§14－5簡諧運(yùn)動(dòng)的能量EnergyofSimpleHarmonicVibration引言：作簡諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)，因物體有速度而具有動(dòng)能，因彈簧發(fā)生形變而具有勢(shì)能，動(dòng)能和勢(shì)能之和就是其能量。一、簡諧運(yùn)動(dòng)的能量1．能量表達(dá)式（1）推導(dǎo)以彈性振子為例。假設(shè)在t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移為x，速度為v，則則系統(tǒng)動(dòng)能為：系統(tǒng)勢(shì)能為：因而系統(tǒng)的總能量為考慮到，則（2）結(jié)論彈簧振子作簡諧運(yùn)動(dòng)的能量與振幅的平方成正比。（3）解釋由于系統(tǒng)不受外力作用，并且內(nèi)力為保守力，故在簡諧運(yùn)動(dòng)的過程中，動(dòng)能與勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，總能量保持不變。（4）說明1）E∝A2，對(duì)任何簡諧運(yùn)動(dòng)皆成立；2）動(dòng)能與勢(shì)能都隨時(shí)間作周期性變化，變化頻率是位移與速度變化頻率的兩倍，而總能量保持不變；且總能量與位移無關(guān)。動(dòng)能Ek=E-Ep2．能量曲線注意理解能量守恒和動(dòng)能、勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化過程。二、能量平均值定義：一個(gè)隨時(shí)間變化的物理量f(t)，在時(shí)間T內(nèi)的平均值定義為因而彈簧振子在一個(gè)周期內(nèi)的平均動(dòng)能為因而彈簧振子在一個(gè)周期內(nèi)的平均勢(shì)能為結(jié)論：簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能與勢(shì)能在一個(gè)周期內(nèi)的平均值相等，它們都等于總能量的一半。三、應(yīng)用1．應(yīng)用1——記憶振幅公式由能量守恒關(guān)系可得：kA2/2=mv02/2+kx02/2解之即得：2．應(yīng)用2——推導(dǎo)簡諧運(yùn)動(dòng)相關(guān)方程在忽略阻力的條件下，作簡諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)只有動(dòng)能和勢(shì)能（彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能），且二者之和保持不變，因而有將具體問題中的動(dòng)能與勢(shì)能表達(dá)式代入上式，經(jīng)過簡化后，即可得到簡諧運(yùn)動(dòng)的微分方程及振動(dòng)周期和頻率。這種方法在工程實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用。此方法對(duì)于研究非機(jī)械振動(dòng)非常方便。例1．用機(jī)械能守恒定律求彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程。解：彈簧振子在振動(dòng)過程中，機(jī)械能守恒，即兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得即令，則其解為代入守恒方程可得A=A’例2．勁度系數(shù)為k、原長為l、質(zhì)量為m的勻質(zhì)彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為M的物體，在光滑的水平面上作直線運(yùn)動(dòng)，求其運(yùn)動(dòng)方程。解：取物體受力平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向右為x軸正方向，如圖所示，設(shè)m<M且振幅不大。這樣，彈簧上各點(diǎn)隨物體作同相運(yùn)動(dòng)，固定端振幅為零，與物體相連的一端振幅與物體的振幅相同，各點(diǎn)的位移與到固定端的距離S成正比(0≤S≤l)。當(dāng)物體位于S處時(shí)，取微元dS，其質(zhì)量為dm=mdS/l，位移為Sx/l，速度為(S/l)(dx/dt)，而dx/dt=v正是物體運(yùn)動(dòng)的速度。若忽略阻力，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒。當(dāng)物體位于x處時(shí)，彈簧的動(dòng)能與物體的動(dòng)能分別為系統(tǒng)的勢(shì)能為根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，整理后可得或?qū)懗墒街锌梢?，?dāng)彈簧質(zhì)量遠(yuǎn)小于物體的質(zhì)量時(shí)，且系統(tǒng)作微小運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)可以認(rèn)為是簡諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)周期為因而，周期比不計(jì)彈簧質(zhì)量時(shí)要大。不過當(dāng)m=M時(shí)，與嚴(yán)格計(jì)算結(jié)果相比較，誤差也是不大于1％。§14－6簡諧運(yùn)動(dòng)的合成CompositionofSimpleHarmonicVibration引言：在實(shí)際問題中，振動(dòng)系統(tǒng)常常參與多個(gè)振動(dòng)。本節(jié)討論一個(gè)物體同時(shí)參與兩個(gè)或兩個(gè)以上振動(dòng)的合成問題。振動(dòng)的合成在聲學(xué)、光學(xué)、無線電技術(shù)與電工學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。本節(jié)主要討論簡單的情況。原理：振動(dòng)的合成符合疊加原理，振動(dòng)也具有矢量性——是通過振動(dòng)的方向與相位反映出來的。一、同方向同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的合成問題：某質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同頻率且在同一條直線上的簡諧運(yùn)動(dòng)合振動(dòng)1．應(yīng)用解析法：令：，則：2．應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法：大小不變，且以共同角速度ω旋轉(zhuǎn)，它們的相對(duì)位置不變，即夾角保持不變，所以合振動(dòng)的振幅A大小不變，也以角速度ω繞O作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故合成振動(dòng)也是簡諧運(yùn)動(dòng)。圓頻率：ω合振幅：初相位：合振動(dòng)：3．討論：1）合振動(dòng)仍然是簡諧運(yùn)動(dòng)，且頻率仍為ω；2）合振動(dòng)的振幅不僅與A1、A2有關(guān)，而且還與相位差有關(guān)。若，則即兩個(gè)分振動(dòng)同相時(shí)，合振幅等于分振幅之和。若，則即兩個(gè)分振動(dòng)反相時(shí)，合振幅等于分振幅之差的絕對(duì)值。一般情況下，合振動(dòng)的振幅則在與之間。3）上述結(jié)論可以推廣到多個(gè)同方向同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的合成，即合振動(dòng)：也是簡諧運(yùn)動(dòng)和也可以用一般矢量求和的方法得到。二、同方向不同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的合成問題：某質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)不同頻率且在同一條直線上的簡諧運(yùn)動(dòng)合振動(dòng)由于相位差隨時(shí)間變化，故合振動(dòng)的振幅也隨時(shí)間而變化，不是簡諧運(yùn)動(dòng)。這里只討論，的情形，即兩個(gè)頻率相差很小，此時(shí)由于隨時(shí)間變化比要緩慢得多，因此可以近似地將合振動(dòng)看成是振幅按緩慢變化得角頻率為的“準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)”。這種兩個(gè)頻率都較大但兩者頻差很小的同方向簡諧運(yùn)動(dòng)合成時(shí)，所產(chǎn)生的合振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象稱為拍頻（beat）。即合振動(dòng)的頻率為：合振幅變化的周期：拍頻：用旋轉(zhuǎn)矢量法理解：假設(shè)，所以比轉(zhuǎn)動(dòng)得快，當(dāng)轉(zhuǎn)到與反方向位置時(shí)，合振幅最小；當(dāng)轉(zhuǎn)到與同方向位置時(shí)，合振幅最大，并且這種變化是周期性的。拍的應(yīng)用：用音叉的振動(dòng)來校準(zhǔn)樂器；利用拍的規(guī)律測(cè)量超聲波的頻率；在無線電技術(shù)中，可以用來測(cè)定無線電波頻率以及調(diào)制三、兩個(gè)相互垂直的同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的合成問題：某質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同頻率的互相垂直方向的簡諧運(yùn)動(dòng)x方向：y方向：改寫為：分別對(duì)上述兩式乘以cosωt、sinωt，并相加，可得這是橢圓方程，其形狀由分振動(dòng)的振幅A1，A2和相位差確定：（1）時(shí)，，軌跡為直線（簡諧運(yùn)動(dòng)）；（2）時(shí)，，軌跡為直線（簡諧運(yùn)動(dòng)）；（3）時(shí)，，軌跡為橢圓（正橢圓）；（4）時(shí)，，軌跡為橢圓（逆橢圓）。關(guān)于（3）的說明：y方向的振動(dòng)相位比x方向超前π/2，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在x方向達(dá)到最大位移時(shí)，在y方向質(zhì)點(diǎn)正通過原點(diǎn)向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，因此質(zhì)點(diǎn)沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的方向是順時(shí)針的，或者說是右旋的。另外，當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)；當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)。四、兩個(gè)相互垂直的不同頻率兩個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的合成問題：某質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)不同頻率的互相垂直方向的簡諧運(yùn)動(dòng)x方向：y方向：合振動(dòng)比較復(fù)雜，分兩種情況討論。兩個(gè)分振動(dòng)的頻率相差很小：此時(shí)可以近似地把兩個(gè)振動(dòng)的合成看成同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的合成，但它們的相位差隨時(shí)間緩慢地變化，于是合振動(dòng)的軌跡將由直線變?yōu)闄E圓，又由橢圓變?yōu)橹本€，并循環(huán)地改變下去。兩個(gè)分振動(dòng)的頻率相差較大，但有簡單的整數(shù)比關(guān)系：此時(shí)合振動(dòng)的軌跡為封閉的圖形，稱為李薩如（Lissajou'sFigures）圖形。該圖形的的具體形狀取決于兩個(gè)互相垂直方向簡諧運(yùn)動(dòng)的頻率之比合初相位，并且該圖形坐標(biāo)軸的切點(diǎn)之比與頻率之比相等。用此方法可以測(cè)量一未知振動(dòng)的頻率與相互垂直方向的兩個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的相位差。§14－7阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振DampedVibration，F(xiàn)orcedVibration，Resonance引言：簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅不隨時(shí)間變化，這就是說，振動(dòng)一經(jīng)發(fā)生，就能夠永遠(yuǎn)不停地以相同的振幅振動(dòng)下去。這是一種理想的情況，稱為無阻尼自由振動(dòng)。實(shí)際上，任何振動(dòng)系統(tǒng)都會(huì)受到阻力的作用，系統(tǒng)的能量將因不斷克服阻力作功而損耗，振幅將逐漸減小。這種振幅隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。為了獲得所需的穩(wěn)定振動(dòng)，必須克服阻力的影響而對(duì)系統(tǒng)施以周期性外力的作用。這種振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)。本節(jié)討論這種情況。一、阻尼振動(dòng)DampedVibration1．引言：消耗系統(tǒng)能量的兩種方式：摩擦阻尼：系統(tǒng)與周圍介質(zhì)或系統(tǒng)內(nèi)部的摩擦，使系統(tǒng)的能量變?yōu)闊崮?；輻射阻尼：振?dòng)向外界傳播而將系統(tǒng)的能量變?yōu)椴▌?dòng)能量。本節(jié)討論第一種阻尼作用下的振動(dòng)情況。2．什么是阻尼振動(dòng)？振幅隨時(shí)間的變化而減小的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。3．阻尼振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)（微分）方程在系統(tǒng)的振動(dòng)過程中，振子除了受到彈性力的作用外，還受到粘滯阻力的作用。當(dāng)物體速度不太大時(shí)，粘滯阻力大小與速度的大小成正比，方向相反。其中C是阻尼系數(shù)，由物體的形狀、大小和周圍介質(zhì)的性質(zhì)而定。在有阻力作用時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，有令，則上式可寫成其中ω0是系統(tǒng)的固有角頻率（naturalangularfrequency），β是表征系統(tǒng)阻尼的大小，稱為阻尼因子，β越大，阻力越大。4．討論：阻尼振動(dòng)的微分方程的特征方程（即將eDx形式的解代入此方程，化簡后可得）為其解為1）弱阻尼（情況2）解為A0、：積分常數(shù)，由初始條件確定；：阻尼振動(dòng)的角頻率，由振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率和阻尼因子確定。由振動(dòng)方程可知，阻尼振動(dòng)可看成是振幅為A0e-βt，角頻率為ω的振動(dòng)，阻尼振動(dòng)的振幅為A0e-βt隨時(shí)間作指數(shù)衰減，阻尼越大，振幅衰減越快，不是簡諧運(yùn)動(dòng)。在阻尼不大時(shí)，可近似地看成是一種振幅逐漸減小的振動(dòng)，周期為注意：阻尼振動(dòng)不是嚴(yán)格意義下的周期運(yùn)動(dòng)，因?yàn)榻?jīng)過一定時(shí)間后，振子不在回到原來的位置。通常稱為準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。2）過阻尼（Overdamping，情況1）解為可見偏離平衡位置的振子只能緩慢地回到平衡位置，不再作周期性的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，是一種非周期運(yùn)動(dòng)。3）臨界阻尼（criticaldamping情況3）解為振子恰好從準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)榉侵芷谶\(yùn)動(dòng)。與弱阻尼和過阻尼比較，在臨界阻尼情況下振子回到平衡位置而靜止下來所需時(shí)間最短。此時(shí)，β可以理解為衰減常量（attenuationconstant），它的倒數(shù)稱為弛豫時(shí)間（relaxationtime），τ=1/β，β越大，弛豫時(shí)間越短，則振動(dòng)衰減越快。4．應(yīng)用減小阻尼：活塞增大阻尼：弦樂器、空氣箱、減振器利用臨界阻尼：阻尼天平、靈敏電流計(jì)：使指針盡快回到平衡位置，節(jié)約時(shí)間，便于測(cè)量。二、受迫振動(dòng)ForcedVibration1．引言一切實(shí)際的振動(dòng)都是阻尼振動(dòng)，而且阻尼振動(dòng)最終都將因?yàn)槟芰康膿p耗而停止下來。為了使系統(tǒng)的振動(dòng)能夠維持下去，要給系統(tǒng)補(bǔ)沖能量。通常是對(duì)系統(tǒng)施加一周期性外力的作用。這種周期性的外力稱為策動(dòng)力（drivingForce），或強(qiáng)迫力。在強(qiáng)迫力作用系統(tǒng)發(fā)生的運(yùn)動(dòng)稱為受迫振動(dòng)。如揚(yáng)聲器中紙盆的振動(dòng)，機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)引起機(jī)坐的振動(dòng)等，都是受迫振動(dòng)。2．運(yùn)動(dòng)方程設(shè)振子質(zhì)量為，除受到彈性力-kx，阻尼力-Cv的作用外，還受到強(qiáng)迫力Hcos(Pt)的作用。其中是強(qiáng)迫力的最大值，稱為力幅，P為強(qiáng)迫力的角頻率。根據(jù)牛頓第二定律可知令，則上式可寫成這就是受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。其解為3．解的討論：第一項(xiàng)：阻尼振動(dòng)，經(jīng)過一定的時(shí)間后將消失。第二項(xiàng)：與簡諧運(yùn)動(dòng)形式相同的等幅振動(dòng)，是受迫振動(dòng)的穩(wěn)定解。即：在受迫振動(dòng)過程中，系統(tǒng)一方面因阻尼而損耗能量，另一方面又因周期性外力作功而獲得能量。初始時(shí)，能量的損耗和補(bǔ)充并非是等量的，因而受迫振動(dòng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)補(bǔ)充的能量和損耗的能量相等時(shí)，系統(tǒng)才得到一種穩(wěn)定的振動(dòng)狀態(tài)，形成等幅振動(dòng)。于是受迫振動(dòng)就變成簡諧運(yùn)動(dòng)，即定態(tài)解（Stationarysolution）其運(yùn)動(dòng)方程為穩(wěn)定后的振幅為受迫振動(dòng)位移與強(qiáng)迫力之間的相位差為說明：穩(wěn)定狀態(tài)下的受迫振動(dòng)的角頻率不是振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率，而是強(qiáng)迫力的角頻率；A、并不決定于系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而是依賴于系統(tǒng)的性質(zhì)、阻尼的大小和強(qiáng)迫力的特性。三、共振Resonance1．引言：在穩(wěn)定狀態(tài)下，受迫振動(dòng)的振幅與強(qiáng)迫力的角頻率有關(guān)。當(dāng)強(qiáng)迫力的角頻率P與固有角頻率ω0相差較大時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅較??；而當(dāng)P與ω0相差較小時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅較大；當(dāng)P為某一定值時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅得到最大值。我們把受迫振動(dòng)的振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱為共振。2．共振角頻率與共振振幅：1）共振角頻率：系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)強(qiáng)迫力的角頻率稱為共振角頻率，用ωr表示。用求極值的方法計(jì)算可得2）共振振幅3）共振時(shí)受迫振動(dòng)位移與強(qiáng)迫力之間的相位差3．說明：1）ωr略小于ω0，當(dāng)阻尼因子β趨于零而發(fā)生共振現(xiàn)象時(shí)，共振角頻率等于系統(tǒng)的固有角頻率，ωr=ω0；2）當(dāng)β→0，ωr=ω0時(shí)，共振振幅趨于無窮大，這種情況稱為尖銳共振；此時(shí)受迫振動(dòng)位移與強(qiáng)迫力之間的相位差為振動(dòng)物體的速度為即在β→0時(shí)，在共振情況下，速度與強(qiáng)迫力的相位相同。因此強(qiáng)迫力的方向與物體振動(dòng)方向相同，強(qiáng)迫力始終對(duì)物體作正功，所以輸入振動(dòng)系統(tǒng)的能量最大，振幅具有極大值。3）嚴(yán)格地從外界與系統(tǒng)交換能量的角度看，速度振幅達(dá)到極大值才是嚴(yán)格的共振。但在實(shí)際中振幅共振與速度共振是較接近的。4．共振現(xiàn)象的應(yīng)用：1）應(yīng)用：鋼琴、小提琴等樂器利用共振來提高音響效果；收音機(jī)利用電磁共振進(jìn)行選臺(tái)；核內(nèi)的核磁共振被用來進(jìn)行物質(zhì)結(jié)構(gòu)的研究和醫(yī)療診斷等。2）危害：1904年，一隊(duì)俄國士兵以整齊的步法通過彼得堡的一座橋時(shí)，