矩陣及其運一、一、矩陣的定1.實際例例1設(shè)某物質(zhì)有m個產(chǎn)地，n個銷地，如果aij表示由第i個產(chǎn)地銷往第j個銷地的數(shù)量，則銷產(chǎn) … 12im a1j a2 am2 記記

a1n

a2 a2n

ai

ain

am

amn例2解線性方程x1

x1

x1x2

x2x3

x2x1

2x3

x3

x3代替0010 110010 111 1 00 1 0011211210211012 11012

0 定

由m×n個數(shù)aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,有次序地排成m行(橫排)n列(豎排)

a2n

am2

amn稱為一個m行n列的矩陣，簡記(aij)m×n，通常用大寫字母A，B，C，…表示，m行n列的矩陣A也記為Am×n，構(gòu)成矩陣A的每個數(shù)稱為矩陣A的元素，而aij表示矩陣第i行、j列的元素。只有一行的矩陣A1×n …an)稱為行矩只有一列的矩

a1 1a2

稱為列矩 am兩個矩陣A、B，若行數(shù)、列數(shù)都相等，則A、B是同型的Aaij)m×n,B=(bij)m×n是同型aij=bij(i=1,2m;j=1,2,…,n)則稱A與B相等，元素全為0的矩陣稱為零矩陣，記作O，二、二、11(1)設(shè)A=(aij)m×nB=(bij(1)則矩陣C=(cij)m×naij+bij)

b2n

m2

mn稱為矩陣A與B的和，記作C(2(2A，B，C，Om×n矩 A+B=B+ (A+B)+C=A+(B+C A+O=O+A=22(1)設(shè)A=(aij)m×n,(1)(2)(－aij)m×n為A的負(fù)矩陣，簡記－A顯然A+(－A)=O, －(－A(2)設(shè)A=(aij)m×n,B=(bij)A－B=A+(－B)=(aij－bij)數(shù)與矩陣的乘(1)設(shè)A=(aij)m×n則矩陣aijm×n稱為數(shù)與矩陣A的乘積，記為(1)

A(a

a2n

amn(2(2A、Bmn矩陣，、u為常(1)(1)(u)A=(uA)=u(A(2)(2)(A+B)=A+(3)(3)(+u)A=A+u(4)(4)1·A=(－1)·A=例3：

A

1

0

5

1

求33解：2B 0 6A

1

0

5 1

6 矩陣的乘(1)設(shè)A=(aij)m×s,B=(bij)s×n(1)

乘積C＝AB是m×n矩陣，Ccij

S

aikk(i=1,2,…,m j=1,2,…,例4：設(shè)矩

1 3A

B1 1 求乘AB

02 02 1

B32

31 1002 02 1 3 1

3

1 1 002 02 12 206 206 注：AB 即矩陣乘法不 換5：

A A

1B B 3C

D

5 3 5試證： AB=0 AC=證AB

1

1 01

1

0 0

AC

1

3 01

1

3 0AD

1

5 01

1

5 0 AC＝在數(shù)的乘法中，若ab=0a0b在矩陣乘法中，若ABOAOB=在數(shù)的乘法中，若ac=ad，且a0c=(消去律成立在矩陣乘法中，若AC=AD，且AOC=(2(2 (AB)C=A(BC A(B+C)=AB+A (B+C)A=BA+C ABABAB (為常數(shù)5.5.a21am1

a22am2

a2namn

可表示為

a1n a2n

x b11 11x2 b2

x m

mnm n mn mAX＝B

6(1)A的轉(zhuǎn)置矩陣ATA'(1)例如

1 2A 01 4

20 20 (2(2(1)(1)(AT)T=(2)(2)(A+B)T=AT+B(3)(3)(A)T＝A(4)(4)(AB)T=BTA(AAA)TATAT nn21例6：

A

1 2 1

B44

1

(AB)T解法一

1 8

9 18 (AB)T 011 11302B120A解法二

4 2 (AB)T=BTA

1

21 000

11811011 1陣陣nnnA稱為方陣，n稱為它的階數(shù)An。記A·AA=k

Ak(Ak

(其中：kl均為正整數(shù)(

(AB)(AB)(AB)k

AkBk1單位矩1 En

1nn稱為n階單位矩陣，簡記 En

對角矩

0

nn

aij=0i0特別 0kK

n n

00

ann

0

00

0 0 k為正整數(shù) 0k k00

ann

0

kk 上三角矩

, a2n,

=0,i>0 0 ann下三角矩

0

=0,i<

an

ann對稱矩(1)(1)若方陣A對稱矩陣AT=Aaji=aij，則稱A(2)若方陣(2)若方陣A滿足AT=－Aaji=－aij稱矩陣aii0i12例7：設(shè)A為任一方陣，證明:A+AT為對稱陣，A－AT為 (A

AT

(AT)T

ATA

A(A

AT

(AT)TAT(AAT故A+AT為對稱陣，A－AT 稱3、比較方陣與行列（1）A對應(yīng)的行列式記為|A|det若|A|0，則稱方陣A是非奇異(非 否則，稱A是奇異( |A|=n|A |AB|=|A||B |AB|=|A||B例如1A

2

B

3 4 2AB

1

5

1 5

|AB7

5而|A|3

24

|B|1

12|AB||A||B推廣||A A2 Am|=|A1||A2| |Am |Am|=|A|將矩陣A將矩陣A分成若干小塊，這樣的小塊稱為矩陣A的子塊或子矩陣，而A可以看成是以子塊為元素的矩陣，稱A例如13142131420 A 222020611 308000000010100B001

1

2 1 0

1利用分塊矩陣求A+B，AB A

00 0

1

A2 1 0000010101021

E1 1 B22012,00011,02,0011A則A

E EB

A20

B2A

1

A

1 0 1 1 12012,00011,02,0011AAB

011

E

A2

B2 11 A1A2B2

00

0 0 0 1 0AA

0

11 2

0

1

0

0

3 3 0

1

2

2

0 3 2分塊矩陣的轉(zhuǎn)

A對于

1

：

1 3 AT

ATT 4 5

A

A注：設(shè)矩陣A=(aij)mnA

AT21

AT ATs AT

AT

A 若方陣A除主對角線上的子塊外，其即00 A

Ai為方陣i=則稱A為準(zhǔn)對角矩陣?yán)?010 5200 5200 0 0準(zhǔn)對角矩陣與對角矩陣有類似的性例如A

0 A AAk Ak

Ai為方陣i有

§2矩陣的初等變一一、矩陣的初等變對矩陣施行下列三初等行變互換兩行rirj0乘以某一行ri 將第j行各元素乘以數(shù)后加到第i行的對應(yīng)元素上去(ri+rj)相應(yīng)地，矩陣的三種初等列變換的記號只需rc定義由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到定義ri1

i

j)

1

j11ci 也得P(i×01 0 P(

())00

i 11ci也得Piri+

1

iP(i

j())

11

jcj 也得Pi,j(定理

設(shè)A是一mn矩對A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左側(cè)乘以對A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右側(cè)乘以例如

a14A 24 34

r1

a24a14 P(1,2)

0

a

1

24

a24a

34 14 34

c3

a23 aaaaaaaa

33

0AP(3,

0000

0 10101

k階子定義Am×n矩陣，在A中任取kk列(1kmin(m,n))k行，k列的交叉處的k2個元素(按原來的前后順序)所構(gòu)成的k階行列式，稱為矩陣A的一k階子定義例如

A 0 0

1 0 45 5

1

例如

A 0 0

1 0 45 5

1

0一個3

注(1)(1)AaijA(2(2An階方陣時，n|A矩陣的定義定義矩陣A的不為0的子式的最高階數(shù)稱為矩陣A的秩，記為R(A)(顯然R(A)min(m, 例如1

0 0

1 0 45 5

10

R(A)=規(guī)定零矩陣的秩為0R(O)規(guī)定注非奇異矩陣A|A|0，A的秩就等于它的階奇異矩陣A，也稱為降秩矩陣A中至少有一k階子式不為而所k+1階子式全為0，則rAk定理初等變換求矩陣的定理定理3對矩陣施行初等變換，矩陣的秩不例412412 2 60302310 30033 4000A A

1 1 0階梯r(A)=3000230021100000100001000000A稱為A的標(biāo)準(zhǔn)注注：若A為n階滿秩方陣，則A的標(biāo)準(zhǔn)形為n階單位陣E 一一、逆矩陣的定定義設(shè)A是一個n階方陣，若存在n階方定義使AB=BA=BA的逆矩陣A可逆顯然A為B的逆矩陣，即A與B互為逆例如

2A A 5

2B 1B

2

2

2 2

1 0 5

1

1

5 1BAAB例1設(shè) …ann 0a a a00

aann

0

ann

En10 0

a 00

aa0 0 ann

ann

例2若方A1A2…Am均可逆，可10 10

0

0 0 Am

A1A 定理1(唯一性若方陣A的逆矩陣存在，則唯一，用A－1表證：設(shè)B、C均是A的逆矩陣，B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=所以A的逆矩陣唯一 設(shè)A=(aij)n×n, Aij是|A|中元素aij的 式(i,j=1,2,…,n);矩陣

AA

AA

An1 An2

A的伴隨矩 A A2n

Ann

a1n

A

A

An1

|A

0

a2n

A

A

An2

|A 0

am

amn

A

A

Ann

A|A

A

An1

a1n

|A

0A

A

An2

a2n

|A 0

A

A

Ann

am

amn

A|即 A =A* =|A|定理方陣A存在逆矩 |A|定理且

|A求求逆矩陣的法A|A|0時1A1|A例3求矩

A1

2 52

A|2

15A可逆，又A11＝5 A* 2 1 A1

2|A

1在數(shù)的乘法中，若ab=0a0b在矩陣乘法中，若ABOAOB=在數(shù)的乘法中，若ac=ad，且a0c=(消去律成立在矩陣乘法中，若AC=AD，且AOC=例 設(shè)A是可逆陣，證明AXAYXAB0B AX=AA－1(AX)=A－1(AY)(A－1A)X=(A－1A)EX= X=(2)AB=0，有A－1(AB=A－1A－1A)B= B(1)(1)若A，B均為nAB=E(BA=E)，B＝A－1 設(shè)AB=|A||B|=|E|= |A|A－1存在，且A－1=A－1E==(A－1A)B= =同理可證BA=E(A－1)－1=(3(3若A可逆，0(A)11(4)若A，B均為n(AB)－1=B－1A－1

=A(BB－1)=AE =(AB)－1=推廣若A1，A2，…，Am均為n階可逆推廣 ( …Am)－1=Am－1…A A 特別：當(dāng)|A|0，有(Am)－1=(A－1) |A1||A|11|A|A－1||A||E|(方法二1.初等矩陣都是可逆矩陣，且其矩陣仍然是初1[P(i,1

P(i,j)[P(i,())]1

P(i([P(i,

j())定理 若方陣A可逆，則存在有限個初等矩陣P2,…Pm,使A= …證：因為A可逆，則r(An，標(biāo)準(zhǔn)形為存在有限次初等變換使A化為En，有限次初等變換使En化成P1，P2，…，Pm，

P1P2…PsEPs+1…Pm= A=P1P2…AA=P1P2…P1P1P1AE P1P1P1E

表示為((E初等行變(A－1例

A33

3 3 3

解：

E)33

0 01 1r

1

00 0011

r1+

1