1.4空間向量的應(yīng)用第一章1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題（第1課時）1.4空間向量的應(yīng)用第一章1.4.2用空間向量研究距離、11.理解點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面距離的公式及其推導(dǎo).2.了解利用空間向量求點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、直線到直線、直線到平面、平面到平面的距離的基本思想.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面距離的公式及其推導(dǎo).學(xué)習(xí)目標(biāo)一點(diǎn)P到直線l的距離新知學(xué)習(xí)二點(diǎn)P到平面α的距離一點(diǎn)P到直線l的距離新知學(xué)習(xí)二點(diǎn)P到平面α的距離思考

怎樣利用向量方法求直線到直線的距離、直線到平面的距離、平面到平面的距離？兩條直線平行，其中一條直線到另一條直線間的距離是其中一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離；一條直線和一個平面平行，直線到平面的距離就是這條直線上任一點(diǎn)到這個平面的距離；兩個平面平行，平面到平面的距離就是一個平面上任一點(diǎn)到這個平面的距離.思考怎樣利用向量方法求直線到直線的距離、直線到平面的距離、1.空間內(nèi)有三點(diǎn)A(2,1,3)，B(0,2,5)，C(3,7,0)，則點(diǎn)B到AC的中點(diǎn)P的距離為（）C即時鞏固2.已知直線l過點(diǎn)A(1，－1,2)，和l垂直的一個向量為n＝(－3,0,4)，則P(3,5,0)到l的距離為（）C1.空間內(nèi)有三點(diǎn)A(2,1,3)，B(0,2,5)，C(3,3.已知直線l與平面α相交于點(diǎn)O，A∈l，B為線段OA的中點(diǎn)，若點(diǎn)A到平面α的距離為10，則點(diǎn)B到平面α的距離為________.54.已知平面α的一個法向量為n＝(－2，－2,1)，點(diǎn)A(－1,3,0)在平面α內(nèi)，則點(diǎn)P(－2,1,4)到平面α的距離為________.3.已知直線l與平面α相交于點(diǎn)O，A∈l，B為線段OA的中點(diǎn)一、點(diǎn)到直線的距離例1如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求點(diǎn)B到直線A′C的距離.典例剖析解因為AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)，一、點(diǎn)到直線的距離例1如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體AB反思感悟用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟(1)求直線的方向向量.(2)計算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度.(3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化.反思感悟用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟跟蹤訓(xùn)練已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是C1C，D1A1的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到EF的距離.解以D點(diǎn)為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)DA＝2，則A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(xiàn)(1,0,2)，跟蹤訓(xùn)練已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分二、點(diǎn)到平面的距離與直線到平面的距離例2如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離；解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DH⊥平面PEF，垂足為H，x＋y＋z＝1，二、點(diǎn)到平面的距離與直線到平面的距離例2如圖，已知正方形A(2)求直線AC到平面PEF的距離.解連接AC，則AC∥EF，直線AC到平面PEF的距離即為點(diǎn)A到平面PEF的距離，平面PEF的一個法向量為n＝(2,2,3)，(2)求直線AC到平面PEF的距離.解連接AC，則AC∥E反思感悟用向量法求點(diǎn)面距的步驟(1)建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(2)求點(diǎn)坐標(biāo)：寫出(求出)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).(3)求向量：求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(，α內(nèi)兩不共線向量，平面α的法向量n).(4)求距離d＝

.反思感悟用向量法求點(diǎn)面距的步驟

解設(shè)正四棱柱的高為h(h>0)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1,1，h)，設(shè)平面AB1D1的法向量為n＝(x，y，z)，取z＝1，得n＝(h，h，1)，解得h＝2.故正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高為2.

解設(shè)正四棱柱的高為h(h>0)，建立如圖所示的空間直角坐1.已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，則點(diǎn)A到直線BC的距離為（）A解析∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，∴點(diǎn)A到直線BC的距離為隨堂小測1.已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(2.若三棱錐P－ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且滿足PA＝PB＝PC＝1，則點(diǎn)P到平面ABC的距離是（）解析分別以PA，PB，PC所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1).可以求得平面ABC的一個法向量為n＝(1,1,1)，D2.若三棱錐P－ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且滿足PA＝PB＝3.已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，則平面AB1C

與平面A1C1D

之間的距離為（）B解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1)，設(shè)平面A1C1D的一個法向量為m＝(x，y，1)，顯然平面AB1C∥平面A1C1D，3.已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，則平面A4.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)E是A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線BE的距離是（）解析建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，B4.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)E是A5.如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是（）C則C(0,12,0)，D1(0,0,5).設(shè)B(x，12,0)，B1(x，12,5)(x>0).設(shè)平面A1BCD1的法向量為n＝(a，b，c)，5.如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，6.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直線與l垂直，則點(diǎn)P(4,3,2)到l的距離為______.6.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－7.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別是C1C，D1A1，AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面EFG的距離為________.解析建系如圖，則A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(xiàn)(1,0,2)，G(2,1,0)，設(shè)n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，點(diǎn)A到平面EFG的距離為d，令z＝1，此時n＝(1,1,1)，7.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，8.如圖所示，在直二面角D－AB－E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，則點(diǎn)D到平面ACE的距離為______.解析以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)E，OB所在的直線為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0,1,2).設(shè)平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，令y＝1，∴n＝(－1,1，－1).8.如圖所示，在直二面角D－AB－E中，四邊形ABCD是邊長9.在底面是直角梯形的四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，則AD到平面PBC的距離為_____.解析AD到平面PBC的距離等于點(diǎn)A到平面PBC的距離.由已知可得AB，AD，AP兩兩垂直.則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，設(shè)平面PBC的法向量為n＝(a，b，c)，取a＝1，得n＝(1,0,1)，9.在底面是直角梯形的四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面A10.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M為BB1的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)M到直線AC1的距離；解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)，直線AC1的一個單位方向向量為10.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝(2)求點(diǎn)N到平面MA1C1的距離.解設(shè)平面MA1C1的法向量為n＝(x，y，z)，取x＝1，得z＝2，故n＝(1,0,2)為平面MA1C1的一個法向量，(2)求點(diǎn)N到平面MA1C1的距離.解設(shè)平面MA1C1的法1.知識清單：(1)點(diǎn)到直線的距離.(2)點(diǎn)到平面的距離與直線到平面的距離.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū)：對距離公式理解不到位，在使用時生硬套用.對公式推導(dǎo)過程的理解是應(yīng)用的基礎(chǔ).課堂小結(jié)1.知識清單：課堂小結(jié)1.4空間向量的應(yīng)用第一章1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題（第1課時）1.4空間向量的應(yīng)用第一章1.4.2用空間向量研究距離、261.理解點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面距離的公式及其推導(dǎo).2.了解利用空間向量求點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、直線到直線、直線到平面、平面到平面的距離的基本思想.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面距離的公式及其推導(dǎo).學(xué)習(xí)目標(biāo)一點(diǎn)P到直線l的距離新知學(xué)習(xí)二點(diǎn)P到平面α的距離一點(diǎn)P到直線l的距離新知學(xué)習(xí)二點(diǎn)P到平面α的距離思考

怎樣利用向量方法求直線到直線的距離、直線到平面的距離、平面到平面的距離？兩條直線平行，其中一條直線到另一條直線間的距離是其中一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離；一條直線和一個平面平行，直線到平面的距離就是這條直線上任一點(diǎn)到這個平面的距離；兩個平面平行，平面到平面的距離就是一個平面上任一點(diǎn)到這個平面的距離.思考怎樣利用向量方法求直線到直線的距離、直線到平面的距離、1.空間內(nèi)有三點(diǎn)A(2,1,3)，B(0,2,5)，C(3,7,0)，則點(diǎn)B到AC的中點(diǎn)P的距離為（）C即時鞏固2.已知直線l過點(diǎn)A(1，－1,2)，和l垂直的一個向量為n＝(－3,0,4)，則P(3,5,0)到l的距離為（）C1.空間內(nèi)有三點(diǎn)A(2,1,3)，B(0,2,5)，C(3,3.已知直線l與平面α相交于點(diǎn)O，A∈l，B為線段OA的中點(diǎn)，若點(diǎn)A到平面α的距離為10，則點(diǎn)B到平面α的距離為________.54.已知平面α的一個法向量為n＝(－2，－2,1)，點(diǎn)A(－1,3,0)在平面α內(nèi)，則點(diǎn)P(－2,1,4)到平面α的距離為________.3.已知直線l與平面α相交于點(diǎn)O，A∈l，B為線段OA的中點(diǎn)一、點(diǎn)到直線的距離例1如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求點(diǎn)B到直線A′C的距離.典例剖析解因為AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)，一、點(diǎn)到直線的距離例1如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體AB反思感悟用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟(1)求直線的方向向量.(2)計算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度.(3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化.反思感悟用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟跟蹤訓(xùn)練已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是C1C，D1A1的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到EF的距離.解以D點(diǎn)為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)DA＝2，則A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(xiàn)(1,0,2)，跟蹤訓(xùn)練已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分二、點(diǎn)到平面的距離與直線到平面的距離例2如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離；解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DH⊥平面PEF，垂足為H，x＋y＋z＝1，二、點(diǎn)到平面的距離與直線到平面的距離例2如圖，已知正方形A(2)求直線AC到平面PEF的距離.解連接AC，則AC∥EF，直線AC到平面PEF的距離即為點(diǎn)A到平面PEF的距離，平面PEF的一個法向量為n＝(2,2,3)，(2)求直線AC到平面PEF的距離.解連接AC，則AC∥E反思感悟用向量法求點(diǎn)面距的步驟(1)建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(2)求點(diǎn)坐標(biāo)：寫出(求出)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).(3)求向量：求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(，α內(nèi)兩不共線向量，平面α的法向量n).(4)求距離d＝

.反思感悟用向量法求點(diǎn)面距的步驟

解設(shè)正四棱柱的高為h(h>0)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1,1，h)，設(shè)平面AB1D1的法向量為n＝(x，y，z)，取z＝1，得n＝(h，h，1)，解得h＝2.故正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高為2.

解設(shè)正四棱柱的高為h(h>0)，建立如圖所示的空間直角坐1.已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，則點(diǎn)A到直線BC的距離為（）A解析∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，∴點(diǎn)A到直線BC的距離為隨堂小測1.已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(2.若三棱錐P－ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且滿足PA＝PB＝PC＝1，則點(diǎn)P到平面ABC的距離是（）解析分別以PA，PB，PC所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1).可以求得平面ABC的一個法向量為n＝(1,1,1)，D2.若三棱錐P－ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且滿足PA＝PB＝3.已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，則平面AB1C

與平面A1C1D

之間的距離為（）B解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1)，設(shè)平面A1C1D的一個法向量為m＝(x，y，1)，顯然平面AB1C∥平面A1C1D，3.已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，則平面A4.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)E是A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線BE的距離是（）解析建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，B4.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)E是A5.如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是（）C則C(0,12,0)，D1(0,0,5).設(shè)B(x，12,0)，B1(x，12,5)(x>0).設(shè)平面A1BCD1的法向量為n＝(a，b，c)，5.如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，6.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直線與l垂直，則點(diǎn)P(4,3,2)到l的距離為______.6.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－7.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別是C1C，D1A1，AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面EFG的距離為________.解析建系如圖，則A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(xiàn)(1,0,2)，G(2,1,0)，設(shè)n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，點(diǎn)A到平面EFG的距離為d，令z＝1，此時n＝(1,1,1)，7.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，8.如圖所示，在直二面角D－AB－E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，則點(diǎn)D到平面ACE的距離為______.解析以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)E，OB所在的直線為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，－1,0)，E(1,0,0