第54講矩陣的對角化(1)1主講： 大學(xué)教授線性代數(shù)59講大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)2本課程的

在優(yōu)酷網(wǎng)

/xuxiaozhan在優(yōu)酷網(wǎng)搜：大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)3大學(xué)數(shù)學(xué)系列高等數(shù)學(xué)138講（優(yōu)酷網(wǎng)）線性代數(shù)59講（優(yōu)酷網(wǎng)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計70講（

傳課）考研題評講（

傳課）：:

scuxuxz:@川大:大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)4我在優(yōu)酷網(wǎng)的

及線性代數(shù)59講受到課程高等數(shù)學(xué)138講各地大學(xué)生的歡迎。件，有以很方多便學(xué)他生們迫同切步希學(xué)望習(xí)得。到

課程的課現(xiàn)在我把

的課件整理出來并發(fā)布，希望對你的學(xué)習(xí)有所幫助。希望此課件僅用于你的學(xué)習(xí)。請尊重作者的著作權(quán)，切勿在網(wǎng)上

課件。謝謝！大學(xué)(聯(lián)系)大學(xué)June

20145.3

相似矩陣大學(xué)第54講矩陣的對角化(1)第54講矩陣的對角化(1)6《高等數(shù)學(xué)》和《線性代數(shù)》請在優(yōu)酷網(wǎng)搜索

主頁川大大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)7一、矩陣的相似對角化大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)8定義

7(相似矩陣與相似變換)設(shè)A

和B

是n

階矩陣，如果有n

階可逆矩陣P，使P1

AP

B則稱矩陣A

與B

相似(similar)，記作A

~

B，也說B

是A

的相似矩陣(similar

matrix)。A

P1

AP

B川大學(xué)稱為相似變換(similar

transformation)P

是變換矩陣。大學(xué)or

AP

PB回憶大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)94四定理

3

相似矩陣有相同的特征多項式。從而有相同的特征值、相同的行列式（全體特征值之積）和相同的跡（全體特征值之和）。相似變換

A

P1

AP

B特征多項式不變;特征值不變；行列式不變；跡不變；秩不變。大學(xué)保持矩陣的：回憶可見,相似變換能保持矩陣de

很多特性第54講矩陣的對角化(1)10希望它能與一June

2014川大學(xué)因此，對于一個方陣A，個簡單的矩陣相似。最簡單矩陣是零矩陣O。但是與零矩陣相似的只有零矩陣：P1

AP

O

A

POP1

O其次是單位矩陣E。但是與單位矩陣相似的只有單位矩陣：P1

AP

E

A

PEP1

E大學(xué)大學(xué)第54講矩陣的對角化(1)11ne2014大再其次是數(shù)量矩陣kE。假設(shè)三階矩陣A與對角矩陣Λ

相似，但是與數(shù)量矩陣相似的也只有它自己：P1

AP

kE

A

P(kE)P1

kPEP1

kE然后考慮A

是否能與一個對角矩陣相似？以三階矩陣為例則存在可逆矩陣P，使得

AP

=

PΛ

。1λ

λ

湛3

令

P

(

p1,

p2

,

p3

)則

A(

p1

,

p2

,

p3

)

(

p1,

p2

,

p3

)

λ2大學(xué)第54講矩陣的對角化(1)12設(shè)三階矩陣A與對角矩陣Λ相似，則存在可逆矩陣P，使得

AP

=

PΛ

。大學(xué)

λ11

2

3

1

2

32A(

p

,p

,

p

)

(

p

,

p

,

p

)

λλ

(

Ap1,

Ap2

,

Ap3

)

(λ1

p1,

λ2p2

,

λ3

p3

)Ap1

λ1

p1

Ap2

λ2

p2

Ap3

λ3

p33

大學(xué)λ1,

λ2

,

λ3是A的特征p1,p2

,p3

是A的3個線關(guān)的特征大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)13川大2λ

λ1

命題 若

n

階矩陣

A

與對角陣λ

相似，則λ1

,λ2

,...,λn是A

的n

個特征值。

n

證

因為對角陣

Λ

的特征值為其主對角線元素λ1

,λ2

,...,λn學(xué)而相似矩陣有相同的特征值，所以

A也以這n個數(shù)為其特征值。大學(xué)大學(xué)June

2014對角化(1)

14設(shè)n

階矩陣A

與對角陣

λ1λ

n

則

相似λ

n

A(

p1,...,

pn

)

(

p1,...,

pn

)

設(shè)

AP

P

λ1(

Ap1,...,

Apn

)

(λ1

p1,...,

λn

pn

)定理

4

n階矩陣A與對角陣相似的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。Ap1

λ1

p1,...,Apn

λn

pn大學(xué)且對角矩陣的主對角線元素即為A的特征值。大學(xué)大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)15推論

如果

n

階矩陣

A

有

n

個不同的特征值，則A與對角陣相似大學(xué)定理

4

A與對角陣相似的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。因為屬于不同的特征值的特征向量線性無關(guān)，得

大學(xué)大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)16大學(xué)大

3例如，矩陣

A

113

的特征值是2

和4所以A能相似對角化。特征值λ1

2λ2

4特征向量p

11

1

p

1

大2

1

徐

第49講118頁例510

4

3

111

3

1

11

1

學(xué)12 0

24

4

1

2

0P

AP

04

學(xué)第54講矩陣的對角化(1)17with(linalg):A:=array([[3,-1],[-1,3]]);Charpoly:=charpoly(A,x);Eigenvalues:=eigenvals(A);Eigenvectors:=eigenvects(A);P:=array([[1,-1],[1,1]]);inv_P:=inverse(P);inv_PAP:=multiply(inv_P,A,P);3

A

3

1

1

的特征值是2

和4P1AP

2

00

4

Maple

check大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)18定理

4

A與對角陣相似的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。因為屬于不同的特征值的特征向量線性無關(guān)，得推論

如果

n

階矩陣

A

與有

n

個不同的特征值，則A與對角陣相似大學(xué)如果矩陣A的n個特征值有相同的(重根)，則A是否能相似對角化，就要看這些重根能不能確定與其重數(shù)相同個數(shù)的線性無關(guān)的特征向量了。大學(xué)Algebraic

multiplicity

=

Geometric

multiplicity

?大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)19推論

n

階矩陣A與對角陣相似的充分必要條件是A的每一個k

重特征值都能確定k

個線性無關(guān)的特征向量。大學(xué)（從而A有n個線性無關(guān)的特征向量）。定理

4

n階矩陣A與對角陣相似的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。這就是說：A

的每一個特征值λ的代數(shù)重數(shù)等于其幾何重數(shù)

(

λ

的特征空間的維數(shù))大學(xué)Algebraic

multiplicity

=

Geometric

multiplicity大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)20這就是說：A

的每一個特征值λ的代數(shù)重數(shù)等于其幾何重數(shù)(λ的特征空間的維數(shù))。推論

n

階矩陣A與對角陣相似的充分必要條件是A的每一個k重特征值都能確定k個線性無關(guān)的特征向量（從而A有n個線性無關(guān)的特征向量）。具體地說，設(shè)λ

是n階矩陣A的

k

重特征值，則齊次線性方程組(A-

λE)x=0

或

(

λ

E

-

A)x=0這等價于秩R(A-λE

)=n-k。大學(xué)大學(xué)的解空間的維數(shù)也是

k

(

λ

的幾何重數(shù))矩陣能否對角化可通過計算系數(shù)矩陣的秩來判斷。第54講矩陣的對角化(1)21June

2014大學(xué)學(xué)特征值λ1

2λ2

λ3

1特征向量

0

ξ

0

1

1

1

ξ

2

2

1

這個矩陣不能對角化

1

1 0

A

4

3 0

10 2

A沒有3個線性無關(guān)的特征向量第49講118頁例6例如大學(xué)第54講矩陣的對角化(1)22本課程的在優(yōu)酷網(wǎng)高等數(shù)學(xué)138講大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)23二、矩陣對角化的例子大學(xué)June

20140

0

0

1例

1

設(shè)矩陣

A

1

1x

1

0

求x

的值，使A

能相似對角化，并將A對角化。解

A能相似對角化的條件是：A的每一個k重特征值λ

都能確定k個線性無關(guān)的特征向量。即齊次線性方程組(A-

λ

E

)x=0的解空間是k維的。等價于A-

λ

E

的秩等于

n-k

(where

n=3)同濟《線性代數(shù)》五版123頁例11大學(xué)大學(xué)大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)25e2014大0

0

0

1x

A

1

11

0

λ

0

11

1

λ

x1

0

λA

λE

(1

λ)

λ11

λ

(1

λ)(λ

2

1)

(λ

1)2

(λ

1)大學(xué)特征值：λ1

1,

λ2

λ3

1λ1

1確定一個特征向量p1要使A能對角化，λ2

λ3

1必需確定兩個線性無關(guān)的特征向量第54講矩陣的對角化(1)260

0

0

1x

A

1

11

0

λ

0

11

1

λ

x1

0

λA

λE

要使A能對角化，λ2

λ3

1必需確定兩個線性無關(guān)的特征向量。(

A

E)x

0即，齊次線性方程組的解空間的維數(shù)是2，或者系數(shù)矩陣的秩

R(

A

E)

3

2

徐1大學(xué)大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)270

0

0

1x

A

1

11

0

λ

0

11

1

λ

x1

0

λA

λE

或者

R(

A

E)

3

2

1A

E

1

11

1

0 1

1

0

100x

0

0

x

10

0

0大學(xué)R(

A

E)

1

x

1大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)284A的屬于特征值1的兩個線性無關(guān)的特征向量：大學(xué)

0

0

1x

A

1

101 0

徐June

201A

E

1

11

1

0 1

1

0

100x

0

0

x

10

0

0

R(

A

E)

1

x

10

1

0 1

0

0

0

0A

E

0

四川x1

x3

0

p2

1

0

1

p3

0

1

0

0

1

0A

1

1

11

0

and

(0,1)

(x2

,

x3

)

(1,0)第54講矩陣的對角化(1)29

0

0

1

0A

1

1

11

0

特征值：λ1

1,

λ2

λ3

11λ

1

確定一個特征向量p11

0

1

A

E

1

2

1

0

00

1

0

1

01

0

1

1

0

1

2

2

0

1

10

0

0

1x

x3x2

x3大學(xué)大學(xué)A的屬于特征值-1的特征向量：11p

1

1大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)30大學(xué)特征值：λ1

1,

λ2

λ3

1大學(xué)

0

0

1

0A

1

1

11

0

11λ

1:

p1

1

1

0

p2

1

0

1

p3

0

1

λ2

,

3

1

:

0

0 1

1

0

1

0

1AP

1

1

1

11

00

11 0

11

0 11

0

0

1

0 1

0

0

1June

20141 0

0

1 0

P大學(xué)

第15:4講矩陣的對角化(1)

31

0

1

June

2014大學(xué)大徐

0

0

1

0A

1

110

111

p

1

1

1

2

3p

1

p

0

0

1

2,

3λ

1:

λ01

0

1

0

0

1

10

1

1

0 11

0

0AP

1

1

1

1

10

1

10 1

0

0

1

0

1

1 0

0

1 0

P大學(xué)

1

0

0

0

P1

AP

0

1

0

0

1

第54講矩陣的對角化(1)32June

2014大學(xué)湛大學(xué)with(lin徐alg):A:=array([[0,0,1],[1,1,-1],[1,0,0]]);Charpoly:=charpoly(A,x);Eigenvalues:=eigenvals(A);Eigenvectors:=eigenvects(A);P:=array([[-1,0,1],[1,1,0],[1,0,1]]);Q:=inverse(P);B:=multiply(Q,A,P);0

0

0

1

1

0

1100

AP

1

110

11

11

1

0 11

0

0

1

0

0

1

1

1 0

0

1 0

P大學(xué)第54講矩陣的對角化(1)33例2

2

1

2

3

a

1

b

2

同濟《線性代數(shù)》五版135頁16題

1

1

已知

p

1

是矩陣

A

5的一個特征向量。求a,b及p

所對應(yīng)的特征值；問A能否對角化？大學(xué)大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)34

2

12

3

1ab

2

1

1

已知

p

1

是矩陣

A

5的一個特征向量。求a,b及p

所對應(yīng)的特征值。

2

1Ap

5

a

1

b解(1)3

1

2

1

1

λ

1

1

2

1

對應(yīng)分量成比例：1

a

2

b

川1

大學(xué)1

1a

3,

b

0大學(xué)大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)35

1

大

2

1Ap

5

12

1

解(1)1

2

1

1

a

3

1

a

2

λ

1

b

1

b

1

對應(yīng)分量成比例：1

a

2

b

11

1

1a

3,

b

0

1

1

1

2

1

2

3

1

0

2

Ap

1

λ

1

λ

1A

5

3大學(xué)大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)36λ

1

2

1

2

3

A

5

3(2)問A能否對角化？AλE

12λ

1

2

5

3λ

30

2λ35(2λ)02(2λ)(2λ)

大學(xué)

1

0

2

2λ

1

25

3λ

31

0

2λ2λ

1

5

3λ1

03λ1

λ2

25λ

7June

2014大學(xué)第54講矩陣的對角化(1)372λ

1

25

3λ

31

0

2λAλE

1

λ2

23λ

5λ

7

[(5λ7)

(λ2

2)(3λ)]

(λ33λ2

3λ1)

(λ1)3Charpoly:=charpoly(A,x);Eigenvalues:=eigenvals(A);Eigenvectors:=eigenvects(A);λ

1

是矩陣A的3重特征值。大學(xué)with(linalg):A:=array([[2,-1,2],[5,-3,3],[-1,0,-2]大學(xué)大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)38大學(xué)

徐λ

1是矩陣A的3重特征值。

2

1

2

3

0

2

A

5

3

1

3

1 2

3

2

1

0

1A

(1)E

A

E

5

10

1

R(

A

E)

2大學(xué)大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)39川的特征向量，λ

1

是矩陣A的3重特征值。A

(1)E

0

0

1

1

0

1 1

0

2

2

0

0

1

1

0

1

1

0R(A

E)

2

大學(xué)齊次線性方程組

(

A

E)x

0只能確定1個線性無關(guān)的解，即p=(1,1,

-1)T，從而A對應(yīng)于3重特征值-1沒有3個線性無關(guān)大學(xué)A不能對角化。大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)40的特征值是-1with(linalg):A:=array([[2,-1,2],[5,-3,3],[-1,0,-2]]);Charpoly:=charpoly(A,x);Eigenvalues:=eigenvals(A);Eigenvectors:=eigenvects(A);Maple

check3

1

2

2

1

2

A

5

30大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)411

1

1

1

1 1

A

1

1

1

例3

證明

n

階矩陣

A

與

B

相似：

0

0 1

0

0 2

B

0

0

n

解

直接證明A與B相似，似乎不方便。下面考慮證明A與B都與同一個對角陣相似再由相似關(guān)系的傳遞性，A與B相似。大學(xué)

大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)42大

學(xué)1

1

1

1

1 1

A

1

1

λ

1

11

1

λ

1

1

1

λA

λE

n

λ

n

λ

n

λ1

1

λ

1

1

1

1

λll

rowsadded

torow

1n

λ

0

01

λ

0

1

1

λ大學(xué)All

columns

subtract

column

1大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)43June

2014大學(xué)1

λ

1

111

λ111

1

λA

λE

n

λ

0

01

λ

0

1

1

λ

0川大學(xué)

(n

λ)(λ)n1(單根)特征值：

λ

n

λ

0(n-1重根)大學(xué)λ

n

能確定一個特征向量下面說明

λ

0

能確定n-1個A的線性無關(guān)的特征向量第54講矩陣的對角化(1)44June

20141

1

1

A

0E

A

1

1

1

1

λ

1

111

λ11

1

1

λ1

1

1

A

λE

(n

λ)(λ)n1λ

0

(n-1重根)1

1

1

0

0

0

0

0

0

R(

A

0E)

1大學(xué)(A

0E)x

學(xué)0有n-1個線性無關(guān)的解。大學(xué)第54講矩陣的對角化(1)45June

2014大學(xué)大學(xué)λ

0(n-1重根)R(

A

0E)

1 (

A

0E)x

0有n-1個線性無關(guān)的解。λ

0

能確定n-1個A的線性無關(guān)的特征向量

n

0

0

0

0

0

A

~

0

0

0

大學(xué)第54講矩陣的對角化(1)46June

2014大學(xué)大

0

0 1

0

0 2

0

0

n

B

大學(xué)

λ

0

10

λ

2

0

0

n

λB

λE

(λ)n1

(n

λ)

0特征值：

λ

n

λ

0(單根)

(n-1重根)λ

n

能確定一個特征向量下面說明

λ

0

能確定n-1個B的線性無關(guān)的特征向量第54講矩陣的對角化(1)47λ

0

10

λ200n

λB

λE

λ

0(n-1重根)

0

0 1

0

0 2

0

0

n

B

0E

B

R(B)

1(B

0E)x

0

有n-1個線性無關(guān)的解。λ

0

能確定n-1個B

的線性無關(guān)的特征向量大學(xué)大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)48(B

0E)x

0

有n-1個線性無關(guān)的解。λ

0

能確定n-1個B

的線性無關(guān)的特征向量大學(xué)

n

0

0

0

0

0

B

~

0

~

A由相似關(guān)系的傳遞性，A

~

B大學(xué)大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)49大學(xué)P此

課程在

傳課PT課件可在課程學(xué)習(xí)資料大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)50矩陣對角化的應(yīng)用大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)51大學(xué)例40

0

0

1

設(shè)

A

1

11

0

1

，求An

。解

由例2，A

有特征值

λ1

1,

λ2

λ3

1且A

與對角陣相似：0

0

0

1

1

0

110AP

1

1

1

1

1

0

11

1

0 11

0

0

10 1

0

0

10

1

1 0

0

1

0

P大學(xué)大學(xué)June

2014第54講矩陣的對角化(1)52解

由例2，A有特征值

λ1

1,

λ2

λ3

1大學(xué)且A與對角陣相似：0

0

0

1

1

0

110AP

1

1

1

1

1

0

11

1

0 11

0

0

10 1

0

0