線性代數(shù)(xiànxìnɡdàishù)對稱矩陣的相似矩陣第一頁，共20頁。定理1對稱矩陣(jǔzhèn)的特征值為實(shí)數(shù).證明(zhèngmíng)一、對稱矩陣(jǔzhèn)的性質(zhì)說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指實(shí)對稱矩陣．第二頁，共20頁。于是(yúshì)有兩式相減，得第三頁，共20頁。定理(dìnglǐ)1的意義第四頁，共20頁。證明(zhèngmíng)于是(yúshì)第五頁，共20頁。證明(zhèngmíng)它們的重數(shù)依次為根據(jù)定理1（對稱矩陣(jǔzhèn)的特征值為實(shí)數(shù)）和定理3(如上)可得：設(shè)的互不相等的特征值為第六頁，共20頁。由定理(dìnglǐ)2知對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，這樣的特征向量共可得個.故這個單位特征向量兩兩正交.以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣，則第七頁，共20頁。根據(jù)上述結(jié)論(jiélùn)，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為：二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化(jiǎohuà)的方法將特征向量正交化;3.將特征向量單位化.4.2.1.第八頁，共20頁。二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化(jiǎohuà)的方法且對角(duìjiǎo)矩陣對角(duìjiǎo)元素即為特征值．三、小結(jié)(xiǎojié)證明(zhèngmíng)(4)必存在正交矩陣，將其化為對角(duìjiǎo)矩陣，解之得基礎(chǔ)(jīchǔ)解系(1)第一步求的特征值利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟：故這個單位特征向量兩兩正交.定理(dìnglǐ)1的意義定理(dìnglǐ)1的意義說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說例對下列各實(shí)對稱矩陣，分別求出正交矩陣，(3)特征值的重數(shù)和與之對應(yīng)的線性無關(guān)的解之得基礎(chǔ)(jīchǔ)解系精品(jīnɡpǐn)課件！解例對下列各實(shí)對稱矩陣，分別求出正交矩陣，使為對角陣.(1)第一步求的特征值第九頁，共20頁。解之得基礎(chǔ)(jīchǔ)解系解之得基礎(chǔ)(jīchǔ)解系第十頁，共20頁。解之得基礎(chǔ)(jīchǔ)解系第三步將特征向量正交化第四步將特征向量單位(dānwèi)化第十一頁，共20頁。第十二頁，共20頁。第十三頁，共20頁。第十四頁，共20頁。于是(yúshì)得正交陣第十五頁，共20頁。1.對稱矩陣(jǔzhèn)的性質(zhì)：三、小結(jié)(xiǎojié)(1)特征值為實(shí)數(shù)；(2)屬于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重數(shù)和與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)相等；(4)必存在正交矩陣，將其化為對角(duìjiǎo)矩陣，且對角(duìjiǎo)矩陣對角(duìjiǎo)元素即為特征值．2.利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)將特征向量單位化；(4)最后正交化．第十六頁，共20頁。思考題第十七頁，共20頁。精品(jīn