開(kāi)題報(bào)告信息與計(jì)算科學(xué)無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題無(wú)導(dǎo)數(shù)解法-、選題的背景、意義1.選題的背景在科學(xué)研究和工程應(yīng)用中，涉及到各類(lèi)工程、軍事、生產(chǎn)、管理、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域內(nèi)實(shí)用性非常強(qiáng)。最優(yōu)化方法已成為許多工程技術(shù)人員、管理工作者和研究人員的必備工具。最優(yōu)化理論與算法是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支，它所研究的問(wèn)題是討論在眾多的設(shè)計(jì)方案中什么樣的方案最優(yōu)以及怎樣找出最優(yōu)方案。這類(lèi)問(wèn)題普遍從在在實(shí)際生活當(dāng)中，例如，工業(yè)設(shè)計(jì)中怎么樣選擇設(shè)訃參數(shù)，使得設(shè)計(jì)方案滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求，乂能降低成本；資源分配中，怎樣分配有限資源才能使得分配方案既能滿(mǎn)足各方面的基本要求，乂能獲得好的經(jīng)濟(jì)效益；生產(chǎn)評(píng)價(jià)安排中，選擇怎樣的訃劃方案才能提高產(chǎn)值和利潤(rùn)；原料配比問(wèn)題中，怎樣確定各種成分的比例，才能提高質(zhì)量，降低成本；建設(shè)規(guī)劃中怎樣安排工廠、機(jī)關(guān)、學(xué)校、商店、醫(yī)院、住戶(hù)和其他單位的合理布局，才能方便群眾，有利于城市各行各業(yè)的發(fā)展；農(nóng)田規(guī)劃中，怎樣安排各種農(nóng)作物的合理布局才能保持高產(chǎn)穩(wěn)產(chǎn)，發(fā)揮地區(qū)的優(yōu)勢(shì)；在軍事戰(zhàn)斗指揮中，怎樣確定最佳作戰(zhàn)方案，才能有效的殲滅敵人，保存自己的實(shí)力，而有利于整場(chǎng)戰(zhàn)斗的全局，諸如此類(lèi)，不勝枚舉。最優(yōu)化這一數(shù)學(xué)分支，正是為這些問(wèn)題的解決提供理論基礎(chǔ)和求解方法，它是一門(mén)應(yīng)用廣泛、實(shí)用性很強(qiáng)的學(xué)科。2.選題的意義在上面的選題背景中，我們可以看出最優(yōu)化設(shè)計(jì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用非常的廣泛，我們可以通過(guò)數(shù)值最優(yōu)化中的基礎(chǔ)知識(shí)和訃算方法來(lái)解決實(shí)際生活中問(wèn)題，運(yùn)用科學(xué)的訃算方法和網(wǎng)絡(luò)編程來(lái)使我們的工作變得更加效率、科學(xué)。下面我們通過(guò)以下實(shí)例來(lái)體會(huì)下最優(yōu)化設(shè)計(jì)能給我們帶哪些方便。無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)模型為：mill/(A),x"R〃解這兩個(gè)問(wèn)題我們要用到以下無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的解法：Powell直接法軸向搜索法黃金分割法這3種方法是針對(duì)無(wú)約束的最優(yōu)化求解，分析問(wèn)題，寫(xiě)出求解過(guò)程，再利用MATLAB軟件編程計(jì)算結(jié)果，但是對(duì)于有約束的一類(lèi)問(wèn)題，我們也可以化成無(wú)約束問(wèn)題來(lái)解決，例如min/(x)f，(x)=(),我們加入一個(gè)罰函數(shù)，通mr，，，[cj(x)>0,ier,過(guò)將LI標(biāo)函數(shù)和嵌入約束條件的罰函數(shù)相結(jié)合，我們可以通過(guò)求解一個(gè)序列的無(wú)約束問(wèn)題。例如，只有等式約束條件，我們可以定義罰函數(shù)為義田兀)2”仁對(duì)于等式約束問(wèn)題，則定義罰函數(shù)為/(X)+-Alcr(A-)l,然后用開(kāi)始介紹的3種方法來(lái)訃算，這樣我們就拓展了最優(yōu)化算法的范用，使得實(shí)際運(yùn)用時(shí)更加方便。二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問(wèn)題MATLAB軟件簡(jiǎn)介和經(jīng)濟(jì)問(wèn)題分析MATLAB軟件簡(jiǎn)介MATLAB是一個(gè)基本的應(yīng)用程序，是一種面向科學(xué)和工程計(jì)算的高級(jí)語(yǔ)言，通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題進(jìn)行編程，并創(chuàng)建M文件運(yùn)行得到結(jié)果，整個(gè)計(jì)算過(guò)程和編程過(guò)程非常便捷。所以我們的LI的就是運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)對(duì)現(xiàn)實(shí)中經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行編程并得到解。MATLA有一個(gè)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)工具箱的巨大程序模塊庫(kù)。MATLAB工具箱包括解決實(shí)際問(wèn)題的擴(kuò)展庫(kù)，如：求根、插值、數(shù)值積分、線(xiàn)性和非線(xiàn)性方程組求解以及常微分方程組求解。山于繼承了UNPACK、EISPACK和LAPACK的特性，MATLAB對(duì)數(shù)值線(xiàn)性代數(shù)來(lái)說(shuō)是一個(gè)高可靠的優(yōu)化系統(tǒng)。許多數(shù)值作業(yè)能夠用線(xiàn)性代數(shù)語(yǔ)言精確地表示。MATLAB和線(xiàn)性代數(shù)的密切關(guān)系是程序員能夠用很短的MATLAB語(yǔ)言來(lái)解決復(fù)雜的數(shù)值作業(yè)。標(biāo)準(zhǔn)工具箱還包括數(shù)據(jù)可視化的擴(kuò)展圖形庫(kù)，有簡(jiǎn)單的點(diǎn)、線(xiàn)和復(fù)雜的三維圖形和動(dòng)畫(huà)。所有的MATLAB程序都可以使用這些函數(shù)，這樣就可以在所有程序和程序集中分析并生成達(dá)到出版質(zhì)量的圖示。對(duì)圖形的快速訪(fǎng)問(wèn)能有效地提高用戶(hù)的效率。診斷點(diǎn)有助于調(diào)試程序和檢驗(yàn)算法是否正確執(zhí)行。低級(jí)的圖形函數(shù)為自定義圖形用戶(hù)接口的分析代碼提供了擴(kuò)展空間。除了標(biāo)準(zhǔn)工具箱，可以使用其他的工具箱，如：信號(hào)處理、圖像處理、優(yōu)化、統(tǒng)計(jì)分析、偏微分方程的求解和許多數(shù)值訃算的應(yīng)用。MATLAB不僅有著豐富的庫(kù)函數(shù)，在進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)可以直接調(diào)用而且用戶(hù)還可以根據(jù)需要方便地編寫(xiě)和擴(kuò)充新的函數(shù)庫(kù)。通過(guò)混合編程用戶(hù)可以方便地在MATLAB環(huán)境中調(diào)用其他用Fortran或者C語(yǔ)言編寫(xiě)的代碼，也可以在C語(yǔ)言或者Fortran語(yǔ)言程序中調(diào)用MATLAB計(jì)算引擎來(lái)執(zhí)行MATLAB代碼。2.1.現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)當(dāng)中的問(wèn)題分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)中，比如經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，軍事領(lǐng)域，生產(chǎn)領(lǐng)域等等，最優(yōu)化問(wèn)題則是我們經(jīng)常會(huì)見(jiàn)到的，也是非常棘手的問(wèn)題。怎樣處理問(wèn)題才能設(shè)計(jì)出最優(yōu)化的方案來(lái)，這也是很多投資者，職權(quán)這，廠家所關(guān)心的問(wèn)題。為此本論文將討論無(wú)約束最優(yōu)化中最為常見(jiàn)的無(wú)導(dǎo)數(shù)算法，并以經(jīng)濟(jì)實(shí)例來(lái)說(shuō)明他的優(yōu)點(diǎn)?，F(xiàn)在我們來(lái)看在一個(gè)生產(chǎn)項(xiàng)LI中，一年的機(jī)器折舊費(fèi)用、機(jī)器維護(hù)費(fèi)、工人薪水等為8萬(wàn)元支出，項(xiàng)口期間對(duì)于沒(méi)用材料的變賣(mài)的利潤(rùn)與總的材料量的比例為5,材料的費(fèi)用和材料的量x的關(guān)系為合同規(guī)定x的范圍為[1,7](噸)，計(jì)算x為多少時(shí)，成本最低。分析：通過(guò)題目我們可以得到成本和x的關(guān)系為/(a)=x2-5x+8,此問(wèn)題我們可以寫(xiě)成：min/(x)，其中x的搜索區(qū)間為[1,7],如果給出一個(gè)精度「我們就可以運(yùn)用黃金分割法來(lái)計(jì)算此問(wèn)題，解題過(guò)程如下：解：我們?nèi)【葹?0?1,那么要達(dá)到這個(gè)精度要求，區(qū)間縮短次數(shù)必須滿(mǎn)令〃壬.若|嚴(yán)卜，則得解十”），否則，從少出發(fā)，沿/"）進(jìn)行精度線(xiàn)性搜索得+”“）。由下面算法f（y（i））-f（yW））=max{/（『））-）}計(jì)算最大下降量所確定的指標(biāo)/如果/（嚴(yán)）-2/（嚴(yán)）4-f（2y（n）-嚴(yán)）>2（/（）"）-/（嚴(yán)）））成立，貝ijx,0）:=x<n"\k：#+1,轉(zhuǎn)步2.令嚴(yán)）：〃*）,,=0,—-1L=xo,+i>，：二k+1。轉(zhuǎn)步2.2.2.2軸向搜索法軸向搜索法有Hooke-Jeeves（1961）提出，故乂稱(chēng)為Hooke-Jeeves算法，該算法的基本思想是從某個(gè)初始點(diǎn)x（6）出發(fā)，采用固定的步長(zhǎng)5>0,依次沿坐標(biāo)軸e,r=o,i,m的正向或反向進(jìn)行試探，產(chǎn)生列點(diǎn)y⑴，嚴(yán)，…，嚴(yán).若/（）"）<"嚴(yán)），則稱(chēng)該輪試探成功，若試探成功，則算法轉(zhuǎn)入下一輪試探，即從出發(fā)，采用固定步長(zhǎng)5>0,再依次沿坐標(biāo)軸e』=o,i,m的正向或反向進(jìn)行試探，若試探不成功，即/（yn））>/（x<0））,（0）則縮小試探長(zhǎng)度“即令5：二代（0已（0,1）），重新進(jìn)行試探，重復(fù)上述過(guò)程，知道該輪試探成功，算法的細(xì)節(jié)如下：從初始點(diǎn)兀⑹出發(fā)，沿坐標(biāo)軸少（的正方向）進(jìn)行試探得點(diǎn)嚴(yán)二?嚴(yán)+況⑹，不成立，則從『°）出發(fā)沿少的反方向重新試探得點(diǎn)嚴(yán)“（⑼兄⑼，若（1）式不成立，則再重新賦值y（n=X<O）,然后從y⑴點(diǎn)出發(fā)沿少的正方向或負(fù)方向得新的試探點(diǎn)）3=）2土況⑴。重復(fù)上述過(guò)程直至沿所有坐標(biāo)的正方向或反方向都進(jìn)行一次試探。此時(shí)得點(diǎn)列嚴(yán)，嚴(yán)叭若（0）式成立，則該輪試探成功，令刊3）,轉(zhuǎn)入下一輪的試探，若（0）不成立，則令〃=祝其中0已（0,1）。從初始點(diǎn)x（6）出發(fā)，重復(fù)上述試探過(guò)程，得新的點(diǎn)列：）,⑴，嚴(yán)，…，嚴(yán)若（0）式還是不成立，則再令5：二05。重復(fù)上述試探過(guò)程，直至該輪試探成功。總結(jié)上述過(guò)程，軸向搜索法的具體算法步驟如下：取初始點(diǎn)少wR”,初始步長(zhǎng)5>0,步長(zhǎng)縮減因子0e（O,l），步長(zhǎng)加速因fa>0,精度e>0o給定n個(gè)坐標(biāo)軸向量「>,7=0,1,,"-1,令f=x,u,,K:=0,J：二0若/（嚴(yán)+況3）</（嚴(yán)）則令y（Z=y（/）+況5轉(zhuǎn)到笫4步，否則轉(zhuǎn)到笫3步。若/（嚴(yán)-況仃））</（嚴(yán)）則令轉(zhuǎn)到步4,否則，令y):=y°),轉(zhuǎn)步4.若jVn-l,令j:二j+1并轉(zhuǎn)步2.否則轉(zhuǎn)步5.若/(/n))</(Xu>),令<z：=,)凹：=+a{x{M}-xa}),k:=k+1J:=0,并轉(zhuǎn)步2,否則，轉(zhuǎn)步6.若6〃,則得解嚴(yán)，否則，令3:=和，嚴(yán):=x(Jk)tx<k+l):=xik\k.=k+lj-o轉(zhuǎn)向步2.則依次循環(huán)，直到得到最優(yōu)解。2.3黃金分割法黃金分割法是優(yōu)化汁算中的經(jīng)典算法，以算法簡(jiǎn)單、效果顯著而著稱(chēng)，是許多優(yōu)化算法的基礎(chǔ)，但它只適用于一維區(qū)間肚閏上的凸函數(shù)。其基本思想是：依照“去壞留好”原則、對(duì)稱(chēng)原則、以及等比收縮原則來(lái)逐步縮小搜索范圉。具體地說(shuō)，就是在區(qū)間［a,b］中取點(diǎn)冊(cè)=a+0.382(b-a),吃=4+0.6180-a)。如果/(總>/(%2)則令。=X\,重新開(kāi)始。如果f(xi，)<f(X^)則令b=%2,重新開(kāi)始。這樣每次可將搜索區(qū)間縮小0.382倍或0.618倍。直至縮為一點(diǎn)。這是一個(gè)收斂速度很快的一維搜索方法。正是受這一算法的啟發(fā)我們這里將這一方法推廣到二維和三維空間。本法是受黃金分割法的啟發(fā)而產(chǎn)生的，簡(jiǎn)單地說(shuō)，是黃金分割法在平面上推廣，正因?yàn)槿绱?，它和黃金分割法一樣，具有簡(jiǎn)單、快捷的特點(diǎn)，當(dāng)然本法同樣也只適用于單峰凸(或凹)函數(shù)。其基本思想是：將可行的平面矩形區(qū)域D={(x,y\a<x<b,c<y<d在縱橫兩個(gè)方向分別以0.382和0.618將其分割，如圖1所示，將D分為九個(gè)小矩形。逐個(gè)判斷各小矩形形心的函數(shù)值，如果該點(diǎn)函數(shù)值小于四角的函數(shù)值，則將該小矩形作為新的搜索區(qū)重新開(kāi)始。如果各小矩形形心的函數(shù)值均不能小于四角的函數(shù)值則，選十六個(gè)節(jié)點(diǎn)中函數(shù)值最小者為新的形心構(gòu)造一個(gè)面積大約為原矩形五分之二大的矩形，重新開(kāi)始。當(dāng)然這里我們要求新矩形的頂點(diǎn)必須保證不超出原矩形所界定的區(qū)域，即：都保持在可行區(qū)域之內(nèi)。如果超出可行區(qū)，則以該矩形與邊界線(xiàn)的交點(diǎn)為相應(yīng)的頂點(diǎn)。如果最小點(diǎn)在角上，一樣辦理。只是如果新矩形的某一角超出可行區(qū)的角則以可行區(qū)的角為相應(yīng)的角。具體地說(shuō)，如果處最小，則新的矩形區(qū)域?yàn)椋阂寓冱c(diǎn)為心，水平長(zhǎng)為a,%之間距離，垂直高為-內(nèi)之間距離的矩形。如果％處最小，則新的矩形區(qū)域?yàn)椋阂跃命c(diǎn)為心，水平長(zhǎng)為b之間距離，垂直高為b,幾之間距離。如果a處最小則新矩形為，必，q,Pi等等。如此類(lèi)推，如此一直做去直至矩形收縮到所需的范圍之內(nèi)。如果不幸，恰好16個(gè)節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值都相等，那我們就將這九個(gè)矩形都再做一次分割，找出一個(gè)最小點(diǎn)，如果還是不幸，第二次分割后所有節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值仍然都相等，我們繼續(xù)進(jìn)行分割，直到每個(gè)矩形的直徑都小于某個(gè)給定的數(shù)（或規(guī)定達(dá)到某一個(gè)分割次數(shù)），則我們可以斷定該函數(shù)是一個(gè)平行于兀Oy坐標(biāo)面的平面，即可結(jié)束運(yùn)算。對(duì)于上述做法也許有人會(huì)提出這樣的疑問(wèn)：如果目標(biāo)函數(shù)出現(xiàn)一道深溝怎么辦，這樣一來(lái)有可能四角的函數(shù)值雖然大于中心的函數(shù)值，但真正的最小值實(shí)際上在所討論的矩形之外。對(duì)于這一疑問(wèn)，我們也考慮到了。實(shí)際上，我們這里的矩形是可以在可行區(qū)內(nèi)移動(dòng)的，所以當(dāng)上述情況出現(xiàn)時(shí)，我們依然縮小矩形，當(dāng)矩形小到一定程度時(shí)，矩形中的最小值就一定會(huì)移到邊上的（否則最小值就在矩形中），這時(shí)我們?cè)僮龀龅南乱患?jí)矩形就會(huì)向邊上移動(dòng)，直至最小值重新回到矩形中。三、研究的方法與技術(shù)路線(xiàn)、研究難點(diǎn)，預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)1、研究?jī)?nèi)容（1）掌握MATLAB的基本語(yǔ)法、基本命令、MATLAB函數(shù)及程序設(shè)計(jì)，學(xué)習(xí)使用MATLAB編程來(lái)解決實(shí)際當(dāng)中的最優(yōu)化問(wèn)題：（2）熟悉無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題無(wú)導(dǎo)數(shù)解法的幾種算法，比如Powell直接法、軸向搜索法、黃金分割法等；（3）通過(guò)編程實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的最優(yōu)解汁算并進(jìn)行結(jié)果的比較，選擇出效果好，跟加實(shí)用的算法。2、研究方法及技術(shù)路線(xiàn)通過(guò)運(yùn)用數(shù)值分析，數(shù)值最優(yōu)化中算法，再結(jié)合現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)發(fā)展的狀況以及結(jié)合前人所研究的成果，運(yùn)用科學(xué)的方法（Powell直接法、軸向搜索法、黃金分割法等）來(lái)有效的，最優(yōu)化的解決實(shí)際經(jīng)濟(jì)當(dāng)中的問(wèn)題。先大量的閱讀有關(guān)資料，熟悉這些算法，并用這些算法來(lái)訃算實(shí)際問(wèn)題，最后通過(guò)MATLAB編程實(shí)現(xiàn)。3、研究難點(diǎn)（1）熟悉MATLAB和熟練的運(yùn)用MATLAB進(jìn)行編程；（2）要通過(guò)有創(chuàng)新的思維，科學(xué)的思想來(lái)相處獨(dú)到的算法，來(lái)更有效的解決問(wèn)題；（3）無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題的解法非常多，本論文只針對(duì)很難求導(dǎo)或不能求導(dǎo)的問(wèn)題4、預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)通過(guò)這篇論文的撰寫(xiě)更加熟悉無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題的無(wú)導(dǎo)數(shù)的概念和解法，掌握MATLAB的基本語(yǔ)法、基本命令和MATLAB函數(shù)程序設(shè)計(jì)，并能夠熟練的運(yùn)用MATLAB編程來(lái)解決實(shí)際當(dāng)中的問(wèn)題四、論文詳細(xì)工作進(jìn)度和安排第一階段：2010年11月5號(hào)至2011年1月10號(hào)完成畢業(yè)論文文獻(xiàn)檢索、文獻(xiàn)綜述、外文文獻(xiàn)翻譯及開(kāi)題報(bào)告。第二階段：2011年1月10號(hào)至2011年3月11號(hào)完成畢業(yè)論文的數(shù)據(jù)收集，論文初稿。第三階段：2011年3月11號(hào)至2011年5月3號(hào)（1）進(jìn)入實(shí)習(xí)單位進(jìn)行畢業(yè)實(shí)習(xí)，對(duì)論文進(jìn)行修改；（2）2011年5月3號(hào)前必須返校，完成畢業(yè)實(shí)習(xí)返校，并遞交畢業(yè)實(shí)習(xí)報(bào)告，進(jìn)一步完善畢業(yè)論文。第四階段：2011年5月23號(hào)至2011年5月28號(hào)完成第一輪畢業(yè)論文答辯。第五階段：2011年5月28號(hào)之2011年6月3號(hào)笫一輪答辯沒(méi)通過(guò)的學(xué)生完成第二輪答辯，并隨機(jī)抽取部分完成較好的畢業(yè)論文進(jìn)行校級(jí)答辯。五、主要參考文獻(xiàn)：［1］李董輝，童小嬌，萬(wàn)中編.數(shù)值最優(yōu)化［M］.北京:科學(xué)出版社,2005.5.⑵易大義，陳道琦數(shù)值分析引論［M］.浙江：浙江大學(xué)出版社，199&9.［3］汪卉琴，劉目樓數(shù)值分析［M］冶金工業(yè)出版社，2003.陳寶林編著最優(yōu)化理論與算法[M]北京：清華大學(xué)出版社，1999.何堅(jiān)勇編著最優(yōu)化方法[M]北京：清華大學(xué)