第20頁/共20頁2023屆第三次調(diào)研考試·數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出集合A、B，然后根據(jù)并集的運(yùn)算求解即可.【詳解】，，所以，故選：B.2.已知（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)一定在（）A.實(shí)軸上 B.虛軸上C.第一?三象限的角平分線上 D.第二?四象限的角平分線上【答案】C【解析】【分析】設(shè)出，從而得到，即，得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一?三象限的角平分線上.【詳解】設(shè)，則，則，即，從而，故，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，即第一?三象限的角平分線上.故選：C3.命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)命題進(jìn)行求解，可得，再通過充分條件和必要條件進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)槊}是真命題，當(dāng)時(shí)，，若恒成立，則，結(jié)合選項(xiàng)，命題是真命題的一個(gè)充分不必要條件是，故選：B．4.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，若，則（）A.17 B.34 C.51 D.102【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)求公差，進(jìn)而根據(jù)求和公式即可求解.【詳解】設(shè)公差為，則由得，即，故.故選：B5.在新冠肺炎疫情防控中，核酸檢測(cè)是新冠肺炎確診的有效快捷手段，在某醫(yī)院成為新冠肺炎核酸檢測(cè)定點(diǎn)醫(yī)院并開展檢測(cè)工作的第n天，設(shè)每個(gè)檢測(cè)對(duì)象從接受檢測(cè)到檢測(cè)報(bào)告生成的平均耗時(shí)為（單位：小時(shí)），已知與n之間的函數(shù)關(guān)系為（，為常數(shù)），并且第16天的檢測(cè)過程平均耗時(shí)16小時(shí)，第64天和第67天的檢測(cè)過程平均耗時(shí)均為8小時(shí)，那么可得第49天的檢測(cè)過程平均耗時(shí)大約為（）A.7小時(shí) B.8小時(shí) C.9小時(shí) D.10小時(shí)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為定值，所以可得，然后代入數(shù)值即可解得，得到解析式.【詳解】由已知可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為定值；當(dāng)時(shí)，顯然函數(shù)為單調(diào)函數(shù).則根據(jù)數(shù)值分析可得，.所以有，解得.因?yàn)椋?故選：C.6.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式求得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，所?故選：A.7.中，，，，，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】由，得，則可得，再結(jié)合，，，計(jì)算可得答案【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?所以，因?yàn)?，，，所以，解得，故選：D8.已知函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，可得，．于是，．即函數(shù)是以4為周期的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)得周期性即可的解.【詳解】解：是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，，．，．即函數(shù)是以4為周期的函數(shù)，則.故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，則下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則是鈍角三角形C.若，則為等腰三角形D.若，則符合條件的有兩個(gè)【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)正、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，通過邊角轉(zhuǎn)化等一一判斷即可.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，根據(jù)結(jié)論大角對(duì)大邊，則有，又因?yàn)檎叶ɡ?，所以，故A正確；對(duì)B選項(xiàng)，由可得，，為鈍角三角形，故B正確:對(duì)C選項(xiàng)，由可得，，或，是直角三角形或等腰三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)D選項(xiàng)，由正弦定理得，故不存在滿足條件的，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.公差C.當(dāng)時(shí)最大 D.使的n的最大值為16【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得出，，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)知，，，又，所以，所以，B項(xiàng)正確；又，所以，A項(xiàng)正確；根據(jù)，，，，可知，等差數(shù)列前8項(xiàng)均為正數(shù)，從第9項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，所以當(dāng)時(shí)最大，C項(xiàng)正確；，，所以使的n的最大值為15.故選：ABC.11.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.在處取極大值C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.存在3個(gè)零點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】由已知，，結(jié)合定義域可判斷A項(xiàng)；將函數(shù)整理為，可得到在上的解析式，求導(dǎo)可判斷BC兩項(xiàng)；解，可得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】，定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，A不正確；由題意可得，，即當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，在處取極大值，B項(xiàng)正確；在區(qū)間上單調(diào)遞減，C項(xiàng)錯(cuò)誤；解，即，可得，解得，，，所以存在3個(gè)零點(diǎn)，D項(xiàng)正確.故選：BD.12.已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，的最小值為 D.當(dāng)時(shí)，的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A項(xiàng)，可通過解不等式直接得出；對(duì)于B項(xiàng)，可以取合適的特殊值驗(yàn)證；求出，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則可畫出的圖象.利用同構(gòu)可知等價(jià)于，結(jié)合圖象可知當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，則，則，代入CD項(xiàng)可構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)得到最值.【詳解】由已知，當(dāng)時(shí)，即，，，，所以有，A正確；取，則，此時(shí)令，則有，，B項(xiàng)錯(cuò)誤；∵，∴當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；所以，的圖象如圖所示.又，即.當(dāng)時(shí)，如圖易知，與只有一個(gè)交點(diǎn)，由可得，此時(shí)，，.則.令，則.當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.所以，在處有最小值，C項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，.令，.當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增.所以，在處有最大值，D項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與交點(diǎn)問題，屬于難題.通過導(dǎo)函數(shù)得出性質(zhì)，畫出函數(shù)圖象.對(duì)多個(gè)變量時(shí)，?？紤]利用同構(gòu).本題利用同構(gòu)可知，等價(jià)于，結(jié)合圖象，得出的關(guān)系，簡化解題過程，找到突破口.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知角的終邊上一點(diǎn)，則____.【答案】【解析】【分析】由三角函數(shù)的定義求，再由誘導(dǎo)公式求.【詳解】角的終邊上一點(diǎn)，點(diǎn)到原點(diǎn)距離為2，由三角函數(shù)的定義，由誘導(dǎo)公式.故答案為：14.已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在體積為的球O的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為_____________．【答案】【解析】【分析】先求出球的半徑，根據(jù)條件列出圓柱底面半徑和母線的關(guān)系式，即可得到側(cè)面積表達(dá)式，然后用重要不等式即可求解.【詳解】設(shè)球的半徑為R，圓柱的底面半徑為r，母線為l，則由題意知，，解得R=2.又圓柱的兩個(gè)底面的圓周在體積為的球O的球面上，則圓柱的兩個(gè)底面圓的圓心關(guān)于球心對(duì)稱，且.則圓柱的側(cè)面積，，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.所以，故答案為：.15.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以在高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪的最高點(diǎn)距離地面的高度為12，轉(zhuǎn)盤的直徑為10，A，B為摩天輪在地面上的兩個(gè)底座，，點(diǎn)P為摩天輪的座艙，則的范圍為______．【答案】【解析】【分析】由題意可得到P到AB中點(diǎn)距離的最大值和最小值，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算，可得到答案.【詳解】設(shè)C為AB的中點(diǎn)，如圖示：由題意可知：,則，又因?yàn)?，所以的取值范圍?故答案：16.設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)之積為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是______．【答案】【解析】【分析】由遞推關(guān)系可得，求出前幾項(xiàng)，可猜想出，再加以驗(yàn)證，利用即可求出.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，則，當(dāng)時(shí)，，，則，整理可得，則可得，，，，則猜想，代入檢驗(yàn)得，滿足猜想，，，當(dāng)時(shí)，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用遞推關(guān)系求數(shù)列得通項(xiàng)公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)遞推關(guān)系先得出，利用猜想得出.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知向量，．（1）若，且，求x的值；（2）若函數(shù)，求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）或（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量共線得坐標(biāo)表示列出方程，解之即可；（2）根據(jù)數(shù)量積得坐標(biāo)表示結(jié)合三角恒等變換化簡，再根據(jù)三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性即可得解.【小問1詳解】解：因?yàn)?，所以，即，所以或，則或，又，所以或；【小問2詳解】解：，所以函數(shù)的最小正周期，令，得，所以函數(shù)得單調(diào)遞增區(qū)間為.18.設(shè)數(shù)列滿足，且．等差數(shù)列的公差d大于0．已知，且成等比數(shù)列．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列得定義證明等于一個(gè)定值即可得證，從而可求得數(shù)列的通項(xiàng)，再利用累加法即可求出的通項(xiàng)公式；（2）先求出數(shù)列通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消法即可得出答案.【小問1詳解】證明：因?yàn)椋?，又，所以?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，當(dāng)則，n=1成立所以；【小問2詳解】解：由，得，又成等比數(shù)列，使用，即，解得（舍去），所以，則，所以.19.在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足.（1）求角；（2）為邊上一點(diǎn)，，且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得到，再利用輔助角公式求出；（2）分別在與中，利用正弦定理得到，再由余弦定理得到，從而求出.【小問1詳解】由，得.由，故所以，又因?yàn)?，所以，?即，又，所以.【小問2詳解】由（1）知：所以.在中，；在中，.又，代入得：.由余弦定理得：，所以.20.已知數(shù)列單調(diào)遞增且，前項(xiàng)和滿足，數(shù)列滿足，且，.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;（2）若，求證：.【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由結(jié)合可求得的值，令，由題意推導(dǎo)出數(shù)列是等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，分析可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定的該數(shù)列的公比，結(jié)合的值可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由時(shí)，，由時(shí)，利用放縮法可得出，再利用等比數(shù)列的求和公式可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以或，因?yàn)椋?；?dāng)時(shí)，，即，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增的數(shù)列，所以，，則，即，所以，是等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)是，所以，.由得，，所以是等比數(shù)列，，，則數(shù)列的公比為，所以，.【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以，.綜上可知，對(duì)任意的，成立.21.設(shè)函數(shù)，且是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且的圖象過點(diǎn)．（1）求和的值；（2）若R，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1．若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】(1)直接利用奇函數(shù)可得到t值，再代回解析式看是否符合奇函數(shù)的條件，由函數(shù)過點(diǎn)代入求a；(2)利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得，再由函數(shù)單調(diào)性脫去“”，轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立求解即可；(3)令換元后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)有最大值，分類討論求出最大值得出即可.【小問1詳解】∵f（x）是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，且，∴，∴，此時(shí)，滿足，故符合題意，∵函數(shù)的圖象過點(diǎn)，∴，即，解得或，因?yàn)榍遥啵拘?詳解】由（1）知，由，得，∵為奇函數(shù)，∴，為R上的增函數(shù)，∴對(duì)一切R恒成立，即對(duì)一切R恒成立，故，解得．【小問3詳解】由題意設(shè)則，∵，∴，記，∴函數(shù)在有最大值為1，①若對(duì)稱軸，∴，不合題意．②若對(duì)稱軸，綜上所述：故存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)g（x）在上的最大值為1．22.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線的點(diǎn)斜式方程，可得答案；（2）由極值點(diǎn)的必要條件，得到參數(shù)與極值點(diǎn)之間的等量關(guān)系，化簡整理并整體還原，可得一元不等式，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立，可得