線性不確定系統(tǒng)的極小極大控制東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院井元偉教授二○○八年十二月12/3/2022線性不確定系統(tǒng)的極小極大控制東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院二○○1

1引言2基本概念和預(yù)備知識(shí)3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制5結(jié)論

4不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制1引言2基本概念和預(yù)備知識(shí)3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大2

1引言穩(wěn)定性和性能—控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中至關(guān)重要的問(wèn)題。外界的干擾和系統(tǒng)自身的不確定性—破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能。隨著干擾增大系統(tǒng)的狀態(tài)會(huì)逐漸偏離平衡點(diǎn)并且控制的能量變大。為了保證投入比較小的控制能量，使得充分大的干擾對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出的影響降低到最小，并且保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的，——引入極小極大控制方法。12/3/20221引言穩(wěn)定性和性能—控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中至關(guān)重要的問(wèn)題。13極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)12/3/2022極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)124極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)定義：極小極大控制：針對(duì)不確定系統(tǒng)和相應(yīng)的性能指標(biāo)12/3/2022極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)定義5極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)定義：極小極大控制：針對(duì)不確定系統(tǒng)和相應(yīng)的性能指標(biāo)如果存在一個(gè)控制律和一個(gè)正數(shù)12/3/2022極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)定義6極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)定義：極小極大控制：針對(duì)不確定系統(tǒng)和相應(yīng)的性能指標(biāo)如果存在一個(gè)控制律和一個(gè)正數(shù)在系統(tǒng)所能承受的最壞干擾和最大不確定性下，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，閉環(huán)性能指標(biāo)達(dá)到極小且12/3/2022極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)定義7極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)定義：極小極大控制：針對(duì)不確定系統(tǒng)和相應(yīng)的性能指標(biāo)如果存在一個(gè)控制律和一個(gè)正數(shù)在系統(tǒng)所能承受的最壞干擾和最大不確定性下，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，閉環(huán)性能指標(biāo)達(dá)到極小且12/3/2022極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)定義8極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)定義：極小極大控制：針對(duì)不確定系統(tǒng)和相應(yīng)的性能指標(biāo)如果存在一個(gè)控制律和一個(gè)正數(shù)在系統(tǒng)所能承受的最壞干擾和最大不確定性下，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，閉環(huán)性能指標(biāo)達(dá)到極小且稱為一個(gè)性能上界，稱為極小極大魯棒控制律。12/3/2022極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)定義9極小極大性能指標(biāo)12/3/2022極小極大性能指標(biāo)12/1/202210極小極大性能指標(biāo)12/3/2022極小極大性能指標(biāo)12/1/202211極小極大性能指標(biāo)其中，12/3/2022極小極大性能指標(biāo)其中，12/1/12極小極大性能指標(biāo)其中，12/3/2022極小極大性能指標(biāo)其中，12/1/13極小極大性能指標(biāo)其中，表示系統(tǒng)所有的干擾和容許的不確定性。12/3/2022極小極大性能指標(biāo)其中，表示系統(tǒng)所14極小極大物理意義和目的

物理意義：極小極大控制，針對(duì)干擾和不確定性最壞的情形，討論的是，如何控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能，使得系統(tǒng)在整個(gè)時(shí)間過(guò)程中狀態(tài)偏差、控制消耗能量和終值精度等幾方面綜合性能指標(biāo)最小。12/3/2022極小極大物理意義和目的12/1/215極小極大目的：具有二次型性能指標(biāo)的控制系統(tǒng)可視為一個(gè)調(diào)節(jié)系統(tǒng)。所謂調(diào)節(jié)就是使偏離平衡位置的狀態(tài)在控制變量的作用下盡可能地回到平衡位置上。若把零狀態(tài)作為平衡狀態(tài)，調(diào)節(jié)的目的就是使12/3/2022極小極大目的：12/1/216極小極大目的：具有二次型性能指標(biāo)的控制系統(tǒng)可視為一個(gè)調(diào)節(jié)系統(tǒng)。所謂調(diào)節(jié)就是使偏離平衡位置的狀態(tài)在控制變量的作用下盡可能地回到平衡位置上。若把零狀態(tài)作為平衡狀態(tài)，調(diào)節(jié)的目的就是使12/3/2022極小極大目的：12/1/217極小極大目的：具有二次型性能指標(biāo)的控制系統(tǒng)可視為一個(gè)調(diào)節(jié)系統(tǒng)。所謂調(diào)節(jié)就是使偏離平衡位置的狀態(tài)在控制變量的作用下盡可能地回到平衡位置上。若把零狀態(tài)作為平衡狀態(tài)，調(diào)節(jié)的目的就是使盡量接近于零狀態(tài)，這就相當(dāng)于使積分12/3/2022極小極大目的：盡量接近于零18極小極大目的：具有二次型性能指標(biāo)的控制系統(tǒng)可視為一個(gè)調(diào)節(jié)系統(tǒng)。所謂調(diào)節(jié)就是使偏離平衡位置的狀態(tài)在控制變量的作用下盡可能地回到平衡位置上。若把零狀態(tài)作為平衡狀態(tài)，調(diào)節(jié)的目的就是使盡量接近于零狀態(tài)，這就相當(dāng)于使積分盡可能地小。12/3/2022極小極大目的：盡量接近于零19極小極大另一方面在調(diào)節(jié)的過(guò)程中又不希望所消耗的能量過(guò)大，這就相當(dāng)于要求積分12/3/2022極小極大另一方面在調(diào)節(jié)的過(guò)20極小極大另一方面在調(diào)節(jié)的過(guò)程中又不希望所消耗的能量過(guò)大，這就相當(dāng)于要求積分12/3/2022極小極大另一方面在調(diào)節(jié)的過(guò)21極小極大另一方面在調(diào)節(jié)的過(guò)程中又不希望所消耗的能量過(guò)大，這就相當(dāng)于要求積分盡可能的小。而極小極大控制問(wèn)題充分考慮到干擾和不確定性的影響，希望在干擾和不確定性盡可能大的情形下尋求一個(gè)使得性能指標(biāo)最小的控制。12/3/2022極小極大另一方面在調(diào)節(jié)的過(guò)22極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制12/3/2022極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極23極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定線性連續(xù)系統(tǒng)為12/3/2022極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極24極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定線性連續(xù)系統(tǒng)為(3.1)其中，12/3/2022極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極25極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定線性連續(xù)系統(tǒng)為(3.1)其中，系統(tǒng)的狀態(tài)向量12/3/2022極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極26極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定線性連續(xù)系統(tǒng)為(3.1)其中，系統(tǒng)的狀態(tài)向量系統(tǒng)的控制向量12/3/2022極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極27極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定線性連續(xù)系統(tǒng)為(3.1)其中，系統(tǒng)的狀態(tài)向量系統(tǒng)的控制向量系統(tǒng)的干擾向量12/3/2022極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極28極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定線性連續(xù)系統(tǒng)為(3.1)其中，系統(tǒng)的狀態(tài)向量系統(tǒng)的控制向量系統(tǒng)的干擾向量給定的相應(yīng)維數(shù)的矩陣12/3/2022極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極29極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定線性連續(xù)系統(tǒng)為(3.1)其中，系統(tǒng)的狀態(tài)向量系統(tǒng)的控制向量系統(tǒng)的干擾向量給定的相應(yīng)維數(shù)的矩陣可測(cè)的矩陣函數(shù)，且對(duì)于所有的滿足(3.2)12/3/2022極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極30極小極大考慮性能指標(biāo)泛函為12/3/2022極小極大考慮性能指標(biāo)泛函為12/131極小極大

(3.3)其中，考慮性能指標(biāo)泛函為12/3/2022極小極大32極小極大

(3.3)其中，考慮性能指標(biāo)泛函為12/3/2022極小極大33極小極大

(3.3)其中，表示系統(tǒng)所有的干擾和容許的不確定性。針對(duì)不確定系統(tǒng)(3.1)和性能指標(biāo)(3.3)，當(dāng)干擾對(duì)系統(tǒng)的破壞最大時(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制律考慮性能指標(biāo)泛函為12/3/2022極小極大34極小極大

(3.3)其中，表示系統(tǒng)所有的干擾和容許的不確定性。針對(duì)不確定系統(tǒng)(3.1)和性能指標(biāo)(3.3)，當(dāng)干擾對(duì)系統(tǒng)的破壞最大時(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制律考慮性能指標(biāo)泛函為12/3/2022極小極大35極小極大

(3.3)其中，表示系統(tǒng)所有的干擾和容許的不確定性。針對(duì)不確定系統(tǒng)(3.1)和性能指標(biāo)(3.3)，當(dāng)干擾對(duì)系統(tǒng)的破壞最大時(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制律考慮性能指標(biāo)泛函為

(3.4)使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且性能指標(biāo)的值達(dá)到最小。12/3/2022極小極大36極小極大將系統(tǒng)(3.1)記為如下的等價(jià)系統(tǒng)12/3/2022極小極大將系統(tǒng)(3.1)記為如下的37極小極大(3.5)其中，將系統(tǒng)(3.1)記為如下的等價(jià)系統(tǒng)12/3/2022極小極大38極小極大(3.5)其中，將系統(tǒng)(3.1)記為如下的等價(jià)系統(tǒng)12/3/2022極小極大39極小極大(3.5)其中，將系統(tǒng)(3.1)記為如下的等價(jià)系統(tǒng)12/3/2022極小極大40極小極大

極小極大控制律設(shè)計(jì)定理：對(duì)于不確定系統(tǒng)(3.5)和性能指標(biāo)(3.3),如果存在對(duì)稱正定矩陣12/3/2022極小極大41極小極大

極小極大控制律設(shè)計(jì)定理：對(duì)于不確定系統(tǒng)(3.5)和性能指標(biāo)(3.3),如果存在對(duì)稱正定矩陣滿足下列不等式12/3/2022極小極大42極小極大

極小極大控制律設(shè)計(jì)定理：對(duì)于不確定系統(tǒng)(3.5)和性能指標(biāo)(3.3),如果存在對(duì)稱正定矩陣滿足下列不等式(3.6)12/3/2022極小極大43極小極大

極小極大控制律設(shè)計(jì)定理：對(duì)于不確定系統(tǒng)(3.5)和性能指標(biāo)(3.3),如果存在對(duì)稱正定矩陣滿足下列不等式(3.6)(3.7)則12/3/2022極小極大44極小極大

極小極大控制律設(shè)計(jì)定理：對(duì)于不確定系統(tǒng)(3.5)和性能指標(biāo)(3.3),如果存在對(duì)稱正定矩陣滿足下列不等式(3.6)(3.7)則12/3/2022極小極大45極小極大

極小極大控制律設(shè)計(jì)定理：對(duì)于不確定系統(tǒng)(3.5)和性能指標(biāo)(3.3),如果存在對(duì)稱正定矩陣滿足下列不等式(3.6)(3.7)則為系統(tǒng)(3.1)的極小極大魯棒控制器，且性能指標(biāo)滿足12/3/2022極小極大46極小極大

極小極大控制律設(shè)計(jì)定理：對(duì)于不確定系統(tǒng)(3.5)和性能指標(biāo)(3.3),如果存在對(duì)稱正定矩陣滿足下列不等式(3.6)(3.7)則為系統(tǒng)(3.1)的極小極大魯棒控制器，且性能指標(biāo)滿足12/3/2022極小極大47極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制12/3/2022極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極48極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定離散系統(tǒng)12/3/2022極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極49極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定離散系統(tǒng)(4.1)12/3/2022極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極50極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定離散系統(tǒng)(4.1)為系統(tǒng)的可量測(cè)狀態(tài)向量，12/3/2022極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極51極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定離散系統(tǒng)(4.1)為系統(tǒng)的可量測(cè)狀態(tài)向量，為系統(tǒng)的控制向量，12/3/2022極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極52極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定離散系統(tǒng)(4.1)為系統(tǒng)的可量測(cè)狀態(tài)向量，為系統(tǒng)的控制向量，為系統(tǒng)的干擾。不確定性滿足范數(shù)有界條件12/3/2022極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極53極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制(4.2)其中，系統(tǒng)描述考慮不確定離散系統(tǒng)(4.1)為系統(tǒng)的可量測(cè)狀態(tài)向量，為系統(tǒng)的控制向量，為系統(tǒng)的干擾。不確定性滿足范數(shù)有界條件12/3/2022極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極54極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制(4.2)其中，系統(tǒng)描述考慮不確定離散系統(tǒng)(4.1)為系統(tǒng)的可量測(cè)狀態(tài)向量，為系統(tǒng)的控制向量，為系統(tǒng)的干擾。不確定性滿足范數(shù)有界條件是已知給定的具有相應(yīng)維數(shù)的矩陣，且屬于下列集合(4.3)12/3/2022極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極55極小極大考慮如下性能指標(biāo)12/3/2022極小極大考慮如下性能指標(biāo)12/1/56極小極大考慮如下性能指標(biāo)(4.4)其中，12/3/2022極小極大考慮如下性能指標(biāo)57極小極大(4.4)其中，考慮如下性能指標(biāo)是和不確定性有關(guān)的，且12/3/2022極小極大58極小極大(4.4)其中，考慮如下性能指標(biāo)是和不確定性有關(guān)的，且12/3/2022極小極大59極小極大(4.4)其中，考慮如下性能指標(biāo)是和不確定性有關(guān)的，且根據(jù)不確定性范數(shù)有界條件，系統(tǒng)(4.1)可記為12/3/2022極小極大60極小極大(4.4)其中，考慮如下性能指標(biāo)是和不確定性有關(guān)的，且根據(jù)不確定性范數(shù)有界條件，系統(tǒng)(4.1)可記為(4.5)其中，12/3/2022極小極大61極小極大(4.4)其中，考慮如下性能指標(biāo)是和不確定性有關(guān)的，且根據(jù)不確定性范數(shù)有界條件，系統(tǒng)(4.1)可記為(4.5)其中，12/3/2022極小極大62極小極大不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制律設(shè)計(jì)12/3/2022極小極大不確定離散系統(tǒng)的極小極大控63極小極大定義4.1

如果系統(tǒng)干擾的范數(shù)是有界的，即不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制律設(shè)計(jì)12/3/2022極小極大定義4.1如果系統(tǒng)干擾64極小極大定義4.1

如果系統(tǒng)干擾的范數(shù)是有界的，即不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制律設(shè)計(jì)12/3/2022極小極大定義4.1如果系統(tǒng)干擾65極小極大定義4.1

如果系統(tǒng)干擾的范數(shù)是有界的，即則稱其是容許的。引理4.1

對(duì)于任意的不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制律設(shè)計(jì)12/3/2022極小極大定義4.1如果系統(tǒng)干擾66極小極大定義4.1

如果系統(tǒng)干擾的范數(shù)是有界的，即則稱其是容許的。引理4.1

對(duì)于任意的，給定矩陣，都有不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制律設(shè)計(jì)12/3/2022極小極大定義4.1如果系統(tǒng)干擾67極小極大定義4.1

如果系統(tǒng)干擾的范數(shù)是有界的，即則稱其是容許的。引理4.1

對(duì)于任意的，給定矩陣，都有.(4.6)成立。其中，不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制律設(shè)計(jì)12/3/2022極小極大定義4.1如果系統(tǒng)干擾68極小極大引理4.2

針對(duì)線性離散系統(tǒng)12/3/2022極小極大引理4.2針對(duì)線性離散69極小極大引理4.2

針對(duì)線性離散系統(tǒng)12/3/2022極小極大引理4.2針對(duì)線性離散70極小極大引理4.2

針對(duì)線性離散系統(tǒng)若對(duì)于給定的非負(fù)定對(duì)稱矩陣，存在正定矩陣12/3/2022極小極大引理4.2針對(duì)線性離散71極小極大引理4.2

針對(duì)線性離散系統(tǒng)若對(duì)于給定的非負(fù)定對(duì)稱矩陣，存在正定矩陣使方程有解且，12/3/2022極小極大引理4.2針對(duì)線性離散72極小極大引理4.2

針對(duì)線性離散系統(tǒng)若對(duì)于給定的非負(fù)定對(duì)稱矩陣，存在正定矩陣使方程有解且，12/3/2022極小極大引理4.2針對(duì)線性離散73極小極大引理4.2

針對(duì)線性離散系統(tǒng)若對(duì)于給定的非負(fù)定對(duì)稱矩陣，存在正定矩陣使方程有解且，是穩(wěn)定的，則針對(duì)性能指標(biāo)(4.4)，該系統(tǒng)的極小極大控制就是應(yīng)用局部檢驗(yàn)方法求得的局部極小極大控制。且在此情況下有12/3/2022極小極大引理4.2針對(duì)線性離散74極小極大引理4.2

針對(duì)線性離散系統(tǒng)若對(duì)于給定的非負(fù)定對(duì)稱矩陣，存在正定矩陣使方程有解且，是穩(wěn)定的，則針對(duì)性能指標(biāo)(4.4)，該系統(tǒng)的極小極大控制就是應(yīng)用局部檢驗(yàn)方法求得的局部極小極大控制。且在此情況下有12/3/2022極小極大引理4.2針對(duì)線性離散75極小極大為由局部極小極大控制和最壞干擾所構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)的系數(shù)矩陣。引理4.2

針對(duì)線性離散系統(tǒng)若對(duì)于給定的非負(fù)定對(duì)稱矩陣，存在正定矩陣使方程有解且，是穩(wěn)定的，則針對(duì)性能指標(biāo)(4.4)，該系統(tǒng)的極小極大控制就是應(yīng)用局部檢驗(yàn)方法求得的局部極小極大控制。且在此情況下有其中，12/3/2022極小極大76極小極大定理4

針對(duì)系統(tǒng)(4.1)，若存在某些常數(shù)，及正定矩陣和12/3/2022極小極大定理4針對(duì)系統(tǒng)(4.1)77極小極大定理4

針對(duì)系統(tǒng)(4.1)，若存在某些常數(shù)，及正定矩陣和滿足下列條件12/3/2022極小極大定理4針對(duì)系統(tǒng)(4.1)78極小極大定理4

針對(duì)系統(tǒng)(4.1)，若存在某些常數(shù)，及正定矩陣和滿足下列條件(4.7)12/3/2022極小極大定理4針對(duì)系統(tǒng)(4.1)79極小極大定理4

針對(duì)系統(tǒng)(4.1)，若存在某些常數(shù)，及正定矩陣和滿足下列條件(4.7)(4.8)且閉環(huán)系統(tǒng)系數(shù)矩陣穩(wěn)定，則12/3/2022極小極大定理4針對(duì)系統(tǒng)(4.1)80極小極大定理4

針對(duì)系統(tǒng)(4.1)，若存在某些常數(shù)，及正定矩陣和滿足下列條件(4.7)(4.8)且閉環(huán)系統(tǒng)系數(shù)矩陣穩(wěn)定，則是使性能指標(biāo)(4.4)（其中?。┰谧顗母蓴_下取得極小值的魯棒控制器，并且有其中，12/3/2022極小極大定理4針對(duì)系統(tǒng)(4.1)81極小極大定理4

針對(duì)系統(tǒng)(4.1)，若存在某些常數(shù)，及正定矩陣和滿足下列條件(4.7)(4.8)且閉環(huán)系統(tǒng)系數(shù)矩陣穩(wěn)定，則是使性能指標(biāo)(4.4)（其中?。┰谧顗母蓴_下取得極小值的魯棒控制器，并且有其中，，。12/3/2022極小極大定理4針對(duì)系統(tǒng)(4.1)82極小極大簡(jiǎn)單介紹了含有不確定性的線性連續(xù)和離散系統(tǒng)的極小極大控制問(wèn)題的提法。分別給出了矩陣不等式形式的極小極大控制器的存在條件。關(guān)于極小極大控制器的求解方法，通過(guò)定理證明的形式可以得到。比較復(fù)雜，可閱有關(guān)資料。可通過(guò)MATLAB工具箱，求解得到使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且性能指標(biāo)達(dá)到極小值的控制器的反饋參數(shù)。5結(jié)論

12/3/2022極小極大簡(jiǎn)單介紹了含有不確定性的線83線性不確定系統(tǒng)的極小極大控制東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院井元偉教授二○○八年十二月12/3/2022線性不確定系統(tǒng)的極小極大控制東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院二○○84

1引言2基本概念和預(yù)備知識(shí)3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制5結(jié)論

4不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制1引言2基本概念和預(yù)備知識(shí)3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大85

1引言穩(wěn)定性和性能—控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中至關(guān)重要的問(wèn)題。外界的干擾和系統(tǒng)自身的不確定性—破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能。隨著干擾增大系統(tǒng)的狀態(tài)會(huì)逐漸偏離平衡點(diǎn)并且控制的能量變大。為了保證投入比較小的控制能量，使得充分大的干擾對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出的影響降低到最小，并且保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的，——引入極小極大控制方法。12/3/20221引言穩(wěn)定性和性能—控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中至關(guān)重要的問(wèn)題。186極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)12/3/2022極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)1287極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)定義：極小極大控制：針對(duì)不確定系統(tǒng)和相應(yīng)的性能指標(biāo)12/3/2022極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)定義88極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)定義：極小極大控制：針對(duì)不確定系統(tǒng)和相應(yīng)的性能指標(biāo)如果存在一個(gè)控制律和一個(gè)正數(shù)12/3/2022極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)定義89極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)定義：極小極大控制：針對(duì)不確定系統(tǒng)和相應(yīng)的性能指標(biāo)如果存在一個(gè)控制律和一個(gè)正數(shù)在系統(tǒng)所能承受的最壞干擾和最大不確定性下，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，閉環(huán)性能指標(biāo)達(dá)到極小且12/3/2022極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)定義90極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)定義：極小極大控制：針對(duì)不確定系統(tǒng)和相應(yīng)的性能指標(biāo)如果存在一個(gè)控制律和一個(gè)正數(shù)在系統(tǒng)所能承受的最壞干擾和最大不確定性下，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，閉環(huán)性能指標(biāo)達(dá)到極小且12/3/2022極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)定義91極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)定義：極小極大控制：針對(duì)不確定系統(tǒng)和相應(yīng)的性能指標(biāo)如果存在一個(gè)控制律和一個(gè)正數(shù)在系統(tǒng)所能承受的最壞干擾和最大不確定性下，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，閉環(huán)性能指標(biāo)達(dá)到極小且稱為一個(gè)性能上界，稱為極小極大魯棒控制律。12/3/2022極小極大2基本概念和預(yù)備知識(shí)定義92極小極大性能指標(biāo)12/3/2022極小極大性能指標(biāo)12/1/202293極小極大性能指標(biāo)12/3/2022極小極大性能指標(biāo)12/1/202294極小極大性能指標(biāo)其中，12/3/2022極小極大性能指標(biāo)其中，12/1/95極小極大性能指標(biāo)其中，12/3/2022極小極大性能指標(biāo)其中，12/1/96極小極大性能指標(biāo)其中，表示系統(tǒng)所有的干擾和容許的不確定性。12/3/2022極小極大性能指標(biāo)其中，表示系統(tǒng)所97極小極大物理意義和目的

物理意義：極小極大控制，針對(duì)干擾和不確定性最壞的情形，討論的是，如何控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能，使得系統(tǒng)在整個(gè)時(shí)間過(guò)程中狀態(tài)偏差、控制消耗能量和終值精度等幾方面綜合性能指標(biāo)最小。12/3/2022極小極大物理意義和目的12/1/298極小極大目的：具有二次型性能指標(biāo)的控制系統(tǒng)可視為一個(gè)調(diào)節(jié)系統(tǒng)。所謂調(diào)節(jié)就是使偏離平衡位置的狀態(tài)在控制變量的作用下盡可能地回到平衡位置上。若把零狀態(tài)作為平衡狀態(tài)，調(diào)節(jié)的目的就是使12/3/2022極小極大目的：12/1/299極小極大目的：具有二次型性能指標(biāo)的控制系統(tǒng)可視為一個(gè)調(diào)節(jié)系統(tǒng)。所謂調(diào)節(jié)就是使偏離平衡位置的狀態(tài)在控制變量的作用下盡可能地回到平衡位置上。若把零狀態(tài)作為平衡狀態(tài)，調(diào)節(jié)的目的就是使12/3/2022極小極大目的：12/1/2100極小極大目的：具有二次型性能指標(biāo)的控制系統(tǒng)可視為一個(gè)調(diào)節(jié)系統(tǒng)。所謂調(diào)節(jié)就是使偏離平衡位置的狀態(tài)在控制變量的作用下盡可能地回到平衡位置上。若把零狀態(tài)作為平衡狀態(tài)，調(diào)節(jié)的目的就是使盡量接近于零狀態(tài)，這就相當(dāng)于使積分12/3/2022極小極大目的：盡量接近于零101極小極大目的：具有二次型性能指標(biāo)的控制系統(tǒng)可視為一個(gè)調(diào)節(jié)系統(tǒng)。所謂調(diào)節(jié)就是使偏離平衡位置的狀態(tài)在控制變量的作用下盡可能地回到平衡位置上。若把零狀態(tài)作為平衡狀態(tài)，調(diào)節(jié)的目的就是使盡量接近于零狀態(tài)，這就相當(dāng)于使積分盡可能地小。12/3/2022極小極大目的：盡量接近于零102極小極大另一方面在調(diào)節(jié)的過(guò)程中又不希望所消耗的能量過(guò)大，這就相當(dāng)于要求積分12/3/2022極小極大另一方面在調(diào)節(jié)的過(guò)103極小極大另一方面在調(diào)節(jié)的過(guò)程中又不希望所消耗的能量過(guò)大，這就相當(dāng)于要求積分12/3/2022極小極大另一方面在調(diào)節(jié)的過(guò)104極小極大另一方面在調(diào)節(jié)的過(guò)程中又不希望所消耗的能量過(guò)大，這就相當(dāng)于要求積分盡可能的小。而極小極大控制問(wèn)題充分考慮到干擾和不確定性的影響，希望在干擾和不確定性盡可能大的情形下尋求一個(gè)使得性能指標(biāo)最小的控制。12/3/2022極小極大另一方面在調(diào)節(jié)的過(guò)105極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制12/3/2022極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極106極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定線性連續(xù)系統(tǒng)為12/3/2022極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極107極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定線性連續(xù)系統(tǒng)為(3.1)其中，12/3/2022極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極108極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定線性連續(xù)系統(tǒng)為(3.1)其中，系統(tǒng)的狀態(tài)向量12/3/2022極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極109極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定線性連續(xù)系統(tǒng)為(3.1)其中，系統(tǒng)的狀態(tài)向量系統(tǒng)的控制向量12/3/2022極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極110極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定線性連續(xù)系統(tǒng)為(3.1)其中，系統(tǒng)的狀態(tài)向量系統(tǒng)的控制向量系統(tǒng)的干擾向量12/3/2022極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極111極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定線性連續(xù)系統(tǒng)為(3.1)其中，系統(tǒng)的狀態(tài)向量系統(tǒng)的控制向量系統(tǒng)的干擾向量給定的相應(yīng)維數(shù)的矩陣12/3/2022極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極112極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定線性連續(xù)系統(tǒng)為(3.1)其中，系統(tǒng)的狀態(tài)向量系統(tǒng)的控制向量系統(tǒng)的干擾向量給定的相應(yīng)維數(shù)的矩陣可測(cè)的矩陣函數(shù)，且對(duì)于所有的滿足(3.2)12/3/2022極小極大3不確定連續(xù)系統(tǒng)的極小極113極小極大考慮性能指標(biāo)泛函為12/3/2022極小極大考慮性能指標(biāo)泛函為12/1114極小極大

(3.3)其中，考慮性能指標(biāo)泛函為12/3/2022極小極大115極小極大

(3.3)其中，考慮性能指標(biāo)泛函為12/3/2022極小極大116極小極大

(3.3)其中，表示系統(tǒng)所有的干擾和容許的不確定性。針對(duì)不確定系統(tǒng)(3.1)和性能指標(biāo)(3.3)，當(dāng)干擾對(duì)系統(tǒng)的破壞最大時(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制律考慮性能指標(biāo)泛函為12/3/2022極小極大117極小極大

(3.3)其中，表示系統(tǒng)所有的干擾和容許的不確定性。針對(duì)不確定系統(tǒng)(3.1)和性能指標(biāo)(3.3)，當(dāng)干擾對(duì)系統(tǒng)的破壞最大時(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制律考慮性能指標(biāo)泛函為12/3/2022極小極大118極小極大

(3.3)其中，表示系統(tǒng)所有的干擾和容許的不確定性。針對(duì)不確定系統(tǒng)(3.1)和性能指標(biāo)(3.3)，當(dāng)干擾對(duì)系統(tǒng)的破壞最大時(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制律考慮性能指標(biāo)泛函為

(3.4)使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且性能指標(biāo)的值達(dá)到最小。12/3/2022極小極大119極小極大將系統(tǒng)(3.1)記為如下的等價(jià)系統(tǒng)12/3/2022極小極大將系統(tǒng)(3.1)記為如下的120極小極大(3.5)其中，將系統(tǒng)(3.1)記為如下的等價(jià)系統(tǒng)12/3/2022極小極大121極小極大(3.5)其中，將系統(tǒng)(3.1)記為如下的等價(jià)系統(tǒng)12/3/2022極小極大122極小極大(3.5)其中，將系統(tǒng)(3.1)記為如下的等價(jià)系統(tǒng)12/3/2022極小極大123極小極大

極小極大控制律設(shè)計(jì)定理：對(duì)于不確定系統(tǒng)(3.5)和性能指標(biāo)(3.3),如果存在對(duì)稱正定矩陣12/3/2022極小極大124極小極大

極小極大控制律設(shè)計(jì)定理：對(duì)于不確定系統(tǒng)(3.5)和性能指標(biāo)(3.3),如果存在對(duì)稱正定矩陣滿足下列不等式12/3/2022極小極大125極小極大

極小極大控制律設(shè)計(jì)定理：對(duì)于不確定系統(tǒng)(3.5)和性能指標(biāo)(3.3),如果存在對(duì)稱正定矩陣滿足下列不等式(3.6)12/3/2022極小極大126極小極大

極小極大控制律設(shè)計(jì)定理：對(duì)于不確定系統(tǒng)(3.5)和性能指標(biāo)(3.3),如果存在對(duì)稱正定矩陣滿足下列不等式(3.6)(3.7)則12/3/2022極小極大127極小極大

極小極大控制律設(shè)計(jì)定理：對(duì)于不確定系統(tǒng)(3.5)和性能指標(biāo)(3.3),如果存在對(duì)稱正定矩陣滿足下列不等式(3.6)(3.7)則12/3/2022極小極大128極小極大

極小極大控制律設(shè)計(jì)定理：對(duì)于不確定系統(tǒng)(3.5)和性能指標(biāo)(3.3),如果存在對(duì)稱正定矩陣滿足下列不等式(3.6)(3.7)則為系統(tǒng)(3.1)的極小極大魯棒控制器，且性能指標(biāo)滿足12/3/2022極小極大129極小極大

極小極大控制律設(shè)計(jì)定理：對(duì)于不確定系統(tǒng)(3.5)和性能指標(biāo)(3.3),如果存在對(duì)稱正定矩陣滿足下列不等式(3.6)(3.7)則為系統(tǒng)(3.1)的極小極大魯棒控制器，且性能指標(biāo)滿足12/3/2022極小極大130極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制12/3/2022極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極131極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定離散系統(tǒng)12/3/2022極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極132極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定離散系統(tǒng)(4.1)12/3/2022極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極133極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定離散系統(tǒng)(4.1)為系統(tǒng)的可量測(cè)狀態(tài)向量，12/3/2022極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極134極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定離散系統(tǒng)(4.1)為系統(tǒng)的可量測(cè)狀態(tài)向量，為系統(tǒng)的控制向量，12/3/2022極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極135極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制系統(tǒng)描述考慮不確定離散系統(tǒng)(4.1)為系統(tǒng)的可量測(cè)狀態(tài)向量，為系統(tǒng)的控制向量，為系統(tǒng)的干擾。不確定性滿足范數(shù)有界條件12/3/2022極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極136極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制(4.2)其中，系統(tǒng)描述考慮不確定離散系統(tǒng)(4.1)為系統(tǒng)的可量測(cè)狀態(tài)向量，為系統(tǒng)的控制向量，為系統(tǒng)的干擾。不確定性滿足范數(shù)有界條件12/3/2022極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極137極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制(4.2)其中，系統(tǒng)描述考慮不確定離散系統(tǒng)(4.1)為系統(tǒng)的可量測(cè)狀態(tài)向量，為系統(tǒng)的控制向量，為系統(tǒng)的干擾。不確定性滿足范數(shù)有界條件是已知給定的具有相應(yīng)維數(shù)的矩陣，且屬于下列集合(4.3)12/3/2022極小極大4不確定離散系統(tǒng)的極小極138極小極大考慮如下性能指標(biāo)12/3/2022極小極大考慮如下性能指標(biāo)12/1/139極小極大考慮如下性能指標(biāo)(4.4)其中，12/3/2022極小極大考慮如下性能指標(biāo)140極小極大(4.4)其中，考慮如下性能指標(biāo)是和不確定性有關(guān)的，且12/3/2022極小極大141極小極大(4.4)其中，考慮如下性能指標(biāo)是和不確定性有關(guān)的，且12/3/2022極小極大142極小極大(4.4)其中，考慮如下性能指標(biāo)是和不確定性有關(guān)的，且根據(jù)不確定性范數(shù)有界條件，系統(tǒng)(4.1)可記為12/3/2022極小極大143極小極大(4.4)其中，考慮如下性能指標(biāo)是和不確定性有關(guān)的，且根據(jù)不確定性范數(shù)有界條件，系統(tǒng)(4.1)可記為(4.5)其中，12/3/2022極小極大144極小極大(4.4)其中，考慮如下性能指標(biāo)是和不確定性有關(guān)的，且根據(jù)不確定性范數(shù)有界條件，系統(tǒng)(4.1)可記為(4.5)其中，12/3/2022極小極大145極小極大不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制律設(shè)計(jì)12/3/2022極小極大不確定離散系統(tǒng)的極小極大控146極小極大定義4.1

如果系統(tǒng)干擾的范數(shù)是有界的，即不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制律設(shè)計(jì)12/3/2022極小極大定義4.1如果系統(tǒng)干擾147極小極大定義4.1

如果系統(tǒng)干擾的范數(shù)是有界的，即不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制律設(shè)計(jì)12/3/2022極小極大定義4.1如果系統(tǒng)干擾148極小極大定義4.1

如果系統(tǒng)干擾的范數(shù)是有界的，即則稱其是容許的。引理4.1

對(duì)于任意的不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制律設(shè)計(jì)12/3/2022極小極大定義4.1如果系統(tǒng)干擾149極小極大定義4.1

如果系統(tǒng)干擾的范數(shù)是有界的，即則稱其是容許的。引理4.1

對(duì)于任意的，給定矩陣，都有不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制律設(shè)計(jì)12/3/2022極小極大定義4.1如果系統(tǒng)干擾150極小極大定義4.1

如果系統(tǒng)干擾的范數(shù)是有界的，即則稱其是容許的。引理4.1

對(duì)于任意的，給定矩陣，都有.(4.6)成立。其中，不確定離散系統(tǒng)的極小極大控制律設(shè)計(jì)12/3/2022極小極大定義4.1如果系統(tǒng)干擾151極小極大引理4.2

針對(duì)線性離散系統(tǒng)12/3/2022極