高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程大學(xué)數(shù)學(xué)（一）——

一元微積分學(xué)第三講 數(shù)列的極限編寫、教案制作：

中孟益民第二章數(shù)列的極限與常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)本章學(xué)

：了解數(shù)列極限的概念，會(huì)用《

N》語(yǔ)言描述數(shù)列的極限。正確理解

和N

的含義。熟悉數(shù)列極限的性質(zhì)和收斂準(zhǔn)則。熟悉無窮小量的概念和性質(zhì)。能熟練運(yùn)用“放大不等式”法、“

定理”以及極限運(yùn)算法則計(jì)算數(shù)列的極限或簡(jiǎn)單的極限證明。理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念和性質(zhì)。掌握級(jí)數(shù)收斂的必要條件以及收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)。熟悉常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法。掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂判別法。熟悉等比級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)、P－級(jí)數(shù)的斂散性第二章數(shù)列的極限與常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第一節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列及其簡(jiǎn)單性質(zhì)二、數(shù)列的極限三、數(shù)列極限的性質(zhì)設(shè)f

(n)是以正整數(shù)集Z＋為定義域的函數(shù).n

n將

f

的值域

f

(Z

)

{

x

|

x

f

(n),

n

N

}中的元素

xn

,

按自變量

n

增大的次序排列出來所得到的一串?dāng)?shù)：x1,

x2

,

,

xn

,

稱為一個(gè)數(shù)列,

記為{

xn

}.1.

定義數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的一項(xiàng)xn

=f

(n)

稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng)一、數(shù)列及其簡(jiǎn)單性質(zhì)數(shù)列也稱為序列2.

數(shù)列的表示法公式法圖示法表格法運(yùn)用數(shù)軸表示運(yùn)用直角坐標(biāo)系表示0

2

42nx1

x2

xn…x…?????

??????????……例1介紹幾個(gè)數(shù)列(1) {2n

}: 2,

4,

8,,

2n

,通項(xiàng):xn

2.nx2x12

n1x0…

xn

…

x3?????

?????,

,

,2

4

8

21

1

1

,

1

,(2)n2

n

1

:2nn通項(xiàng)

:

x

1

.01x2n–1x2n1x(3)

{

(1)n1}:

1,

1,

1,

1,,

(1)n1,通項(xiàng)

:

x

(1)n1.n所有的奇數(shù)項(xiàng)所有的偶數(shù)項(xiàng)xn2Mx2n1x41x21?

?

?

?

?x2n1?

?

?

?

?0x1x

3,(4)nn1

(1)n

: 0,

1,

0,

1

,

0,

1

,

,2

31

(1)n

.n1

(1)n通項(xiàng)：

xn

所有奇數(shù)項(xiàng)x0x112n…

xn…

1x2

x32

3

…3

4

n

1?

?

?

?

??

?

?

?

?…,

,

, ,

,1

2

3(5)1

2

3

4

:n

n

1n

n.n

n

1n通項(xiàng)

:

x

3.

數(shù)列的性質(zhì)單調(diào)性有界性(1)

數(shù)列的單調(diào)性若{xn

}

滿足

x1

x2

xn

,

則稱{xn

}

嚴(yán)格單調(diào)增加,

記為

xn

.單調(diào)增加若{xn

}

滿足

x1

x2

xn

,

則稱xn

單調(diào)增加},

{也記為

xn

.不減少的數(shù)列單調(diào)減少的情形怎么定義？有說一說.若{xn

}

滿足

x1

x2

xn

,

則稱{xn

}

嚴(yán)格單調(diào)增加,

記為{xn

}

.單調(diào)減少若{xn

}

滿足

x1

x2

xn

,

則稱{xn

}單調(diào)增加,

也記為{xn

}

.不增加的嚴(yán)格單調(diào)增加(單調(diào)增加)嚴(yán)格單調(diào)減少(單調(diào)減少)單調(diào)增加(不減少的)單調(diào)減少(不增加的)統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列數(shù)列(2)

數(shù)列的有界性回想一下前面講過的函數(shù)的有界性的情形我學(xué)過嗎？Ox若

M

0,

使得當(dāng)

x

I

時(shí),

有

|

f

(

x)

|

M

成立,則稱函數(shù)f

(x)在區(qū)間I

上有界.yM

My

My

M()Iy

f

(

x)數(shù)列的有界性的定義若

M

0,

使得

|

xn

|

M

,

n

N

成立,則稱數(shù)列{xn

}

有界.

否則稱

xn

是

的.想想：有界的數(shù)列在數(shù)軸上和在直角坐標(biāo)系中的圖形會(huì)是什么樣子？|xn

|

<

M*,

n

N

xn

U(

0,

M*

),

n

N從數(shù)軸上看,

有界數(shù)數(shù)列

{

xn

}

的全部點(diǎn)都落在某區(qū)間

(－M*,

M*

)中.)x0M*xn(

?????

?????－M*例2x2x12

n1x0…

xn

…

x3?????

?????,

,

,2

4

8

21

1

1

,

1

,(1)n2

n

1

:22

1

,n有界(可取

M

1

).觀察例1

中的幾個(gè)數(shù)列：0

1–1x2nx2n1x{(1)n1}

不單調(diào),

但有界(可取

M

1

).(3)

{

(1)n1}:

1,

1,

1,

1,,

(1)n1,xn2x2n1x41x21?

?

?

?

?x2n1?

?

?

?

?0x1x

3M,(3)nn1

(1)n

: 0,

1,

0,

1

,

0,

1

,

,2

31

(1)n

n1

(1)n

不單調(diào),

但有界(可取

M

1

).x0x1

x2

x31

22

3n…

xn…

13

…4

n

1?

?

?

?

??

?

?

?

?…,

,

, ,

,1

2

3(4)1

2

3

4

:n

n

1n

n1n

n

,

有界(可取

M

1

).xn0

2

42nx1

x2…x…?????

??????????……(5) {2n

}:

2,

4,

8,

,

2n

,

n

,}(但下方有界：xn

2).有些數(shù)列雖然,

但它或者是下方有界的,

或者是上方有界的.若

xn

M

,

MR

,則稱{xn}有上界.若

xn

m

,

mR，則稱{xn}有下界.{

xn}:有界

既有上界又有下界.m

xn

M

,取M

*

max{|

M

|,|

m

|},則

M

*

xn

M

*,即|

xn

|

M

*.數(shù)列{xn

}的所有上界中的最小者,稱為數(shù)列的上確界,

記為

sup

xn

.數(shù)列{xn

}的所有下界中的最大者,稱為數(shù)列的下確界,

記為

inf

xn

.一個(gè)數(shù)列有界(有上界,

有下界),

則必有無窮多個(gè)界(上界,

下界).若對(duì)M

0,

至少存在一個(gè)n0

,

使得|

xn

|

M

成立,

則稱數(shù)列{xn

}

是

的.0現(xiàn)在來

如何定義數(shù)列的無有界性：若M

0,

使得|

x

|

M

,

n

Z

成立,n首先看有界性定義的關(guān)鍵所在使不等式不成立0若有一個(gè)n則稱數(shù)列{xn

}有界.M

這么辦？對(duì)所有的例3證明數(shù)列{2n

}

是

的.M

.|證

,

即要對(duì)M

找一個(gè)n0

使xn0(不妨設(shè)M

1),令

|

2n

|

M

,

則

n

log

M2log2MM

1,

當(dāng)取

n

M

時(shí),

logn0

M

.0

2證

M

1

0

,取

n0

[log2

M

]

1,

則

[log2

M

]

1

log2

M

0,n0|

x

|

|

2n0|

|

2[log2

M

]1

|

|

2log2

M

|

M

.由定義可知數(shù)列{2n

}

是

的.二、數(shù)列的極限n1

(1)nn

n

10

1由前面

看到：當(dāng)

n

無限增大時(shí),1

02n極限描述的是變量的變化趨勢(shì).數(shù)列

n10(1)n

當(dāng)n

無限增大時(shí)的變化趨勢(shì).容易看出:

當(dāng)

n無限增大時(shí),無限地趨近于零.10n(1)n10

1103

1

1

102

n

1

1

1102nx1x3

x2n-1x2n

x4x2

1104

102x0(())(

)???

???

????

???

*???

????

???

???

0

0,

從某一項(xiàng)開始,以后的所有項(xiàng)就都落在U(O,

)中了.U(O,

1)

1U(O,

)“n

無限增大”記為n

.此時(shí)稱數(shù)列nn10(1)n

{x

}

當(dāng)n

時(shí)以零為：極限,

記為

lim

0.n(1)nn

10這就是該數(shù)列的變化趨勢(shì)(1)n

0

.10n10n(1)n無限地接近于0

”記為“

的圖上看,nn10(1)n

{x

}

從數(shù)列10

1

1

1

102

n

1

1

102n

1x1x3

x2n-1x2nx4x2

1103

104

102x0

((())

)???

???

????

???

*???

????

???

???量化表示：n

時(shí),xn

a

.xn

U(O,

)

|

xn

0

|

.預(yù)先任意給定一個(gè)正數(shù)

>0,

不論它的值多么小,

0

0

(1)n10n|

xn

0

|

當(dāng)

n

無限增大時(shí),

數(shù)列{

xn

}

總會(huì)從某一項(xiàng)開始,N

0,以后的所有項(xiàng)當(dāng)n

N

時(shí),都落在U(0,

)中.（在U(0,

)外面只有有限項(xiàng)）

010n(1)n

0

N

0,當(dāng)n

N

時(shí),lim

0

:(1)nn

10n其中,

0

是描述點(diǎn)xn

與點(diǎn)0

無限接近的n度量標(biāo)準(zhǔn),

它是預(yù)先任意給定的,與{x

}的極限存在與否無關(guān).N

是否存在,

取決于數(shù)列

{xn

}

本身.數(shù)列有極限,則N

存在;數(shù)列無極限,則N不存在.如果

N

存在,

則其不唯一,

所有大于N的正整數(shù)均可取作為N.

并且N

與

有關(guān),可記為N

N

(

),

一般說來,

值越小,

則N

的值越大.由N

存在與否判斷數(shù)列的極限是否存在.n

>N

描述n

.通過目標(biāo)不等式來尋找N>0,N

=

N().不等式

0

(1)n10n稱為目標(biāo)不等式.lim

xn

a.n一般地,

如果數(shù)列{xn}

當(dāng)

n

時(shí),xn

可以無限地趨近某個(gè)常數(shù)

a,

則稱數(shù)列{xn}

當(dāng)

n

時(shí)以

a

為極限,

記為此時(shí),

也稱數(shù)列是收斂的.例4nn

21limn1

(1)nlimnlimnn

n

1

0

0

1(n

)

.記為

lim

xn

a,

或

xn

an此時(shí),

也稱數(shù)列{

xn

}

是收斂的.若{

xn

}當(dāng)

n

時(shí)沒有極限,

則稱{

xn

}發(fā)散.

0

,

若

N

0

,使當(dāng)

n

N

時(shí),|

xn

a

|

成立,

則稱數(shù)

a

為數(shù)列{xn

}當(dāng)n

時(shí)的極限,極限描述的是變量的變化趨勢(shì)數(shù)列的項(xiàng)不一定取到它的極限值.數(shù)列極限的定義：例5n

2n證明：lim

1

0.證

0,1由n

2n1

0

2n2n

2n

0

1

1

2n12

n

log2

故取

N

max{0,

[log1

]},

則n>N時(shí),由極限的定義,

得

lim

1

0

.一般有l(wèi)im

an

0 (

|

a

|

1

).n例6n1

證明：lim

sin

0

.n

n證

0,要

1

sin

0

,n

n只要

1

sin

1

,n

n

n故取N

1

,

則當(dāng)

n

N

時(shí),

sin

0

1

n

n

n

n成立.

由極限的定義可知:limsin

0

.n

n1

n放大不等式法利用極限存在時(shí),

N

不唯一.例7n設(shè){xn}: a,

a,,

a,,

證明

lim

a

a.證

0,取

N

1,

則當(dāng)

n

N

時(shí),

有|

xn

a

|

|

a

a

|

0

n成立.故由極限的定義可知：lim

a

a.通常說成：常數(shù)的極限等于其自身.lim

5

5, lim

(1)

1,

.n

n例8證明:

若

lim

xn

a,

則

lim |

xn

|

|

a

|

.n

n證n因?yàn)?/p>

lim

xn

a,

所以

0,

N

0,有|

xn

a

|

.當(dāng)n

N

時(shí),n由絕對(duì)值不等式,

得||

xn

|

|

a

||

|

xn

a

|

,故有

lim

|

xn

|

|

a

|

.注意：該例題結(jié)論的逆命題不真.

例如,

{(1)n}.例9證(n

2m

1),nlim

xn

a

(n

2m),

lim

xn

an

n則

lim

x

a,

其中

m

Z

.證明：如果{xn

}滿足n

0,當(dāng)n

N

時(shí),(n

2m),

N1

0,由

lim

xn

an(n

2m

1),

N2

0,

當(dāng)n

N

時(shí),由

lim

xn

an(n

2m);|

xn

a

|

(n

2m

1),|

xn

a

|

取

N

max{N1,

N2},

則當(dāng)n

N時(shí),

恒有|

xn

a

|

,n故由極限定義得：lim

xn

a.逆命題成立嗎？例10證

,nnn

nn

1nn

1,證明:

lim

x

1.當(dāng)n

為奇數(shù),當(dāng)n

為偶數(shù),設(shè)

x

0,n

1

n

1

,n

n

n要

n

1

1

,

即要故取

N1

[1

],

則當(dāng)

n

N1

,

n

為偶數(shù)時(shí),

有nn

1

1

;n

1

n

1

,n

1

1

,即要同理,

要n

n

n故取

N2

[1

],

則當(dāng)

n

N2

,

n

為奇數(shù)時(shí),

有nn

1

1

;n取

N

max{N1,

N2},

則當(dāng)

n

N

時(shí),n

1

1

與

n

1

1

同時(shí)成立,n

n所以,

當(dāng)n

N

時(shí),

|xn

1

|

成立,

即lim

xn

1.1.唯一性定理若數(shù)列{xn

}收斂,則其極限值必唯一.三、數(shù)列極限的性質(zhì)證

運(yùn)用反證法設(shè)數(shù)列{xn

}收斂,但其極限不唯一,不妨設(shè)有：lim

xn

a,

lim

xn

b,

a

b.n

n于是,

0,

N1

0,

當(dāng)n

N1

時(shí), |

xn

a

|

;x

b

|;n

N2

0,當(dāng)n

N2

時(shí),取

N

max{N1,

N2},

則當(dāng)

n

N

時(shí),||a|baxxbxaxbn||

||

|2

nnn任意性o數(shù)由

的任意性,

上式,故a

=b

.唯一性定理的推論lim

xn

an{xn

}的任何一個(gè)子數(shù)列都收斂,且均以a

為極限.充分必要條件何謂*數(shù)列？子數(shù)列的概念在數(shù)列

{xn}:

x1

,

x2

,

,

xn

,

中,保持各項(xiàng)原來的先后次序不變,

自左往右任意選取無窮多項(xiàng)所構(gòu)成的新的數(shù)列,

稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列,

記為{xn

}.k唯一性定理的推論往往用來證明或判斷數(shù)列極限不存在．例11求lim(1)n1.n解n1xn

(1)

,n1{xn

}:

1,

1,

1,

1,

,

(1) ,

.取子數(shù)列：(2n1)1{x2n1}: 1,

1,

1,

,

(1) ,

2n1{x2n

}:

1,

1,

1,

,

(1) ,

而

lim

x2n1

lim

1

1,

lim

x2n

lim

(1)

1,n

n

n

n故lim(1)n1

不存在.n例128n判別

{x

}

{

sin

n

}

的斂散性.解利用函數(shù)的周期性,在{xn

}中取兩個(gè)子數(shù)列:(1)

令

n

8k,

k

N

,

得子數(shù)列{

sin

n

}

{sin

k

}:

sin

,

sin

2

,

,

sin

k

,

n

nk

N

,

所以8由于

sin

k

0, lim

sin

k

lim

0

0.(2)

令

n

16k

4,

k

N

,

得子數(shù)列8

2

2

2{

sin

n

}

{

sin(2k

)}:

sin

5

,,sin(2k

),2)

lim

1

1.nn此時(shí)lim

sin(2k

8故由推論可知:{sin

n

}是發(fā)散的(即極限不存在).n

0,

N

0,當(dāng)n

N

時(shí),

有|xn

a

|

|

xn

|

|

a

|

|

xn

a

|

|

xn

|

|

a

|

如果固定

,則似乎可以得到{xn}有界的結(jié)論?回想數(shù)列的極限lim

xn

a

:2.有界性定理若數(shù)列{

xn

}收斂,

則{

xn

}必有界.證n設(shè)

lim

xn

a

,

則由極限定義,

取

1

時(shí),

N

0,

當(dāng)

n

N

時(shí),|

x

a

|

1nn即有

|

x

|

1

|

a

|取

M

max{1

|

a

|,

|

x1

|,|

x2

|,,|

xN

|}則

|

xn

|

M

,

n

N由數(shù)列有界的定義得：數(shù)列{xn

}收斂,則必有界.該定理的逆命題不真,

即有界數(shù)列不一定收斂.例如, {

(－1)

n

}.即數(shù)列的極限不存在.有界性定