第1頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第2頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第一節(jié)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第3頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第4頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第5頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六解例1第6頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六二、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第7頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第8頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第9頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六三、一致收斂級(jí)數(shù)的判別方法判別法1第10頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第11頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第12頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六四、一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)第13頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第14頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第15頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第16頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第17頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第二節(jié)冪級(jí)數(shù)一、冪級(jí)數(shù)的斂散性

由于發(fā)散的冪級(jí)數(shù)沒有多大用處，故首先必須研究?jī)缂?jí)數(shù)的斂散性。1.阿貝爾定理第18頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第19頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第20頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第21頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第22頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六二、求收斂圓半徑R的公式（1）比值判別法第23頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第24頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第25頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第26頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六例2解

綜上第27頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六例3求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形:解(1)該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散p=1p=2該級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的。第28頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六

綜上該級(jí)數(shù)發(fā)散。該級(jí)數(shù)收斂，第29頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六故該級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是處處收斂的.第30頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六三、冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)第31頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第32頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六例4解代換展開還原第33頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六解代換展開還原第34頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第35頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六現(xiàn)在研究與此相反的問題：一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)表達(dá)?(或者說,一個(gè)解析函數(shù)能否展開成冪級(jí)數(shù)?解析函數(shù)在解析點(diǎn)能否用冪級(jí)數(shù)表示？）

由冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)知:一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù)。以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級(jí)數(shù)表示。第36頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第三節(jié)解析函數(shù)的泰勒展開

上節(jié)證明了：冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓內(nèi)解析。本節(jié)證明其逆定理：解析函數(shù)可以展開成冪級(jí)數(shù)，且這種展開式是唯一的。

——解析函數(shù)與冪級(jí)數(shù)的密切關(guān)系一、泰勒定理第37頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第38頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第39頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第40頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第41頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六二、將解析函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法常用四種方法：第42頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第43頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第44頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六例2解收斂半徑第45頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第46頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第47頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第48頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第49頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六3.利用兩個(gè)絕對(duì)收斂?jī)缂?jí)數(shù)的乘積或商第50頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第51頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第52頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六4.在收斂圓內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分第53頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第54頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第55頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第56頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第57頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第四節(jié)解析函數(shù)的洛朗展開

由前面的討論

知,f(z)在b

解析，則f(z)總可以在b

的某一個(gè)圓域z-b<R內(nèi)展開成z-b

的冪級(jí)數(shù)。若f(z)在b點(diǎn)不解析，在b的鄰域中就不可能展開成z-b

的冪級(jí)數(shù)，但如果在圓環(huán)域R1<z-b<R2

內(nèi)解析，那么，f(z)能否用級(jí)數(shù)表示呢？例如，第58頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六由此推想，若f(z)在R

1<z-b<R2

內(nèi)解析,f(z)可以展開成以b為展開中心的級(jí)數(shù)，只是這個(gè)級(jí)數(shù)含有負(fù)冪次項(xiàng),即第59頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六

本節(jié)將討論在以b為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法。它是后面將要研究的解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)和計(jì)算留數(shù)的基礎(chǔ)。第60頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六預(yù)備知識(shí)復(fù)連通域的Cauchy積分公式DbR1R2rRk1k2D1z第61頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六一.雙邊冪級(jí)數(shù)---含有正負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)定義形如---雙邊冪級(jí)數(shù)正冪項(xiàng)(包括常數(shù)項(xiàng))部分：負(fù)冪項(xiàng)部分：第62頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六級(jí)數(shù)(2)是一冪級(jí)數(shù)，設(shè)收斂半徑為R2，則級(jí)數(shù)在z-b=R2內(nèi)收斂，且和為s(z)+;在z-b=R2外發(fā)散。

第63頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六bR1R2bR2R1第64頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六

(2)在圓環(huán)域的邊界z-b=R1,

z-b=R2上,第65頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六二函數(shù)展開成雙邊冪級(jí)數(shù)定理第66頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六證明由復(fù)連通域上的Cauchy

積分公式：DbR1R2rRk1k2D1z記為I1記為I2第67頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第68頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六DbR1R2rRk1k2D1z式(*1),(*2)中系數(shù)an的積分分別是在k2，k1上進(jìn)行的，在D內(nèi)取繞b的簡(jiǎn)單閉曲線k，由復(fù)合閉路定理可將an寫成統(tǒng)一式子：第69頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六式(*1),(*2)中系數(shù)an的積分分別是在k2，k1上進(jìn)行的，在D內(nèi)取繞b的簡(jiǎn)單閉曲線k，由復(fù)合閉路定理可將an寫成統(tǒng)一式子：證畢！級(jí)數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級(jí)數(shù)的解析部分和主要部分。第70頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六

(2)在許多實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到f(z)在奇點(diǎn)

b的鄰域內(nèi)解析，需要把f(z)展成級(jí)數(shù)，那么就利用洛朗（Laurent）級(jí)數(shù)來展開。級(jí)數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級(jí)數(shù)的解析部分和主要部分。第71頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六三展開式的唯一性結(jié)論一個(gè)在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，這個(gè)級(jí)數(shù)就是f(z)的洛朗級(jí)數(shù)。事實(shí)上，DbR1R2c第72頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六DbR1R2c第73頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六

由唯一性，將函數(shù)展開成Laurent級(jí)數(shù)，可用間接法。在大都數(shù)情況，均采用這一簡(jiǎn)便的方法求函數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)的Laurent展開式，只有在個(gè)別情況下，才直接采用公式求Laurent系數(shù)的方法。二、將環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開成羅朗級(jí)數(shù)的方法與步驟：第74頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第75頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第76頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第77頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第78頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第79頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第80頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第81頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第82頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第83頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第84頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第85頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第86頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第87頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第88頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六----z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇點(diǎn)例如第89頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六xyo這說明奇點(diǎn)未必是孤立的。第90頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六二、孤立奇點(diǎn)的分類和性質(zhì)孤立奇點(diǎn)包括：可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)。第91頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第92頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第93頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第94頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第95頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第96頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六三、解析函數(shù)零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系第97頁，共113頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)17分，星期六第98