高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)直線與平面垂直高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)直線與平面垂直高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)直線與平面垂直直線與平面垂直●知識梳理1.假如一條直線與平面訂交而且與平面內(nèi)的全部直線都垂直，那么就說這條直線與這個平面垂直.2.直線與平面垂直的判斷：假如一條直線與平面內(nèi)的兩條訂交直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直.3.直線與平面垂直的性質(zhì)：假如兩條直線都與同一個平面垂直，那么這兩條直線平行.●點擊雙基1.“直線l垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線”是“l(fā)⊥α”的A.充分條件B.必需條件C.充要條件D.既不充分又不用要條件答案：B2.給出以下命題，此中正確的兩個命題是①直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線與平面平行②夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點連線平行于這兩個平面③直線m⊥平面α，直線n⊥m，則n∥α④a、b是異面直線，則存在獨一的平面α，使它與a、b都平行且與a、b距離相等A.①②B.②③C.③④D.②④剖析：①錯誤.假如這兩點在該平面的異側(cè)，則直線與平面訂交.②正確.以以以以下圖，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈β且E、F分別為AB、CD的中點，過C作CG∥AB交平面β于G，連接BG、GD.ACHE

FGDH是CG的中點，則EH∥BG，HF∥GD.∴EH∥平面β，HF∥平面β.∴平面EHF∥平面β∥平面α.EF∥α，EF∥β.③錯誤.直線n可能在平面α內(nèi).④正確.以以以以下圖，設(shè)AB是異面直線a、b的公垂線段，E為AB的中點，過E作a′∥a，b′∥b，則a′、b′確立的平面即為與a、b都平行且與a、b距離相等的平面，而且它是獨一確立的.Aba'Eb'aB答案：D3.在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點，D是EF的中點，沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個四周體，使G1、G2、G3三點重合，重合后的點記為G，那么，在四周體S—EFG中必有A.SG⊥平面EFG⊥平面EFG⊥平面SEFD.GD⊥平面SEF剖析：注意折疊過程中，向來有SG1133⊥GE，SG⊥GF，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG.選A.答案：A4.在直四棱柱ABCD—ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD知足條件_____________時，1111有A1C⊥B1D1.（注：填上你以為正確的一種條件即可，不用考慮全部可能的狀況）A1D1B1C1ADB答案：A1C1⊥B1D1或四邊形A1B1C1D1為菱形等C5.設(shè)正方體ABCD—ABCD的棱長為1，則1111DCABD1C1A1B1（1）A點到CD1的距離為________；2）A點到BD1的距離為________；3）A點到面BDD1B1的距離為_____________；4）A點到面A1BD的距離為_____________；5）AA1與面BB1D1D的距離為__________.答案：（1）662322（2）（3）（4）（5）3232●典例剖析【例1】已知直線a⊥平面α，直線b⊥平面α，O、A為垂足.求證：a∥b.O證明：以O(shè)為原點直線a為z軸，成立空間直角坐標(biāo)系，

i、j、k為坐標(biāo)向量，直線

a、b的向量分別為a、b.設(shè)b=（x，y，z），∵b⊥α，∴b·i=x=0，b·j=y=0，b=（0，0，z）=zk.∴b∥k，a∥b.談?wù)摚阂蜃C明兩直線平行，也就是證明其方向向量共線，條件證明兩直線平行是新教材基本的數(shù)學(xué)方法，應(yīng)做到嫻熟運用

所以，利用兩向量共線的充要.【例2】已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上隨意一點，過A點作AE⊥PC于點E，求證：AE⊥平面PBC.PAE.OBC證明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC.而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC.又∵AE在平面PAC內(nèi)，∴BC⊥AE.PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC.思慮談?wù)撟C明直線與平面垂直的常用方法有：利用線面垂直的定義；利用線面垂直的判判斷理；利用“若直線a∥直線b，直線a⊥平面α，則直線b⊥平面α”.【例3】在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求證：A1B⊥B1C.ACDBA1C1D1B1證明：取A1B1的中點D1，連接C1D1.B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A1.連接AD1，則AD1是AC1在平面ABB1A1內(nèi)的射影，A1B⊥AC1，A1B⊥AD1.取AB的中點D，連接CD、B1D，則B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1內(nèi)的射影.B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C.思慮談?wù)撟C明異面直線垂直的常用方法有：證明此中向來線垂直于其他向來線所在的平面；利用三垂線定理及其逆定理.●闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A、B的任一點，則以下關(guān)系不正確的選項是A.PA⊥BC⊥平面PAC⊥PB⊥BC剖析：由三垂線定理知AC⊥PB，應(yīng)選C.答案：C2.△ABC的三個極點A、B、C到平面α的距離分別為2cm、3cm、4cm，且它們在α的同側(cè)，則△ABC的重心到平面α的距離為_____________.剖析：以以以以下圖，設(shè)A、B、C在平面α上的射影分別為A′、B′、C′，△ABC的重心為G，連接CG交AB于中點E，又設(shè)E、G在平面α上的射影分別為E′、G′，則E′∈A′B，G′∈C′E，EE′=1（A′A+B′B）=5，CC′=4，CG∶GE=2∶1，22CGBAEC'G'B'A'E'在直角梯形EE′C′C中可求得GG′=3.答案：3cm△ABC在平面α內(nèi)的射影是△A1B1C1，設(shè)直角邊AB∥α，則△A1B1C1的形狀是_____________三角形.剖析：依據(jù)兩平行平面的性質(zhì)及平行角定理，知△A1B1C的形狀還是Rt△.答案：直角4.以以以以下圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M為CC1的中點，AC交BD于點O，求證：1AO⊥平面MBD.D1C1A1B1MDCO證明：連接MO.BDB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，DB⊥平面A1ACC1.A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB.在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=2，2tan∠MOC=2，∴∠AA1O=∠MOC，2則∠A1OA+∠MOC=90°.∴A1O⊥OM.OM∩DB=O，∴A1O⊥平面MBD.5.在三棱錐S—ABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在△ABC的AB邊的高CD上，點M∈SC，截面MAB和底面ABC所成的二面角M—AB—C等于∠NSC，求證：SC⊥截面MAB.證明：∵CD是SC在底面ABC上的射影，AB⊥CD，∴AB⊥SC.連接MD.∵∠MDC=∠NSC，∴DM⊥SC.∵AB∩DM=D，∴SC⊥截面MAB.培育能力6.以以以以下圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M為AB邊上的一個動點，求PM的最小值.PACM解：∵P是定點，要使PM的值最小，只要使PM⊥AB即可.要使PM⊥AB，因為PC⊥平面ABC，∴只要使CM⊥AB即可.∵∠BAC=60°，AB=8，AC=AB·cos60°=4.∴CM=AC·sin60°=4·3=23.2∴PM=PC2CM2=1612=27.7.以以以以下圖，P為△ABC所在平面外一點，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，PFAEC求證：（1）BC⊥平面PAB；B2）AE⊥平面PBC；3）PC⊥平面AEF.證明：（1）PA⊥平面ABCAB⊥BCBC⊥平面PAB.PA∩AB=A2）AE平面PAB，由（1）知AE⊥BCAE⊥PBAE⊥平面PBC.PB∩BC=B3）PC平面PBC，由（2）知PC⊥AEPC⊥AFPC⊥平面AEF.AE∩AF=A8.在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又側(cè)棱PA⊥底面ABCD.1）當(dāng)a為什么值時，BD⊥平面PAC?試證明你的結(jié)論.2）當(dāng)a=4時，求證：BC邊上存在一點M，使得PM⊥DM.3）若在BC邊上最少存在一點M，使PM⊥DM，求a的取值范圍.剖析：此題第（1）問是追求BD⊥平面PAC的條件，即BD垂直平面PAC內(nèi)兩訂交直線，易知BD⊥PA，問題概括為a為什么值時，BD⊥AC，進而知ABCD為正方形.1）解：當(dāng)a=2時，ABCD為正方形，則BD⊥AC.PDNA又∵PA⊥底面ABCD，BDCB平面ABCD，MBD⊥PA.∴BD⊥平面PAC.故當(dāng)a=2時，BD⊥平面PAC.（2）證明：當(dāng)a=4時，取BC邊的中點M，AD邊的中點N，連接AM、DM、MN.ABMN和DCMN都是正方形，∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM.又PA⊥底面ABCD，由三垂線定理得，PM⊥DM，故當(dāng)a=4時，BC邊的中點M使PM⊥DM.3）解：設(shè)M是BC邊上吻合題設(shè)的點M，∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM.所以，M點應(yīng)是以AD為直徑的圓和BC邊的一個公共點，則AD≥2AB，即a≥4為所求.談?wù)摚捍祟}的解決中充分運用了平面幾何的有關(guān)知識.所以，立體幾何解題中，要注意有關(guān)的平面幾何知識的運用.事實上，立體幾何問題最后是在一個或幾個平面中得以解決的.研究創(chuàng)新9.正方形ABCD中，AB=2，E是AB邊的中點，F(xiàn)是BC邊上一點，將△AED及△DCF折起（以以以以下圖），使A、C點重合于A′點.1）證明：A′D⊥EF；2）當(dāng)F為BC的中點時，求A′D與平面DEF所成的角；3）當(dāng)BF=1BC時，求三棱錐A′—EFD的體積.4ADA'EEDBFCBF（1）證明：∵A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A'EDHGBFA′D⊥平面A′EF.∴A′D⊥EF.（2）解：取EF的中點G，連接A′G、DG.∵BE=BF=1，∠EBF=90°，∴EF=2.又∵A′E=A′F=1，∴∠EA′F=90°，A′G⊥EF，得A′G=2.2A′G⊥EF，A′D⊥EF，A′G∩A′D=A′，∴EF⊥平面A′DG.∴平面DEF⊥平面A′DG.A′H⊥DG于H，得A′H⊥平面DEF，∴∠A′DG為A′D與平面DEF所成的角.在Rt△A′DG中，A′G=2，A′D=2，2∴∠A′DG=arctan2.43）解：∵A′D⊥平面A′EF，∴A′D是三棱錐D—A′EF的高.又由BE=1，BF=1推出EF=5，22可得SAEF=5，4VA′－EFD=VD－A′EF=1·SAEF·A′D=1·5·2=5.3346●思悟小結(jié)1.直線與平面垂直是直線與平面訂交的一種特別狀況，應(yīng)嫻熟掌握直線與平面垂直的定義、判判斷理、性質(zhì)定理，并能依據(jù)條件靈巧運用.2.注意線面垂直與線線垂直的關(guān)系和轉(zhuǎn)變.3.運用三垂線定理及其逆定理的重點在于確立斜線在平面上的射影，而確立射影的重點又是“垂足”，假如“垂足”定了，那么“垂足”和“斜足”的連線就是斜線在平面上的射.●教師下載中心講課點睛1.使學(xué)生嫻熟掌握線面垂直的判判斷理及性質(zhì)定理.2.經(jīng)過例題的解說給學(xué)生總結(jié)概括證明線面垂直的常有方法：（1）證直線與平面內(nèi)的兩條訂交直線都垂直；（2）證與該線平行的直線與已知平面垂直；（3）借用面面垂直的性質(zhì)定理；（4）同一法.拓展題例【例1】（2003年全國）以下五個正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點M、N、P分別是其所在棱的中點，能得出l⊥平面MNP的圖形的序號是_____________.MPPANlllMNMPCNB①②③lPMANlMCNP剖析：對①，易用三垂線定理證明Bl⊥MN，l⊥PM，故l⊥平面MNP；對②，易知l⊥④⑤平面ABC，但點M、N位于該平面的雙側(cè)，故平面MNP不平行平面ABC，進而l不垂直平面MNP；同理，③也不垂直；對④，易證l⊥MN，l⊥MP，故④正確；對⑤，易知平面MNP∥平面ABC，而l⊥平面ABC，故⑤正確.答案：①④⑤【例2】（2004年春天上海）以以以以下圖，點P為斜三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱BB1上一點，PM⊥BB1交AA1于點M，PN⊥BB1交CC1于點N.ABCPMNA1B1C1（1）求證：CC1⊥MN；（2）在隨意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2－2DF·EFcos∠DFE.拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與此中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明.（1）證明：∵CC1∥BB1CC1⊥PM，CC1⊥PN，CC1⊥平面PMNCC1⊥MN.（2）解：在斜三棱柱ABC—A111中，有S2=S四邊形BCCB2+S四邊形ACC2－BCA1A四邊形ABB111112S四邊形BCC1