33．【鍵】垂平線性；股定；形性（2016四川充，3分如，菱形的長是8cm，的是

A

B

C【案2【步示本考查菱形的性質(zhì)，記菱形的四邊相等是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的四邊相等即可解決問題．【細(xì)答解∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，∵AB+BC+CD+DA=8cm，∴，∴AB的為2cm故答案為2．【后思在平行四邊形及殊的平行四邊形的背景的題目中，往往運(yùn)用四邊形相關(guān)的性質(zhì)，得到角與角、線段與線段之間的關(guān)系去求解線段的長或角的度數(shù)．有時要綜合運(yùn)用直角三角形和等腰三角形的識求解?！炬I】形的性質(zhì)（2016四川內(nèi)市15分）如，在菱形ABCD中對角線ACBD相于點AC8，＝，OE，足為點，則OE＝____________.D

O

【案

125【步示本考查菱形的性質(zhì)、勾定理及三角形的面積公式的運(yùn)用，由菱形的對角線互相平分可得C，OB的形的對角線互相垂直得eq\o\ac(△,Rt)BOC股定理求得BC的長角的面積公式可得

OB2＝

OE2，，題可解【細(xì)答解∵AC＝8∴＝∵BD＝，∴OB＝3,∵菱形ABCD中對角線⊥，∴BC

OC

2

OB

2

2

2

＝∵⊥，垂足為點E，1∴OB2＝OE22OB12∴＝＝，BC故案

125

【后思分析解題的過程難看出菱形與直角三角形聯(lián)系密切而直角三角形兩直邊與斜邊上的高的聯(lián)系，可用等式OB2＝OE2簡便地表示出來【鍵】形性；股理（2016四川宜市，分如，邊為4正形ABCD中，是邊一點不含B、C兩，△ABP沿直AP翻折點B在E處在CD上有點M使CMP沿線MP翻折，C落在線PE上的點F處，直PE交于N，連結(jié)MA、NA，以結(jié)中正的寫所正結(jié)的號.∽△BPA四形AMCB的積大為10；當(dāng)為BC中點時AE為線段NP的中線④線的最值2

；⑤當(dāng)ABP

△ADN，BP=4

AMCBAMCB【案①③⑤【步示要△CMP△BPA，有個角應(yīng)等根對，得APM=90所以證BAP=要求（4面的值需建函關(guān)，設(shè)PB=x根相似可出CM=4

,用形積式求面關(guān)x的數(shù)析，用析求最；為中點，算PB=PE=2,CP=2,PN=4,根數(shù)關(guān)可斷判斷不能②，但以反入，設(shè)AM的最值2，么時應(yīng)CD中，CM=2,根eq\o\ac(△,據(jù))∽BPA，得關(guān)BP（x的個程這方無數(shù)，故M點能中；eq\o\ac(△,當(dāng))ABP時（4-，三形是等直三形，MF=CM,故CN=CP,即4-x=CM+2CM,CM=4

可求【細(xì)答解由折知∠APM=900,以BAP=∠CPM∠∠，以△∽BPA①正；PB=x（4根相可得出CM=所S=x42

最大為②正確當(dāng)P為點∠APB=∠NPC=600,以，所③正確的值25，么時M應(yīng)CD的中點即CM=2,據(jù)CMP∽BPA可

2x

，x2-4x+8=0,此方程無實解，M不能是中點，所以④錯；△

△ADN時，DN=BP=x，依題有：24

(4(4

解得2故正確.故答為②③⑤【后思解類，逐判，然面斷確結(jié)，可作后推（算的據(jù).【鍵】正形的質(zhì)相三形性與定勾定；折一元次程據(jù)判式二函數(shù)最；程函思.（2016山東菏澤分方形ABCD外等腰直DEBE∠EBC=．ADEB

C【案

13【步示方：作EF⊥BC于F，在eq\o\ac(△,Rt)中求解EBC的，根據(jù)正方形與等腰直角三角形的性質(zhì)，易得線段EF與BF的分關(guān)系，進(jìn)而可得結(jié)果；方法2設(shè)BE交于H，作⊥于F，在EFH或eq\o\ac(△,Rt)BCH求解值，根據(jù)正方形與等腰直角三角形的性質(zhì)，易知eq\o\ac(△,t)EFHeq\o\ac(△,Rt)相，故此可得兩直角三角形的直角邊之比，進(jìn)而3333可得結(jié)果．【細(xì)答1EFBC于正方形與等腰直角三角形的性質(zhì)∠ECF－45°=45°，∴△ECF為腰直角三角形設(shè)CF=EFa由勾股定理得=EFa11中，∠EBC==，故答案為．BF3a3ABCF

a∴=2a=3a在eq\o\ac(△,Rt)BEF方法：如圖，設(shè)交CD于H，作⊥點F，正方形的性質(zhì)，可得BCD，∴EF∥BC∴∠=EBC∵是腰直角三角形，==DF設(shè)==，則BCCD=2．∵EF，∴△∽△，∴

1aEF11HF，HF=CF=a在eq\o\ac(△,Rt)，∠FEH===，∴EFa∠EBC=

2a1HC在eq\o\ac(△,Rt)BCH中tan∠==答案為．32a3ADFHBC

E【后思求一個銳角的三角函數(shù)值需要把該銳角放在或轉(zhuǎn)化到一個直角三角形中解時需要通過作輔助線構(gòu)造直角三角形求解注意殊四邊形與直角三角形全等或相似三角形等知識的綜合應(yīng)用較復(fù)雜的還可構(gòu)造與求解雙直角三角形，其基本模型如下：【鍵】正方的性質(zhì)等腰直角三角形的性質(zhì)；勾股定理；銳角三角函數(shù)；相似三角形的判定與性質(zhì)（2016東聊城，）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為正方形OABC的邊在坐標(biāo)軸上，1以它的對角線OB為作正方OBB12

再以正方形BC的對角線OB為作正方形OBBC，22，則正方形OB

B

C

的頂點B

坐標(biāo)是。1008100810081008【答案，）【逐步提示】第一步利用正方形的性質(zhì)及勾股定理依次求出BBB，B,BB,B,B,的坐標(biāo)，578910第二步找出這些坐標(biāo)之間的規(guī)律，第三步根據(jù)規(guī)律計算出點

2016

的坐標(biāo)【詳細(xì)解答】解：因為正方形OAB的長為1所以=2，因為正方形OBB112

，

是正方形OAB的角線為，所以O(shè)BB=2所以B的坐標(biāo)為）同理可得OB22

，所以所以B的坐標(biāo)（理可以分別求出

4

（-4,0,

B

（-4,

6

（0-8

7

（8

B

（,

9

（16,16,

10（可發(fā)現(xiàn)經(jīng)8次圖的標(biāo)與第一次坐標(biāo)符號相同正形的邊長變?yōu)樵瓉淼?/p>

倍.因為2016÷，所以

2016

（，）.【解后反思】本題考查正方形和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由點的坐標(biāo)的規(guī)律.解此類問題應(yīng)先觀察圖形的變化趨勢第個點開始進(jìn)行分析逐增加還是減少鄰個點的變化量與位置序號怎樣的關(guān)系；如果所求點的位置序號較大時需要運(yùn)用從特殊到一般的探索方式分析歸納找出增加或減少的變化規(guī)律用含有n的數(shù)式表示出，最后用代入法求出特殊情況下的數(shù)值．【關(guān)鍵詞】點的坐標(biāo)；探索點的坐標(biāo)變化規(guī)律；正方形的性質(zhì)；勾股定（2016山東島13分）圖在方中，角線與BD相交于O，E為上一點=5F為DE的中.△的周為18，OF的長.99【案

72【步示在eq\o\ac(△,Rt)CED中，由F為的點”可知CF是邊DE的中線，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半知==DF再結(jié)合△的長為18可求得DE的而根據(jù)勾股定理求得DC的長，從而得到和的；在△中根據(jù)正方形對角線的性質(zhì)可知=DO，又因為是DE的中點，故OF是△的位線，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)定理可求得OF的.【細(xì)答解∵四邊形正方形，∴=DO=，90°在eq\o\ac(△,Rt)中為DE的中點，∴CF=

==DF.∵△的周長為18，∴CECF+EF，∵=5，∴CFEF，∴DE=DF+EF=13.在eq\o\ac(△,Rt)DCE中，根據(jù)勾股定理，得DC

132

=12，∴=12，在△中∵DOF為DE的點，∴為的位線，∴OF

1BE=故答案為.2【后思1.正方形是最特的四邊形，根據(jù)其性質(zhì)容易得到相等的邊、角及特殊的角，為我們進(jìn)一步求解提供了條件；當(dāng)題涉及周長時，要將周長轉(zhuǎn)化為線段之和，以方便分析和求.【鍵】正方形性；角角的質(zhì)勾定理三形位定；角的長轉(zhuǎn)思天津3分如，在正方形中點，G分在邊CDDA上，點MF，Q在對角線BD上且四邊形MNPQ和均正方形，則

S正方形MNPQS正方形

的值等于

【答案】

【逐步提示不妨設(shè)正方形ABCD的長為

a

則角線的為

2a

利正方形的性質(zhì)可DQP是等腰直角三角形，△BMN為等腰直角三角形，又＝＝QM＝MNBM所以＝

12a＝，33

NPQ

＝

(

2a)239

2

∵根據(jù)題意可知DGF是腰直角三角形eq\o\ac(△,，)也為等腰直角角形DG＝GF＝EF＝，∴正方形AEFG的邊長

，正形A

2

所以

正方形MNPQ正方形

8a8a9

形Q9形Q9【解析設(shè)方形ABCD的長2股定理得對角線＝2aPQ⊥QBPDQ＝是等腰直角三角形，同理可得BMN也等腰直角三角形，又＝＝QM＝＝BM所以＝

13

＝2a22故＝()2339

2

∵理可eq\o\ac(△,證)DGF為腰直角三角形eq\o\ac(△,，)也等腰直角三角形，∴DG＝＝EB正形AEFG的長＝

正A

2

所

正方形M正方形

8a8a9

，故答案為

【解后反思】本題關(guān)鍵是找到兩小正方形邊長之間的關(guān)系，然后才能確定兩者面積的因為正方形具備很多邊長及角的性質(zhì)，所以在解題中要注意線段與線段，角及角度的轉(zhuǎn).化思想在正方形的有關(guān)題目中運(yùn)用非常廣泛.【關(guān)鍵詞】正方形；面積；等直角三角形；轉(zhuǎn)化(2016浙江杭州4分在形中＝30．在同一平面內(nèi)，以對角線B為邊作頂角為°的等腰三角形BDE則EBC的數(shù)為．【答案】°或105．【逐步提示題考查了菱形和腰三角形的性質(zhì)及分類思想題關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意正確地畫出符合題意的圖形求出相關(guān)的角度．A＝°的菱是一確定的，但頂角為°的等三角形，點E可在△內(nèi)，也可能在CBD內(nèi)，所以在解題時構(gòu)圖就得畫全了．其次，根據(jù)菱形的性質(zhì)，要求出CBD的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出的數(shù)；最后利用分類思想和兩角的或差的定義，就能求得EBC的度數(shù)為．【解析】如下圖，在菱形ABCD中＝30，在中∠＝°EB＝ED則∠EBD＝30．∵在菱形中，∠＝°，∴∠∠＝°，＝CD．∴∠CBD＝75°．當(dāng)點E在△內(nèi)，∠＝EBD∠＝°＋°105°當(dāng)點E在△內(nèi)，EBC＝∠CBD－∠＝75－°°．故填°或°．D

C1

2【解后反思本系幾何知識的綜合題，綜合考查了三角形、四邊形的相關(guān)知識．利用菱形的對相等、四邊相等的性質(zhì)求出相關(guān)的角度考查等腰三角形的兩個底角相等的知識同時滲透了分類思想的考題的關(guān)鍵在于構(gòu)出符合題意的幾何圖形同時也關(guān)注了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與分析問題的數(shù)學(xué)思維的縝密性以說學(xué)會畫圖是學(xué)好數(shù)學(xué)的必備基本功．【關(guān)鍵詞】菱形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；分類思想11.(2016淅麗水，，分)如圖，在菱形ABCD，過點B作BE⊥，BFCD垂分別為，F(xiàn)，延長BD至G，得DG=BD，連接EGFG，若AE=DE，

EG

=【答案】

【逐步提示】設(shè)出菱形的邊長，根據(jù)題意確定菱形中各線段的長度，連接EF，通過勾股定理確定的，最后求得比值．【解析因為DG=BD所以AB=AD=CB=CD=BD所∠ABD=60°又BE⊥AD∠連，交DB于H，則

31，DH=，HG=，勾股定理得EG=222

EG，所以=．【解后反思題目當(dāng)中沒有數(shù)據(jù)出線段的長度可利于題目的計算線段的長度的確定以利用利于計算為標(biāo)準(zhǔn)，構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．【關(guān)鍵詞】菱形；勾股定理；.(2016新建兵，，10分如eq\o\ac(□,圖)中，=2，AD=1，∠=60°，eq\o\ac(□,將)沿點的線l折，使點D落AB邊的點D處折痕交CD邊點．求證：四邊形BCED是形；若點是線l上的一個動點，請計算PD′+PB的?。静绞颈绢}考查了特殊的四邊形的性質(zhì)及判定對勾股定理題關(guān)鍵是應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)可知，翻折后重合的兩個圖形全等，然后根據(jù)特殊的四邊形的性質(zhì)、勾股定理求解要四邊形BCED′是菱形，需證明四條邊都相等，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可分別求出BDC的長度，再利用折疊和平行四邊形的性質(zhì)求得′AD的長度，從而可求出EC和D′的度，即可完成證明）于點D點′于直線l對稱，故當(dāng)PD的小時點為線DB與線l交點，此時過點D作AB的線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出BD的即所求的最小值．【細(xì)答1證明：∵四邊形ABCD平行四邊形，∴DC∥.∴∠=∠EAD′.由折疊可知，∠DAE∠EAD′∴∠=∠DEA∴DE=1.由折疊可知AD′=，′ED，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC=，BCAD1∴BD′′2=1，=－DE－1.∴EC=BD′∴四邊形′菱.（2由折疊可知點D和點關(guān)于直線l對稱，故連接BD交線l于，接PD，則PDPB最小，即為線段的長過DDF⊥AB，垂足為F（如圖）.∵DC∥，⊥AB，∴⊥DC∵∠，∴∠，在eq\o\ac(△,Rt)中

=，DF=1)2∴BF=AF=2在eq\o\ac(△,Rt)中=DF

(

5))2

7.∴PDPB=PD+=BD=7即′+PB的小值為．【后思解決有關(guān)折疊的問題般先作出折疊前后的圖形形狀及位置后利軸對稱性質(zhì)和其他相關(guān)知識進(jìn)行解題．關(guān)鍵是弄清“折痕”的特點，認(rèn)識到折痕兩邊的部分是全等的．由于折疊前后疊部分圖形的形狀、大小不變，因此利用軸對稱性，可以轉(zhuǎn)化相等的線段，相等的角等關(guān)系．一般折疊的圖形會涉及到勾股定理的計算．【鍵】行邊的質(zhì)菱的定軸稱勾定；13.浙杭州23分)在線段的側(cè)作射線和BN∠MAB與的平分線分別交射線BNAM于EF，與BF交點P．如圖，點點同學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)射線、BN相于點C，且∠＝60°時，有以下兩個結(jié)論：①∠APB＝120；②＋BE＝．那么，當(dāng)∥BN時點點發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎？若成立，給予證明；若不成立，請求出度數(shù)，寫出線段，，AB度之間的等量關(guān)系，并給予證明；設(shè)點Q為段上點，QB．若＋BE＝，四邊形ABEF的積為323，求AQ長．N

MCF

P

EA

第23題

B【步示本題綜合考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、平行四邊形的判定、菱形的判與性質(zhì)、全等三角形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等數(shù)學(xué)知識，解題的鍵是能知識根據(jù)題意畫出圖形，利用菱形的性質(zhì)及菱形的面積求出相應(yīng)的角、線段的長，從而探索出所求結(jié)論(1)本題系閱讀理解題，又是結(jié)論究題，在解題時，首先認(rèn)真閱讀所給材料，畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵用初一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩行直線被第三條直線所截旁角的角平分線互相垂直知APB＝90，再由全等三角形的判定與性質(zhì)探索出AF＝BE＝AB且＋＝．(2)由條件＋＝與＝BE，可知AF＝AB＝8再由特殊四邊形的判定，得到四邊BEF是形，從而根據(jù)該四邊形的面積為3，求得菱形的FH(過點作FH⊥AB于點H為在eq\o\ac(△,Rt)中角角函數(shù)定義求得FAB＝60°，再進(jìn)一步判定FAB是三形，求得＝；菱形的性質(zhì)及°所對的直角邊等于斜邊的一半，求得PBAP的，最后由勾股定理求出PQ的，分兩種情況求得的就水到渠成了．【析(1)不成立，①∠＝°；②AFBEAB且＝BE＝AB理由如下：如下圖，∵AM，∴∠MABABN＝180°．∵PA分別平分MAB∠，1∴∠＝∠MAB∠，∠PBA＝∠＝∠．2∴∠＋PBA

1111∠MAB＋∠＝(MAB＋ABN)3°°．2222∴∠APB°－∠－∠PBA＝°．∵∠＝PAF，∠＝∠APF＝90°＝，∴△APB．∴AF＝AB同理，AF＝．∴AF＋BEAB且AF＝＝．(2)∵∥BE，＝BE，∴四邊形是行四邊形．又∵AF，∴四邊形是形．如圖，過點作FHAB于點H．∵AF＋BE，∴AF＝BE＝．∵四邊形的面積為32∴AB2＝3．

，∴＝

．在eq\o\ac(△,Rt)FAH中sin∠＝∴∠＝30°．∵ABAF，∠FAB＝°，

3＝，從而FAB°．2∴△FAB是三角形．∴FBAB＝．∵eq\o\ac(△,Rt)中，∠＝°，∴PB

＝4，＝

．連接BQ如圖，在eq\o\ac(△,Rt)PQB中由勾股定理，得PQ

＝．若點Q在段上則＝AP－PQ＝4若點Q在段上則＝AP＋PQ＝4綜上，的長43±．

－3＋3

E

PAB【后思本題作為幾何型壓軸題，通過閱讀理解題的形式出現(xiàn)，同時也是探究題．試題考查了學(xué)生的閱讀理解能力、正確構(gòu)圖能力、探究能力、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識能力，從學(xué)生熟悉的平行線的性質(zhì)入，考查了初中數(shù)學(xué)三個年級的幾何知識，解答起來容易入手．解答最后一個問題，又得利用初二、初三學(xué)習(xí)的何知識，并滲透了數(shù)學(xué)的分類思想，解答起來滿有意思，且難度不大，非常接地氣！閱讀材料里的兩個結(jié)論，是無需證明的，學(xué)生也易從初一、初二學(xué)的知識中“秒懂”其正確性三角形的兩個內(nèi)角角平分線的交角等于90與第三個角的度數(shù)的一半的和知＝°；構(gòu)輔助線造全等知AF＋BE＝AB在探究第一個問題時，畫出準(zhǔn)確的圖形至關(guān)重要，只要圖形畫對了，兩個結(jié)論的探究就容易多了，其第二個結(jié)論的推導(dǎo)方法很多，如本題解答過程中的全等三角形法，還可以用“三線合一”相關(guān)識解答或軸對稱知識解決問題等等．第二個問題要結(jié)合第一個問題的結(jié)論，求出相關(guān)的線段的長度和某些角的數(shù)，利用菱形、等邊三角形、直角三角形、三角函數(shù)等知識求出、PQ的，按點分別在線段AP、上兩種情況來討論求解．本題易錯的地方有三處是能正確的構(gòu)圖法索與解答下去是題不能將兩個問題聯(lián)在一起，利用第一題的結(jié)論來解答第二題，導(dǎo)致求不出相關(guān)的線段與角；三是第二問的解答不全面，導(dǎo)漏解！【鍵】行線的性質(zhì)；角平分線的定義；平行四邊形的定；菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；銳角三角函數(shù)的應(yīng)用；分類思想；探索題；壓軸題14.(2016浙江華，24，12分在面直角坐標(biāo)系中為原點A坐標(biāo)為－6如圖正形的頂點Bx軸負(fù)半軸上,點C在二象限.現(xiàn)將正方形OBCD繞O順針旋轉(zhuǎn)角α得正方形OEFG(1)如圖，若°OE=OA，求直線EF的數(shù)表達(dá)式.(2)若α為角，

tan=

，當(dāng)取得最小時，求正方形的積.(3)當(dāng)正方形的頂點F落上時與直線FG交于點eq\o\ac(△,，)OEP的其中兩邊之比能否為:1？若能，求點P的標(biāo)；若不能，試說明理.y

yFC

FD

EE

G

Gα

αAB

O

xA（第24圖1）（第24題圖2）【步示(1)根據(jù)題意畫出圖形通過分析圖形根據(jù)三角函數(shù)或相似三角形知識求得點E及M的標(biāo)，進(jìn)而22求得的析式；首先根據(jù)圖形確定當(dāng)AE⊥OQ時線AE的最根據(jù)三角函數(shù)及勾股定理求得正方形的邊長，進(jìn)而求得正方形OEFG面積；分點F可落在軸半軸上與落在軸半軸上兩種情況進(jìn)行分類討論：當(dāng)點F落y軸半軸上時，再根據(jù)正方形邊長的大小進(jìn)行分類討論，找到直線AE與線FG相的點P，再判斷△的中兩邊之比能否為

，若能為

，則需要根據(jù)三角函數(shù)、相似三角形、勾股定理等知識求得點的標(biāo)．同理得出點落y負(fù)半軸上時相應(yīng)的點P的標(biāo)．【析(1)如圖，過點作EHOA于H，與軸的交點為MyFMEGA

HO圖1

x∵＝OA，＝60°，∴△AEO為三角形∴OH3，EH6

2

－3＝3∴(﹣3,3∵∠AOM，∴∠EOM30°.在Rt△，∵EOM＝∴(0，43).

OE6，即＝，＝3.OM2設(shè)直線EF的函數(shù)表達(dá)式為＝kx＋4，∵該直線過點

E﹣3,33),

∴33解得k

33

，3所以，直線的數(shù)表達(dá)式為yx.3(2)如圖，射線OQ的角為(α為角，tan

=

).無論正方形邊長為多少，繞點旋角α后到正方22正形22正形yFQE

GαAO

x形OEFG的點E在線OQ上∴當(dāng)AE⊥OQ時，線段的最.在Rt△中設(shè)AEa，則OE，

圖∴a

2

＋(2a)＝6

2

，解得a＝1

6，a＝舍去25144∴＝a＝,∴S＝=5(3)設(shè)正方形邊長為當(dāng)點F落y軸半軸.如圖，當(dāng)P與F重時，是腰直角三角形，有在Rt△中∠APO，OP=OA=6,∴點P的標(biāo)(1

OPOP2或OEy

P

y

P

yF(P)

FFE

G

E

G

E

GA

O

OR

AO

H圖

圖

圖5在圖3的礎(chǔ)上，當(dāng)減正方形邊長時，點P在FG上△的其中兩邊之比不可能為

；當(dāng)增加正方形邊長時，存在

OP2(圖4)和OE

2

(圖兩種情況.PE如圖，△EFP是腰直角三角形，有＝2即＝此有AP∥OE在Rt△中∠AOE，∴OE=OA2,∴PEOE，PA=PE+AE∴點P的標(biāo)(6,18).2如圖，過P作PR⊥x軸點，長交x軸點H設(shè)PF=n222222222222222222222222222222在Rt△中＝PG＋OG＝m＋mn＝＋2＋，在Rt△PEF中，＝PF＋EFm＋n,PO當(dāng)＝2，PO＝2PE∴m＋＋=2(m＋n得n.PE∵∥，∴△∽△AHP∴

OAOEAHPH4m

∴AHOA=24，即=18，∴

在等腰eq\o\ac(△,Rt)H中

PRHR

2PHm2

，∴ORRH-OH，∴點P的標(biāo)(18,36).3當(dāng)點F落y軸半軸時，yA(PxG

EF圖如圖，P與A重時，在eq\o\ac(△,Rt)中OP＝，又∵正方形，OG=OE,∴＝2OE.∴點P的標(biāo)(6,0).4在圖6的礎(chǔ)上，當(dāng)正形邊長減小時其中兩邊之比不可能為

2:1

；當(dāng)正方形邊長增加時，存在

PO

2

(圖這一種情.yPON

xG

EF圖如圖，過P作PR⊥x軸點,PG=n在Rt△中PGOG＝n＋，在Rt△PEF中，

＝＋FE

＝(m+n)

2

＋m

＝m

＋＋n

2

22222222當(dāng)

PE＝時，∴PO

＝2PO

2

∴2＋2mn＝n＋2∴由于NG=OG=m則∵∥，∴△AOEANP,∴即AN=OA=6.

ANmAOm

在等腰eq\o\ac(△,Rt)中

ON

2m,∴12m，∴

在等腰eq\o\ac(△,Rt)中，

PR

22

m

，∴點P的標(biāo)(18,6).5所以，△的中兩邊的比能為:1，P的標(biāo)是：，P(，1P－(－，(－18,6).345【后思根圖及意行類論解的鍵在行分討時根圖及意定分討論根，到類不不．【鍵】次數(shù)三函；似角；股理15.浙江波2614分如，在平面直角坐標(biāo)系中0坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為50)，菱形的頂點B都第一象限∠=

43

將菱形繞點A按順針方向旋轉(zhuǎn)角°<∠AOC)到菱形FADE(點0的應(yīng)點為點，與OC交點G連結(jié)AG.求點B的標(biāo)當(dāng)OG=4時求AG的長求證：平分OGE.連結(jié)BD并長交x軸點P，點的坐(120)時，求點G的標(biāo)【步示本考查了形的性質(zhì)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、全三角形、似三角形、銳角三角函數(shù)的定義、圖形旋轉(zhuǎn)的征等知識，解題關(guān)鍵是通過畫高，利用解直角三角形、相似三角形的方法求出對應(yīng)的線.(1)畫BH⊥軸H，由題意，∠BAH=∠COAAB=5，解eq\o\ac(△,Rt)ABH求得AH,BH的長可得點B的坐(2)⊥OC于M，解eq\o\ac(△,Rt)AOM，得AM,OM的長，再在eq\o\ac(△,Rt)中，用勾股定理求得AG的；畫⊥點M，AN⊥EF于N，證，得GA平分(4)GQx軸于點Q，證明GOA∽△BAP,利相似三角形的性質(zhì)求得GQ的，再運(yùn)用銳角三函數(shù)的定義求得OQ長，即可確定點G的標(biāo)【析如圖，過點B作BH⊥x軸點，圖)∵四邊形是形，∴∥，∴∠∠COA，∴tan∠

43

.又∵在eq\o\ac(△,Rt)中，5,4∴BH=AB=4,5AH=

35

AB=3,∴∴點B的坐為(8，4).(2)如圖1，過點A作⊥于點M在eq\o\ac(△,Rt)AOM中，∵tan∠AOC=43∴AM=OA=4,OM=OA=3.55∵OG=4∴

43

，，∴

AG

AM

GM

4

17

.(3)如圖1，過點A作⊥于點，∵∠∠，OA=FA，∠AMO=∠ANF=90,∴△AOM≌△，∴AM=AN，∴平分OGE.(4)如圖2，過點作GQ⊥軸點Q圖2)由旋轉(zhuǎn)可知：∠OAF=∠

，∵AB=AD，∠

180

02

，∵∠AOT=∠F，∠=∠GTF，∴∠FGO=∠,∴∠∠EGA=

180

02

,∴∠OGA=∠ABP,又∵∠GOA=∠，∴△GOA∽△BAP,∴

OABHAP

,∴

52077

,4∵tan∠,3∴

20747

,1520∴點G的標(biāo)(,).77【后思本題是壓軸題，及的知識點多，綜合程度高，問題分層設(shè)置，層層遞進(jìn)，較好地區(qū)分了不同層次的學(xué)生解決此類壓軸題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用所學(xué)過的知識方法以及數(shù)學(xué)思想，深入探究問題中給出的已知條件，把問題轉(zhuǎn)化或化歸為熟悉和簡單的問題得以解決．本題中的坐標(biāo)和長度的計算，最后都可以歸結(jié)為求線段的長度問題，常用的方法有：①利用勾定理求解；②利用解直角三角形求解；③利用相似三角形求.【鍵】菱形的性；平行線的質(zhì)；勾股定；全等角形；等腰角形的性質(zhì)；角的平線的性質(zhì)；相似三角形；角三角函數(shù)的定義；形旋轉(zhuǎn)的征；在坐系或網(wǎng)格中求解幾何圖形中點的坐16.(2016浙衢州，，6分如圖，已知BD矩形ABCD的角線.用直尺和圓規(guī)作線段BD的直平分線，別交ADBC于，保留作圖痕跡，不寫作法和證).連結(jié)BE，，問四邊形是什么四邊形？請說明理由ADB【步示(1)用直尺和圓規(guī)按照作線段直平分線的步驟作圖即由作圖的原理，結(jié)合矩形的性質(zhì)可得到＝EFDF＝BF因此可以判定四邊形是菱.【析(1)圖所.(2)四邊形是形理由：EF垂直平分BD∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，∵∥BC∴∠＝∠∴BEF∠∴BEBF又＝DF∴＝EF＝DFBF∴四邊形是菱形222222222222222222222222222222222222222222A

E

DB

F

C【后思尺規(guī)作圖的每一都必須有有根有據(jù)，且作圖痕跡清淅，要判定一個四邊形是菱形，一般先證明它是一個平行四邊形，再說明它的對角線互相垂直或或四條相【鍵】規(guī)作圖、矩形性質(zhì)、菱形判定17.浙衢州，，10)如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫垂美四邊(1)概念理解：如圖，在四邊形中AB＝ADCBCD，問四邊形ABCD是美四邊形嗎？請說明理由(2)性質(zhì)探究：試探索垂美四邊形ABCD兩對AB，與，AD之的數(shù)量關(guān)猜想結(jié)論：要求用文字語言敘述＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.寫出證明過程先畫出圖形，寫出已知、求證.(3)問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和方形ABDE連結(jié)，已知＝GE已知AC，AB，求GE.B

DD

CA

C

F

A

E圖1

B

圖2

G

圖3【步示(1)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)證明⊥可；(2)根據(jù)垂直的定義和勾股定理解即可(3)根垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)(2)結(jié)論計算.【析(1)是垂美四邊理由：ADAB，∴點A在BD的垂直平分線上，∵CBCD，∴點C在BD垂直平分線上，BD的直平分線，即⊥BD，∴四邊形是美四邊.猜想結(jié)論：垂美四邊兩組對邊的平方和相已知圖邊形ABCD中線⊥BD是點E.求證+＝+CD證明：∵⊥，∴∠AEDBEC∠AEB∠＝90°，AD

+＝DE

++BE

CE

2

，

＝AE

+BE

CE

DE

2

，

+＝

+CD

.(3)連接CG，BE.∵∠GAC∠BAE＝90°∴BAG＝∠，∵AG＝AC＝AE∴≌△CAE∴∠AGN∠CAN∠CNM∠ANG∴∠＝＝°，∴⊥，即四邊形CGEB是美四邊形，CG+＝BCGE，而BC＝－4＝99+GE，∴GE＝73即＝

B

DD

C

MAE

C

A

EB

圖

G

圖【后思本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān).【鍵】定義四邊形、正方形、全等三角形、勾股定.18.(2016浙臺州，8分如，點在形ABCD的角線AC上且不與A，重，過點P分作邊，AD的平行線，交兩組對邊于點，和，H求證：≌；證明四邊形和邊形都矩形，直接寫出它們面積之間的關(guān)系．A

HPG第19題

CFB【逐步提示】仔細(xì)審題，(1)題，思考第一問，證全等，那么想到找角相等，和邊相等，可以找到公共，接下去可以利用平行線，找出內(nèi)錯角相等，得.第(小題，回忙矩形的判定方法，我們可以找到這兩個圖形中，已經(jīng)都有一個直角，那么只須證明兩個四邊形是平行四邊形，就可證明都是矩形，這樣可以利用平行線來證即可；它們的面積關(guān)系，抓住對線A，得

＝ADC

，

APE

=

APG

,

PCH

，可得出它們面積相等.【詳細(xì)解答】證明：∵四邊形是形∴AB//CD，AD//BC.又∵EF//AB，GH//AD，∴EF//CD，∴∠CPF＝∠，＝PCF，∵＝∴△PHC(2)證明：由知AB//EF//CDAD//GH//BC；∴四邊形PEDH和四邊形PGBF都平行四邊形∵四邊形ABCD是形∴∠＝B，∴四邊形PEDH和四邊形PEDH都矩

＝－矩形P＝－矩形PFBGAPG

易得＝，SADCABCAPES矩形P矩FBG

=

,

PCH

【解后反思】這類題重點學(xué)生要熟練掌握平行線性質(zhì)、平行四邊形及矩形的判定、平行四邊形性質(zhì)才.【關(guān)鍵詞】平線性質(zhì)；平行四邊形判定；矩形判定；平行四邊形性質(zhì)；19.浙江山2310分我定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”概念理解：請你根據(jù)上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子；問題探究：如圖1，在等鄰角四邊形中DAB=，AD的中垂線恰好交于邊一點，=－22222=－22222連結(jié)．BD，試究與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理.(3)應(yīng)用拓展：如圖2，在eq\o\ac(△,Rt)ABC與eq\o\ac(△,Rt)中∠C∠D=90，BCBD，AB，將eq\o\ac(△,Rt)繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角α(0<α<BAC)，得到eq\o\ac(△,Rt)′D′(如圖3)，當(dāng)凸四邊形ADBC為等鄰角四邊形時，求出它的面積.【步示本題考查了全等角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線定理，等腰三角形性質(zhì)及矩形的判定與性質(zhì)題的關(guān)鍵是熟練掌握上述常見的圖形的判定與性質(zhì)以及從分類討論角度認(rèn)識凸四邊形′BC為鄰角四邊形的條(1)本小題答案不唯一，在常見的四邊形里梳理出符合等鄰角四邊形定義的四邊形即可(2)連PD，證明APC≌SAS)，可得AC=；(3)在△ABD著點A順針旋轉(zhuǎn)過程中角邊形′BC中相等的鄰角可以分兩種情況討論∠′=D′BC時AD、CB交E用S

ADACEeq\o\ac(△,S)

求四邊形AD面積當(dāng)∠D′=ACB°時點′作D′⊥ACE利用

=+S′四邊形AD′的積ACBDAED【析(1)矩形或正方(要寫出一個)(2)=BD理如下：連接．.∵PE是AD的垂線BC的垂線，∴PA，PC，∴∠PAD∠PDA，∠PBC∠，∴∠∠PAD，∠=2PBC而∠PAD∠，∴∠APC=∠，∴△APCDPBSAS，∴AC.(3)(I)如圖3-1當(dāng)∠′=D，延長′、交，∴∠′B=∠′∴EB=ED.設(shè)=′=.由勾股定理可得=′=4.∵在eq\o\ac(△,Rt)，AC

CE=AE

2

，∴4+(3+x)=(4+)，解得過點D′作D′CE于，∴′∥，∴eq\o\ac(△,)′∽△EAC，D′ED′D′F36∴，即=，解得：D′F=.ACAE42222222213681∴3=33(3+4.5)=15，=33F=33=，ACE2eq\o\ac(△,)2217∴

=－=15－；ACBDACEBD17圖(Ⅱ)如圖，當(dāng)∠D′=ACB=90時，過點′作D′E⊥于.∴四邊形′矩.∴ED′在Rt△′中，AE+′=AD，∴AE

2

－3

=7∴=3′3737，′3－7)33=12－3AED2ECBD∴

=′ACBDeq\o\ac(△,S)AEDECBD

－7=12圖【后思本題屬于新定義題型，解答新定義的問題時，一定要深刻理解定義的本質(zhì)，把新義的問題，轉(zhuǎn)化為平時熟悉的問題來解決.如本題的“等鄰角四邊形”其實就是平時的四邊形中增加了“一組鄰角相等”這個條件而已；另外本題(問中的四邊形ADBC為等鄰角四邊形具體到哪一組鄰角相等，解題時容易產(chǎn)生漏解，需要特別留.【鍵】段垂直平分線的性質(zhì)；三角形全等的判定與質(zhì)；三角形相似的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；新定義題型；分類討論思想三解題（2016山東營，，10分如圖eq\o\ac(△,)ABC是腰直角三角形，BAC=90o，AB=AC，四邊ADEF是正方形，點B、分在邊、AF上，此時BD=CF,BDCF成.（1eq\o\ac(△,)ABC繞A時針旋轉(zhuǎn)

（

），如圖，成嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.（2eq\o\ac(△,)ABC繞A逆針旋轉(zhuǎn)45o，如圖3延長DB點H.①求證：BD⊥；②當(dāng)

時，求線段DH的長.【步示(1)證eq\o\ac(△,)ABD≌，可得BD=CF．(2)由≌△ACF，出HFN=∠，由頂角相等得出HNF=，出NHF=NAD=90°；連接，延長到，與DF交點M先證明∠BMD=90°，求出MB=1由勾股定理求出BD的；再證eq\o\ac(△,)BMD∽，得出比例式，代入相關(guān)數(shù)值求出DH的長．【細(xì)答解1成立.………….1分證明：∵AC=AB;∠CAF=BAD=；AF=AD，∴△≌△，∴………分（2①證明：由（）得eq\o\ac(△,)ABD△，∴∠HFN=∠AND，eq\o\ac(△,)與中∵∠HFN=∠AND；∠HNF=，∴∠NHF=∠，∴⊥HF,即BD⊥…………………分②解：如圖，連接DF延長AB到與于點Meq\o\ac(△,)MAD，∵∠∠MDA=45o∴∠BMD=90o.………………6分在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)BMD與eq\o\ac(△,)FHD中∵∠MDB=∠∴△BMD△FHD.…………分∵AB=2,AD=3

，四邊形ADEF是方，2∴=3，∴MB=3－，

2

10

，………………8分BD10，即，…………………9分HDHD6∴DH=

.………………分【后思本題難點在于將DH與ABAD相系連DF延長AB到M與DF于點M是題的關(guān)鍵，由的求出FD和MD的，由的長求出的，再由勾股定理求出BD的，進(jìn)而利用相似解決問題．【鍵】等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)

（2016山聊分本滿分分如圖在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠°點是的中點AC=2AB∠BAC的分線交BC于，AF，連接并延長交AF于，連接求證：四邊形ADCF是菱形?！局鸩教崾尽康谝徊嚼肁AS證△≌△CED,第步利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證出四邊形是行四邊形，第三步通過計算出角的度數(shù)證明∠第四步利用“等角對等邊”證出第步利用“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”證出四邊形A是形.【詳細(xì)解答】解：∵∥CD∴∠AFE=CDE,在△和中AFECDEAEF

CE∴△AFE≌∴∵AF∥CD∴四邊形是行四邊，∵∠B=90，°∴∠°，∵AD平分∠CAB∴∠DAC=DAB=°∴DA=DC∴四邊形是形【解后反思】本題考查菱形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識解決問.(1)判定兩個三角形全等的基本思路①有兩個角對應(yīng)相等時，找任意一條對應(yīng)邊相等；②有兩條邊對應(yīng)相等時，找夾角對應(yīng)相等或第三邊相等；③有一條邊和一個角對應(yīng)相等時找等角的另一條鄰邊對應(yīng)相等或另一個角對應(yīng)相等；④如果有直角三角形，還可以考慮用HL”平四邊形判定方法：①兩組對邊分別分別