第四章量綱分析與相似原理

本章主要介紹流體力學(xué)中的相似原理，模型實(shí)驗(yàn)方法以及量綱分析法。

解決流體力學(xué)問(wèn)題的方法數(shù)學(xué)分析

實(shí)驗(yàn)研究

模型實(shí)驗(yàn)以相似原理為基礎(chǔ)

第四章量綱分析與相似原理本章主要介紹流體力學(xué)中的相1量綱分析與相似理論課件2量綱分析與相似理論課件3量綱分析與相似理論課件4量綱分析與相似理論課件5第4章量綱分析與相似理論★本章重點(diǎn)掌握：量綱分析方法（瑞利法、定理）相似理論及其應(yīng)用（相似準(zhǔn)則、模型實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)）第4章量綱分析與相似理論★本章重點(diǎn)掌握：6§4-1量綱分析的基本概念一、單位與量綱單位：表征各物理量的大小。如長(zhǎng)度單位m、cm、mm；時(shí)間單位小時(shí)、分、秒等。量綱：表征各物理量單位的種類。如m、cm、mm等同屬于長(zhǎng)度類，用L表示；小時(shí)、分、秒等同屬于時(shí)間類，用T表示；公斤、克等同屬于質(zhì)量類，用M表示?！?-1量綱分析的基本概念7二、基本量綱與基本物理量1.基本量綱：具有獨(dú)立性、唯一性

在工程流體力學(xué)中，若不考慮溫度變化，則常取質(zhì)量M、長(zhǎng)度L和時(shí)間T三個(gè)作為基本量綱。其它物理量的量綱可用基本量綱表示，如流速dimv＝LT－1密度dimρ＝ML－3

力dimF＝MLT－2

壓強(qiáng)dimp=ML－1

T－1二、基本量綱與基本物理量82.基本物理量：具有獨(dú)立性，但不具唯一性在工程流體力學(xué)中，若不考慮溫度變化，通常取3個(gè)相互獨(dú)立的物理量作為基本物理量。如ρ(密度)、V(流速)、d(管徑)或F(力)、a(加速度)、l(長(zhǎng)度)等。

?基本物理量獨(dú)立性判別任何兩個(gè)物理量的組合不能推出第3個(gè)物理量的量綱，即為3個(gè)物理量相互獨(dú)立。2.基本物理量：具有獨(dú)立性，但不具唯一性9三、物理方程的量綱齊次性原理凡是正確描述自然現(xiàn)象的物理方程，其方程各項(xiàng)的量綱必然相同。量綱齊次性原理是量綱分析的理論基礎(chǔ)。工程中仍有個(gè)別經(jīng)驗(yàn)公式存在量綱不齊次。滿足量綱齊次性的物理方程，可用任一項(xiàng)去除其余各項(xiàng)，使其變?yōu)闊o(wú)量綱方程。如流體靜力學(xué)基本方程用除其余各項(xiàng)，可得無(wú)量綱方程：三、物理方程的量綱齊次性原理10§4-2量綱分析法

常用的量綱分析方法有瑞利法和泊金漢法（也稱π定理）。

一、瑞利法

基本思想：假定各物理量之間呈指數(shù)形式的乘積組合。例題1§4-2量綱分析法例題111二、π定理

基本思想：某一物理現(xiàn)象中，共有i個(gè)物理量(這些物理量不能由其它物理量組合而成)，這些物理量的基本量綱為j個(gè)，則i個(gè)物理量存在某種函數(shù)關(guān)系。例題2f(x1，x2，……，xi)=0如果用Π1，Π2，……，Πi-j表示由x1，x2，……，xi組成的無(wú)量綱量，則有：F(Π1，Π2，……，Πi-j)=0

二、π定理基本思想：某一物理現(xiàn)象中，共有i個(gè)物理量(這些12應(yīng)用Π定理的步驟（5步）：①確定影響此物理現(xiàn)象的各個(gè)物理量②從n個(gè)物理量中選取m個(gè)基本物理量作為m個(gè)基本因次的代表。m一般為3，應(yīng)使其分別具有質(zhì)量因次、時(shí)間因次（運(yùn)動(dòng)因次）、長(zhǎng)度因次，如ρ、V、d③從三個(gè)基本物理量以外的物理量中，每次輪取一個(gè)，連同三個(gè)基本物理量組合成一個(gè)無(wú)量綱的Π項(xiàng)，一共寫(xiě)出n－3個(gè)Π項(xiàng)。④據(jù)因次齊次性求各Π項(xiàng)的指數(shù)ai，bi，ci⑤寫(xiě)出描述物理現(xiàn)象的無(wú)因次關(guān)系式

應(yīng)用Π定理的步驟（5步）：13§4-3流動(dòng)相似的基本概念§4-3流動(dòng)相似的基本概念14表征流動(dòng)過(guò)程的物理量

描述幾何形狀的如長(zhǎng)度、面積、體積等

描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的如速度、加速度、體積流量等

描述動(dòng)力特征的如質(zhì)量力、表面力、動(dòng)量等

按性質(zhì)分幾何相似運(yùn)動(dòng)相似動(dòng)力相似流動(dòng)相似應(yīng)滿足的條件表征描述幾何形狀的描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述動(dòng)力特征的按性質(zhì)分幾何運(yùn)15一.幾何相似（空間相似）定義：模型和原型的全部對(duì)應(yīng)線形長(zhǎng)度的比值為一定常數(shù)。（4-1）

以上標(biāo)“＇”表示模型的有關(guān)量

:長(zhǎng)度比例尺（相似比例常數(shù)）

一.幾何相似（空間相似）（4-1）以上標(biāo)“＇”表示模16面積比例尺:（4-2）

體積比例尺:（4-3）

圖4-1幾何相似滿足上述條件，流動(dòng)才能幾何相似

面積比例尺:（4-2）體積比例尺:（4-3）圖4-1幾17定義：滿足幾何相似的流場(chǎng)中，對(duì)應(yīng)時(shí)刻、對(duì)應(yīng)點(diǎn)流速（加速度）的方向一致，大小的比例相等，即它們的速度場(chǎng)（加速度場(chǎng)）相似。圖4-2速度場(chǎng)相似二運(yùn)動(dòng)相似（時(shí)間相似）定義：滿足幾何相似的流場(chǎng)中，對(duì)應(yīng)時(shí)刻、對(duì)應(yīng)圖4-2速度場(chǎng)相似18加速度比例尺:（4-6）注：長(zhǎng)度比例尺和速度比例尺確定所有運(yùn)動(dòng)學(xué)量的比例尺。時(shí)間比例尺:速度比例尺:（4-4）（4-5）加速度比例尺:（4-6）注：長(zhǎng)度比例尺和速度比例尺確定所有19運(yùn)動(dòng)粘度比例尺:體積流量比例尺:（4-7）（4-8）運(yùn)動(dòng)粘度比例尺:體積流量比例尺:（4-7）（4-8）20定義：兩個(gè)運(yùn)動(dòng)相似的流場(chǎng)中，對(duì)應(yīng)空間點(diǎn)上、對(duì)應(yīng)瞬時(shí)作用在兩相似幾何微團(tuán)上的力，作用方向一致、大小互成比例，即它們的動(dòng)力場(chǎng)相似。圖4-3動(dòng)力場(chǎng)相似三.動(dòng)力相似（力相似）定義：兩個(gè)運(yùn)動(dòng)相似的流場(chǎng)中，對(duì)應(yīng)空間點(diǎn)上、對(duì)應(yīng)瞬時(shí)作用在兩相21（4-10）

又由牛頓定律可知：其中：為流體的密度比例尺。（4-9）力的比例尺：（4-10）又由牛頓定律可知：其中：為流22動(dòng)力粘度比例尺:功率比例尺:（4-13）（4-14）有了模型與原型的密度比例尺，長(zhǎng)度比例尺和速度比例尺，就可由它們確定所有動(dòng)力學(xué)量的比例尺。

壓強(qiáng)（應(yīng)力）比例尺:力矩（功，能）比例尺:（4-11）（4-12）動(dòng)力粘度比例尺:功率比例尺:（4-13）（4-14）有了23幾何相似是運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的前提；動(dòng)力相似是決定流動(dòng)相似的主要因素；運(yùn)動(dòng)相似是幾何相似和動(dòng)力相似的表現(xiàn)。幾何相似是運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的前提；24定義：在幾何相似的條件下，兩種物理現(xiàn)象保證相似的條件或準(zhǔn)則。由式(4-10)得:

（4-15）（4-16）（4-17）當(dāng)模型與原型的動(dòng)力相似，則其牛頓數(shù)必定相等，即；反之亦然。這就是牛頓相似準(zhǔn)則。

稱為牛頓數(shù)，它是作用力與慣性力的比值?；?

令:

§4-4流動(dòng)相似的準(zhǔn)則定義：在幾何相似的條件下，兩種物理現(xiàn)由式(4-10)得25一、重力相似準(zhǔn)則（弗勞德準(zhǔn)則）二、粘性力相似準(zhǔn)則（雷諾準(zhǔn)則）三、壓力相似準(zhǔn)則（歐拉準(zhǔn)則）四、彈性力相似準(zhǔn)則(柯西準(zhǔn)則)五、表面張力相似準(zhǔn)則（韋伯準(zhǔn)則）六、非定常性相似準(zhǔn)則（斯特勞哈爾準(zhǔn)則）

流場(chǎng)中有各種性質(zhì)的力，但不論是哪種力，只要兩個(gè)流場(chǎng)動(dòng)力相似，它們都要服從牛頓相似準(zhǔn)則。一、重力相似準(zhǔn)則（弗勞德準(zhǔn)則）二、粘性力相似準(zhǔn)則（雷諾準(zhǔn)則）26一、重力相似準(zhǔn)則或:

令:

（4-18）（4-19）（4-20）稱為弗勞德數(shù)，它是慣性力與重力的比值。

當(dāng)模型與原型的重力相似，則其弗勞德數(shù)必定相等，反之亦然。這就是重力相似準(zhǔn)則（弗勞德準(zhǔn)則）。

（a）將重力比帶入式(4-15)得：重力場(chǎng)中，則：一、重力相似準(zhǔn)則或:令:（4-18）（4-19）（427二、粘性力相似準(zhǔn)則將粘性力之比帶入式(4-15)得：或:

令:

（4-21）（4-22）（4-23）稱為雷諾數(shù)，它是慣性力與粘性力的比值。

當(dāng)模型與原型的粘性力相似，則其雷諾數(shù)必定相等，反之亦然。這就是粘性力相似準(zhǔn)則（雷諾準(zhǔn)則）。

（b）

模型與原型用同一種流體時(shí)，，則：二、粘性力相似準(zhǔn)則將粘性力之比28三、壓力相似準(zhǔn)則或:

令:

（4-24）（4-25）（4-26）當(dāng)壓強(qiáng)用壓差代替：將壓力比帶入式(4-15)得：稱為歐拉數(shù)，它是總壓力與慣性力的比值。

當(dāng)模型與原型的壓力相似，則其歐拉數(shù)必定相等，反之亦然。這就是壓力相似準(zhǔn)則（歐拉準(zhǔn)則）。

（4-27）（4-28）歐拉數(shù):

歐拉相似準(zhǔn)則:

三、壓力相似準(zhǔn)則或:令:（4-24）（4-25）（429四、彈性力相似準(zhǔn)則（柯西準(zhǔn)則）將彈性力之比帶入式(4-15)得：（4-29）或:

（4-30）令:

（4-31）稱為柯西數(shù)，它是慣性力與彈性力的比值。

當(dāng)模型與原型的彈性力相似，則其柯西數(shù)必定相等，即；反之亦然。這就是彈性力相似準(zhǔn)則（柯西準(zhǔn)則）。

四、彈性力相似準(zhǔn)則（柯西準(zhǔn)則）將彈性力之比30四、彈性力相似準(zhǔn)則（馬赫準(zhǔn)則）（4-32）若流場(chǎng)中的流體為氣體，由于

（c為聲速）則彈性力之比帶入式(4-15)得：或:

（4-33）令:

（4-34）稱為馬赫數(shù)，它是慣性力與彈性力的比值。

稱為馬赫數(shù)，它是慣性力與彈性力的比值。

當(dāng)模型與原型的彈性力相似，則其馬赫數(shù)必定相等，反之亦然。這就是彈性力相似準(zhǔn)則（馬赫準(zhǔn)則）。

四、彈性力相似準(zhǔn)則（馬赫準(zhǔn)則）（4-32）若流場(chǎng)中的流體為31五、表面張力相似準(zhǔn)則將表面張力之比帶入式(4-15)得:（4-35）或:

（4-36）令:

（4-37）稱為韋伯?dāng)?shù)，它是慣性力與表面張力的比值。

當(dāng)模型與原型的表面張力相似，則其韋伯?dāng)?shù)必定相等，即；反之亦然。這就是表面張力相似準(zhǔn)則（韋伯準(zhǔn)則）。

五、表面張力相似準(zhǔn)則將表面張力之比32六、非定常性相似準(zhǔn)則或:

令:

（4-38）（4-39）（4-40）將慣性力之比帶入式(4-15)得：稱為斯特勞哈爾數(shù)，它是當(dāng)?shù)貞T性力與遷移慣性力的比值。

當(dāng)模型與原型的非定常流動(dòng)相似，則其斯特勞哈爾數(shù)必定相等，即；反之亦然。這就是非定常相似準(zhǔn)則（斯特勞哈爾準(zhǔn)則）。

六、非定常性相似準(zhǔn)則或:令:（4-38）（4-39）33以上給出的牛頓數(shù)、弗勞德數(shù)、雷諾數(shù)、歐拉數(shù)、柯西數(shù)、馬赫數(shù)、韋伯?dāng)?shù)、斯特勞哈爾數(shù)均稱為相似準(zhǔn)則數(shù)。

如果已經(jīng)有了某種流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，可由該方程直接導(dǎo)出有關(guān)的相似準(zhǔn)則和相似準(zhǔn)則數(shù)，方法是令方程中的有關(guān)力與慣性力相比。幾點(diǎn)說(shuō)明：弗勞德準(zhǔn)則、雷諾準(zhǔn)則和歐拉準(zhǔn)則是工程流體力學(xué)的常用準(zhǔn)則.

一般弗勞德準(zhǔn)則、雷諾準(zhǔn)則為獨(dú)立準(zhǔn)則，而歐拉準(zhǔn)則為導(dǎo)出準(zhǔn)則.

以上給出的牛頓數(shù)、弗勞德數(shù)、雷諾數(shù)、歐拉如果34流動(dòng)相似條件

流動(dòng)相似：在對(duì)應(yīng)點(diǎn)上、對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，所有物理量都成比例。

相似流動(dòng)必然滿足以下條件：

1．任何相似的流動(dòng)都是屬于同一類的流動(dòng)，相似流場(chǎng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的各種物理量，都應(yīng)為相同的微分方程所描述；2．相似流場(chǎng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的各種物理量都有唯一確定的解，即流動(dòng)滿足單值條件；3．由單值條件中的物理量所確定的相似準(zhǔn)則數(shù)相等是流動(dòng)相似也必須滿足的條件。流動(dòng)相似條件流動(dòng)相似：在對(duì)應(yīng)點(diǎn)上、對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，所有物理量相似35模型實(shí)驗(yàn)主要解決的問(wèn)題

：

1．根據(jù)物理量所組成的相似準(zhǔn)則數(shù)相等的原則去設(shè)計(jì)模型，選擇流動(dòng)介質(zhì)；

2．在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中應(yīng)測(cè)定各相似準(zhǔn)則數(shù)中包含的一切物理量；

3．用數(shù)學(xué)方法找出相似準(zhǔn)則數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，即準(zhǔn)則方程式。該方程式便可推廣應(yīng)用到原型及其他相似流動(dòng)中去。

模型實(shí)驗(yàn)主要解決的問(wèn)題：1．根據(jù)物理量所組成的相似準(zhǔn)則數(shù)36一、模型律的選擇從理論上講，流動(dòng)相似應(yīng)保證所有作用力相似，但一般難以實(shí)現(xiàn)。如僅保證重力和粘性力相似，則應(yīng)同時(shí)滿足弗勞德準(zhǔn)則和雷諾準(zhǔn)則，故有即應(yīng)按上式選擇模型流體，一般難以實(shí)現(xiàn)；若取即原、模型采用同oxing流體，則將導(dǎo)致，失去了模型試驗(yàn)的價(jià)值。

§4-5模型試驗(yàn)設(shè)計(jì)一、模型律的選擇§4-5模型試驗(yàn)設(shè)計(jì)37實(shí)際應(yīng)用時(shí)，通常只保證主要力相似.

一般情況下：有壓管流、潛體繞流：明渠流動(dòng)、繞橋墩流動(dòng)：選雷諾準(zhǔn)則選弗勞得準(zhǔn)則實(shí)際應(yīng)用時(shí)，通常只保證主要力相似.一般情況下：有壓管流、38二、模型設(shè)計(jì)定長(zhǎng)度比尺

，確定模型流動(dòng)的幾何邊界；選介質(zhì)，一般采用同一介質(zhì)：；選模型律.例題3二、模型設(shè)計(jì)定長(zhǎng)度比尺，確定模型流動(dòng)的幾何邊界；39例題1[例1]已知管流的特征流速Vc與流體的密度ρ、動(dòng)力粘度μ和管徑d有關(guān)，試用瑞利量綱分析法建立Vc的公式結(jié)構(gòu).[解]式中k為無(wú)量綱常數(shù)。其中，各物理量的量綱為：假定例題1[例1]已知管流的特征流速Vc與流體的密度ρ、動(dòng)力40例題1代入指數(shù)方程，則得相應(yīng)的量綱方程根據(jù)量綱齊次性原理，有解上述三元一次方程組得：故得：其中常數(shù)k需由實(shí)驗(yàn)確定.例題1代入指數(shù)方程，則得相應(yīng)的量綱方程根據(jù)量綱齊次性原理，有41例題2[例2]實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，球形物體在粘性流體中運(yùn)動(dòng)所受阻力FD與球體直徑d、球體運(yùn)動(dòng)速度V、流體的密度ρ和動(dòng)力粘度μ有關(guān)，試用π定理量綱分析法建立FD的公式結(jié)構(gòu).[解]選基本物理量ρ、V、d，根據(jù)π定理，上式可變?yōu)槠渲屑俣ɡ}2[例2]實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，球形物體在粘性流體中運(yùn)動(dòng)所受阻力42例題2對(duì)π1：解上述三元一次方程組得：故例題2對(duì)π1：解上述三元一次方程組得：故43例題2代入，并就FD解出，可得：式中為繞流阻力系數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定。同理：例題2代入，并就FD解出，可得：式中44例題3[例3]已知溢流壩的過(guò)流量Q＝1000m3/s,若用長(zhǎng)度比尺CL＝1/60的模型(介質(zhì)相同)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，試求模型的流量Q

.[解]溢流壩流動(dòng)，起主要作用的是重力，應(yīng)選擇弗勞德準(zhǔn)則進(jìn)行模型設(shè)計(jì).例題3[例3]已知溢流壩的過(guò)流量Q＝1000m3/s,若45例題3由Fr準(zhǔn)則：例題3由Fr準(zhǔn)則：46第四章量綱分析與相似原理

本章主要介紹流體力學(xué)中的相似原理，模型實(shí)驗(yàn)方法以及量綱分析法。

解決流體力學(xué)問(wèn)題的方法數(shù)學(xué)分析

實(shí)驗(yàn)研究

模型實(shí)驗(yàn)以相似原理為基礎(chǔ)

第四章量綱分析與相似原理本章主要介紹流體力學(xué)中的相47量綱分析與相似理論課件48量綱分析與相似理論課件49量綱分析與相似理論課件50量綱分析與相似理論課件51第4章量綱分析與相似理論★本章重點(diǎn)掌握：量綱分析方法（瑞利法、定理）相似理論及其應(yīng)用（相似準(zhǔn)則、模型實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)）第4章量綱分析與相似理論★本章重點(diǎn)掌握：52§4-1量綱分析的基本概念一、單位與量綱單位：表征各物理量的大小。如長(zhǎng)度單位m、cm、mm；時(shí)間單位小時(shí)、分、秒等。量綱：表征各物理量單位的種類。如m、cm、mm等同屬于長(zhǎng)度類，用L表示；小時(shí)、分、秒等同屬于時(shí)間類，用T表示；公斤、克等同屬于質(zhì)量類，用M表示?！?-1量綱分析的基本概念53二、基本量綱與基本物理量1.基本量綱：具有獨(dú)立性、唯一性

在工程流體力學(xué)中，若不考慮溫度變化，則常取質(zhì)量M、長(zhǎng)度L和時(shí)間T三個(gè)作為基本量綱。其它物理量的量綱可用基本量綱表示，如流速dimv＝LT－1密度dimρ＝ML－3

力dimF＝MLT－2

壓強(qiáng)dimp=ML－1

T－1二、基本量綱與基本物理量542.基本物理量：具有獨(dú)立性，但不具唯一性在工程流體力學(xué)中，若不考慮溫度變化，通常取3個(gè)相互獨(dú)立的物理量作為基本物理量。如ρ(密度)、V(流速)、d(管徑)或F(力)、a(加速度)、l(長(zhǎng)度)等。

?基本物理量獨(dú)立性判別任何兩個(gè)物理量的組合不能推出第3個(gè)物理量的量綱，即為3個(gè)物理量相互獨(dú)立。2.基本物理量：具有獨(dú)立性，但不具唯一性55三、物理方程的量綱齊次性原理凡是正確描述自然現(xiàn)象的物理方程，其方程各項(xiàng)的量綱必然相同。量綱齊次性原理是量綱分析的理論基礎(chǔ)。工程中仍有個(gè)別經(jīng)驗(yàn)公式存在量綱不齊次。滿足量綱齊次性的物理方程，可用任一項(xiàng)去除其余各項(xiàng)，使其變?yōu)闊o(wú)量綱方程。如流體靜力學(xué)基本方程用除其余各項(xiàng)，可得無(wú)量綱方程：三、物理方程的量綱齊次性原理56§4-2量綱分析法

常用的量綱分析方法有瑞利法和泊金漢法（也稱π定理）。

一、瑞利法

基本思想：假定各物理量之間呈指數(shù)形式的乘積組合。例題1§4-2量綱分析法例題157二、π定理

基本思想：某一物理現(xiàn)象中，共有i個(gè)物理量(這些物理量不能由其它物理量組合而成)，這些物理量的基本量綱為j個(gè)，則i個(gè)物理量存在某種函數(shù)關(guān)系。例題2f(x1，x2，……，xi)=0如果用Π1，Π2，……，Πi-j表示由x1，x2，……，xi組成的無(wú)量綱量，則有：F(Π1，Π2，……，Πi-j)=0

二、π定理基本思想：某一物理現(xiàn)象中，共有i個(gè)物理量(這些58應(yīng)用Π定理的步驟（5步）：①確定影響此物理現(xiàn)象的各個(gè)物理量②從n個(gè)物理量中選取m個(gè)基本物理量作為m個(gè)基本因次的代表。m一般為3，應(yīng)使其分別具有質(zhì)量因次、時(shí)間因次（運(yùn)動(dòng)因次）、長(zhǎng)度因次，如ρ、V、d③從三個(gè)基本物理量以外的物理量中，每次輪取一個(gè)，連同三個(gè)基本物理量組合成一個(gè)無(wú)量綱的Π項(xiàng)，一共寫(xiě)出n－3個(gè)Π項(xiàng)。④據(jù)因次齊次性求各Π項(xiàng)的指數(shù)ai，bi，ci⑤寫(xiě)出描述物理現(xiàn)象的無(wú)因次關(guān)系式

應(yīng)用Π定理的步驟（5步）：59§4-3流動(dòng)相似的基本概念§4-3流動(dòng)相似的基本概念60表征流動(dòng)過(guò)程的物理量

描述幾何形狀的如長(zhǎng)度、面積、體積等

描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的如速度、加速度、體積流量等

描述動(dòng)力特征的如質(zhì)量力、表面力、動(dòng)量等

按性質(zhì)分幾何相似運(yùn)動(dòng)相似動(dòng)力相似流動(dòng)相似應(yīng)滿足的條件表征描述幾何形狀的描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述動(dòng)力特征的按性質(zhì)分幾何運(yùn)61一.幾何相似（空間相似）定義：模型和原型的全部對(duì)應(yīng)線形長(zhǎng)度的比值為一定常數(shù)。（4-1）

以上標(biāo)“＇”表示模型的有關(guān)量

:長(zhǎng)度比例尺（相似比例常數(shù)）

一.幾何相似（空間相似）（4-1）以上標(biāo)“＇”表示模62面積比例尺:（4-2）

體積比例尺:（4-3）

圖4-1幾何相似滿足上述條件，流動(dòng)才能幾何相似

面積比例尺:（4-2）體積比例尺:（4-3）圖4-1幾63定義：滿足幾何相似的流場(chǎng)中，對(duì)應(yīng)時(shí)刻、對(duì)應(yīng)點(diǎn)流速（加速度）的方向一致，大小的比例相等，即它們的速度場(chǎng)（加速度場(chǎng)）相似。圖4-2速度場(chǎng)相似二運(yùn)動(dòng)相似（時(shí)間相似）定義：滿足幾何相似的流場(chǎng)中，對(duì)應(yīng)時(shí)刻、對(duì)應(yīng)圖4-2速度場(chǎng)相似64加速度比例尺:（4-6）注：長(zhǎng)度比例尺和速度比例尺確定所有運(yùn)動(dòng)學(xué)量的比例尺。時(shí)間比例尺:速度比例尺:（4-4）（4-5）加速度比例尺:（4-6）注：長(zhǎng)度比例尺和速度比例尺確定所有65運(yùn)動(dòng)粘度比例尺:體積流量比例尺:（4-7）（4-8）運(yùn)動(dòng)粘度比例尺:體積流量比例尺:（4-7）（4-8）66定義：兩個(gè)運(yùn)動(dòng)相似的流場(chǎng)中，對(duì)應(yīng)空間點(diǎn)上、對(duì)應(yīng)瞬時(shí)作用在兩相似幾何微團(tuán)上的力，作用方向一致、大小互成比例，即它們的動(dòng)力場(chǎng)相似。圖4-3動(dòng)力場(chǎng)相似三.動(dòng)力相似（力相似）定義：兩個(gè)運(yùn)動(dòng)相似的流場(chǎng)中，對(duì)應(yīng)空間點(diǎn)上、對(duì)應(yīng)瞬時(shí)作用在兩相67（4-10）

又由牛頓定律可知：其中：為流體的密度比例尺。（4-9）力的比例尺：（4-10）又由牛頓定律可知：其中：為流68動(dòng)力粘度比例尺:功率比例尺:（4-13）（4-14）有了模型與原型的密度比例尺，長(zhǎng)度比例尺和速度比例尺，就可由它們確定所有動(dòng)力學(xué)量的比例尺。

壓強(qiáng)（應(yīng)力）比例尺:力矩（功，能）比例尺:（4-11）（4-12）動(dòng)力粘度比例尺:功率比例尺:（4-13）（4-14）有了69幾何相似是運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的前提；動(dòng)力相似是決定流動(dòng)相似的主要因素；運(yùn)動(dòng)相似是幾何相似和動(dòng)力相似的表現(xiàn)。幾何相似是運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的前提；70定義：在幾何相似的條件下，兩種物理現(xiàn)象保證相似的條件或準(zhǔn)則。由式(4-10)得:

（4-15）（4-16）（4-17）當(dāng)模型與原型的動(dòng)力相似，則其牛頓數(shù)必定相等，即；反之亦然。這就是牛頓相似準(zhǔn)則。

稱為牛頓數(shù)，它是作用力與慣性力的比值?；?

令:

§4-4流動(dòng)相似的準(zhǔn)則定義：在幾何相似的條件下，兩種物理現(xiàn)由式(4-10)得71一、重力相似準(zhǔn)則（弗勞德準(zhǔn)則）二、粘性力相似準(zhǔn)則（雷諾準(zhǔn)則）三、壓力相似準(zhǔn)則（歐拉準(zhǔn)則）四、彈性力相似準(zhǔn)則(柯西準(zhǔn)則)五、表面張力相似準(zhǔn)則（韋伯準(zhǔn)則）六、非定常性相似準(zhǔn)則（斯特勞哈爾準(zhǔn)則）

流場(chǎng)中有各種性質(zhì)的力，但不論是哪種力，只要兩個(gè)流場(chǎng)動(dòng)力相似，它們都要服從牛頓相似準(zhǔn)則。一、重力相似準(zhǔn)則（弗勞德準(zhǔn)則）二、粘性力相似準(zhǔn)則（雷諾準(zhǔn)則）72一、重力相似準(zhǔn)則或:

令:

（4-18）（4-19）（4-20）稱為弗勞德數(shù)，它是慣性力與重力的比值。

當(dāng)模型與原型的重力相似，則其弗勞德數(shù)必定相等，反之亦然。這就是重力相似準(zhǔn)則（弗勞德準(zhǔn)則）。

（a）將重力比帶入式(4-15)得：重力場(chǎng)中，則：一、重力相似準(zhǔn)則或:令:（4-18）（4-19）（473二、粘性力相似準(zhǔn)則將粘性力之比帶入式(4-15)得：或:

令:

（4-21）（4-22）（4-23）稱為雷諾數(shù)，它是慣性力與粘性力的比值。

當(dāng)模型與原型的粘性力相似，則其雷諾數(shù)必定相等，反之亦然。這就是粘性力相似準(zhǔn)則（雷諾準(zhǔn)則）。

（b）

模型與原型用同一種流體時(shí)，，則：二、粘性力相似準(zhǔn)則將粘性力之比74三、壓力相似準(zhǔn)則或:

令:

（4-24）（4-25）（4-26）當(dāng)壓強(qiáng)用壓差代替：將壓力比帶入式(4-15)得：稱為歐拉數(shù)，它是總壓力與慣性力的比值。

當(dāng)模型與原型的壓力相似，則其歐拉數(shù)必定相等，反之亦然。這就是壓力相似準(zhǔn)則（歐拉準(zhǔn)則）。

（4-27）（4-28）歐拉數(shù):

歐拉相似準(zhǔn)則:

三、壓力相似準(zhǔn)則或:令:（4-24）（4-25）（475四、彈性力相似準(zhǔn)則（柯西準(zhǔn)則）將彈性力之比帶入式(4-15)得：（4-29）或:

（4-30）令:

（4-31）稱為柯西數(shù)，它是慣性力與彈性力的比值。

當(dāng)模型與原型的彈性力相似，則其柯西數(shù)必定相等，即；反之亦然。這就是彈性力相似準(zhǔn)則（柯西準(zhǔn)則）。

四、彈性力相似準(zhǔn)則（柯西準(zhǔn)則）將彈性力之比76四、彈性力相似準(zhǔn)則（馬赫準(zhǔn)則）（4-32）若流場(chǎng)中的流體為氣體，由于

（c為聲速）則彈性力之比帶入式(4-15)得：或:

（4-33）令:

（4-34）稱為馬赫數(shù)，它是慣性力與彈性力的比值。

稱為馬赫數(shù)，它是慣性力與彈性力的比值。

當(dāng)模型與原型的彈性力相似，則其馬赫數(shù)必定相等，反之亦然。這就是彈性力相似準(zhǔn)則（馬赫準(zhǔn)則）。

四、彈性力相似準(zhǔn)則（馬赫準(zhǔn)則）（4-32）若流場(chǎng)中的流體為77五、表面張力相似準(zhǔn)則將表面張力之比帶入式(4-15)得:（4-35）或:

（4-36）令:

（4-37）稱為韋伯?dāng)?shù)，它是慣性力與表面張力的比值。

當(dāng)模型與原型的表面張力相似，則其韋伯?dāng)?shù)必定相等，即；反之亦然。這就是表面張力相似準(zhǔn)則（韋伯準(zhǔn)則）。

五、表面張力相似準(zhǔn)則將表面張力之比78六、非定常性相似準(zhǔn)則或:

令:

（4-38）（4-39）（4-40）將慣性力之比帶入式(4-15)得：稱為斯特勞哈爾數(shù)，它是當(dāng)?shù)貞T性力與遷移慣性力的比值。

當(dāng)模型與原型的非定常流動(dòng)相似，則其斯特勞哈爾數(shù)必定相等，即；反之亦然。這就是非定常相似準(zhǔn)則（斯特勞哈爾準(zhǔn)則）。

六、非定常性相似準(zhǔn)則或:令:（4-38）（4-39）79以上給出的牛頓數(shù)、弗勞德數(shù)、雷諾數(shù)、歐拉數(shù)、柯西數(shù)、馬赫數(shù)、韋伯?dāng)?shù)、斯特勞哈爾數(shù)均稱為相似準(zhǔn)則數(shù)。

如果已經(jīng)有了某種流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，可由該方程直接導(dǎo)出有關(guān)的相似準(zhǔn)則和相似準(zhǔn)則數(shù)，方法是令方程中的有關(guān)力與慣性力相比。幾點(diǎn)說(shuō)明：弗勞德準(zhǔn)則、雷諾準(zhǔn)則和歐拉準(zhǔn)則是工程流體力學(xué)的常用準(zhǔn)則.

一般弗勞德準(zhǔn)則、雷諾準(zhǔn)則為獨(dú)立準(zhǔn)則，而歐拉準(zhǔn)則為導(dǎo)出準(zhǔn)則.

以上給出的牛頓數(shù)、弗勞德數(shù)、雷諾數(shù)、歐拉如果80流動(dòng)相似條件

流動(dòng)相似：在對(duì)應(yīng)點(diǎn)上、對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，所有物理量都成比例。

相似流動(dòng)必然滿足以下條件：

1．任何相似的流動(dòng)都是屬于同一類的流動(dòng)，相似流場(chǎng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的各種物理量，都應(yīng)為相同的微分方程所描述；2．相似流場(chǎng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的各種物理量都有唯一確定的解，即流動(dòng)滿足單值條件；3．由單值條件中的物理量所確定的相似準(zhǔn)則數(shù)相等是流動(dòng)相似也必須滿足的條件。流動(dòng)相似條件流動(dòng)相似