易錯(cuò)點(diǎn)09平面向量平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是解決實(shí)際問(wèn)題強(qiáng)有力的工具，是近年來(lái)高考的熱點(diǎn)之一．對(duì)向量問(wèn)題的考查，往往與不等式、解析幾何、數(shù)列、平面幾何等知識(shí)結(jié)合起來(lái)．本文通過(guò)對(duì)近十年全國(guó)新課標(biāo)卷試題進(jìn)行分析、匯總，希望同學(xué)們能夠?qū)ζ矫嫦蛄康目枷?、考法、考試題型、難易程度有更加清晰的認(rèn)識(shí)，避免走彎路，錯(cuò)路，以提高復(fù)習(xí)的效率．易錯(cuò)點(diǎn)1：忽略零向量；易錯(cuò)點(diǎn)2：利用向量的數(shù)量積計(jì)算時(shí)，要認(rèn)真區(qū)別向量與實(shí)數(shù)a·b；易錯(cuò)點(diǎn)3：利用向量的數(shù)量積計(jì)算時(shí)，判斷向量夾角的大小時(shí)要牢記“起點(diǎn)相同”；(1)求夾角的大?。喝鬭，b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得(夾角公式)，所以平面向量的數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)角度的問(wèn)題．（2）確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角.易錯(cuò)點(diǎn)4：向量數(shù)量積的幾何意義中的叫做在方向上的正射影的數(shù)量，它是一個(gè)數(shù)量，它可正，可負(fù)，也可以為0，要注意區(qū)分.易錯(cuò)點(diǎn)5：向量數(shù)量積>0并不等價(jià)于向量與的夾角為銳角；易錯(cuò)點(diǎn)6：三點(diǎn)共線問(wèn)題1.若A、B、C三點(diǎn)共線，且,則2.中確定方法（1）在幾何圖形中通過(guò)三點(diǎn)共線即可考慮使用“爪”字型圖完成向量的表示，進(jìn)而確定（2）若題目中某些向量的數(shù)量積已知，則對(duì)于向量方程，可考慮兩邊對(duì)同一向量作數(shù)量積運(yùn)算，從而得到關(guān)于的方程，再進(jìn)行求解（3）若所給圖形比較特殊（矩形，特殊梯形等），則可通過(guò)建系將向量坐標(biāo)化，從而得到關(guān)于的方程，再進(jìn)行求解3.(1)證明向量共線：對(duì)于非零向量a，b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a=λb，則a與b共線．(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使，則A，B，C三點(diǎn)共線．【注】證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說(shuō)明共線的兩向量有公共點(diǎn).易錯(cuò)點(diǎn)7：向量與三角形的綜合(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)．(2)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用．(3)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡(jiǎn)結(jié)果.題組1：線性運(yùn)算1（2018年新課標(biāo)1卷）在ΔABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up5(→))=()A．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up5(→))-eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up5(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up5(→))-eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up5(→)) C．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up5(→))+eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up5(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up5(→))+eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up5(→))【答案】A【解析】故選A2．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)設(shè)D為QUOTEABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則 ()A． B．C． D．【答案】A解析：由題知=，故選A．3.（2014新課標(biāo)1）設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則A．B．C．D．【答案】A【解析】,故選A4.(2013新課標(biāo)2理科)已知正方形的邊長(zhǎng)為,為的中點(diǎn),則．【答案】2【解析】在正方形中，,,所以題組2：共線定理的應(yīng)用5．（2021新高考1卷）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面【答案】BD【解析】由點(diǎn)滿足，可知點(diǎn)在正方形內(nèi)．A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，可知點(diǎn)在線段（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)．中，，，，因此周長(zhǎng)不為定值，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，可知點(diǎn)在線段（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)．由圖可知，線段//平面，即點(diǎn)到平面的距離處處相等，的面積是定值，所以三棱錐的體積為定值，所以選項(xiàng)B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，分別取線段，中點(diǎn)為，，可知點(diǎn)在線段（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)．很顯然若點(diǎn)與或重合時(shí)，均滿足題意，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤．D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，分別取線段，中點(diǎn)為，，可知點(diǎn)在線段（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)．此時(shí)，有且只有點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，滿足題意.所以選項(xiàng)D正確．因此，答案為BD.6．（2020年江蘇卷）在△ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP＝9，若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是________．【答案】0或.【解析】∵三點(diǎn)共線，∴可設(shè)，∵，∴，即，若且，則三點(diǎn)共線，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，設(shè)，，則，.∴根據(jù)余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的長(zhǎng)度為.當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)的長(zhǎng)度為，當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)，不合題意，舍去.故答案為：0或.7．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖則，，，，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)在中，有即所以圓的方程為可設(shè)由可得所以，所以其中，所以的最大值為，故選A．法二：通過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由，，可求得又由，可求得由等和線定理可知，當(dāng)點(diǎn)的切線（即）與平行時(shí)，取得最大值又點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到直線的距離相等，均為而此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為所以，所以的最大值為，故選A．另一種表達(dá)：如圖，由“等和線”相關(guān)知識(shí)知，當(dāng)點(diǎn)在如圖所示位置時(shí)，最大，且此時(shí)若，則有，由三角形全等可得，知，所以選A．法三：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)根據(jù)等面積公式可得圓的半徑是，即圓的方程是，若滿足即，，所以，設(shè)，即，點(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故選A．法四：由題意，畫(huà)出右圖．設(shè)與切于點(diǎn)，連接．以為原點(diǎn)，為軸正半軸，為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系則點(diǎn)坐標(biāo)為．∵，．∴．切于點(diǎn)．∴⊥．∴是中斜邊上的高．即的半徑為．∵在上．∴點(diǎn)的軌跡方程為．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，可以設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)滿足的參數(shù)方程如下：而，，．∵∴，．兩式相加得：(其中，)當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最大值3．題組3:共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算8．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)已知向量，，，若，則．【答案】【解析】依題意可得，又，所以，解得．9．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)_________．【答案】【解析】因?yàn)橄蛄颗c平行，所以，則所以．題組4：垂直向量10．(2021年高考全國(guó)乙卷理科)已知向量，若，則__________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以由可得，，解得．故答案為：?1．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________．【答案】【解析】由題意可得：，由向量垂直的充分必要條件可得：，即：，解得：．故答案為：．題組5：向量的數(shù)量積運(yùn)算11．（2021上海卷）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為3，求________．【答案】9【解析】由題意得:.12. （2021新高考2卷）已知向量滿足，，則________.【答案】【解析】因?yàn)?，平方可得，所?題組6：求夾角13．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知向量a，b滿足，，，則 ()A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，．，因此，．故選：D．14．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科)已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為 ()A．B．C．D．【答案】B【解析】：，所以，所以．15．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知，為單位向量，且，若，則___________．【答案】．【解析】因?yàn)?，，所以，，所以，所以?6．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知向量,,則 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意,得,所以,故選A.題組6：求向量的模17．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)設(shè)為單位向量，且，則______________．【答案】【解析】因?yàn)闉閱挝幌蛄浚运越獾茫核怨蚀鸢笧椋?8．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知向量,的夾角為,,,則__________．【答案】【解析】法一:所以．法二(秒殺解法):利用如下圖形,可以判斷出的模長(zhǎng)是以為邊長(zhǎng)的菱形對(duì)角線的長(zhǎng)度,則為．法三:坐標(biāo)法依題意,可設(shè),,所以所以．題組8：求最值19.（2020?新全國(guó)1山東）已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范用是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.20.（2017新課標(biāo)2卷）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小是_____.【答案】【解析】以BC為軸，以BC邊上的高為軸建立坐標(biāo)系，則,設(shè)1．在平行四邊形中，，則（）A．-5 B．-4 C．-3 D．-2【答案】A【解析】，，，，，，故選：A2．正方形中，P，Q分別是邊的中點(diǎn)，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，即，解得，∴，又，∴，則故選：C．3．如圖，平面四邊形中，，．則（）A． B． C． D．3【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以所以，故選：C.4．已知向量、滿足，，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，則，解得.故選：B.5．已知向量，滿足，，且與的夾角為，則（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】由題設(shè)，.故選：B.6．如圖，在中，，，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，所以，，故選：D7．已知向量，滿足，，，則（）A．5 B．7 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，，，所?故選：D．8．已知向量，向量，則與的夾角大小為（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【解析】向量，向量，，，且，的夾角為.故選：D.9．已知，，，，則_______【答案】【解析】，，即，，又，故答案為：0.10．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，M，N分別為邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，以MN為邊作等邊，使得