數(shù)據(jù)的數(shù)字特征北師大版高中數(shù)學(xué)必修三·第一章第4節(jié)第（1）課時回顧與反思

數(shù)據(jù)的信息除了通過前面學(xué)習(xí)的各種統(tǒng)計圖表來加以整理和表達之外，還可以通過一些統(tǒng)計量來表達，也就是將多個數(shù)據(jù)“加工”為一個數(shù)值，使這個數(shù)值能夠反映這組數(shù)據(jù)的某些重要的整體特征.

我們已學(xué)過統(tǒng)計量有:平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)極差方差平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)例1

某公司員工的月工資情況如下表（單位：元）：（1）分別計算該公司員工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).（2）公司經(jīng)理會選取上面哪個數(shù)據(jù)來代表該公司員工的月工資情況？稅務(wù)官呢？工會領(lǐng)導(dǎo)呢？月工資80005000400020001000800700600500人數(shù)12461282052平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)解（1）該公司員工的月工資平均數(shù)為：月工資80005000400020001000800700600500人數(shù)12461282052即月工資平均數(shù)為

元；把所有員工的月工資數(shù)按從大到小的順序依次排列，中間的兩個數(shù)均為

，因此月工資中位數(shù)為

元；在所有員工的月工資數(shù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是

，因此月工資眾數(shù)為

元.8008007007001373平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)解（2）公司經(jīng)理為了顯示本公司員工的收入高，采用月工資平均數(shù)1373元作為月工資的代表；而稅務(wù)官希望取月工資中位數(shù)800元，以便知道目前的所得稅率對該公司的多數(shù)員工是否有利；工會領(lǐng)導(dǎo)則主張用月工資眾數(shù)700元作為代表，因為每月拿700元的員工數(shù)最多.月工資80005000400020001000800700600500人數(shù)12461282052（2）公司經(jīng)理會選取上面哪個數(shù)據(jù)來代表該公司員工的月工資情況？稅務(wù)官呢？工會領(lǐng)導(dǎo)呢？平均數(shù)：

元；中位數(shù)：

元；眾數(shù)為：

元.1373800700平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)如上圖：假設(shè)8000元工資提升到12000元，5000元工資提升到8000元，其他不變，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么？月工資80005000400020001000800700600500人數(shù)12461282052月工資120008000400020001000800700600500人數(shù)12461282052平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)月工資80005000400020001000800700600500人數(shù)12461282052月工資120008000400020001000800700600500人數(shù)12461282052平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)變化前1373800700變化后1540800700平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)

通過這個問題的解決，我們應(yīng)該認識到，各個不同的統(tǒng)計量適用于刻畫不同的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并且有著各自的特點.

平均數(shù)：是數(shù)據(jù)的重心，它的優(yōu)點在于：對變量的每一個觀察值都加以利用，比起眾數(shù)與中位數(shù)，它會獲得更多的信息；但是平均數(shù)對個別的極端值敏感，當(dāng)數(shù)據(jù)有極端值時，最好不要用均值刻畫數(shù)據(jù).

眾數(shù)和中位數(shù)可以代表數(shù)據(jù)分布的大體趨勢，缺點在于并沒有對數(shù)據(jù)中的其他值加以利用.到底用什么統(tǒng)計量來刻畫數(shù)據(jù)，需要結(jié)合數(shù)據(jù)的特點及你想要說明的問題進行選擇.不同人的立場不同，會選擇不同的統(tǒng)計量來說明他的觀點.極差、方差及標準差請同學(xué)們來看下面兩組數(shù)據(jù)，這兩組數(shù)據(jù)中，哪一組數(shù)據(jù)分布更集中一些？例2

甲乙兩臺機床同時生產(chǎn)直徑是40mm的零件.為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，從兩臺機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽取10件進行測量，結(jié)果如下表所示.甲機床生產(chǎn)的零件直徑/mm40.039.840.140.239.940.040.239.840.239.8乙機床生產(chǎn)的零件直徑/mm40.040.039.940.039.940.140.140.140.039.9極差、方差及標準差甲機床生產(chǎn)的零件直徑/mm40.039.840.140.239.940.040.239.840.239.8乙機床生產(chǎn)的零件直徑/mm40.040.039.940.039.940.140.140.140.039.9經(jīng)過簡單計算可以得出：甲機床生產(chǎn)的這10件產(chǎn)品直徑的平均值都是

，

乙機床生產(chǎn)的這10件產(chǎn)品直徑的平均值都是

，40mm40mm從表中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，

生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸波動幅度更大，甲我們用折線統(tǒng)計圖可以直觀地表示出這兩組數(shù)據(jù)的離散情況：極差、方差及標準差能否選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)分別表示這兩組數(shù)據(jù)的離散程度？極差、方差及標準差甲40.039.840.140.239.940.040.239.840.239.8乙40.040.039.940.039.940.140.140.140.039.9方法1（極差）極差、方差及標準差甲40.039.840.140.239.940.040.239.840.239.8乙40.040.039.940.039.940.140.140.140.039.9方法2（方差）極差、方差及標準差甲40.039.840.140.239.940.040.239.840.239.8乙40.040.039.940.039.940.140.140.140.039.9方法3極差、方差及標準差甲40.039.840.140.239.940.040.239.840.239.8乙40.040.039.940.039.940.140.140.140.039.9方法4極差、方差及標準差思考：在以上4種方法中，哪個方法更科學(xué)地刻畫數(shù)據(jù)的離散程度？方法1：極差只利用到數(shù)據(jù)中最大和最小兩個值，且對極端值過于敏感.方法2：方差充分利用了每個數(shù)據(jù)，且當(dāng)離散程度大時，方差亦大.極差、方差及標準差在刻畫數(shù)據(jù)的離散程度時，這個統(tǒng)計量應(yīng)該滿足哪些原則呢？（1）應(yīng)充分利用所得到的數(shù)據(jù)，以便提供更確切的信息；（2）僅用一個數(shù)值來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度；（3）對于不同的數(shù)據(jù)集，當(dāng)離散程度大時，該數(shù)值亦大.極差、方差及標準差極差顯然不滿足上面的三條原則，它只是利用了數(shù)據(jù)中最大和最小的兩個值，而且對極值過于敏感.但由于只涉及兩個數(shù)據(jù)，便于得到，所以極差在實際中也經(jīng)常應(yīng)用.方差雖然滿足上面的三條原則，然而它有局限性：方差的單位是原始觀測數(shù)據(jù)的單位的平方，而刻畫離散程度的一種理想度量應(yīng)當(dāng)具有與原始數(shù)據(jù)相同的單位.解決這個局限性的一種方法是取方差的正的平方根應(yīng)用舉例例1從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人參加設(shè)計比賽，對他們的射擊水平進行了測試，兩個人在相同條件下各射擊10次，命中的環(huán)數(shù)如下：甲：78686591074乙：9578768677（1）計算甲、乙兩人射擊命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和標準差；（2）比較兩人的成績，然后決定選擇哪一人參賽.（2）決定選擇乙參賽應(yīng)用舉例例2從甲、乙兩個城市隨機抽取的16臺自動售貨機的銷售額可以用莖葉圖表示，如圖：（1）甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是多少？（2）你能從圖中分別比較甲、乙兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)和方差的大小嗎？應(yīng)用舉例解

（1）甲城市銷售額的中位數(shù)為20，眾數(shù)為10,18，30，極差為53；乙城市銷售額的中位數(shù)為29，眾數(shù)為23，24，極差為38；（2）估計甲城市銷售額的平均數(shù)比乙城市的小，而方差比乙城市的大小結(jié)與作業(yè)小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了用合適的統(tǒng)計量來刻畫數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差、方差、標準差都可以刻畫數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，在實際問題中要根據(jù)問題的實際情況選擇合適的統(tǒng)計量來刻畫數(shù)據(jù)的數(shù)字特征作業(yè)：習(xí)題1—4第1，2題.作業(yè)的參考答案習(xí)題1—4第1題參考答案.1.（1）可以用莖葉圖表示數(shù)據(jù)，（2）銷售的新鮮面包數(shù)量的平均數(shù)和中位數(shù)都是49.5，眾數(shù)是47,50,52；（3）根據(jù)以上結(jié)果，該面包店每天生產(chǎn)50個新鮮面包比較合理.作業(yè)的參考答案習(xí)題1—4第2題參考答案.2.為了運算方便，可以先將數(shù)據(jù)化為以秒為單位的形式進行計算，再將計算結(jié)果化為原有單位的形式.

（1）這幾屆奧運會男子1500m速滑冠軍成績的