第二節(jié) 高階導問題:變速直線運動的加速度.s

f(t

v(t)

f(t加速度a是速度v對時間ta(t)

v(t)[

(t如果函

x)的導數(shù)

x)在點x處可導,(f(x))

f(x

x)

f(x)存在,則稱

fx))為函數(shù)

x)在點x處的二階導數(shù)一、高階導數(shù)y

f(

的導

f(x)

若仍然導，則其導

(f(

稱為函y

f(x)的二階導數(shù)

d2yd2yddydx2dxdxy或fx)

dx2類似地：二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù)n－1階導數(shù)n階導數(shù)分別記為：y

y,

y(4)

y(n)這是歸納定義y(n)

y(n1)或d2或dx2

d3dx3

d4ydx4

dnydxn

dxn

d ddx

dn1ydxn1注(1)二階或二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)簡單說:對

(x)求n次導數(shù)稱為n階導數(shù)

(x)本身稱為零階導數(shù).f(x)稱為1階導數(shù)。若

(x)(2)fx在點x0n(2)fx在點x0n階導數(shù)記作f(n)(x0dndxnx

fx)n階可(3)其導函數(shù)未必連續(xù).例如y=|x|若導函數(shù)連續(xù),則稱此函數(shù)具有連續(xù)的導函數(shù)或稱為一階連續(xù)可導的注意：連續(xù)可導≠連續(xù)+可一般地f(n)(x)I上連則稱f(x)n階連續(xù)可導.記作fC(0)(I)=例

yx

，求y x2 x解y

x2

所xf(0)

x0

f(x)x

f(0)

x0

x

x0

f(x)x

f(0)

lim(x)x0

x0

f(0)因 y

2x,

xx

2

x又因

f(0)

x0

f(x)x

f(0)f(0)

x0

f(x)x

f(0)

x0

f

不存在 故而y

x不存在 x x例2

fx)在

0有二y

f

x求

xy(x)

f(lnx)

f(0)

f解y(1)

y(x)

f(lnx)1x

f

x

x

f(lnx)1

f(0)x

f(0)

f

x

f(lnx)

f(0)

f(0)(

x1

x(

x 例3

y

3x2

x1，

(n) y

4x3

6x

y

12x2

y

24y(4)

24y(n)y(n)n一般y1

a

y(n)y(n)a0y(k)ky的各階導數(shù)例yx2)(2x3)23x4)3求

22336!例4

yx

(

求yn)解若

y

x1y

(x1)

1)x2y

1)x2)

1)(

2)xy(y(n)(1)(n1)xn (n若為自然數(shù)n,y(n

(xn

)(n

y(n1)

例

yex，求

y(

knekx,yexy,yexyexkx(n)y(n)exen=0,1,2,一般例 設

y(n) 解ycosxsinx 2 ycos(x

)sin(x

)sin(x2 y

cos(x2

)sin(x2

22

)2

sin(x

32一般y(n)即

sin(x

n2

sinkx(n)類似

x(

sin(x

n2

k---n=0,1,2,sinkx(

kn

cosx(n)cosx(n)cos(xn22

n=0,1,2,高階導數(shù)的運設函uv和fn階導,(u

v)(

u(

v(n)(2)

(Cu)(n)

Cu(

C常數(shù)(3)

f

kn

f(n)

kh常數(shù) （Leibniz）(1),(2)合稱,(3)是復合運算性復合而成的這類函數(shù)的線性組合然后借助高簡單函數(shù)指

,ex,ax,

x,

x,cos(1)ysin2xn階導數(shù)

x1cos2x2y=cosaxcosbxn階導數(shù)解y

12

b)x

b)x

12

b)x

n212

b)x

n2(3)y=cos4x3(3)y=cos4x8

cos4x例7

y

x

x，

y(n) 解y6sin5xcosx6cos5xsin3sin2xsin4xcos4x3sin2xsin2xcos2x

3sin4y(n)

y(n1)

( 3sin4x(22

4n1sin4

1)2例8設y

x，

y(n) 解y

x2x2

y

2x3

(1)2x3y

3

2x4

(1)3x4y(4)

43

2

(1)4x511(n)x(1)n xn1n=0,1,2,自己

(n)

(n) 1x

x)n11x例 設y

求y(5).解y

1x2 1 1x2 21 x1y(5)

1

2(1

(x (1x)6 (x一般地要求y

Ex

yn)(axb)(cxdy

，則ax cx其中A

待定，然后利用公式(1)(2)

y(n) ((uv)(nu(n)v(n)常數(shù)3xx23xx2x2n階導數(shù)y (n) y

(1)n

2(1)nn! (x

1)n1

(x

2)n1例

y

x),

求yn)

(1)(n1)(n y(n)

1x

(1x)na

(n

(1)n1 y

a

求

.(n1)!bn

bx)n

(a

bx)n階導數(shù)的運算法設函uv和fn階導,(1)(u

v)(

u(

v(n)(2)

(Cu)(n)

Cu(n)(3)

f

kn

f(n)

（4）（Leibniz）公nnn(uv)(n)

Cku(nk)v(k

u(n)v

k0nC1u(n1)v(1)n

C2u(n2)v(

uv(n)nu(n)vn

nu(n1)v(1)

1)u(n2)v(

uv(n)例11y

x2sin

y20)解令u

sin

vx2 ,v2

v

v

v(4)

公式y(tǒng)(

x2

CCCC

x(20)x2

1

x(19)

2x

2

x(18)sin12x2

x40x例12gx連續(xù)

f(x)(x

a)2g(x)f

(a)

gn1連續(xù)，求

n(a)?n(n1)gn2af2g(x)4(xa)g(x)(xa)2g(x)gx可

可令

a得f(x)

a)g(x)(

a)2

g(x)f

(a)

xa

f(x)xf(x)

(a)

f(a)xa xlim[2g(x)(2g(a)

a)g(求高階導數(shù)的方法小一、求高階導數(shù)

課堂練1

(1

x2)

x，則y = 2y

xe

,則y= 3y

f(

),f(x)4、設 (a1a2,an都是常數(shù))，則5

f(x)

x(

1)(

2)(

n),則f(n1)(x)= 二、試從

1yd2x

d3

3(y)2

yy1、

(y)3

2、dy3

(y)5

f(

求f(x)的反函數(shù)的二階導數(shù)三、求下列函數(shù)n導數(shù)x

1y

x23x

=x+3+8/(x-2)-1/(x- 2、y=sinx+cosx=4n－1cos(4x+n 、

ln(37x

6x2求y(n=－[(－3/4)n+2n四、設四、設yarcsinx)2證明y滿足關系式y(tǒng)y

x2)

1)xy(n)

y(n1)(

求導

y

2arcsinx 平方后移項:(1

x2

y)2

x)2

4再求導

2x(

x2)

41x1x2

2y

x2)

CC

x2)

求n階導數(shù)CCk0即

x(k)

y)(n1k

k0

(1

x2)(k)(

)(n1k)xy(n)

(n1)y(n1)

(1

x2)y(n1)

(n1)2xy(n)

(n1)(n2)2y(n1)2

x2)y(

1)xy(n)

y(n1)令x0

y(n1)(0)

(n

y(n1)y(0)

y(