集合間的基本運算一、知識概述1、交集的定義一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，叫做A,B的交集.記作A^lB（讀作‘A交B’），即A^lB={x|xEA，且xEB}.2、并集的定義一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A，B的并集.記作：aUb（讀作‘A并B’），即aUb={x|xEA，或xEB}.3、補集：一般地，設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集（即A3），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集），記作「網(wǎng)，艮即豚二{匯|攔§且居H}.性質(zhì)：盤5=孔「成如辛=$.全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集，全集通常用S，。表示?4、運算性質(zhì)：（1）質(zhì)網(wǎng)=如網(wǎng)=乩（2）如。二。丑必"；（3）如如町SUAEIM；（4）Ar\^A=0,A\J^A=U（5）A（'\B=qA⑹&（純司二（如）n（撰）;頃如為=g&）u（接）.二、例題講解例1、設(shè)集合A={一4,2m—1,mJ,B={9,m—5,1—m},又A^B={9},求實數(shù)m的值.解：B={9},2m—1=9或m：9,解得m=5或m=3或m=—3.若蚌5,則A={—4,9,25},B={9,0,—4}與A「B={9}矛盾；若m=3,則B中元素m—5=1—m=—2,與B中元素互異矛盾；若m=—3,則A={一4,—7,9）,B={9,—8,4}滿足A「B={9}.m=—3.例2、設(shè)A=（x|x2+ax+b=0）,B=（x|x2+cx+15=0）,又A『B={3,5},ACIB二⑶,求實數(shù)a,b,c的值.解：VAnB={3},A3GB,.?.3，+3c+15=0,?.?c二一8,由方程x-8x+15=0解得x=3或x=5.?.?B={3,5）.由A匚（aUb）={3,5}知,355，A（否貝!j5GAAB,與AAB={3}矛盾）.故必有A={3},方程x2+ax+b=0有兩相同的根3.由韋達(dá)定理得3+3=—a,3X3=b,即a=—6,b=9,c=—8.例3、已知A={x|x3+3x2+2x>0},B={x|x2+ax+bW0},且AEB={x|0VxW2},AUB={x|x>—2},求a、b的值.解：A=(x|—2<x<—1或x>0},TOC\o"1-5"\h\z設(shè)B=[x,x],由AAB=(0,2]知x=2,122且一1WxW0,①1由AUB=(—2,+8)知一2WxW—1.②1由①②知x=—1,x=2,12.?.a=—(x+x)=—1,b=xx=—2.1212例4、已知A=(x|x2—ax+a2—19=0},B={x|x—5x+8=2},C={x|x2+2x—8=0}.若0^AAB，且AEC二。，求a的值.解：VB=(x|(x—3)(x—2)=0}=(3,2},C={x|(x+4)(x—2)=0}={—4,2},又v^anB,?.?AebK.又?.?Anc二°,?.?可知一4^A,2^A,3EA.???由9—3a+a2—19=0,解得a=5或a=—2.①當(dāng)a=5時，A=(2,3},此時AnC={2}尹。，矛盾，.'.a尹5；②當(dāng)a=—2時，A={—5,3},此時AEC=/,AEB={3}尹°，符合條件.綜上①②知a=—2.例5、已知全集U={不大于20的質(zhì)數(shù)},M,N是U的兩個子集，且滿足ME（命"）={3,5},（山財）en={7,19},（虻財）^（山"）={2,17},求M、N.解：用圖示法表示集合U,M,N（如圖），將符合條件的元素依次填入圖中相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，由圖可知：M={3,5,11,13},N={7,11,13,19}.點評：本題用填圖的方法使問題輕松地解決，但要注意的是在填圖時，應(yīng)從已知區(qū)域填起，從已知區(qū)域推測未知區(qū)域的元素.特別提示：下列四個區(qū)域：對應(yīng)的集合分別是：①一禰洲）；②」作；③一m"；④」心皿.一、選擇題1、下列命題中，正確的是（）若U=R,A^U,靠（昂為=3）；若U為全集，中表示空集，則昂中二中；若A={1,①，{2}},則則{2}WA；若A={1,2,3},B={x|x^A}，則AEB...■;1..M=｛x\m點一盤+一｝部=｛工|或-一建了式毗2、設(shè)數(shù)集43且M、N都是集合｛x|0WxW1｝的子集，如果把b-a叫做集合｛x|aWxWb｝的“長度”，那么集合MAN的“長度”的最小值是（）TOC\o"1-5"\h\z123B.3C.日D.日3、設(shè)M、N是兩個非空集合，定義M與N的差集為M-N=｛x|xEM且x^N｝，則M-（M-N）等于（）A.NB.MANC.MUND.M4、已知全集U=R，集合m=｛iMTH｝和^=｛亦=的關(guān)系的韋恩（Venn）圖如下圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有（）A.3個B.2個C.1個D.無窮個1、〕U（】uA）Hugu，｛2｝￡A，｛2｝單獨看是一個集合，但它又是A中的一個元素.312、集合M的“長度”為彳，集合N的“長度”為礦而集合311___|___｛x|0WxW1｝的“長度”為1，故MAN的“長度”最小值為日3一偵3、M-N=｛x|xEM且展N｝是指圖（1）中的陰影部分.同樣M-（M-N）是指圖（2）中的陰影部分.4、?.?圖形中的陰影部分表示的是集合，由"T&解得集合技二"|-1*工*3｝，而n是正奇數(shù)的集合，.?.肱門"=｛1日，故選B.二、填空題5、已知集合A=｛x|x2—3x+2=0｝，集合B=｛x|ax—2=0｝(其中a為實數(shù))，且AUB=A，則集合C=｛a|a使得AUB=A｝=.5、｛0，1，2｝解析：A=｛1，2｝，由AUB=A，得B^A.?「1EA，即得a=2；或2EA，即得a=1；或B=^，此時a=0.?C=｛0，1，2｝.6、非空集合sM｛1，2,3,4,5｝，且若aeS，則6—a^S，這樣的S共有個.6、6解析：S=｛1，5｝或｛2,4｝或｛3｝，或｛1，3，5｝，或｛2,4，3｝，或｛1，5，2，4｝．三、解答題7、設(shè)集合月=伍七必一1U=但一5」一飽9).若犯⑴門刃，求實數(shù)a的值.若｛9｝=月門#，求實數(shù)a的值.7、解：（1）?「9丘應(yīng)門#,.?.9EA.則&2=9或&—1=9.解得a=±3或5.當(dāng)企=3時，R={9,。4）,占={-2,-2,9}（舍）；當(dāng)企=一3時，H={9,T,—4},￡?={—&4,9）（符合）；當(dāng)山=5時，R={25&—4}檔=（。19）（符合）.綜上知&=一3或你=5.（2）由（1）知企=一3.8、已知全集U=r,，=U|-"+女+10v。},，=*|再v能+1或x>M—l}，若&籍W，求實數(shù)徽的取值范圍8、解：依題設(shè)可知全集昌=R且&旦="|一/+女+1。頊今&歸命可知.分類如下：①若,^。m+1>2m—1=~mV2.由+1》-2②若&歸8，則m+1W2m—1,且—，解得2WmW3.由①②可得：mW3.「?實數(shù)m的取值范圍為｛m|mW3｝.9、已知全集U=｛|a—1|,(a_2)(a—1),4,6｝.若［相仍=0頃求實數(shù)a的值；若「日』=。,4｝,求實數(shù)a的值.9、解：(1)?.?頑u用=8=｛叩｝,且BWU,.,.|a—1|=0,且(a—2)(a—1)=1,或|a—1|=1,且(a—2)(a—1)=0；第一種情況顯然不成立，在第二種情況中由|a-1|=1得a=0或a=2,「?a=2.(2)依題意知|a—1|=3,或(a—2)(a—1)=3,若|a—1|=3,則a=4,或a=—2；怪=3土，用若(a—2)(a—1)=3，則言?經(jīng)檢驗知a=4時，(4—2)(4—1)=6，與元素的互異性矛盾.3土應(yīng).*.a=—2或？.10、設(shè)集合A=｛工成十4h=D｝,B=｛k|亍+20+1)工+^-1=口，興只｝，若aW=B,求實數(shù)口的值.10、解：先化簡集合A=｛f盼.由a^B=B,則BWA,可知集合B可為°,或為｛0｝,或｛—4｝，或｛-%盼.⑴若B二。，則A4g+1)，—"—1)罰，解得□<-1；若口EB,代入得&'-l=on*=i或*=-1,當(dāng)口二1時，B=A，符合題意；當(dāng)企=T時，B={0}WA，也符合題意.若一修B，代入得羅-％十7=口na=7或僅二1，當(dāng)企=1時，已經(jīng)討論，符合題意；當(dāng)口二7時，B={—12，—4}，不符合題意.綜上可得，口二1或口w-i.11、已知集合A={x|x2—4mx+2m+6=0}，B={x|xV0}，若AEB尹，求實數(shù)m的取值范圍.U=加\%=(-4rn)2-4(2rn0)=(rn|腕W-L或成云J}11、解：設(shè)全集艾.<X]+電=物彳Cl,若方程x2—4mx+2m+6=0的兩根x，x均非負(fù)，則+6^0.12解得E.m-...{m|N}關(guān)于U的補集是{m|mW—1}，.??實數(shù)m的取值范圍是{m|mW—1}.1、(全國I，1)設(shè)集合A={4,5,7,9}，B={3,4,7,8,9}，全集U=AUB，則集合&如蹌中的元素共有()A.3個B.4個C.5個D.6個答案：A解析：2、（福建，2）已知全集U=R，集合A={x|x2-2x>0},則等于（）A.{x|0WxW2}B.{x|0<x<2}{x|x<0或x>2}D.{x|xW0或xA2}答案：A解析：..?x2—2x〉0,..?x（x—2）〉0，得x<0或x>2,.??A={x|x<0或x〉2},&如WgG}.3、（山東，1）集合A={0,2,a},B={1,a2}.若AUB={0,1,2,4,16}，則a的值為（）A.0B.1C.2D.4答案：D解析：..?AUB={0,1,2,a,a2},又AUB={0,1,2,4,16},「?{a,a2}={4,16},「?a=4,故選D.集合中的交、并、補等運算，可以借助圖形進(jìn)行思考。圖形不僅可以使各集合之間的相互關(guān)系直觀明了，同時也便于將各元素的歸屬確定下來，使抽象的集合運算能建立在直觀的形象思維基礎(chǔ)上.因此圖形既是迅速理解題意的工具，又是正確解題的手段.例1、某地對農(nóng)戶抽樣調(diào)查，結(jié)果如下：電冰箱擁有率為49%，電視機擁有率為85%,洗衣機擁有率為44%，至少擁有上述三種電器中兩種以上的占63%，三種電器齊全的為25%，那么一種電器也沒有的相對貧困戶所占比例為（）A.10%B.12%C.15%D.27%分析：這是一個小型應(yīng)用題.把各種人群看做集合，本題就是已知全集元素個數(shù)，求其某個子集的元素個數(shù)，可借助Venn圖解法.解：不妨設(shè)調(diào)查了100戶農(nóng)戶，U={被調(diào)查的100戶農(nóng)戶}，A={100戶中擁有電冰箱的農(nóng)戶},B={100戶中擁有電視機的農(nóng)戶},C={100戶中擁有洗衣機的農(nóng)戶},由圖知,的元素個數(shù)為49+85+44—63—25=90.則&（HU'UQ的元素個數(shù)為100—90=10.答案：A一般此類題利用Venn圖直觀手段，使集合中元素的個數(shù)，以及集合間的關(guān)系更直接的顯示，進(jìn)而根據(jù)圖逐一把文字陳述