試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁二輪難題復(fù)習(xí)平面解析幾何壓軸解答題1．直線方程的五種形式(1)點斜式：行于y軸的直線)．(2)斜截式：線)．(3)兩點式：eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(直線過點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐標(biāo)軸和平行于坐標(biāo)軸的直線)．(4)截距式：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a，b分別為直線的橫、縱截距，且a≠0，b≠0，不包括坐標(biāo)軸、平行于坐標(biāo)軸和過原點的直線)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)．2．直線的兩種位置關(guān)系當(dāng)不重合的兩條直線l1和l2的斜率都存在時：(1)兩直線平行：l1∥l2?k1＝k2.(2)兩直線垂直：l1⊥l2?k1·k2＝－1.特別提醒：當(dāng)一種情形易忽略．3．三種距離公式(1)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，兩點間的距離|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)點到直線的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))(其中點P(x0，y0)，直線方程為Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0))．(3)兩平行線間的距離d＝eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2))(其中兩平行線方程分別為l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0))．特別提醒：應(yīng)用兩平行線間距離公式時，注意兩平行線方程中x，y的系數(shù)應(yīng)對應(yīng)相等．4．圓的方程的兩種形式(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．5．直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(1)直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離．判斷方法：代數(shù)判斷法與幾何判斷法．(2)圓與圓的位置關(guān)系：相交、內(nèi)切、外切、外離、內(nèi)含．判斷方法：代數(shù)判斷法與幾何判斷法．6．圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)名稱橢圓雙曲線拋物線定義|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)|PF|＝|PM|點F不在直線l上，PM⊥l交l于點M標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)圖形幾何性質(zhì)范圍|x|≤a，|y|≤b|x|≥ax≥0頂點(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)對稱性關(guān)于x軸，y軸和原點對稱關(guān)于x軸對稱焦點(±c,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))軸長軸長2a，短軸長2b實軸長2a，虛軸長2b離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))(0<e<1)e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))(e>1)e＝1準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)漸近線y＝±eq\f(b,a)x7.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷方法：通過解直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到的方程組進行判斷．弦長公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.8．解決范圍、最值問題的常用方法(1)數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后，數(shù)形結(jié)合求解．(2)構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解．(3)構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域．9．定點問題的思路(1)動直線l過定點問題，解法：設(shè)動直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動直線過定點(－m，0)．(2)動曲線C過定點問題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點．10．求解定值問題的兩大途徑(1)eq\x(由特例得出一個值此值一般就是定值)→eq\x(證明定值：將問題轉(zhuǎn)化為證明待證式與參數(shù)某些變量無關(guān))(2)先將式子用動點坐標(biāo)或動線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負(fù)項抵消或分子、分母約分得定值．11．解決存在性問題的解題步驟第一步：先假設(shè)存在，引入?yún)⒆兞浚鶕?jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程(組)或不等式(組)；第二步：解此方程(組)或不等式(組)，若有解則存在，若無解則不存在；第三步：得出結(jié)論．例題1．已知點分別為橢圓的左?右焦點，直線與橢圓有且僅有一個公共點，直線，垂足分別為點.(1)求證：；(2)求證：為定值，并求出該定值；(3)求的最大值.【答案】(1)證明過程見解析(2)證明過程見解析，定值為1(3)4【解析】【分析】（1）直線與橢圓聯(lián)立后用根的判別式等于0列出方程，求出；（2）利用點到直線距離公式得到，，結(jié)合∥，求出，結(jié)合第一問的結(jié)論證明出為定值1；（3）利用向量線性運算及點在直線的同側(cè)得到，結(jié)合第二問得到，再用投影向量的知識得出，其中為的夾角），結(jié)合第一問結(jié)論得到，利用基本不等式求出最值.(1)聯(lián)立與得：，由直線與橢圓有一個公共點可知：，化簡得：；(2)由題意得：，因為，所以∥，故，其中，，所以，為定值，該定值為1；(3)，由題意得：點在直線的同側(cè)，所以，，（其中為的夾角），由此可知：，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以的最大值為4.【點睛】對于圓錐曲線定值問題，要能夠利用題干信息用一個變量求解出要求的量，可以是直線的斜率，也可以是點的坐標(biāo)，然后代入計算得到定點.例題2．如圖，已知橢圓的左焦點為，點是橢圓上位于第一象限的點，M，N是軸上的兩個動點(點位于軸上方)，滿足且，線段PN交軸于點.(1)若，求點的坐標(biāo)；(2)若四邊形為矩形，求點的坐標(biāo)；(3)求證:為定值.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【解析】【分析】（1）結(jié)合橢圓的定義求得點的坐標(biāo).（2）利用向量垂直列方程，化簡求得點的坐標(biāo).（3）利用向量垂直列方程，化簡求得為定值.(1)橢圓，，，，設(shè)，且在第一象限，，.則.(2)設(shè)，由于，所以.①，由于，所以②，由于四邊形為矩形，，所以③，由于四邊形為矩形，，所以④，③-④并化簡得，，由于，所以，代入②得：，，代入③得：，由于，故解得，所以.(3)令（），由①②得，，，將代入得，，，，，由于，所以.所以為定值.【點睛】本小題破題關(guān)鍵在于利用向量運算表示垂直，構(gòu)建各個量之間的等量關(guān)系式，進而化簡得出題目的所求.例題3．橢圓：的焦點，是等軸雙曲線：的頂點，若橢圓與雙曲線的一個交點是P，的周長為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點M是雙曲線上任意不同于其頂點的動點，設(shè)直線、的斜率分別為，，求證，的乘積為定值；(3)過點任作一動直線l交橢圓與A，B兩點，記，若在直線AB上取一點R，使得，試判斷當(dāng)直線l運動是，點R是否在某一定直線上運動？若是，求出該直線的方程；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)證明見解析(3)是，【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線與橢圓的關(guān)系，求得，可得結(jié)果.（2）假設(shè)點，直接表示斜率，然后根據(jù)雙曲線方程化簡即可.（3）設(shè)直線方程并與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，然后根據(jù)，求得，最后計算即可.(1)有由題可知：，由的周長為所以，即所以所以橢圓的方程為(2)設(shè)，由所以所以，又，則所以(3)依題可知：直線的斜率存在，設(shè)方程為，所以所以由，設(shè)由所以所以【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第（3）問，第一，假設(shè)直線方程；第二，聯(lián)立橢圓方程并使用韋達(dá)定理；第三，根據(jù)條件求得；第四，計算.例題4．設(shè)實數(shù)，橢圓D：的右焦點為F，過F且斜率為k的直線交D于P、Q兩點，若線段PQ的中為N，點O是坐標(biāo)原點，直線ON交直線于點M．（1）若點P的橫坐標(biāo)為1，求點Q的橫坐標(biāo)；（2）求證：；（3）求的最大值．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）先求得點坐標(biāo)，進而求得直線的方程，進而求得點的橫坐標(biāo).（2）聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，求得點坐標(biāo)，求得直線的方程，進而求得點坐標(biāo)，由證得.（3）利用根與系數(shù)關(guān)系求得關(guān)于的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的知識求得最大值.【詳解】（1）因為點P的橫坐標(biāo)為1，由，得P的坐標(biāo)為或．F的坐標(biāo)為．當(dāng)P的坐標(biāo)為時，直線PQ：，即，代入橢圓方程，，即，得Q的橫坐標(biāo)為.當(dāng)P的坐標(biāo)為時，同樣得Q的橫坐標(biāo)為.因此，點Q的橫坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立方程組，其解為，．消去y，得，即．由，所以N的橫坐標(biāo)為，得N的縱坐標(biāo)為，得N的坐標(biāo)為．所以直線ON的斜率為，方程為，與直線交于點．故直線FM的斜率為，于是，因此；（3）．令，由，得，又，得．即，所以的取值范圍為，最大值為．【點睛】求解弦長有關(guān)的最值問題，可結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，來進行求解.求最值可利用二次函數(shù)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等知識.例題5．設(shè)雙曲線方程為，過其右焦點且斜率不為零的直線與雙曲線交于A，B兩點，直線的方程為，A，B在直線上的射影分別為C，D.（1）當(dāng)垂直于x軸，時，求四邊形的面積；（2），的斜率為正實數(shù)，A在第一象限，B在第四象限，試比較與1的大小；（3）是否存在實數(shù)，使得對滿足題意的任意，直線和直線的交點總在軸上，若存在，求出所有的值和此時直線和交點的位置；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，，此時兩直線的交點為．【解析】【分析】（1））當(dāng)垂直于x軸，直線方程為，四邊形為矩形，將代入雙曲線方程，求出坐標(biāo)，得出，即可求解；（2）設(shè)的方程為，，設(shè)兩點的縱坐標(biāo)分別為，將的方程與雙曲線方程聯(lián)立，得到關(guān)于的方程，根據(jù)韋達(dá)定理得出關(guān)系，結(jié)合，,，將根據(jù)線段長公式化簡,再利用點在雙曲線上可得，由,即可得出結(jié)論；（3）設(shè)，，則，，求出直線和直線的方程，利用兩條直線相交在軸上，可得，將關(guān)系，代入，得對一切都成立，有，求出交點的橫坐標(biāo)，即可求解.【詳解】（1）右焦點的坐標(biāo)為．故．聯(lián)立解得．故，又，故四邊形的面積為；（2）設(shè)的方程為，這里．將的方程與雙曲線方程聯(lián)立，得到，即．由知，此時，由于，故，即，故，因此；（3）由（2）得．（有兩交點表示）設(shè)，，則，．的絕對值不小于，故，且．又因直線斜率不為零，故．直線的方程為．直線的方程為．若這兩條直線的交點在軸上，則當(dāng)時，兩方程的應(yīng)相同，即．故，即．現(xiàn)，，代入上式，得對一切都成立．即，．此時交點的橫坐標(biāo)為．綜上，存在，，此時兩直線的交點為．【點睛】本題考查雙曲線與直線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程是解題的基礎(chǔ)，應(yīng)用韋達(dá)定理設(shè)而不求是解題的關(guān)鍵，將所研究的問題轉(zhuǎn)化為兩交點的坐標(biāo)關(guān)系，考查計算能力，屬于難題.例題6．設(shè)集合，其中，，在M的所有元素個數(shù)為K（，2≤K≤n）的子集中，我們把每個K元子集的所有元素相加的和記為（，2≤K≤n），每個K元子集的最大元素之和記為（，2≤K≤n），每個K元子集的最小元素之和記為（，2≤K≤n）．(1)當(dāng)n＝4時，求、的值；(2)當(dāng)n＝10時，求的值；(3)對任意的n≥3，，給定的，2≤K≤n，是否為與n無關(guān)的定值？若是，請給出證明并求出這個定值：若不是，請說明理由．【答案】(1)，；(2)4620(3)與n無關(guān)，為定值，證明過程見解析.【解析】【分析】（1）將3元子集用列舉法全部列舉出來，從而求出、的值；（2）用組合知識得到每個元素出現(xiàn)的次數(shù)，進而用等差數(shù)列求和公式進行求解；（3）用組合及組合數(shù)公式先求出，再求出與的和，進而求出及比值.(1)當(dāng)時，，則3元子集分別為，則，.(2)當(dāng)n＝10時，4元子集一共有個，其中從1到10，每個元素出現(xiàn)的次數(shù)均有次，故(3)