第四節(jié)冪級分布圖★例 ★例 ★例★冪級數(shù)的概 ★冪級數(shù)的收斂★收斂半徑的求 ★求收斂域的基本步★例 ★例 ★例★冪級數(shù)的代數(shù)運 ★例★例 ★例 ★例★內(nèi)容小 ★課堂練12-內(nèi)容要x收斂問題..二、冪級數(shù)及其收斂性；阿貝爾定理n|ann|an

求冪級數(shù)

xn

an

Rn

an

(R)n的收斂性四、冪級數(shù)的運算：加、減、乘、除例題選函數(shù)項級數(shù)的收斂(1)n

11(E01)求級數(shù)

1x

的收斂域 解

|un1(x)||un(x)

nn

1|1x

1|1x

|1x |1x

|1x|1x0x2時,原級數(shù)絕對收斂|1x|1即2x0時,原級數(shù)發(fā)散 當|1x|

x0x2,x0時,級數(shù)為

收斂x2時，級數(shù)為 發(fā)散,故級數(shù)的收斂域為(,2[0,

例2確定級 1x(1x2)1xn

的收斂域2解x1時，級數(shù)為n此級數(shù)收斂2當|x|1時，記un(x)

un1un1(x)un(x)

|xn (1x)(1x)(1x n

|x|x1由比值判別法知,此時級數(shù)絕對收斂,故級數(shù)收斂.因此,級數(shù)的收斂域為(1x13求級數(shù)n

(nx)nnnx

的收斂域解因un

(nnn

(1x/

x0un1(n123級數(shù)發(fā)散x0時，級數(shù)去掉前面的有限項(最多去掉前|[x|項,它不影響級數(shù)的收斂性)后為正級數(shù)x x xnx而limnlim1 lim1

exn1/nx

n1

n

n np級數(shù)xx1時收斂n

x1時發(fā)散.由比較判別法的極限形式知x1時收斂,即收斂域為(1求冪級數(shù)的收斂例4（E02）求下列冪級數(shù)的收斂

(1)xnn nn

(nx)nxn

解

lim1/(n1)

1R

1/

nnnx1時，級數(shù)成為n從而所求收斂域為(1

該級數(shù)收斂;x1時，級數(shù)成為,該級數(shù)發(fā)散nnn|an因n|an

limnR0x0處收斂因為

lim

0,所求收斂域為(

nn5E03)求冪級數(shù)nnnn

2nnn

1

的收斂令tx

t

nnR1收斂區(qū)間為|t|1即0xnn

nx0時，級數(shù)成為n從而所求收斂域為(0

該級數(shù)發(fā)散;x1時,級數(shù)成為nn

,該級數(shù)收斂6(E04)求冪級數(shù)n

x2n

的收斂域 unun1(x)un(x)

1|x|21x212

x

22

n 時，級數(shù)收斂221|x|21即|x|22

時，級數(shù)發(fā)散,Rx

時，級數(shù)成為2222

1,該級數(shù)發(fā)散;x

時，級數(shù)成為

1該級數(shù)發(fā)散2故所求收斂域為(2

2冪級數(shù)的運7(E05)求冪級數(shù)

1 x n1

4n 從例4的(1)知,級數(shù)

x的收斂域為(11對級數(shù)nx4n4n

1

1414所以,4.x4時，該級數(shù)發(fā)散.因此級數(shù)n4

的收斂域為(4由冪級數(shù)的代數(shù)運算性質(zhì)，題設(shè)級數(shù)的收斂域為(1求冪級數(shù)的和函數(shù)，分析運算性質(zhì)的應(yīng)8(E06)求冪級數(shù)

n1n

的和函數(shù)解4(1)的結(jié)果知，題設(shè)級數(shù)的收斂域為(11s(x2s(x)x22

3

4

n1xnns(00s(x)1xx21)n1xn1x由積分公式0s(x)dxs(xs(0x

1

(1xs(x)s(0)xs(x)dxx1dxln(1 01 n1x1時收斂，所以

n9(E07)求冪級數(shù)(n1)2xn的和函數(shù)n( 因

(n

1R=1x1級數(shù)發(fā)散，所以題設(shè)級數(shù)的收斂域為(11s(x(n1)2

(|x|1

x1x

xs(x)dx

(n1)xn1

(xn1)

xn1

s(x)

1

(|x|10

1

的和 n解所求級數(shù)的和是冪級數(shù)n

當x 時的和.設(shè)s(x)

x[11逐項求導s(x)

xn11

xs'(x)dx x1dxln(1xs(xs(0ln(1 01s(0)0s(x)ln(1x1 1 sln1 3 3 課堂練冪級數(shù)逐項求導后,收斂半徑不變,那么它的收斂域是否也不變求所給冪級數(shù)的收斂域:

n(x1)nn求冪級數(shù)n阿貝爾（Abel,Nicls阿貝爾挪威數(shù)學家，180285日生于挪威芬島；182946日卒于挪威弗魯蘭。阿貝爾出身貧困，未能受到系統(tǒng)教育，啟蒙教育得自于他的父親。181313歲數(shù)學的。15歲時，他幸運地遇到一位優(yōu)秀數(shù)學教師，使他對數(shù)學產(chǎn)生了。阿貝爾大師的著作。1821年秋，阿貝爾在一些教授資助下進入了奧斯陸大學學習。1825年大學畢業(yè)后，他決定申請經(jīng)費出國，繼續(xù)深造和謀求職位。在德國他結(jié)識了一位很有影響的工程師A.L.克雷爾，在阿貝爾及朋友的贊助下，克雷爾于1826年創(chuàng)辦了著名18267篇題為“關(guān)于一類廣泛的函數(shù)的一個一般性質(zhì)”的文章，于1826年10月30日提交給阿貝爾后的1841年才1826年底，阿貝爾回到柏林。，他染上了肺結(jié)核，克雷爾幫助了他，請他擔任克1827520日，阿貝爾回到奧斯陸?；貒蟾?，仍然沒有找到職位的期望，