2.2.1等差數列（1）人教版·數學·必修5·第二章《數列》通江中學李青林數列：實質：得到數列項的方法：按照一定順序排成的一列數稱為數列。

數列是一種特殊的函數

遞推公式：如果已知數列{an}的第1項(或前幾項)，且任一項an與它的前一項an-1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫做這個數列的遞推公式。(反映項與項之間的關系)通項公式：如果數列{an}的第n項an與項數n之間的關系可以用一個公式來表示,這個公式就叫做這個數列的通項公式.(反映項與序號之間的關系)復習回顧思考：下列數列都有什么特點？(1)1,3,5,7,9,11,13,15從第二項起每一項與它前一項的差都等于2(2)-3,0,3,6,9,12,15,18從第二項起每一項與它前一項的差都等于3(3)70,60,50,40,30,20,10從第二項起每一項與它前一項的差都等于-101、等差數列的定義一般地，如果一個數列a1，

a2，

a3，…，an，

…從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數d，a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d那么這個數列就叫做等差數列。常數d叫做等差數列的公差。這就是數列的遞推公式等差數列定義的符號表示：(1){an}是等差數列?an-an-1=d(n≥2，n∈N*)(2){an}是等差數列?

an+1-an=d(n∈N*)判斷題：①數列a，a，a，a，…是等差數列。（）②數列0，0，0，0，…是等差數列。（）③若an－an+1=3(n∈N*)，則{an}是公差為3的等差數列。（）④若a2－a1=a3－a2,則數列{an}是等差數列。（）√√××1、等差數列要求從第2項起，后一項與前一項作差。不能顛倒。

2、作差的結果要求是同一個常數?？梢允钦龜?，也可以是0和負數。（2）同一個常數:一個數列，從第2項起，每一項與它的前一項的差，盡管等于一個常數，這個數列可不一定是等差數列，因為這些常數可以不同，當常數不同時，當然不是等差數列，因此定義中“同一個”常數，這個“同一個”十分重要。溫馨提示:（1）從第二項起：如果一個數列，不從第2項起，而是從第3項或第4項起，每一項與它前一項的差是同一個常數，那么此數列不是等差數列，但可以說從第2項或第3項起是一個等差數列。（3）求公差d時，要注意相鄰兩項相減的順序d=an-an-1或d=an+1-an（4）公差d∈R，當d=0時，數列為常數列；當d>0時，數列為遞增數列；當d<0時，數列為遞減數列.（5）d=an-an-1或d=an+1-an是證明或判斷一個數列是等差數列的依據溫馨提示:（4）公差d∈R，當d=0時，數列為常數列；當d>0時，數列為遞增數列；當d<0時，數列為遞減數列.（5）d=an-an-1或d=an+1-an是證明或判斷一個數列是等差數列的依據2、等差數列通項公式的推導如果一個數列a1,a2,a3,…,an…是等差數列，它的公差是d，那么不完全歸納法：這種導出公式的方法不夠嚴密∵{an}是等差數列，則有a2=a1+da3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3da5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d……an=an-1+d=a1+(n–1)d∴an=a1+(n–1)d又，當n=1時,等式成立∴n∈N*時，an=a1+(n–1)d法一累加法：

這一推導思想在今后的數列求和問題中也有重要的應用∵{an}是等差數列，則有an–an-1=dan-1–an-2=dan-2–an-3=d……a2–a1=d相加得：an–a1=(n–1)d∴an=a1+(n–1)d又，當n=1時,等式成立∴n∈N*時，an=a1+(n–1)d法二an=a1+(n–1)d(a1為首項,d為公差,

n∈N*)(2)(3)在上述公式中，有an,a1,n,d四個變量，只要知道其中任意三個就可以求出第四個(1)要求等差數列的通項公式，只需求出a1,d兩個基本量即可.2、等差數列的通項公式例1(1)求等差數列8，5，2，…的第20項；(2)判斷–401是不是等差數列–5,–9,–13…的項?如果是，是第幾項，如果不是，說明理由。解：(1)由題意得：a1=8,d=5–8=–3,n=20∴這個數列的通項公式是：an=a1+(n-1)d=-3n+11∴a20=11–3×20=-49

(2)由題意得：

a1=-5,d=-9-(-5)=-4∴這個數列的通項公式是：

an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1

令-401=-4n-1,得n=100∴-401是這個數列的第100項練習(1)求等差數列3,7,11…的第4項與第10項；(2)判斷100是不是等差數列2，9，16，…的項？如果是，是第幾項，如果不是，說明理由。解：(1)根據題意得：

a1=3,d=7-3=11-7=4,∴這個數列的通項公式是：

an=a1+(n-1)d=4n-1∴a4=4×4-1=15,

a10=4×10-1=39.（2）由題意得：

a