學必求其心得，業(yè)必貴于專精§7.1不等關(guān)系與不等式1．兩個實數(shù)比較大小的方法(1）作差法錯誤!（a，b∈R)；（2）作商法錯誤!(a∈R,b>0）．2．不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提示對稱性a〉b?b〈a?傳達性a〉b，b〉c?a>c?可加性a〉b?a＋c〉b＋c?錯誤!?>注意c的符可乘性acbc錯誤!?ac〈bc號同向可加錯誤!?a＋c〉b＋d?學必求其心得，業(yè)必貴于專精性同向同正錯誤!?ac〉bd?可乘性a>b〉0?an〉bn可乘方性（n∈N,n≥1）a，b同為正a〉b>0?錯誤!>錯誤!數(shù)可開方性（n∈N，n≥2）3.不等式的一些常用性質(zhì)（1）倒數(shù)的性質(zhì)a>b，ab〉0?錯誤!〈錯誤!。②a〈0<b?錯誤!<錯誤!。③a>b〉0，0〈c〈d?錯誤!>錯誤!.0<a〈x〈b或a<x<b〈0?錯誤!<錯誤!〈錯誤!。(2）有關(guān)分數(shù)的性質(zhì)若a〉b>0，m〉0，則①錯誤!〈錯誤!;錯誤!〉錯誤!（b－m〉0）．②錯誤!〉錯誤!;錯誤!<錯誤!(b－m>0)．【思慮辨析】判斷下面結(jié)論可否正確(請在括號中打“√”或“×”）學必求其心得，業(yè)必貴于專精1）a〉b?ac2>bc2.（×)2）a>b〉0，c〉d〉0?錯誤!>錯誤!。(√）3）若ab>0,則a〉b?錯誤!〈錯誤!。(√)4）若錯誤!〉1,則a〉b.（×）(5）若a〉b〉1，c<0,則logb（a－c）〉loga（b－c）．(√)（6）若錯誤!〈錯誤!〈0，則｜a|>|b｜。（×）1．(2014·四川)若a〉b>0，c〈d<0，則必然有(）A。錯誤!>錯誤!B.錯誤!〈錯誤!C.錯誤!>錯誤!D。錯誤!〈錯誤!答案D解析令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，a則c＝－1，錯誤!＝－1，因此A，B錯誤；錯誤!＝－錯誤!,錯誤!＝－錯誤!，因此錯誤!<錯誤!,因此C錯誤．應(yīng)選D.2．設(shè)a<b〈0，則以下不等式中不行立的是( )學必求其心得，業(yè)必貴于專精A.錯誤!>錯誤!B.錯誤!〉錯誤!aba錯誤!C．|｜〉－D。－〉答案B解析由題設(shè)得a〈a－b〈0，因此有錯誤!<錯誤!建立，即錯誤!>錯誤!不行立．3．限速40km/h的路標，指示司機在前面路段行駛時,應(yīng)使汽車的速度v不高出40km/h,寫成不等式就是____________．答案v≤40km/h4．已知a1≤a2，b1≥b2，則a1b1＋a2b2與a1b2＋a2b1的大小關(guān)系是________________．答案a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1解析∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1）a1（b1－b2）＋a2（b2－b1）(b1－b2）(a1－a2)，a1≤a2,b1≥b2，(b1－b2）(a1－a2)≤0,a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1。學必求其心得，業(yè)必貴于專精題型一用不等式(組）表示不等關(guān)系例1某商人若是將進貨單價為8元的商品按每件10元銷售，每天可銷售100件，現(xiàn)在他采用提升售價，減少進貨量的方法增加利潤．已知這種商品的單價每提升1元，銷售量就相應(yīng)減少10件．若把抬價后商品的單價設(shè)為x元，怎樣用不等式表示每天的利潤不低于300元？解若抬價后商品的單價為x元，則銷售量減少錯誤!×10件,因此，每天的利潤為（x－8）[100－10（x－10)］元，則“每天的利潤不低于300元”能夠表示為不等式x－8）［100－10（x－10)］≥300.思想升華關(guān)于不等式的表示問題，要點是理解題意，分清變化前后的各種量,得出相應(yīng)的代數(shù)式,爾后,用不等式表示．而關(guān)于涉及條件很多的實責問題,則經(jīng)常需列不等式組解決．已知甲、乙兩種食品的維生素A，B含量以下表：甲乙維生素A(單6070位/kg）00學必求其心得，業(yè)必貴于專精維生素B（單8040位/kg）00設(shè)用甲、乙兩種食品各xkg，ykg配成至多100kg的混雜食品，并使混雜食品內(nèi)最少含有56000單位維生素A和62000單位維生素B,則x，y應(yīng)滿足的所有不等關(guān)系為________．答案錯誤!題型二比較大小例2（1)已知a1，a2∈(0,1），記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系是（）A．M<NB．M〉NC．M＝ND．不確定(2)若a＝錯誤!，b＝錯誤!，c＝錯誤!，則（)A．a(chǎn)〈b〈cB．c〈b〈aC．c〈a〈bD．b<a〈c答案(1）B（2)B解析(1)M－N＝a1a2－（a1＋a2－1）a1a2－a1－a2＋1a1（a2－1）－（a2－1)(a1－1）(a2－1)，學必求其心得，業(yè)必貴于專精又∵a1∈(0,1），a2∈(0，1）,a1－1〈0,a2－1〈0.(a1－1)(a2－1）〉0，即M－N〉0.∴M〉N。(2)方法一易知a，b，c都是正數(shù)，錯誤!＝錯誤!log8164<1,因此a>b；錯誤!＝錯誤!＝log6251024〉1，因此b>c。即c〈b<a.方法二關(guān)于函數(shù)y＝f（x）＝錯誤!，y′＝錯誤!，易知當x〉e時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．因為e〈3〈4〈5,因此f(3）〉f（4）>f(5)，即c〈b〈a.思想升華比較大小的常用方法(1)作差法：一般步驟：①作差;②變形；③定號；④結(jié)論．其中要點是變形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式也許完好平方式．當兩個式子都為正數(shù)時，有時也能夠先平方再作差．(2)作商法：學必求其心得，業(yè)必貴于專精一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小；④結(jié)論．(3）函數(shù)的單調(diào)性法:將要比較的兩個數(shù)作為一個函數(shù)的兩個函數(shù)值,依照函數(shù)單調(diào)性得出大小關(guān)系．（1)若是

a〈b<0，那么以下不等式建立的是（

）A。錯誤!<錯誤!

B．a(chǎn)b<b2C．－ab<－a2

D．－錯誤!〈－錯誤!（2)（2013·課標全國Ⅱ)設(shè)a＝log32，b＝log52，c＝log23，則（）A．a(chǎn)〉c>bB．b〉c>aC．c>b>aD．c>a>b答案（1）D(2）D解析(1)關(guān)于A項，由a<b〈0，得b－a>0，ab〉0，故錯誤!－錯誤!＝錯誤!〉0,錯誤!〉錯誤!，故A項錯誤；關(guān)于B項，由a<b〈0，得b（a－b)>0,ab>b2，故B項錯誤;關(guān)于C項，由a〈b<0，得a(a－b）〉0，a2〉ab，即－ab〉－a2，故C項錯誤；關(guān)于D項,由a<b<0，得a－b<0，ab>0，故－錯誤!－(－錯誤!)＝錯誤!〈0,－錯誤!<－錯誤!建立．故D項正確．學必求其心得，業(yè)必貴于專精2)因為log32＝錯誤!<1，log52＝錯誤!<1,又log23〉1，因此c最大．又1〈log23〈log25，因此錯誤!>錯誤!，即a〉b,因此c>a>b，選D。題型三不等式性質(zhì)的應(yīng)用例3已知a>b>0,給出以下四個不等式：22ab－1332①a〉b；②2〉2;③a－b>錯誤!－錯誤!；④a＋b>2ab.其中必然建立的不等式為(）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④答案A解析方法一由a〉b>0可得a2〉b2，①建立；由a>b〉0可得a>b－1，而函數(shù)f（x）＝2x在R上是增函數(shù)，∴f(a）〉f(b－1），即2a>2b－1，②建立；a〉b〉0,∴a〉錯誤!，∴（a－b)2－(錯誤!－錯誤!）2＝2ab－2b＝2錯誤!（錯誤!－錯誤!）〉0,∴錯誤!>錯誤!－錯誤!，③建立;若a＝3,b＝2，則a3＋b3＝35，2a2b＝36,a3＋b3<2a2b，④不行立．應(yīng)選A。學必求其心得，業(yè)必貴于專精方法二令a＝3，b＝2，22ab－133能夠獲?、賏>b，②2>2，③錯誤!>錯誤!－錯誤!均建立,而④a＋b〉2a2b不行立，應(yīng)選A.思想升華(1)判斷不等式可否建立，需要逐一給出推理判斷或反例說明．常用的推理判斷需要利用不等式的性質(zhì)．(2）在判斷一個關(guān)于不等式的命題真假時，先把要判斷的命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起來考慮，找到與命題周邊的性質(zhì)，并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題真假，自然判斷的同時還要用到其他知識,比方對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等．（1）設(shè)a,b是非零實數(shù),若a〈b，則以下不等式建立的是( )A．a(chǎn)2〈b2B．a(chǎn)b2<a2bC.錯誤!〈錯誤!D.錯誤!<錯誤!（2)已知a，b，c∈R，有以下命題：①若

a>b,則

22ac>bc；②若

22ac>bc，則

a>b；③若

a〉b，則

cca·2〉b·2.其中正確的選項是________．(填上所有正確命題的序號）答案(1）C(2）②③解析（1)當a<0時，a2〈b2不用然建立，故A錯．因為ab2－a2b＝ab(b－a)，b－a>0，ab符號不確定，學必求其心得，業(yè)必貴于專精因此ab2與a2b的大小不能夠確定，故B錯．1因為ab2－錯誤!＝錯誤!〈0,1因此ab2〈錯誤!，故C正確．項中錯誤!與錯誤!的大小不能夠確定．（2)①若c＝0則命題不行立．②正確．③中由2c〉0知建立．不等式變形中擴大變量范圍致誤典例:設(shè)f（x）＝ax2＋bx,若1≤f（－1)≤2,2≤f（1)≤4，則f(－2)的取值范圍是________．易錯解析解題中多次使用同向不等式的可加性,先求出a,b的范圍，再求f（－2)＝4a－2b的范圍，以致變量范圍擴大．解析方法一設(shè)f(－2)＝mf(－1)＋nf（1）(m、n為待定系數(shù)）,則4a－2b＝m(a－b）＋n(a＋b),即4a－2b＝（m＋n)a＋（n－m)b，于是得錯誤!解得錯誤!f(－2）＝3f(－1)＋f（1）．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1）≤4，學必求其心得，業(yè)必貴于專精5≤3f(－1）＋f（1)≤10,即5≤f(－2)≤10。方法二由錯誤!得錯誤!f(－2）＝4a－2b＝3f（－1）＋f（1）．又∵1≤f(－1）≤2,2≤f（1）≤4，5≤3f(－1)＋f（1)≤10，故5≤f(－2)≤10。方法三由錯誤!確定的平面地域如圖陰影部分，當f（－2)＝4a－2b過點A(錯誤!，錯誤!）時,獲取最小值4×錯誤!－2×錯誤!＝5，當f（－2）＝4a－2b過點B(3，1)時，獲取最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f（－2)≤10。答案［5，10］溫馨提示(1)此類問題的一般解法:先建立待求整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后經(jīng)過”一次性“使用不等式的運算求得整體范圍；（2）求范圍問題若是多次利用不等式有可能擴大變量取值范圍.學必求其心得，業(yè)必貴于專精方法與技巧1．用同向不等式求差的范圍．錯誤!?錯誤!?a－d〈x－y〈b－c.這種方法在三角函數(shù)中求角的范圍時經(jīng)常用到．2．倒數(shù)關(guān)系在不等式中的作用．錯誤!?錯誤!〈錯誤!；錯誤!?錯誤!〉錯誤!.3．比較法是不等式性質(zhì)證明的理論依照,是不等式證明的主要方法之一．比差法的主要步驟:作差-—變形——判斷正負．在所給不等式完好部是積、商、冪的形式時，可考慮比商．4．求某些代數(shù)式的范圍可考慮采用整體代入的方法．失誤與防范1．a(chǎn)>b?ac>bc或a<b?ac〈bc，當c≤0時不行立．12．a(chǎn)〉b?a〈錯誤!或a<b?錯誤!>錯誤!，當ab≤0時不行立．3．a(chǎn)〉b?an〉bn關(guān)于正數(shù)a、b才建立．4.錯誤!>1?a>b，關(guān)于正數(shù)a、b才建立．5．注意不等式性質(zhì)中“?"與“?”的差異,如：a>b，b〉c?a>c,其中a〉c不能夠推犯錯誤!。6．比商法比較大小時，要注意兩式的符號。學必求其心得，業(yè)必貴于專精A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：45分鐘)1．“a＋c>b＋d”是“a〉b且c>d”的（）A．必要不充分條件B．充分不用要條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件答案A解析由同向不等式的可加性知“a〉b且c〉d”?“a＋c〉b＋d”,反之不對．2．若錯誤!〈錯誤!<0，則以下結(jié)論不正確的選項是(）A．a(chǎn)2<b2B．a(chǎn)b〈b2C．a(chǎn)＋b<0D．｜a|＋|b|>｜a＋b｜答案D解析∵錯誤!〈錯誤!〈0，∴b〈a〈0.a2<b2，ab〈b2，a＋b<0,｜a|＋｜b｜＝｜a＋b|。3．已知x>y>z，x＋y＋z＝0,則以下不等式中建立的是（）A．xy>yzB．xz>yz學必求其心得，業(yè)必貴于專精C．xy>xz

D．x|

y｜>z｜y｜答案C解析因為x〉y>z，x＋y＋z＝0，因此3x>x＋y＋z＝0,3z<x＋y＋z＝0，因此x〉0,z<0。因此由錯誤!可得xy>xz。αβα的取值范圍是（）錯誤!錯誤!錯誤!A．(0，錯誤!）B．（－錯誤!，錯誤!)C．(0，π)D．(－錯誤!，π）答案D解析由題設(shè)得0<2α〈π,0錯≤誤!≤錯誤!，∴－錯誤!≤－錯誤!≤0，∴－錯誤!〈2α－錯誤!<π.5．設(shè)a〉1,且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1),p＝loga（2a),則m，n，p的大小關(guān)系為(）A．n>m〉pB．m>p>nC．m〉n>pD．p>m>n答案B解析因為a〉1，因此a2＋1－2a＝（a－1）2〉0，即a2＋1〉2a，又2a>a－1，學必求其心得，業(yè)必貴于專精因此由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知loga(a2＋1）〉loga(2a)〉loga（a－1），即m>p>n。6．已知a〈0，－1〈b〈0，那么a，ab，ab2的大小關(guān)系是__________．(用“>"連接)答案ab>ab2>a解析由－1〈b<0,可得b<b2<1.又a〈0，∴ab〉ab2>a。7．設(shè)a〉b〉c〉0，x＝a2＋b＋c2，y＝錯誤!，z＝錯誤!,則x，y，z的大小關(guān)系是________．(用“〉"連接）答案z〉y>x解析方法一y2－x2＝2c（a－b）〉0，∴y〉x.同理，z〉y，∴z〉y〉x.方法二令a＝3，b＝2，c＝1,則x＝錯誤!，y＝錯誤!，z＝錯誤!,故z>y>x。8．已知a，b,c，d均為實數(shù)，有以下命題①若ab>0，bc－ad>0，則錯誤!－錯誤!>0；②若ab〉0，錯誤!－錯誤!>0，則bc－ad>0；③若bc－ad〉0,錯誤!－錯誤!〉0，則ab〉0。其中正確的命題是________．學必求其心得，業(yè)必貴于專精答案①②③解析∵ab〉0,bc－ad>0，∴錯誤!－錯誤!＝錯誤!>0，∴①正確；ab〉0，又錯誤!－錯誤!>0,即錯誤!>0,∴bc－ad〉0，∴②正確;cbc－ad>0，又a－錯誤!〉0,即錯誤!>0,∴ab>0,∴③正確．故①②③都正確．9．若實數(shù)a≠1,比較a＋2與錯誤!的大小．解∵a＋2－錯誤!＝錯誤!＝錯誤!，∴當a〉1時，a＋2>錯誤!;當a〈1時，a＋2〈錯誤!.10．甲乙兩人同時從宿舍到教室，甲一半行程步行，一半行程跑步；乙一半時間步行，一半時間跑步；若是兩人步行、跑步速度均相同，則誰先到教室？解設(shè)行程為s,跑步速度為v1，步行速度為v2，t甲＝錯誤!＋錯誤!＝錯誤!，s＝錯誤!·v1＋錯誤!·v2?t乙＝錯誤!，∴錯誤!＝錯誤!≥錯誤!＝1。學必求其心得，業(yè)必貴于專精t甲≥t乙，當且僅當v1＝v2時“＝”建立．由實質(zhì)情況知v1>v2，∴t甲〉t乙．∴乙先到教室．B組專項能力提升(時間：20分鐘)11．若a>b>0，則以下不等式中必然建立的是(）A．a(chǎn)＋錯誤!〉b＋錯誤!B。錯誤!>錯誤!C．a(chǎn)－錯誤!〉b－錯誤!D。錯誤!〉錯誤!答案A解析取a＝2，b＝1，消除B與D；別的,函數(shù)f（x）＝x－錯誤!是(0，＋∞)上的增函數(shù)，但函數(shù)g（x)＝x＋錯誤!在(0,1]上遞減,在[1，＋∞)上遞加，因此，當a〉b〉0時，f(a)>f(b)必然建立，即a－錯誤!〉b－錯誤!a＋錯誤!〉b＋錯誤!，但g（a）>g（b）未必建立,應(yīng)選A。112．已知a＝log32，b＝ln2，c＝52，則a，b，c的大小關(guān)系為________．(用“<"連接）答案c<a<b解析a＝log32＝錯誤!,0<ln2<1,ln3〉1，∴a〈ln2＝b，即a〈b，a＝錯誤!，c＝錯誤!，學必求其心得，業(yè)必貴于專精0<log23<2而錯誤!〉2，0〈log23〈5，a>c，c<a〈b。13．設(shè)x，y為實數(shù)，滿足3≤xy2≤8,4≤錯誤!≤9,則錯誤!的最大值是________．答案27解析由4≤錯誤!≤9，得16≤錯誤!≤81。又3≤xy2≤8，∴錯誤!≤錯誤!≤錯誤!，2≤錯誤!